ट्रेस ऑपरेटर

एक आयत पर परिभाषित एक फ़ंक्शन (शीर्ष आकृति, लाल रंग में), और इसका ट्रेस (निचला आंकड़ा, लाल रंग में)।

गणित में, ट्रेस ऑपरेटर सोबोलेव स्पेस में सामान्यीकृत फलनों के लिए अपने डोमेन की सीमा तक फलन के प्रतिबंध की धारणा को बढ़ाता है। यह निर्धारित सीमा स्थितियों (सीमा मान समस्याओं) के साथ आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहां कमजोर समाधान फलनों के पारम्परिक अर्थों में सीमा शर्तों को पूरा करने के लिए नियमित रूप से पर्याप्त नहीं हो सकते हैं।

प्रेरणा

एक परिबद्ध, चिकने डोमेन (गणितीय विश्लेषण) ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ पर, विषम के साथ पॉइसन के समीकरण को हल करने की समस्या पर विचार करें डिरिचलेट सीमा शर्तें:

${\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}$

दिए गए फलन ${\textstyle f}$ और ${\textstyle g}$ के साथ नियमितता के साथ नीचे दिए गए एप्लिकेशन सेक्शन में चर्चा की गई है। इस समीकरण के कमजोर समाधान ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ को संतुष्ट करना चाहिए

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x$ सभी के लिए ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$ .

${\textstyle H^{1}(\Omega )}$ ${\textstyle u}$ की नियमितता इस अभिन्न समीकरण की अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है। चूँकि, यह स्पष्ट नहीं है कि ${\textstyle u}$ किस अर्थ में सीमा शर्त ${\textstyle u=g}$ पर ${\textstyle \partial \Omega }$: को संतुष्ट कर सकते हैं परिभाषा के अनुसार, ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )}$ फलनों का एक तुल्यता वर्ग है जिसका ${\textstyle \partial \Omega }$ पर मनमाना मान हो सकता है चूंकि यह n-आयामी लेबेस्गु माप के संबंध में एक शून्य सेट है।

यदि ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{1}}$ में ${\textstyle H^{1}(\Omega )\hookrightarrow C^{0}({\bar {\Omega }})}$ रखने पर, सोबोलेव का एम्बेडिंग प्रमेय, जैसे कि ${\textstyle u}$ पारम्परिक अर्थों में सीमा की स्थिति को संतुष्ट कर सकता है, अर्थात ${\textstyle u}$ से आंशिक ${\textstyle \partial \Omega }$ का प्रतिबंध फलन ${\textstyle g}$ से सहमत हैं (अधिक उपयुक्त रूप से: ${\textstyle C({\bar {\Omega }})}$ में ${\textstyle u}$ का एक प्रतिनिधि उपस्थित है इस गुण के साथ)। ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ के लिये ${\textstyle n>1}$ के साथ ऐसा एम्बेडिंग उपस्थित नहीं है और यहां प्रस्तुत ट्रेस ऑपरेटर ${\textstyle T}$ का प्रयोग ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ का अर्थ देने के लिए किया जाना चाहिए | फिर ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ के साथ ${\textstyle Tu=g}$ को सीमा मान समस्या का एक कमजोर समाधान कहा जाता है यदि ऊपर दिए गए अभिन्न समीकरण को संतुष्ट किया जाता है। ट्रेस ऑपरेटर की परिभाषा उचित होने के लिए, पर्याप्त रूप से नियमित ${\textstyle u}$ के लिए ${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$ करना आवश्यक है। |

ट्रेस प्रमेय

ट्रेस ऑपरेटर को सोबोलेव स्पेस ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ में ${\textstyle 1\leq p<\infty }$ के साथ फलनों के लिए परिभाषित किया जा सकता है, अन्य स्थानों पर ट्रेस के संभावित विस्तार के लिए नीचे दिया गया अनुभाग देखें। माना ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ के लिये ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ लिप्सचिट्ज़ सीमा के साथ एक परिबद्ध डोमेन हो। तब वहाँ एक परिबद्ध रेखीय ट्रेस ऑपरेटर उपस्थित है

$T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )$

जैसे कि ${\textstyle T}$ पारम्परिक ट्रेस का विस्तार करता है, अर्थात

$Tu=u|_{\partial \Omega }$ सभी के लिए ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$.

