सघन रूप से निर्मित स्थान

टोपोलॉजी में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ इसे कॉम्पैक्टली जेनरेटेड स्पेस या के-स्पेस कहा जाता है यदि इसकी टोपोलॉजी नीचे दिए गए सटीक तरीके से सघन स्थान द्वारा निर्धारित की जाती है। वास्तव में ऐसे स्थानों के लिए कोई आम तौर पर सहमत परिभाषा नहीं है, क्योंकि विभिन्न लेखक परिभाषा की विविधताओं का उपयोग करते हैं जो एक दूसरे के बिल्कुल समकक्ष नहीं हैं। इसके अलावा कुछ लेखक एक या दोनों शब्दों की परिभाषा में कुछ पृथक्करण सिद्धांत (जैसे हॉसडॉर्फ़ स्थान या कमज़ोर हॉसडॉर्फ़ स्थान) शामिल करते हैं, और अन्य नहीं।

सबसे सरल परिभाषा में, कॉम्पैक्टली जेनरेटेड स्पेस एक ऐसा स्पेस है जो अपने कॉम्पैक्ट सबस्पेस के परिवार के साथ सुसंगत टोपोलॉजी है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक सेट के लिए $A\subseteq X,$ $A$ (टोपोलॉजी) में खुला है $X$ अगर और केवल अगर $A\cap K$ में खुला है $K$ प्रत्येक कॉम्पैक्ट उप-स्थान के लिए $K\subseteq X.$ अन्य परिभाषाएँ सघन स्थानों से लेकर निरंतर मानचित्रों के एक परिवार का उपयोग करती हैं $X$ और घोषित करें $X$ यदि इसकी टोपोलॉजी मानचित्रों के इस परिवार के संबंध में अंतिम टोपोलॉजी से मेल खाती है तो इसे कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न किया जा सकता है। और परिभाषा के अन्य रूप कॉम्पैक्ट स्पेस को कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस से प्रतिस्थापित करते हैं।

टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी कुछ कमियों को दूर करने के लिए कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न रिक्त स्थान विकसित किए गए थे। विशेष रूप से, कुछ परिभाषाओं के तहत, वे कार्टेशियन बंद श्रेणी बनाते हैं, जबकि अभी भी रुचि के विशिष्ट स्थान शामिल हैं, जो उन्हें बीजगणितीय टोपोलॉजी में उपयोग के लिए सुविधाजनक बनाता है।

परिभाषाएँ

परिभाषाओं के लिए सामान्य रूपरेखा

होने देना $(X,T)$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनें, जहां $T$ टोपोलॉजिकल स्पेस#टोपोलॉजी है, यानी सभी खुले सेटों का संग्रह $X.$ साहित्य में कॉम्पैक्टली जेनरेटेड स्पेस या के-स्पेस की कई (गैर-समतुल्य) परिभाषाएं हैं। ये परिभाषाएँ एक सामान्य संरचना साझा करती हैं, जो उपयुक्त रूप से निर्दिष्ट परिवार से शुरू होती है ${\mathcal {F}}$ कुछ सघन स्थानों से निरंतर मानचित्रों का $X.$ विभिन्न परिभाषाएँ परिवार की अपनी पसंद में भिन्न हैं ${\mathcal {F}},$ जैसा नीचे विस्तृत रूप में दिया गया है।

अंतिम टोपोलॉजी $T_{\mathcal {F}}$ पर $X$ परिवार के संबंध में ${\mathcal {F}}$ का k-ification कहा जाता है $T.$ चूँकि इसमें सभी कार्य हैं ${\mathcal {F}}$ में लगातार थे $(X,T),$ का k-ification $T$ मूल टोपोलॉजी की तुलना में बेहतर (या उसके बराबरबेहतर टोपोलॉजी है $T$ . के-इफिकेशन में खुले सेट को कहा जाता हैk-open sets में $X;$ वे सेट हैं $U\subseteq X$ ऐसा है कि $f^{-1}(U)$ में खुला है $K$ हरएक के लिए $f:K\to X$ में ${\mathcal {F}}.$ इसी प्रकार,k-closed sets में $X$ इसके k-ification में संबंधित लक्षण वर्णन के साथ बंद सेट हैं। अंतरिक्ष में $X,$ प्रत्येक खुला सेट k-खुला है और प्रत्येक बंद सेट k-बंद है। अंतरिक्ष $X$ नई टोपोलॉजी के साथ $T_{\mathcal {F}}$ आमतौर पर दर्शाया जाता है $kX.$ ^[1]

