दर समारोह

गणित में - विशेष रूप से, बड़े विचलन सिद्धांत में - एक दर फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन है जिसका उपयोग दुर्लभ घटनाओं की संभावना को मापने के लिए किया जाता है। ऐसे कार्यों का उपयोग बड़े विचलन सिद्धांत को तैयार करने के लिए किया जाता है। एक बड़ा विचलन सिद्धांत संभावनाओं के अनुक्रम के लिए दुर्लभ घटनाओं की स्पर्शोन्मुख संभावना को मापता है।

स्वीडिश संभाव्यवादी हेराल्ड क्रैमर के बाद रेट फ़ंक्शन को क्रैमर फ़ंक्शन भी कहा जाता है।

परिभाषाएँ

दर फ़ंक्शन एक विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा|विस्तारित वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन I : X → [0,+∞] हॉसडॉर्फ़ स्थान टोपोलॉजिकल स्पेस X पर परिभाषित एक रेट फ़ंक्शन कहा जाता है यदि यह समान रूप से +∞ नहीं है और निचला अर्ध-निरंतर है, यानी सभी उप-स्तर सेट

$\{x\in X\mid I(x)\leq c\}{\mbox{ for }}c\geq 0$

X में बंद सेट हैं। यदि, इसके अलावा, वे सघन स्थान हैं, तो मुझे 'अच्छी दर फ़ंक्शन' कहा जाता है।

संभाव्यता उपायों का एक परिवार (μ_δ)_δ > 0 कहा जाता है कि एक्स पर दर फ़ंक्शन I के साथ 'बड़े विचलन सिद्धांत' को संतुष्ट किया जाता है:

$\limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(F)\leq -\inf _{x\in F}I(x),\quad {\mbox{(U)}}$

$\liminf _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(G)\geq -\inf _{x\in G}I(x).\quad {\mbox{(L)}}$

यदि ऊपरी सीमा (यू) केवल कॉम्पैक्ट (बंद के बजाय) सेट एफ के लिए रखती है, तो (μ_δ)_δ>0 ऐसा कहा जाता है कि यह कमजोर बड़े विचलन सिद्धांत को संतुष्ट करता है (दर 1⁄ δ और कमजोर दर फलन I के साथ)।

टिप्पणियाँ

बड़े विचलन सिद्धांत में खुले और बंद सेट की भूमिका संभाव्यता उपायों के कमजोर अभिसरण में उनकी भूमिका के समान है: याद रखें कि (μ)_δ)_δ > 0 ऐसा कहा जाता है कि यदि प्रत्येक बंद सेट F ⊆ X और प्रत्येक खुले सेट G ⊆

$\limsup _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(F)\leq \mu (F),$

$\liminf _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(G)\geq \mu (G).$

साहित्य में प्रयुक्त नामकरण में कुछ भिन्नता है: उदाहरण के लिए, डेन हॉलैंडर (2000) केवल दर फ़ंक्शन का उपयोग करता है जहां यह लेख - डेम्बो और ज़िटौनी (1998) के बाद - अच्छे दर फ़ंक्शन और कमजोर दर फ़ंक्शन का उपयोग करता है। दर कार्यों के लिए उपयोग किए जाने वाले नामकरण के बावजूद, ऊपरी सीमा असमानता (यू) को बंद या कॉम्पैक्ट सेट के लिए माना जाता है या नहीं, इसकी जांच से पता चलता है कि उपयोग में बड़ा विचलन सिद्धांत मजबूत या कमजोर है या नहीं।

गुण

अद्वितीयता

उपरोक्त सामान्य ढांचे की कुछ हद तक अमूर्त सेटिंग को देखते हुए, एक स्वाभाविक प्रश्न पूछा जाना चाहिए कि क्या दर फ़ंक्शन अद्वितीय है। यह मामला सामने आता है: संभाव्यता उपायों का एक क्रम दिया गया है (μ_δ)_δ>0 X पर दो दर फ़ंक्शन I और J के लिए बड़े विचलन सिद्धांत को संतुष्ट करते हुए, यह इस प्रकार है कि I(x) = J(x) सभी x ∈X के लिए।

घातांकीय जकड़न

यदि उपाय पर्याप्त रूप से शीघ्रता से एकत्रित हो जाएं तो एक कमजोर बड़े विचलन सिद्धांत को एक मजबूत सिद्धांत में परिवर्तित करना संभव है। यदि ऊपरी सीमा कॉम्पैक्ट सेट एफ और उपायों के अनुक्रम (μ) के लिए रखती है_δ)_δ>0 मापों की जकड़न #घातांकीय जकड़न है, तो ऊपरी सीमा भी बंद सेट एफ के लिए होती है। दूसरे शब्दों में, घातांकीय मजबूती एक कमजोर बड़े विचलन सिद्धांत को एक मजबूत में बदलने में सक्षम बनाती है।