${\textstyle T}$ की निरंतरता का तात्पर्य है कि

$\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}$ सभी के लिए ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$

निरंतर के साथ केवल ${\textstyle p}$ और ${\textstyle \Omega }$ पर निर्भर करता है। फलन ${\textstyle Tu}$ को ${\textstyle u}$ का ट्रेस कहा जाता है और अधिकांश इसे केवल ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ द्वारा निरूपित किया जाता है। और ${\textstyle T}$ के लिए अन्य सामान्य प्रतीकों में ${\textstyle tr}$ और ${\textstyle \gamma }$ सम्मालित हैं।

निर्माण

यह पैराग्राफ इवांस का अनुसरण करता है, और जहां से अधिक विवरण प्राप्त किया जा सकता है, और यह मान ले कि ${\textstyle \Omega }$ की एक ${\textstyle C^{1}}$-सीमा है। लिप्सचिट्ज़ डोमेन के लिए ट्रेस प्रमेय का एक प्रमाण (एक मजबूत संस्करण का) गगलियार्डो में प्राप्त किया जा सकता है। ${\textstyle C^{1}}$-डोमेन पर, ट्रेस ऑपरेटर को ऑपरेटर के निरंतर रैखिक विस्तार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$T:C^{\infty }({\bar {\Omega }})\to L^{p}(\partial \Omega )$

स्पेस के लिए ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$. के घने सेट द्वारा ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ में ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ ऐसा विस्तार संभव है यदि ${\textstyle T}$ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$-आदर्श के संबंध में निरंतर है। इसका प्रमाण, अर्थात् ${\textstyle C>0}$ कि उपस्थित है (इस पर निर्भर करते हुए ${\textstyle \Omega }$ और ${\textstyle p}$) जैसे कि

$\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}$ सभी के लिए $u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }}).$

ट्रेस ऑपरेटर के निर्माण में केंद्रीय घटक है। ${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$ के लिए इस अनुमान का एक स्थानीय संस्करण पहले सिद्ध किया गया है विचलन प्रमेय का प्रयोग करते हुए स्थानीय रूप से सपाट सीमा के लिए -फलन पहले सिद्ध होते हैं। परिवर्तन द्वारा, एक सामान्य ${\textstyle C^{1}}$-इस स्थिति को कम करने के लिए सीमा को स्थानीय रूप से सीधा किया जा सकता है, जहां ${\textstyle C^{1}}$-रूपांतरण की नियमितता के लिए आवश्यक है कि स्थानीय अनुमान ${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$-फलन को धारण करे।

ट्रेस ऑपरेटर की इस निरंतरता के साथ ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ के लिए एक विस्तार ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ सार तर्कों से उपस्थित है और ${\textstyle Tu}$ के लिये ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$ निम्नानुसार चित्रित किया जा सकता है। मान ले ${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ घनत्व द्वारा ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$ का अनुमान लगाने वाला अनुक्रम हो। ${\textstyle T}$ की ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ अनुक्रम ${\textstyle u_{k}|_{\partial \Omega }}$ में एक कॉशी अनुक्रम है ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ और ${\textstyle Tu=\lim _{k\to \infty }u_{k}|_{\partial \Omega }}$ सीमा में ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ लिया गया .