अंतरिक्ष $X$ इसे कॉम्पैक्टली जेनरेटेड या के-स्पेस (परिवार के संबंध में) कहा जाता है ${\mathcal {F}}$ ) यदि इसकी टोपोलॉजी सभी मानचित्रों द्वारा निर्धारित की जाती है ${\mathcal {F}}$ , इस अर्थ में कि टोपोलॉजी चालू है $X$ इसके k-ification के बराबर है; समकक्ष रूप से, यदि प्रत्येक के-ओपन सेट खुला है $X,$ या यदि प्रत्येक k-बंद सेट बंद है $X;$ या संक्षेप में, यदि $kX=X.$ जहां तक परिवार के लिए अलग-अलग विकल्पों का सवाल है ${\mathcal {F}}$ , कोई कुछ उप-स्थानों से सभी समावेशन मानचित्र ले सकता है $X,$ उदाहरण के लिए सभी कॉम्पैक्ट उप-स्थान, या सभी कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ उप-स्थान। यह एक सेट चुनने से मेल खाता है ${\mathcal {C}}$ के उप-स्थानों का $X.$ अंतरिक्ष $X$ तब कॉम्पैक्ट रूप से ठीक उसी समय उत्पन्न होता है जब इसकी टोपोलॉजी उप-स्थानों के उस परिवार के साथ सुसंगत (टोपोलॉजी) होती है; अर्थात्, एक सेट $A\subseteq X$ में खुला (सम्मान बंद) है $X$ बिल्कुल जब चौराहा $A\cap K$ में खुला (सम्मान बंद) है $K$ हरएक के लिए $K\in {\mathcal {C}}.$ एक अन्य विकल्प सभी निरंतर मानचित्रों के परिवार को एक निश्चित प्रकार के मनमाने स्थानों से लेना है $X,$ उदाहरण के लिए ऐसे सभी मानचित्र मनमाने ढंग से सघन स्थानों से, या मनमाने ढंग से सघन हॉसडॉर्फ स्थानों से।

निरंतर मानचित्रों के परिवार के लिए ये अलग-अलग विकल्प $X$ सघन रूप से उत्पन्न स्थान की विभिन्न परिभाषाओं को जन्म देता है। इसके अतिरिक्त, कुछ लेखकों को इसकी आवश्यकता होती है $X$ परिभाषा के भाग के रूप में पृथक्करण सिद्धांत (जैसे हॉसडॉर्फ़ स्पेस या कमज़ोर हॉसडॉर्फ़) को संतुष्ट करना, जबकि अन्य नहीं। इस आलेख की परिभाषाओं में ऐसा कोई पृथक्करण सिद्धांत शामिल नहीं होगा।

एक अतिरिक्त सामान्य नोट के रूप में, एक पर्याप्त शर्त जो उस स्थान को दिखाने के लिए उपयोगी हो सकती है $X$ कॉम्पैक्टली जेनरेट किया गया है (के संबंध में)। ${\mathcal {F}}$ ) एक उपपरिवार ढूंढना है ${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}$ ऐसा है कि $X$ के संबंध में सघन रूप से उत्पन्न किया गया है ${\mathcal {G}}.$ सुसंगत स्थानों के लिए, यह दिखाने से मेल खाता है कि स्थान उप-स्थानों के परिवार के उपपरिवार के साथ सुसंगत है। उदाहरण के लिए, यह यह दिखाने का एक तरीका प्रदान करता है कि स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न होते हैं।

विशिष्टता के बढ़ते क्रम में, अधिक सामान्यतः उपयोग की जाने वाली कुछ परिभाषाएँ नीचे अधिक विस्तार से दी गई हैं।

हॉसडॉर्फ़ रिक्त स्थान के लिए, सभी तीन परिभाषाएँ समतुल्य हैं। तो शब्दावलीcompactly generated Hausdorff space असंदिग्ध है और एक सघन रूप से उत्पन्न स्थान (किसी भी परिभाषा में) को संदर्भित करता है जो हॉसडॉर्फ स्थान भी है।

परिभाषा 1

अनौपचारिक रूप से, एक स्थान जिसकी टोपोलॉजी उसके कॉम्पैक्ट उप-स्थानों द्वारा या इस मामले में समकक्ष रूप से, मनमाने ढंग से कॉम्पैक्ट स्थानों से सभी निरंतर मानचित्रों द्वारा निर्धारित की जाती है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ इसे कॉम्पैक्टली-जेनरेटेड या के-स्पेस कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से किसी को संतुष्ट करता है:^[2]

(1) टोपोलॉजी पर

X

अपने कॉम्पैक्ट उप-स्थानों के परिवार के साथ सुसंगत (टोपोलॉजी) है; अर्थात्, यह संपत्ति को संतुष्ट करता है:

एक सेट

A\subseteq X

में खुला (सम्मान बंद) है

X

बिल्कुल जब चौराहा

A\cap K

में खुला (सम्मान बंद) है

K

प्रत्येक कॉम्पैक्ट उप-स्थान के लिए

K\subseteq X.

(2) टोपोलॉजी चालू

X

सभी सतत मानचित्रों के परिवार के संबंध में अंतिम टोपोलॉजी के साथ मेल खाता है

f:K\to X

सभी सघन स्थानों से

K.

(3)

X

कॉम्पैक्ट स्पेस के टोपोलॉजिकल योग का एक भागफल स्थान (टोपोलॉजी) है।

(4)

X

कमजोर रूप से स्थानीय रूप से सघन स्थान का एक भागफल स्थान है।

जैसा कि अंतिम टोपोलॉजी लेख में बताया गया है, स्थिति (2) अच्छी तरह से परिभाषित है, भले ही मनमाने ढंग से कॉम्पैक्ट स्थानों से निरंतर मानचित्रों का परिवार एक सेट नहीं बल्कि एक उचित वर्ग है।

शर्तों (1) और (2) के बीच समानता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि उप-स्थान से प्रत्येक समावेशन एक सतत मानचित्र है; और दूसरी ओर, प्रत्येक सतत मानचित्र $f:K\to X$ एक सघन स्थान से $K$ एक संक्षिप्त छवि है $f(K)$ और इस प्रकार कॉम्पैक्ट उप-स्थान को शामिल करने के माध्यम से कारक $f(K)$ में $X.$

परिभाषा 2

अनौपचारिक रूप से, एक स्थान जिसकी टोपोलॉजी मनमाने ढंग से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान से सभी निरंतर मानचित्रों द्वारा निर्धारित की जाती है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ इसे कॉम्पैक्टली-जेनरेटेड या के-स्पेस कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से किसी को संतुष्ट करता है:^[3]^[4]^[5]

(1) टोपोलॉजी पर

X

सभी सतत मानचित्रों के परिवार के संबंध में अंतिम टोपोलॉजी के साथ मेल खाता है

f:K\to X

सभी कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्थानों से

K.