निरंतरता

भोलेपन से, कोई दो असमानताओं (यू) और (एल) को एक ही आवश्यकता से बदलने का प्रयास कर सकता है, जो कि सभी बोरेल सेट एस ⊆ एक्स के लिए है,

$\lim _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(S)=-\inf _{x\in S}I(x).\quad {\mbox{(E)}}$

समानता (ई) बहुत अधिक प्रतिबंधात्मक है, क्योंकि कई दिलचस्प उदाहरण (यू) और (एल) को संतुष्ट करते हैं लेकिन (ई) को नहीं। उदाहरण के लिए, माप μ_δ सभी δ के लिए परमाणु (माप सिद्धांत) | गैर-परमाणु हो सकता है, इसलिए समानता (ई) केवल एस = {x} के लिए हो सकती है यदि मैं समान रूप से +∞ था, जिसकी परिभाषा में अनुमति नहीं है। हालाँकि, असमानताएं (यू) और (एल) तथाकथित आई'-निरंतर' सेट एस ⊆ एक्स के लिए समानता (ई) का संकेत देती हैं, जिनके लिए

$I{\big (}{\stackrel {\circ }{S}}{\big )}=I{\big (}{\bar {S}}{\big )},$

कहाँ ${\stackrel {\circ }{S}}$ और ${\bar {S}}$ क्रमशः X में S के आंतरिक (टोपोलॉजी) और समापन (टोपोलॉजी) को निरूपित करें। कई उदाहरणों में, रुचि के कई सेट/घटनाएँ I-निरंतर हैं। उदाहरण के लिए, यदि I एक सतत फलन है, तो सभी समुच्चय S इस प्रकार हैं

$S\subseteq {\bar {\stackrel {\circ }{S}}}$

क्या मैं-निरंतर हूं; उदाहरण के लिए, सभी खुले सेट इस रोकथाम को संतुष्ट करते हैं।

बड़े विचलन सिद्धांतों का परिवर्तन

एक स्थान पर एक बड़े विचलन सिद्धांत को देखते हुए, किसी अन्य स्थान पर एक बड़े विचलन सिद्धांत का निर्माण करने में सक्षम होना अक्सर दिलचस्प होता है। इस क्षेत्र में कई परिणाम हैं:

• संकुचन सिद्धांत (बड़े विचलन सिद्धांत) बताता है कि कैसे एक स्थान पर एक बड़ा विचलन सिद्धांत एक सतत कार्य के माध्यम से दूसरे स्थान पर एक बड़े विचलन सिद्धांत को (संभाव्यता माप के पुशफॉरवर्ड माप के माध्यम से) आगे बढ़ाता है;
• डॉसन-गार्टनर प्रमेय बताता है कि रिक्त स्थान के अनुक्रम पर बड़े विचलन सिद्धांतों का अनुक्रम प्रक्षेप्य सीमा तक कैसे गुजरता है।
• झुका हुआ बड़ा विचलन सिद्धांत घातीय कार्यात्मक (गणित) के अभिन्न अंग के लिए एक बड़ा विचलन सिद्धांत देता है।
• घातांकीय रूप से समतुल्य मापों में समान बड़े विचलन सिद्धांत होते हैं।

इतिहास और बुनियादी विकास

रेट फ़ंक्शन की धारणा 1930 के दशक में स्वीडिश गणितज्ञ हेराल्ड क्रैमर के आई.आई.डी. के अनुक्रम के अध्ययन के साथ उभरी। यादृच्छिक चर (Z_i)_{i∈$\mathbb {N}$}. अर्थात्, स्केलिंग के कुछ विचारों के बीच, क्रैमर ने औसत के वितरण के व्यवहार का अध्ययन किया ${\textstyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$ n→∞ के रूप में। उन्होंने पाया कि एक्स के वितरण की पूँछें_n ई के रूप में तेजी से क्षय^−nλ(x) जहां घातांक में कारक λ(x) क्यूम्यलेंट-जनरेटिंग फ़ंक्शन का लीजेंड्रे-फेन्चेल ट्रांसफॉर्म (a.k.a. उत्तल संयुग्म) है $\Psi _{Z}(t)=\log \operatorname {E} e^{tZ}.$ इस कारण से इस विशेष फ़ंक्शन λ(x) को कभी-कभी 'क्रैमर फ़ंक्शन' कहा जाता है। इस लेख में ऊपर परिभाषित दर फ़ंक्शन क्रैमर की इस धारणा का एक व्यापक सामान्यीकरण है, जिसे यादृच्छिक चर के राज्य स्थान के बजाय संभाव्यता स्थान पर अधिक सारगर्भित रूप से परिभाषित किया गया है।

यह भी देखें

• चरम मूल्य सिद्धांत
• मध्यम विचलन सिद्धांत

संदर्भ

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Large deviations techniques and applications. Applications of Mathematics (New York) 38 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2. MR1619036
• den Hollander, Frank (2000). Large deviations. Fields Institute Monographs 14. Providence, RI: American Mathematical Society. p. x+143. ISBN 0-8218-1989-5. MR1739680