इसके अतिरिक्त गुण ${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$ के लिए रखता है ${\textstyle u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ निर्माण द्वारा, लेकिन किसी के लिए ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$ एक क्रम होता है ${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ जो ${\textstyle {\bar {\Omega }}}$ से ${\textstyle u}$ समान रूप से अभिसरण करता है, ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$ बड़े सेट पर अतिरिक्त गुण की पुष्टि करता है।

स्थिति पी = ∞

यदि ${\textstyle \Omega }$ परिबद्ध है और उसकी एक ${\textstyle C^{1}}$-सीमा है तब मोरे की असमानता से एक सतत एम्बेडिंग उपस्थित है ${\textstyle W^{1,\infty }(\Omega )\hookrightarrow C^{0,1}(\Omega )}$, जहाँ ${\textstyle C^{0,1}(\Omega )}$ लिप्सचिट्ज़ निरंतरता फलनों के स्थान को दर्शाता है। विशेष रूप से, किसी भी फलन ${\textstyle u\in W^{1,\infty }(\Omega )}$में एक पारम्परिक ट्रेस है ${\textstyle u|_{\partial \Omega }\in C(\partial \Omega )}$ और वहाँ रखती है

$\|u|_{\partial \Omega }\|_{C(\partial \Omega )}\leq \|u\|_{C^{0,1}(\Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,\infty }(\Omega )}.$

ट्रेस शून्य के साथ फलन

${\textstyle 1\leq p<\infty }$ के लिये सोबोलेव स्पेस ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित सेट के बंद होने के रूप में परिभाषित किया गया है फलन ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$-आदर्श के संबंध में। निम्नलिखित वैकल्पिक लक्षण वर्णन धारण करता है:

$W_{0}^{1,p}(\Omega )=\{u\in W^{1,p}(\Omega )\mid Tu=0\}=\ker(T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )),$

जहाँ ${\textstyle \ker(T)}$ का ${\textstyle T}$ कर्नेल (रैखिक बीजगणित) है, अर्थात ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ में फलनों का उप-स्थान है ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ ट्रेस जीरो के साथ है।

ट्रेस ऑपरेटर की छवि

=== पी> 1 === के लिए

ट्रेस ऑपरेटर ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ पर विशेषण नहीं है यदि ${\textstyle p>1}$, अर्थात् ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ हर फलन में नहीं ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ में एक फलन का ट्रेस है. जैसा कि नीचे दी गई छवि में ऐसे फलन सम्मालित हैं जो होल्डर निरंतरता के ${\textstyle L^{p}}$ -संस्करण को संतुष्ट करते हैं।

संक्षेप में लक्षण वर्णन

${\textstyle T}$ की छवि (गणित) का एक संक्षेप निरूपण निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। समरूपता प्रमेयों द्वारा वहाँ धारण किया जाता है

$T(W^{1,p}(\Omega ))\cong W^{1,p}(\Omega )/\ker(T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega ))=W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )$

जहाँ ${\textstyle X/N}$ उप-स्थान ${\textstyle N\subset X}$ द्वारा बानाच स्थान ${\textstyle X}$ के भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) को दर्शाता है और अंतिम पहचान ऊपर से ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ के लक्षण वर्णन से होती है।द्वारा परिभाषित भागफल स्थान को भागफल मानदंड से लैस करना

$\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )}=\inf _{u_{0}\in W_{0}^{1,p}(\Omega )}\|u-u_{0}\|_{W^{1,p}(\Omega )}$

ट्रेस ऑपरेटर ${\textstyle T}$ तब एक विशेषण, परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर है

$T\colon W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )$.

सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेस का प्रयोग करते हुए अभिलक्षणन

${\textstyle T}$ की छवि का अधिक ठोस प्रतिनिधित्व सोबोलेव-स्लोबोडेकिज रिक्त स्थान का उपयोग करके दिया जा सकता है जो होल्डर के निरंतर कार्यों की अवधारणा को ${\textstyle L^{p}}$ सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेस जो धारक के निरंतर फलनों की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है। चूंकि ${\textstyle \partial \Omega }$ एक (n-1)-आयामी लिप्सचिट्ज़ टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ इन स्थानों का एक स्पष्ट लक्षण वर्णन तकनीकी रूप से शामिल है सरलता के लिए पहले एक समतलीय डोमेन ${\textstyle \Omega '\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$ पर विचार करें. ${\textstyle v\in L^{p}(\Omega ')}$ के लिये (संभवतः अनंत) मानदंड को परिभाषित करें