दूसरे शब्दों में, यह इस शर्त को पूरा करता है:

एक सेट

A\subseteq X

में खुला (सम्मान बंद) है

X

बिल्कुल कब

f^{-1}(A)

में खुला (सम्मान बंद) है

K

प्रत्येक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान के लिए

K

और हर सतत मानचित्र

f:K\to X.

(2)

X

कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान के टोपोलॉजिकल योग का एक भागफल स्थान है।

(3)

X

स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान का एक भागफल स्थान है।

परिभाषा 2 को संतुष्ट करने वाला प्रत्येक स्थान परिभाषा 1 को भी संतुष्ट करता है। इसका विपरीत सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, एरेन्स-किला स्थान का एक-बिंदु कॉम्पेक्टिफिकेशन कॉम्पैक्ट है और इसलिए परिभाषा 1 को संतुष्ट करता है, लेकिन यह परिभाषा 2 को संतुष्ट नहीं करता है।

परिभाषा 2 बीजगणितीय टोपोलॉजी में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली परिभाषा है। कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न कमजोर हॉसडॉर्फ़ रिक्त स्थान की श्रेणी बनाने के लिए इस परिभाषा को अक्सर कमजोर हॉसडॉर्फ़ संपत्ति के साथ जोड़ा जाता है।

परिभाषा 3

अनौपचारिक रूप से, एक स्थान जिसकी टोपोलॉजी उसके कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ उप-स्थानों द्वारा निर्धारित होती है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ इसे कॉम्पैक्टली-जेनरेटेड या के-स्पेस कहा जाता है यदि इसकी टोपोलॉजी इसके कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ उप-स्थानों के परिवार के साथ सुसंगत (टोपोलॉजी) है; अर्थात्, यह संपत्ति को संतुष्ट करता है:

एक सेट

A\subseteq X

में खुला (सम्मान बंद) है

X

बिल्कुल जब चौराहा

A\cap K

में खुला (सम्मान बंद) है

K

प्रत्येक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ उप-स्थान के लिए

K\subseteq X.

परिभाषा 3 को संतुष्ट करने वाला प्रत्येक स्थान परिभाषा 2 को भी संतुष्ट करता है। इसका विपरीत सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, सिएरपिंस्की स्थान $X=\{0,1\}$ टोपोलॉजी के साथ $\{\emptyset ,\{1\},X\}$ परिभाषा 3 को संतुष्ट नहीं करता है, क्योंकि इसके कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ उप-स्थान सिंगलटन हैं $\{0\}$ और $\{1\}$ , और उनके द्वारा प्रेरित सुसंगत टोपोलॉजी इसके बजाय असतत टोपोलॉजी होगी। दूसरी ओर, यह परिभाषा 2 को संतुष्ट करता है क्योंकि यह सघन अंतराल के भागफल स्थान के लिए समरूप है $[0,1]$ में सभी बिंदुओं की पहचान करके प्राप्त किया गया $(0,1].$ अपने आप में, परिभाषा 3 अन्य दो परिभाषाओं जितनी उपयोगी नहीं है क्योंकि इसमें अन्य परिभाषाओं द्वारा निहित कुछ गुणों का अभाव है। उदाहरण के लिए, परिभाषा 1 या परिभाषा 2 को संतुष्ट करने वाले स्थान का प्रत्येक भागफल स्थान एक ही प्रकार का स्थान है। लेकिन यह परिभाषा 3 पर लागू नहीं होता।

हालाँकि, कमज़ोर हॉसडॉर्फ़ स्थानों के लिए परिभाषाएँ 2 और 3 समतुल्य हैं।^[6] इस प्रकार कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न कमजोर हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान की श्रेणी को कमजोर हॉसडॉर्फ संपत्ति को परिभाषा 3 के साथ जोड़कर भी परिभाषित किया जा सकता है, जिसे परिभाषा 2 की तुलना में बताना और उसके साथ काम करना आसान हो सकता है।

ध्यान दें: इस लेख के पिछले संस्करण में परिभाषा 3 को संतुष्ट करने वाले स्थानों को हॉसडॉर्फ-कॉम्पैक्टली जेनरेटेड कहा गया था, जो साहित्य से किसी भी उपयोग को प्रतिबिंबित नहीं करने वाला एक बना हुआ शब्द था। इसे अभी यहीं रखें, जब तक कि शेष लेख साफ़ नहीं हो जाता।

प्रेरणा

जर्मन शब्द कॉम्पैक्ट के बाद, कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न रिक्त स्थान को मूल रूप से के-स्पेस कहा जाता था। इनका अध्ययन ह्यूरेविक्ज़ ़ द्वारा किया गया था, और इन्हें केली द्वारा जनरल टोपोलॉजी, डुगुंडजी द्वारा टोपोलॉजी, फ़ेलिक्स, हेल्परिन और थॉमस द्वारा रेशनल होमोटोपी थ्योरी में पाया जा सकता है।

