तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेंसर

सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत में, एक तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेंसर, जैसे कि लैंडौ-लाइफशिट्ज़ स्यूडोटेंसर, गैर-गुरुत्वाकर्षण तनाव-ऊर्जा टेन्सर का एक विस्तार है जो गुरुत्वाकर्षण की ऊर्जा-संवेग को शामिल करता है। यह गुरुत्वाकर्षण पदार्थ की एक प्रणाली की ऊर्जा-संवेग को परिभाषित करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से यह कुल पदार्थ और गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा-संवेग को सामान्य सापेक्षता के ढांचे के भीतर एक संरक्षित धारा बनाने की अनुमति देता है, ताकि कुल ऊर्जा-संवेग किसी भी की ऊनविम पृष्ठ (3-आयामी सीमा) को पार कर जाए। कॉम्पैक्ट स्पेस-टाइम हाइपरवॉल्यूम (4-आयामी सबमैनिफोल्ड) गायब हो जाता है।

कुछ लोग (जैसे कि इरविन श्रोडिंगर) ने इस व्युत्पत्ति पर इस आधार पर आपत्ति जताई है कि स्यूडोटेन्सर सामान्य सापेक्षता में अनुपयुक्त वस्तुएं हैं, लेकिन संरक्षण कानून में केवल स्यूडोटेंसर के 4-विचलन के उपयोग की आवश्यकता होती है, जो इस मामले में, एक टेन्सर है (जो गायब भी हो जाता है)। इसके अलावा, अधिकांश स्यूडोटेंसर जेट बंडलों के अनुभाग हैं, जिन्हें अब मान्यता प्राप्त है सामान्य सापेक्षता में पूर्णतः मान्य वस्तुओं के रूप में।

लैंडौ-लाइफशिट्ज़ स्यूडोटेंसर

लैंडौ-लाइफशिट्ज़ स्यूडोटेंसर, गुरुत्वाकर्षण के लिए एक तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेंसर, जब इसे पदार्थ (फोटॉन और न्यूट्रिनो सहित) के शब्दों के साथ जोड़ा जाता है, तो ऊर्जा-संवेग संरक्षण कानूनों को सामान्य सापेक्षता में विस्तारित करने की अनुमति मिलती है।

आवश्यकताएँ

लेव डेविडोविच लैंडौ और एवगेनी मिखाइलोविच लाइफशिट्स को गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा गति स्यूडोटेंसर की खोज में चार आवश्यकताओं के अनुसार नेतृत्व किया गया था, $t_{LL}^{\mu \nu }\,$:# कि इसका निर्माण पूरी तरह से मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता) से किया जाए, ताकि मूल रूप से यह विशुद्ध रूप से ज्यामितीय या गुरुत्वाकर्षण हो।

1. कि यह सूचकांक सममित हो, अर्थात $t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,$, (कोणीय गति को संरक्षित करने के लिए)
2. कि, जब पदार्थ के तनाव-ऊर्जा टेंसर में जोड़ा जाता है, $T^{\mu \nu }\,$, इसका कुल 4-विचलन गायब हो जाता है (यह किसी भी संरक्षित धारा के लिए आवश्यक है) ताकि हमारे पास कुल तनाव-ऊर्जा-संवेग के लिए एक संरक्षित अभिव्यक्ति हो।
3. कि यह संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम में स्थानीय रूप से गायब हो जाता है (जिसके लिए आवश्यक है कि इसमें केवल पहला ऑर्डर शामिल हो और मीट्रिक का दूसरा या उच्च ऑर्डर यौगिक न हो)। ऐसा इसलिए है क्योंकि तुल्यता सिद्धांत के लिए आवश्यक है कि गुरुत्वाकर्षण बल क्षेत्र, क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक, कुछ फ़्रेमों में स्थानीय रूप से गायब हो जाएं। यदि गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा उसके बल क्षेत्र का एक कार्य है, जैसा कि अन्य बलों के लिए सामान्य है, तो संबंधित गुरुत्वाकर्षण स्यूडोटेंसर को भी स्थानीय रूप से गायब हो जाना चाहिए।