$\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\Omega ')}=\left(\|v\|_{L^{p}(\Omega ')}^{p}+\int _{\Omega '\times \Omega '}{\frac {|v(x)-v(y)|^{p}}{|x-y|^{(1-1/p)p+(n-1)}}}\,\mathrm {d} (x,y)\right)^{1/p}$

जो होल्डर की स्थिति को सामान्य करता है ${\textstyle |v(x)-v(y)|\leq C|x-y|^{1-1/p}}$. फिर

$W^{1-1/p,p}(\Omega ')=\left\{v\in L^{p}(\Omega ')\;\mid \;\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\Omega ')}<\infty \right\}$

पिछले मानदंड से लैस एक बानाच स्पेस है (गैर-पूर्णांक के लिए ${\textstyle W^{s,p}(\Omega ')}$ एक सामान्य परिभाषा ${\textstyle s>0}$ सोबोलेव-स्लोबोडेकिज रिक्त स्थान के लिए आलेख में पाया जा सकता है)। (N-1)-आयामी लिप्सचिट्ज़ मैनिफोल्ड ${\textstyle \partial \Omega }$ के लिए परिभाषित करना ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$ स्थानीय रूप से सीधा करके ${\textstyle \partial \Omega }$ और की परिभाषा ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\Omega ')}$ के अनुसार आगे बढ़ें .

स्पेस ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$ को तब पहचाना जा सकता है ट्रेस ऑपरेटर की छवि और वहां है

$T\colon W^{1,p}(\Omega )\to W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )$

एक विशेषण, परिबद्ध रैखिक संकारक है।

=== पी = 1 === के लिए

${\textstyle p=1}$के लिये ट्रेस ऑपरेटर की छवि ${\textstyle L^{1}(\partial \Omega )}$ है और वहाँ है

$T\colon W^{1,1}(\Omega )\to L^{1}(\partial \Omega )$

एक विशेषण, परिबद्ध रैखिक संकारक है।

दायां-इनवर्स: ट्रेस विस्तार ऑपरेटर

ट्रेस ऑपरेटर इंजेक्शन नहीं है क्योंकि ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ में कई फलन एक ही ट्रेस (या समकक्ष, ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )\neq 0}$). चूंकि ट्रेस ऑपरेटर के पास एक अच्छी तरह से व्यवहार करने वाला दायां-इनवर्स है, जो सीमा पर परिभाषित फलन को पूरे डोमेन तक बढ़ाता है। विशेष तौर पर ${\textstyle 1<p<\infty }$ एक परिबद्ध, रैखिक ट्रेस विस्तार ऑपरेटर उपस्थित है

$E\colon W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{1,p}(\Omega )$,

पिछले अनुभाग से ट्रेस ऑपरेटर की छवि के सोबोलेव-स्लोबोडेकिज लक्षण वर्णन का उपयोग करते हुए, जैसे कि

$T(Ev)=v$ सभी के लिए ${\textstyle v\in W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$

और, निरंतरता से, ${\textstyle C>0}$ के साथ उपस्थित है

$\|Ev\|_{W^{1,p}(\Omega )}\leq C\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$.

उल्लेखनीय मात्र अस्तित्व नहीं है बल्कि सही व्युत्क्रम की रैखिकता और निरंतरता है। होल-स्पेस विस्तार ऑपरेटर के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}$ जो सोबोलेव स्पेस के सिद्धांत में मौलिक भूमिका निभाते हैं।

अन्य स्पेस का विस्तार

उच्च डेरिवेटिव

पिछले कई परिणामों को ${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$ तक उच्च भिन्नता ${\textstyle m=2,3,\ldots }$ के साथ बढ़ाया जा सकता है यदि डोमेन पर्याप्त रूप से नियमित है। मान लें कि ${\textstyle N}$ ${\textstyle \partial \Omega }$ बाहरी इकाई सामान्य क्षेत्र को निरूपित करें.