उनके गहन अध्ययन की प्रेरणा 1960 के दशक में टोपोलॉजिकल स्पेस की सामान्य श्रेणी की प्रसिद्ध कमियों से मिली। यह एक कार्टेशियन बंद श्रेणी होने में विफल रहता है, पहचान मानचित्रों का सामान्य कार्टेशियन उत्पाद हमेशा एक पहचान मानचित्र नहीं होता है, और सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स के सामान्य उत्पाद को सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स होने की आवश्यकता नहीं होती है।^[7] इसके विपरीत, सरल सेटों की श्रेणी में कार्टेशियन बंद होने सहित कई सुविधाजनक गुण थे। इस स्थिति को सुधारने के अध्ययन का इतिहास nLab पर लेख में सुविधाजनक श्रेणियों के स्थान पर दिया गया है।

इस स्थिति का समाधान करने के लिए पहला सुझाव (1962) यह था कि स्वयं को कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान की पूरी उपश्रेणी तक सीमित रखा जाए, जो वास्तव में कार्टेशियन बंद है। ये विचार डी व्रीज़ द्वैत प्रमेय पर विस्तारित हैं। घातीय वस्तु की परिभाषा नीचे दी गई है। एक अन्य सुझाव (1964) सामान्य हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान पर विचार करना था लेकिन कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर निरंतर फ़ंक्शन का उपयोग करना था।

ये विचार गैर-हॉसडॉर्फ़ मामले का सामान्यीकरण करते हैं;^[8] यानी कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न स्थानों की एक अलग परिभाषा के साथ। यह उपयोगी है क्योंकि हॉसडॉर्फ़ स्थानों के पहचान स्थानों को हॉसडॉर्फ़ होने की आवश्यकता नहीं है।^[9] आधुनिक बीजगणितीय टोपोलॉजी में, इस संपत्ति को आमतौर पर कमजोर हॉसडॉर्फ संपत्ति के साथ जोड़ा जाता है, ताकि कोई कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न कमजोर हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान की श्रेणी में काम कर सके।

उदाहरण

जैसा कि #परिभाषा अनुभाग में बताया गया है, साहित्य में कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न स्थानों के लिए कोई सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत परिभाषा नहीं है; लेकिन उस अनुभाग की परिभाषाएँ 1, 2, 3 अधिक सामान्यतः उपयोग की जाने वाली हैं। परिणामों को अधिक संक्षिप्त तरीके से व्यक्त करने के लिए, यह खंड तीन परिभाषाओं में से प्रत्येक को स्पष्ट रूप से दर्शाने के लिए संक्षिप्त रूप CG-1, CG-2, CG-3 का उपयोग करेगा। इसे नीचे दी गई तालिका में संक्षेपित किया गया है (प्रत्येक के लिए अन्य समकक्ष शर्तों के लिए परिभाषा अनुभाग देखें)।

Abbreviation	Meaning summary
CG-1	Topology coherent with family of its compact subspaces
CG-2	Topology same as final topology with respect to continuous maps from arbitrary compact Hausdorff spaces
CG-3	Topology coherent with family of its compact Hausdorff subspaces

हॉसडॉर्फ़ स्थानों के लिए गुण CG-1, CG-2, CG-3 समतुल्य हैं। ऐसे स्थानों को बिना किसी अस्पष्टता के कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न हॉसडॉर्फ कहा जा सकता है।

प्रत्येक CG-3 स्थान CG-2 है और प्रत्येक CG-2 स्थान CG-1 है। जैसा कि नीचे दिए गए कुछ उदाहरणों से पता चलता है, इसके विपरीत निहितार्थ सामान्य रूप से लागू नहीं होते हैं।

कमज़ोर हॉसडॉर्फ़ स्थानों के लिए गुण CG-2 और CG-3 समतुल्य हैं।^[6]

अनुक्रमिक स्थान CG-2 हैं।^[10] इसमें प्रथम गणनीय स्थान, अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान, परिमित स्थान शामिल हैं।

प्रत्येक CG-3 स्पेस एक T1 स्पेस|T है₁ स्थान (क्योंकि एक सिंगलटन दिया गया है $\{x\}\subseteq X,$ प्रत्येक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ उप-स्थान के साथ इसका प्रतिच्छेदन $K\subseteq X$ खाली सेट या एकल बिंदु है, जो बंद है $K;$ इसलिए सिंगलटन बंद है $X$ ). परिमित टी₁ रिक्त स्थान में असतत टोपोलॉजी होती है। तो परिमित स्थानों में से, जो सभी CG-2 हैं, CG-3 स्थान असतत टोपोलॉजी वाले हैं। कोई भी परिमित गैर-असतत स्थान, जैसे सिएरपिन्स्की स्थान, CG-2 स्थान का एक उदाहरण है जो CG-3 नहीं है।

सघन स्थान और कमजोर रूप से स्थानीय रूप से सघन स्थान CG-1 हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि CG-2 हों (नीचे उदाहरण देखें)।

कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न हॉसडॉर्फ़ रिक्त स्थान में सीजी-1 या सीजी-2 के रूप में ऊपर उल्लिखित रिक्त स्थान के विभिन्न वर्गों का हॉसडॉर्फ़ संस्करण शामिल है, अर्थात् हॉसडॉर्फ़ अनुक्रमिक स्थान, हॉसडॉर्फ़ प्रथम गणनीय स्थान, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ रिक्त स्थान, आदि। विशेष रूप से, मीट्रिक रिक्त स्थान और टोपोलॉजिकल मैनिफ़ोल्ड ्स सघन रूप से उत्पन्न होते हैं। सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स भी हॉसडॉर्फ कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न होते हैं।