परिभाषा

लैंडौ और लाइफशिट्ज़ ने दिखाया कि एक अद्वितीय निर्माण है जो इन आवश्यकताओं को पूरा करता है

$$t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}G^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left((-g)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }$$

कहाँ:

• जी^μνआइंस्टीन टेंसर है (जो मीट्रिक से निर्मित है)
• जी^μν मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता) का व्युत्क्रम है, g_μν
• g = det(g_μν) मीट्रिक टेंसर का निर्धारक है। g < 0, इसलिए इसका स्वरूप इस प्रकार है $-g$.
• ${\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}$ आंशिक व्युत्पन्न हैं, सहसंयोजक व्युत्पन्न नहीं।
• G न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है।

सत्यापन

4 आवश्यकता शर्तों की जांच करने पर हम देख सकते हैं कि पहले 3 को प्रदर्शित करना अपेक्षाकृत आसान है:

1. आइंस्टीन टेंसर के बाद से, $G^{\mu \nu }\,$, स्वयं मीट्रिक से निर्मित है, इसलिए है $t_{LL}^{\mu \nu }$
2. आइंस्टीन टेंसर के बाद से, $G^{\mu \nu }\,$, सममित है इसलिए है $t_{LL}^{\mu \nu }$ चूंकि अतिरिक्त शर्तें निरीक्षण द्वारा सममित हैं।
3. लैंडौ-लाइफशिट्ज़ स्यूडोटेंसर का निर्माण इस प्रकार किया गया है कि जब पदार्थ के तनाव-ऊर्जा टेंसर में जोड़ा जाता है, $T^{\mu \nu }\,$, इसका कुल 4-विचलन गायब हो जाता है: $\left(\left(-g\right)\left(T^{\mu \nu }+t_{LL}^{\mu \nu }\right)\right)_{,\mu }=0$. यह आइंस्टीन टेंसर के रद्द होने से निम्नानुसार है, $G^{\mu \nu }\,$, तनाव-ऊर्जा टेंसर के साथ, $T^{\mu \nu }\,$ आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों द्वारा; शेष पद एंटीसिमेट्रिक सूचकांकों में लागू आंशिक व्युत्पन्नों की क्रमपरिवर्तनशीलता के कारण बीजगणितीय रूप से गायब हो जाता है।
4. ऐसा प्रतीत होता है कि लैंडौ-लाइफशिट्ज़ स्यूडोटेंसर मीट्रिक में दूसरे व्युत्पन्न शब्दों को शामिल करता है, लेकिन वास्तव में स्यूडोटेंसर में स्पष्ट दूसरे व्युत्पन्न शब्द आइंस्टीन टेंसर के भीतर निहित अंतर्निहित दूसरे व्युत्पन्न शब्दों के साथ रद्द हो जाते हैं, $G^{\mu \nu }\,$. यह तब अधिक स्पष्ट होता है जब स्यूडोटेंसर को सीधे मीट्रिक टेंसर या लेवी-सिविटा कनेक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है; मीट्रिक में केवल प्रथम व्युत्पन्न शब्द ही जीवित रहते हैं और ये गायब हो जाते हैं जहां फ्रेम किसी भी चुने हुए बिंदु पर स्थानीय रूप से जड़त्वीय होता है। परिणामस्वरूप, संपूर्ण स्यूडोटेंसर स्थानीय रूप से गायब हो जाता है (फिर से, किसी भी चुने हुए बिंदु पर) $t_{LL}^{\mu \nu }=0$, जो गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा-संवेग के स्थानीयकरण को प्रदर्शित करता है।

ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक

जब लैंडौ-लाइफशिट्ज़ स्यूडोटेंसर तैयार किया गया था तो आमतौर पर यह माना गया था कि ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक, $\Lambda \,$, शून्य था. आजकल, ब्रह्मांड में तेजी आ रही है, और अभिव्यक्ति अक्सर प्राप्त होती है $\Lambda$ अवधि, देना:

$$t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}\left(G^{\mu \nu }+\Lambda g^{\mu \nu }\right)+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left(\left(-g\right)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }$$

आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के साथ स्थिरता के लिए यह आवश्यक है।