चूंकि ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ केवल सामान्य व्युत्पन्न ${\textstyle \partial _{N}u|_{\partial \Omega }}$ स्पर्शरेखा दिशा में विभेदीकरण गुणों को सांकेतिक शब्दों में बदल सकते हैं ट्रेस थ्योरी के लिए अतिरिक्त रुचि है ${\textstyle m=2}$ के लिये ट्रेस थ्योरी। इसी तरह के तर्क ${\textstyle m>2}$ उच्च-क्रम के डेरिवेटिव के लिए लागू होते हैं .

माना ${\textstyle 1<p<\infty }$ और ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle C^{m,1}}$-सीमा के साथ एक परिबद्ध डोमेन हो । फिर वहाँ एक विशेषण, परिबद्ध रैखिक उच्च-क्रम ट्रेस ऑपरेटर उपस्थित है

$T_{m}\colon W^{m,p}(\Omega )\to \prod _{l=0}^{m-1}W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega )$

सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेस के साथ ${\textstyle W^{s,p}(\partial \Omega )}$ गैर-पूर्णांक के लिए ${\textstyle s>0}$ पर परिभाषित ${\textstyle \partial \Omega }$ प्लानर स्थिति में परिवर्तन के माध्यम से ${\textstyle W^{s,p}(\Omega ')}$ के लिये ${\textstyle \Omega '\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$, जिसकी परिभाषा सोबोलेव स्पेस सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेसेस पर लेख में विस्तार से दी गई है। परिचालक ${\textstyle T_{m}}$ इस अर्थ में पारम्परिक सामान्य ट्रेस का विस्तार करता है

$T_{m}u=\left(u|_{\partial \Omega },\partial _{N}u|_{\partial \Omega },\ldots ,\partial _{N}^{m-1}u|_{\partial \Omega }\right)$ सभी के लिए ${\textstyle u\in W^{m,p}(\Omega )\cap C^{m-1}({\bar {\Omega }}).}$

इसके अतिरिक्त, ${\textstyle T_{m}}$ का एक परिबद्ध, रैखिक दाएँ-प्रतिलोम उपस्थित है, एक उच्च-क्रम ट्रेस विस्तार ऑपरेटर

$E_{m}\colon \prod _{l=0}^{m-1}W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{m,p}(\Omega )$.

अंत में, स्पेस ${\textstyle W_{0}^{m,p}(\Omega )}$, का पूरा होना ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ में ${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$-नॉर्म, के कर्नेल के रूप में वर्णित किया जा सकता है ${\textstyle T_{m}}$,अर्थात।

$W_{0}^{m,p}(\Omega )=\{u\in W^{m,p}(\Omega )\mid T_{m}u=0\}$.

कम नियमित स्थान

एल में कोई ट्रेस नहीं^{पी </सुप>}

ट्रेस की अवधारणा का कोई समझदार विस्तार नहीं है ${\textstyle L^{p}(\Omega )}$ के लिये ${\textstyle 1\leq p<\infty }$ चूँकि क्लासिकल ट्रेस का विस्तार करने वाला कोई भी परिबद्ध रेखीय संचालिका परीक्षण फलनों के स्थान पर शून्य होना चाहिए ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$, जो का सघन उपसमुच्चय है ${\textstyle L^{p}(\Omega )}$, जिसका अर्थ है कि ऐसा ऑपरेटर हर जगह शून्य होगा।

सामान्यीकृत सामान्य ट्रेस

होने देना ${\textstyle \operatorname {div} v}$ एक वेक्टर क्षेत्र के वितरण विचलन को निरूपित करें ${\textstyle v}$. के लिये ${\textstyle 1<p<\infty }$ और बाउंडेड लिपशिट्ज डोमेन ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ परिभाषित करना

$E_{p}(\Omega )=\{v\in (L^{p}(\Omega ))^{n}\mid \operatorname {div} v\in L^{p}(\Omega )\}$

जो आदर्श के साथ एक बनच स्थान है

$\|v\|_{E_{p}(\Omega )}=\left(\|v\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}+\|\operatorname {div} v\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}$.