उन स्थानों के उदाहरण प्रदान करने के लिए जो कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न नहीं हुए हैं, एंटीकॉम्पैक्ट की जांच करना उपयोगी है^[11] रिक्त स्थान, अर्थात् वे स्थान जिनके सघन उपस्थान सभी परिमित हैं। यदि कोई स्थान $X$ एंटीकॉम्पैक्ट है और टी₁, प्रत्येक कॉम्पैक्ट उप-स्थान $X$ असतत टोपोलॉजी और संबंधित k-ification है $X$ असतत टोपोलॉजी है. इसलिए, कोई भी एंटीकॉम्पैक्ट टी₁ गैर-असतत स्थान CG-1 नहीं है। उदाहरणों में शामिल:

बेशुमार स्थान पर सहगणनीय टोपोलॉजी।
एक बेशुमार असतत स्थान (जिसे बहुत मजबूत जगह भी कहा जाता है) का एक-बिंदु लिंडेलोफिकेशन।
एरेन्स-किला स्थान।
एपर्ट स्थान।
सिंगल अल्ट्राफिल्टर टोपोलॉजी।^[12]

(हॉसडॉर्फ) रिक्त स्थान के अन्य उदाहरण जो कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न नहीं होते हैं उनमें शामिल हैं:

बेशुमार कई प्रतियों का उत्पाद (टोपोलॉजी)। $\mathbb {R}$ (प्रत्येक सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी के साथ)।^[13]
की अनगिनत प्रतियों का उत्पाद $\mathbb {Z}$ (प्रत्येक असतत टोपोलॉजी के साथ)।

ऐसे स्थानों के उदाहरण के लिए जो सीजी-1 हैं और सीजी-2 नहीं हैं, कोई भी किसी भी स्थान से शुरुआत कर सकता है $Y$ वह सीजी-1 नहीं है (उदाहरण के लिए एरेन्स-फोर्ट स्थान या प्रतियों का बेशुमार उत्पाद)। $\mathbb {R}$ ) और जाने $X$ का एक-बिंदु संघनन हो $Y.$ अंतरिक्ष $X$ कॉम्पैक्ट है, इसलिए CG-1. लेकिन यह CG-2 नहीं है क्योंकि खुले उपस्थानों को CG-2 संपत्ति विरासत में मिलती है $Y$ का एक खुला उपस्थान है $X$ वह सीजी-2 नहीं है.

गुण

(संक्षिप्त रूप CG-1, CG-2, CG-3 के अर्थ के लिए #उदाहरण अनुभाग देखें।)

उपस्थान

कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न स्थान के उप-स्थान सामान्य रूप से कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न नहीं होते हैं, यहां तक कि हॉसडॉर्फ मामले में भी। उदाहरण के लिए, क्रमिक स्थान $\omega _{1}+1=[0,\omega _{1}]$ कहाँ $\omega _{1}$ पहला बेशुमार क्रमसूचक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ है, इसलिए कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न होता है। इसके अलावा सभी सीमा अध्यादेशों के साथ इसका उपस्थान $\omega _{1}$ हटाया गया फोर्टिसिमो स्पेस के लिए आइसोमोर्फिक है, जो कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न नहीं होता है (जैसा कि उदाहरण अनुभाग में बताया गया है, यह एंटीकॉम्पैक्ट और गैर-अलग है)।^[14] दूसरा उदाहरण एरेन्स स्पेस है,^[15]^[16] जो अनुक्रमिक हॉसडॉर्फ है, इसलिए सघन रूप से उत्पन्न हुआ है। इसमें एक उप-स्थान के रूप में एरेन्स-फोर्ट स्थान शामिल है, जो कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न नहीं होता है।

CG-1 स्पेस में, प्रत्येक बंद सेट CG-1 है। यही बात खुले सेटों के लिए लागू नहीं होती है। उदाहरण के लिए, जैसा कि उदाहरण अनुभाग में दिखाया गया है, ऐसे कई स्थान हैं जो सीजी-1 नहीं हैं, लेकिन वे अपने एक-बिंदु संघनन में खुले हैं, जो सीजी-1 है।

सीजी-2 स्पेस में $X,$ प्रत्येक बंद सेट CG-2 है; और ऐसा ही हर खुला सेट है (क्योंकि वहां एक भागफल मानचित्र है $q:Y\to X$ कुछ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्थान के लिए $Y$ और एक खुले सेट के लिए $U\subseteq X$ का प्रतिबंध $q$ को $q^{-1}(U)$ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान पर एक भागफल मानचित्र भी है)। यही बात आमतौर पर प्रत्येक स्थानीय रूप से बंद सेट के लिए सच है, यानी, एक खुले सेट और एक बंद सेट का प्रतिच्छेदन।^[17]

CG-3 स्पेस में, प्रत्येक बंद सेट CG-3 है।

उद्धरण

असंयुक्त संघ (टोपोलॉजी) ${\coprod }_{i}X_{i}$ एक परिवार का $(X_{i})_{i\in I}$ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की संख्या CG-1 है यदि और केवल यदि प्रत्येक स्थान $X_{i}$ सीजी-1 है. संबंधित कथन सीजी-2 के लिए भी मान्य हैं^[18]^[19] और सीजी-3.