मीट्रिक और एफ़िन कनेक्शन संस्करण

लैंडौ और लाइफशिट्ज़, लैंडौ-लाइफशिट्ज़ स्यूडोटेंसर के लिए दो समकक्ष लेकिन लंबी अभिव्यक्तियाँ भी प्रदान करते हैं:

• मीट्रिक टेंसर संस्करण:
  $${\begin{aligned}(-g)\left(t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8\pi G}}\right)={\frac {c^{4}}{16\pi G}}{\bigg [}&\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha \beta }\right)_{,\beta }-\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \alpha }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \beta }\right)_{,\beta }+{}\\&{\frac {1}{8}}\left(2g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)\left(2g_{\sigma \rho }g_{\lambda \omega }-g_{\rho \lambda }g_{\sigma \omega }\right)\left({\sqrt {-g}}g^{\sigma \omega }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\rho \lambda }\right)_{,\beta }-{}\\&\left(g^{\mu \alpha }g_{\beta \sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\beta \rho }\right)_{,\alpha }+g^{\nu \alpha }g_{\beta \sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\beta \rho }\right)_{,\alpha }\right)+{}\\&\left.{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }g_{\alpha \beta }\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\rho \beta }\right)_{,\sigma }+g_{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \alpha }\right)_{,\sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \beta }\right)_{,\rho }\right]\end{aligned}}$$
• क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक संस्करण:
  $${\begin{aligned}t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8\pi G}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}{\Big [}&\left(2\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \rho }^{\sigma }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\Gamma _{\beta \rho }^{\rho }\right)\left(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)+{}\\&\left(\Gamma _{\alpha \rho }^{\nu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\nu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }\right)g^{\mu \alpha }g^{\beta \sigma }+\\&\left(\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\mu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }\right)g^{\nu \alpha }g^{\beta \sigma }+\\&\left.\left(\Gamma _{\alpha \sigma }^{\mu }\Gamma _{\beta \rho }^{\nu }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }\right)g^{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }\right]\end{aligned}}$$

ऊर्जा-संवेग की यह परिभाषा न केवल लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत, बल्कि सामान्य समन्वय परिवर्तनों के तहत भी लागू होती है।

आइंस्टीन स्यूडोटेंसर

यह स्यूडोटेंसर मूल रूप से अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा विकसित किया गया था। पॉल डिराक ने दिखाया वह मिश्रित आइंस्टीन स्यूडोटेंसर

$${t_{\mu }}^{\nu }={\frac {c^{4}}{16\pi G{\sqrt {-g}}}}\left(\left(g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\right)_{,\mu }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }-\delta _{\beta }^{\nu }\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\right)-\delta _{\mu }^{\nu }g^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\rho }\Gamma _{\beta \rho }^{\sigma }\right){\sqrt {-g}}\right)$$

एक संरक्षण कानून को संतुष्ट करता है

$$\left(\left({T_{\mu }}^{\nu }+{t_{\mu }}^{\nu }\right){\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }=0.$$

स्पष्ट रूप से गुरुत्वाकर्षण तनाव-ऊर्जा के लिए यह स्यूडोटेंसर विशेष रूप से मीट्रिक टेंसर और इसके पहले डेरिवेटिव से निर्मित होता है। नतीजतन, यह किसी भी घटना में गायब हो जाता है जब मीट्रिक के पहले डेरिवेटिव को गायब करने के लिए समन्वय प्रणाली को चुना जाता है क्योंकि स्यूडोटेंसर में प्रत्येक शब्द मीट्रिक के पहले डेरिवेटिव में द्विघात होता है। हालाँकि यह सममित नहीं है, और इसलिए कोणीय गति को परिभाषित करने के आधार के रूप में उपयुक्त नहीं है।

यह भी देखें

• बेल-रॉबिन्सन टेंसर
• गुरुत्वाकर्षण तरंग
• लैंडौ लाइफशिट्ज़ स्यूडोटेंसर पर ब्लॉग

संदर्भ

• Petrov, Alexander (2008). "Nonlinear Perturbations and Conservation Laws on Curved Backgrounds in GR and Other Metric Theories". In Christiansen, M.N.; Rasmussen, T.K. (eds.). Classical and Quantum Gravity Research. New York: Nova Science Publishers. arXiv:0705.0019. ISBN 978-1-61122-957-8.