होने देना ${\textstyle N}$ बाहरी इकाई सामान्य क्षेत्र को निरूपित करें ${\textstyle \partial \Omega }$. फिरवहाँ एक परिबद्ध रैखिक संचालिका उपस्थित है

$T_{N}\colon E_{p}(\Omega )\to (W^{1-1/q,q}(\partial \Omega ))'$,

कहाँ पे ${\textstyle q=p/(p-1)}$ का संयुग्मी घातांक है ${\textstyle p}$ और ${\textstyle X'}$ बनच स्थान के लिए निरंतर दोहरे स्थान को दर्शाता है ${\textstyle X}$, ऐसा है कि ${\textstyle T_{N}}$ सामान्य ट्रेस बढ़ाता है ${\textstyle (v\cdot N)|_{\partial \Omega }}$ के लिये ${\textstyle v\in (C^{\infty }({\bar {\Omega }}))^{n}}$ इस अर्थ में कि

$T_{N}v={\bigl \{}\varphi \in W^{1-1/q,q}(\partial \Omega )\mapsto \int _{\partial \Omega }\varphi v\cdot N\,\mathrm {d} S{\bigr \}}$.

सामान्य ट्रेस ऑपरेटर का मान ${\textstyle (T_{N}v)(\varphi )}$ के लिये ${\textstyle \varphi \in W^{1-1/q,q}(\partial \Omega )}$ सदिश क्षेत्र में विचलन प्रमेय ${\textstyle w=E\varphi \,v}$ के अनुप्रयोग द्वारा परिभाषित किया गया है जहाँ ${\textstyle E}$ ऊपर से ट्रेस विस्तार ऑपरेटर है।

आवेदन पत्र। कोई कमजोर उपाय ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ प्रति ${\textstyle -\Delta u=f\in L^{2}(\Omega )}$ एक सीमित लिप्सचिट्ज़ डोमेन में ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ के अर्थ में ${\textstyle T_{N}\nabla u\in (W^{1/2,2}(\partial \Omega ))^{*}}$एक सामान्य व्युत्पन्न है. यह इस प्रकार है ${\textstyle \nabla u\in E_{2}(\Omega )}$ जब से ${\textstyle \nabla u\in L^{2}(\Omega )}$ और ${\textstyle \operatorname {div} (\nabla u)=\Delta u=-f\in L^{2}(\Omega )}$. यह परिणाम सामान्य रूप से ${\textstyle u\not \in H^{2}(\Omega )}$ लिप्सचिट्ज़ डोमेन के बाद से उल्लेखनीय है, ऐसा है कि ${\textstyle \nabla u}$ ट्रेस ऑपरेटर के डोमेन में ${\textstyle T}$ नहीं हो सकता है .

आवेदन

ऊपर प्रस्तुत प्रमेय सीमा मान समस्या की नजदीक से जांच की अनुमति देते हैं

${\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}$

लिप्सचिट्ज़ डोमेन पर ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ प्रेरणा से। केवल हिल्बर्ट स्पेस केस के बाद से ${\textstyle p=2}$ यहां जांच की जाती है,संकेतन ${\textstyle H^{1}(\Omega )}$ निरूपित करने के लिए ${\textstyle W^{1,2}(\Omega )}$ का प्रयोग किया जाता है जैसा कि प्रेरणा में कहा गया है, एक कमजोर समाधान ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ इस समीकरण को संतुष्ट होना चाहिए ${\textstyle Tu=g}$ और

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x$ सभी के लिए ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$,

जहां दाहिने हाथ की ओर व्याख्या की जानी चाहिए ${\textstyle f\in H^{-1}(\Omega )=(H_{0}^{1}(\Omega ))'}$ मूल्य के साथ एक द्वैत उत्पाद के रूप में ${\textstyle f(\varphi )}$.