CG-1 स्पेस का एक भागफल स्थान (टोपोलॉजी) CG-1 है। विशेष रूप से, कमज़ोर स्थानीय रूप से सघन स्थान का प्रत्येक भागफल स्थान CG-1 है। इसके विपरीत, प्रत्येक CG-1 स्थान $X$ कमजोर रूप से स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस का भागफल स्थान है, जिसे कॉम्पैक्ट उप-स्थानों के असंयुक्त संघ (टोपोलॉजी) के रूप में लिया जा सकता है $X.$ CG-2 स्पेस का भागफल स्पेस CG-2 है।^[20] विशेष रूप से, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान का प्रत्येक भागफल स्थान CG-2 है। इसके विपरीत, प्रत्येक CG-2 स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान का भागफल स्थान है।^[21]^[22]

सीजी-3 स्पेस का भागफल स्पेस सामान्य तौर पर सीजी-3 नहीं है। वास्तव में, प्रत्येक CG-2 स्पेस CG-3 स्पेस का एक भागफल स्पेस है (अर्थात्, कुछ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस); लेकिन ऐसे CG-2 स्थान हैं जो CG-3 नहीं हैं। एक ठोस उदाहरण के लिए, सिएरपिंस्की स्पेस सीजी-3 नहीं है, लेकिन कॉम्पैक्ट अंतराल के भागफल के लिए होमियोमोर्फिक है $[0,1]$ पहचान कर प्राप्त किया गया $(0,1]$ एक स्तर तक।

अधिक आम तौर पर, सीजी-1 रिक्त स्थान से कार्यों के परिवार द्वारा प्रेरित सेट पर कोई भी अंतिम टोपोलॉजी भी सीजी-1 है। और सीजी-2 के लिए भी यही बात लागू होती है। यह कार्यों की संरचना के तहत अंतिम टोपोलॉजी के व्यवहार के साथ, असंयुक्त संघों और भागफल स्थानों के लिए उपरोक्त परिणामों को जोड़कर अनुसरण करता है।

CG-1 रिक्त स्थान का एक पच्चर योग CG-1 है। सीजी-2 के लिए भी यही बात लागू होती है। यह असंयुक्त संघों और भागफल स्थानों के लिए उपरोक्त परिणामों का एक अनुप्रयोग भी है।

उत्पाद

दो कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न स्थानों के उत्पाद (टोपोलॉजी) को कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न करने की आवश्यकता नहीं है, भले ही दोनों स्थान हॉसडॉर्फ और अनुक्रमिक स्थान हों। उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष $X=\mathbb {R} \setminus \{1,1/2,1/3,\ldots \}$ वास्तविक रेखा से उप-स्थान टोपोलॉजी के साथ पहले गणनीय है; अंतरिक्ष $Y=\mathbb {R} /\{1,2,3,\ldots \}$ किसी बिंदु पर पहचाने गए सकारात्मक पूर्णांकों के साथ वास्तविक रेखा से भागफल टोपोलॉजी अनुक्रमिक है। दोनों स्थान कॉम्पैक्ट रूप से हॉसडॉर्फ द्वारा निर्मित हैं, लेकिन उनके उत्पाद हैं $X\times Y$ सघन रूप से उत्पन्न नहीं होता है.^[23]

हालाँकि, कुछ मामलों में दो सघन रूप से उत्पन्न स्थानों का उत्पाद सघन रूप से उत्पन्न होता है:

दो प्रथम गणनीय स्थानों का गुणनफल प्रथम गणनीय होता है, इसलिए CG-2।
CG-2 स्पेस और स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस का उत्पाद CG-2 है।^[24]^[25]

कॉम्पैक्टली जेनरेटेड स्पेस (जैसे सभी सीजी-1 स्पेस या सभी सीजी-2 स्पेस) की श्रेणी (गणित) में काम करते समय, सामान्य उत्पाद टोपोलॉजी पर $X\times Y$ सामान्य रूप से कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न नहीं होता है, इसलिए यह एक श्रेणीबद्ध उत्पाद के रूप में काम नहीं कर सकता है। लेकिन यह k-ification है $k(X\times Y)$ अपेक्षित श्रेणी से संबंधित है और श्रेणीबद्ध उत्पाद है।^[26]^[27]

कार्यों की निरंतरता

कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न स्थानों पर निरंतर कार्य वे होते हैं जो कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर अच्छा व्यवहार करते हैं। अधिक सटीक रूप से, चलो $f:X\to Y$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस से दूसरे में एक फ़ंक्शन बनें और डोमेन मान लें $X$ इस आलेख की परिभाषाओं में से एक के अनुसार कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न किया गया है। चूँकि सघन रूप से उत्पन्न रिक्त स्थान को अंतिम टोपोलॉजी के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, कोई इसकी निरंतरता (टोपोलॉजी) को व्यक्त कर सकता है $f$ की रचना की निरंतरता के संदर्भ में $f$ अंतिम टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए परिवार में विभिन्न मानचित्रों का उपयोग किया जाता है। विशेष बातें इस प्रकार हैं.

अगर $X$ CG-1, फ़ंक्शन है $f$ निरंतर है यदि और केवल यदि प्रतिबंध (गणित) $f\vert _{K}:K\to Y$ प्रत्येक कॉम्पेक्ट के लिए निरंतर है $K\subseteq X.$ ^[28]

अगर $X$ सीजी-2, कार्य है $f$ निरंतर है यदि और केवल यदि रचना (कार्य) $f\circ u:K\to Y$ प्रत्येक कॉम्पैक्ट स्थान के लिए निरंतर है $K$ और सतत मानचित्र $u:K\to X.$ ^[29]

अगर $X$ सीजी-3, कार्य है $f$ निरंतर है यदि और केवल यदि प्रतिबंध $f\vert _{K}:K\to Y$ प्रत्येक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ के लिए निरंतर है $K\subseteq X.$

विविध

टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के लिए $X$ और $Y,$ होने देना $C(X,Y)$ से सभी सतत मानचित्रों के स्थान को निरूपित करें $X$ को $Y$ कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी द्वारा टोपोलॉजी। अगर $X$ सीजी-1 है, पथ घटक $C(X,Y)$ सटीक रूप से समरूप समतुल्य वर्ग हैं।^[30]

के-इफिकेशन

किसी टोपोलॉजिकल स्पेस को देखते हुए $X$ हम संभवतः बेहतर टोपोलॉजी को परिभाषित कर सकते हैं $X$ यह सघन रूप से उत्पन्न होता है, जिसे कभी-कभी कहा जाता हैk-ification टोपोलॉजी का. होने देना $\{K_{\alpha }\}$ के संहत उपसमुच्चय के परिवार को निरूपित करें $X.$ हम नई टोपोलॉजी को परिभाषित करते हैं $X$ एक उपसमुच्चय घोषित करके $A$ यदि और केवल यदि बंद किया जाए $A\cap K_{\alpha }$ में बंद है $K_{\alpha }$ प्रत्येक सूचकांक के लिए $\alpha .$ इस नये स्थान को इससे निरूपित करें $kX.$ कोई यह दिखा सकता है कि का संक्षिप्त उपसमुच्चय $kX$ और $X$ संयोग, और कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर प्रेरित टोपोलॉजी समान हैं। यह इस प्रकार है कि $kX$ सघन रूप से उत्पन्न होता है। अगर $X$ तब से शुरू करने के लिए इसे कॉम्पैक्ट रूप से तैयार किया गया था $kX=X.$ अन्यथा टोपोलॉजी चालू है $kX$ से सख्ती से बेहतर है $X$ (यानी, अधिक खुले सेट हैं)।

यह निर्माण कार्यात्मक है. हम निरूपित करते हैं $\mathbf {CGTop}$ टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी की पूरी उपश्रेणी| $\mathbf {Top}$ वस्तुओं के साथ सघन रूप से उत्पन्न स्थान, और $\mathbf {CGHaus}$ की पूरी उपश्रेणी $\mathbf {CGTop}$ हॉसडॉर्फ़ रिक्त स्थान की वस्तुओं के साथ। से फनकार $\mathbf {Top}$ को $\mathbf {CGTop}$ वह प्राप्त करता है $X$ को $kX$ उपश्रेणी#औपचारिक परिभाषा के लिए सहायक फ़ंक्शनल है $\mathbf {CGTop} \to \mathbf {Top} .$ उपरोक्त चर्चा कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ के साथ कॉम्पैक्ट को बदलने के बाद हॉसडॉर्फ़-कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न स्थानों पर भी लागू होती है, लेकिन निम्नलिखित अंतर के साथ। यह साबित करने के लिए कि के-इफिकेशन के कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ उपसमुच्चय मूल टोपोलॉजी के समान हैं (और इसलिए कि के-इफिकेशन हॉसडॉर्फ-कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न होता है) के लिए आवश्यक है कि मूल टोपोलॉजी भी कमजोर हॉसडॉर्फ स्पेस|के-हॉसडॉर्फ हो। निम्नलिखित गुण समतुल्य हैं:

हॉसडॉर्फ़-संक्षिप्त रूप से उत्पन्न के-हॉसडॉर्फ़
हॉसडॉर्फ़-संक्षिप्त रूप से उत्पन्न कमज़ोर हॉसडॉर्फ़
संक्षिप्त रूप से उत्पन्न के-हॉसडॉर्फ़

में घातीय वस्तु $\mathbf {CGHaus}$ द्वारा दिया गया है $k(Y^{X})$ कहाँ $Y^{X}$ से सतत मानचित्रों का स्थान है $X$ को $Y$ कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी के साथ।

इन विचारों को गैर-हॉसडॉर्फ मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है।^[8] यह उपयोगी है क्योंकि हॉसडॉर्फ़ स्थानों की पहचान के लिए हॉसडॉर्फ़ होना आवश्यक नहीं है।

यह भी देखें

↑ Strickland 2009, Definition 1.1.
↑ Willard 2004, Definition 43.8.
↑ Brown 2006, p. 182.
↑ Strickland 2009.
↑ compactly generated topological space in nLab
↑ ^6.0 ^6.1 Strickland 2009, Lemma 1.4(c).
↑ Hatcher, Allen (2001). बीजगणितीय टोपोलॉजी (PDF). (See the Appendix)
↑ ^8.0 ^8.1 Brown 2006, section 5.9.
↑ Booth, Peter; Tillotson, J. (1980). "मोनोइडल बंद, कार्टेशियन बंद और टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की सुविधाजनक श्रेणियां" (PDF). Pacific Journal of Mathematics. 88 (1): 35–53. doi:10.2140/pjm.1980.88.35.
↑ Strickland 2009, Proposition 1.6.
↑ Bankston, Paul (1979). "टोपोलॉजिकल संपत्ति का पूर्ण निषेध". Illinois Journal of Mathematics. 23 (2): 241–252. doi:10.1215/ijm/1256048236.
↑ Steen & Seebach 1995, Example 114, p. 136.
↑ Willard 2004, Problem 43H(2).
↑ Lamartin 1977, p. 8.
↑ Engelking 1989, Example 1.6.19.
↑ Ma, Dan (19 August 2010). "एरेन्स स्थान के बारे में एक नोट".
↑ Lamartin 1977, Proposition 1.8.
↑ Strickland 2009, Proposition 2.2.
↑ Rezk 2018, Proposition 3.4(3).
↑ Brown 2006, 5.9.1 (Corollary 2).
↑ Brown 2006, Proposition 5.9.1.
↑ Lamartin 1977, Proposition 1.7.
↑ Engelking 1989, Example 3.3.29.
↑ Strickland 2009, Proposition 2.6.
↑ Rezk 2018, Proposition 7.5.
↑ Lamartin 1977, Proposition 1.11.
↑ Rezk 2018, section 3.5.
↑ Willard 2004, Theorem 43.10.
↑ Strickland 2009, Proposition 1.11.
↑ Willard 2004, Problem 43J(1).