कमजोर समाधानों का अस्तित्व और विशिष्टता

${\textstyle T}$ की सीमा का लक्षण वर्णन तात्पर्य है कि ${\textstyle Tu=g}$ नियमितता ${\textstyle g\in H^{1/2}(\partial \Omega )}$ रखने के लिये आवश्यक है। यह नियमितता एक दुर्बल विलयन के अस्तित्व के लिए भी पर्याप्त है, जिसे निम्न प्रकार से देखा जा सकता है। ट्रेस विस्तार प्रमेय के अनुसार ${\textstyle Eg\in H^{1}(\Omega )}$ उपस्थित है जैसे कि ${\textstyle T(Eg)=g}$.को परिभाषित करने के लिये ${\textstyle u_{0}}$ द्वारा ${\textstyle u_{0}=u-Eg}$ हमारे पास ${\textstyle Tu_{0}=Tu-T(Eg)=0}$ वह है और इस तरह ${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ के लक्षण वर्णन से ${\textstyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ ट्रेस शून्य के स्थान के रूप में फलन ${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ फिर अभिन्न समीकरण को संतुष्ट करता है

$\int _{\Omega }\nabla u_{0}\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }\nabla (u-Eg)\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x-\int _{\Omega }\nabla Eg\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x$ सभी के लिए ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$.

इस प्रकार विषम सीमा मूल्यों के साथ समस्या ${\textstyle u}$ सजातीय सीमा मूल्यों ${\textstyle u_{0}}$ के साथ एक समस्या के लिए कम किया जा सकता है, एक तकनीक जिसे किसी रैखिक अंतर समीकरण पर लागू किया जा सकता है। रिज प्रतिनिधित्व प्रमेय के अनुसार एक अद्वितीय समाधान ${\textstyle u_{0}}$ उपस्थित है अपघटन की अद्वितीय से ${\textstyle u=u_{0}+Eg}$, यह एक अद्वितीय कमजोर समाधान के अस्तित्व के बराबर है ${\textstyle u}$ विषम सीमा मान समस्या के लिए है।

डेटा पर निरंतर निर्भरता

यह ${\textstyle u}$ की ${\textstyle f}$ और ${\textstyle g}$ पर निर्भरता की जाँच करना बाकी है। मान लें ${\textstyle c_{1},c_{2},\ldots >0}$ से ${\textstyle f}$ स्वतंत्र स्थिरांक को दर्शाता है और ${\textstyle g}$ इसके अभिन्न समीकरण के दाईं ओर ${\textstyle u_{0}}$ की निरंतर निर्भरता से इसके अभिन्न समीकरण के दाईं ओर, वहाँ है

$\|u_{0}\|_{H_{0}^{1}(\Omega )}\leq c_{1}\left(\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\right)$

और इस प्रकार, उसका प्रयोग करना ${\textstyle \|u_{0}\|_{H_{0}^{1}(\Omega )}\leq c_{2}\|u_{0}\|_{H^{1}(\Omega )}}$ और ${\textstyle \|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{3}\|g\|_{H^{1/2}(\Omega )}}$ ट्रेस विस्तार ऑपरेटर की निरंतरता से, यह इस प्रकार है

${\begin{aligned}\|u\|_{H^{1}(\Omega )}&\leq \|u_{0}\|_{H^{1}(\Omega )}+\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{1}c_{2}\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+(1+c_{1}c_{2})\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\\&\leq c_{4}\left(\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+\|g\|_{H^{1/2}(\partial \Omega )}\right)\end{aligned}}$

और समाधान मानचित्र

$H^{-1}(\Omega )\times H^{1/2}(\partial \Omega )\ni (f,g)\mapsto u\in H^{1}(\Omega )$

इसलिए निरंतर है।

यह भी देखें

• ट्रेस क्लास
• बनच स्थानों के बीच परमाणु संचालक

संदर्भ

• Leoni, Giovanni (2017). A First Course in Sobolev Spaces: Second Edition. Graduate Studies in Mathematics. 181. American Mathematical Society. pp. 734. ISBN 978-1-4704-2921-8