संदर्भ

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Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4.
Lamartin, W. F. (1977), On the foundations of k-group theory, Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk
Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.
May, J. Peter (1999). A Concise Course in Algebraic Topology (PDF). Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-51183-9.
Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
Rezk, Charles (2018). "Compactly generated spaces" (PDF).
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446.
Strickland, Neil P. (2009). "The category of CGWH spaces" (PDF).
Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.

बाहरी संबंध

Compactly generated spaces - contains an excellent catalog of properties and constructions with compactly generated spaces
Compactly generated topological space in nLab
Convenient category of topological spaces in nLab

[FOOTNOTEStrickland2009Definition_1.1-1] Strickland 2009, Definition 1.1.

[FOOTNOTEWillard2004Definition_43.8-2] Willard 2004, Definition 43.8.

[FOOTNOTEBrown2006182-3] Brown 2006, p. 182.

[FOOTNOTEStrickland2009-4] Strickland 2009.

[5] tly generated topological space in nLab

[FOOTNOTEStrickland2009Lemma_1.4.28c.29-6] 6.0 ^6.1 Strickland 2009, Lemma 1.4(c).

[hatcher-7] Hatcher, Allen (2001). बीजगणितीय टोपोलॉजी (PDF). (See the Appendix)

[FOOTNOTEBrown2006section_5.9-8] 8.0 ^8.1 Brown 2006, section 5.9.

[9] Booth, Peter; Tillotson, J. (1980). "मोनोइडल बंद, कार्टेशियन बंद और टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की सुविधाजनक श्रेणियां" (PDF). Pacific Journal of Mathematics. 88 (1): 35–53. doi:10.2140/pjm.1980.88.35.

[FOOTNOTEStrickland2009Proposition_1.6-10] Strickland 2009, Proposition 1.6.

[11] Bankston, Paul (1979). "टोपोलॉजिकल संपत्ति का पूर्ण निषेध". Illinois Journal of Mathematics. 23 (2): 241–252. doi:10.1215/ijm/1256048236.

[FOOTNOTESteenSeebach1995Example_114.2C_p._136-12] Steen & Seebach 1995, Example 114, p. 136.

[FOOTNOTEWillard2004Problem_43H.282.29-13] Willard 2004, Problem 43H(2).

[FOOTNOTELamartin19778-14] Lamartin 1977, p. 8.

[FOOTNOTEEngelking1989Example_1.6.19-15] Engelking 1989, Example 1.6.19.

[16] Ma, Dan (19 August 2010). "एरेन्स स्थान के बारे में एक नोट".

[FOOTNOTELamartin1977Proposition_1.8-17] Lamartin 1977, Proposition 1.8.

[FOOTNOTEStrickland2009Proposition_2.2-18] Strickland 2009, Proposition 2.2.

[FOOTNOTERezk2018Proposition_3.4.283.29-19] Rezk 2018, Proposition 3.4(3).

[FOOTNOTEBrown20065.9.1_.28Corollary_2.29-20] Brown 2006, 5.9.1 (Corollary 2).

[FOOTNOTEBrown2006Proposition_5.9.1-21] Brown 2006, Proposition 5.9.1.

[FOOTNOTELamartin1977Proposition_1.7-22] Lamartin 1977, Proposition 1.7.

[FOOTNOTEEngelking1989Example_3.3.29-23] Engelking 1989, Example 3.3.29.

[FOOTNOTEStrickland2009Proposition_2.6-24] Strickland 2009, Proposition 2.6.

[FOOTNOTERezk2018Proposition_7.5-25] Rezk 2018, Proposition 7.5.

[FOOTNOTELamartin1977Proposition_1.11-26] Lamartin 1977, Proposition 1.11.

[FOOTNOTERezk2018section_3.5-27] Rezk 2018, section 3.5.

[FOOTNOTEWillard2004Theorem_43.10-28] Willard 2004, Theorem 43.10.

[FOOTNOTEStrickland2009Proposition_1.11-29] Strickland 2009, Proposition 1.11.

[FOOTNOTEWillard2004Problem_43J.281.29-30] Willard 2004, Problem 43J(1).

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सघन रूप से निर्मित स्थान

Contents

परिभाषाएँ

परिभाषाओं के लिए सामान्य रूपरेखा

परिभाषा 1

परिभाषा 2

परिभाषा 3

प्रेरणा

उदाहरण

गुण

उपस्थान

उद्धरण

उत्पाद

कार्यों की निरंतरता

विविध

के-इफिकेशन

यह भी देखें

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