नियमित स्थानीय वलय

क्रमविनिमेय बीजगणित में, नियमित स्थानीय वलय नोथेरियन स्थानीय वलय होती है जिसमें यह गुण होता है कि इसके अधिकतम आदर्श के जनरेटर की न्यूनतम संख्या इसके क्रुल आयाम के समान होती है।^[1] प्रतीकों में, मान लीजिए कि A अधिकतम आदर्श m के साथ नोथेरियन स्थानीय वलय है, और मान लीजिए a₁, ..., a_n m के जनरेटर का न्यूनतम समुच्चय है। फिर क्रुल के मुख्य आदर्श प्रमेय n ≥ dim A द्वारा, और यदि n = dim A है जिससे A को नियमित रूप से परिभाषित किया गया है

पदवी नियमित ज्यामितीय अर्थ द्वारा उचित है। बीजगणितीय विविधता X पर बिंदु x, बीजीय विविधता का एकवचन बिंदु है यदि और केवल यदि स्थानीय वलय ${\mathcal {O}}_{X,x}$ x पर जरम्स (गणित) का नियमित है। (यह भी देखें: नियमित पद्धति।) नियमित स्थानीय वलय वॉन न्यूमैन नियमित वलय से संबंधित नहीं हैं।^{[lower-alpha 1]}

नोथेरियन स्थानीय वलयों के लिए, समावेशन की निम्नलिखित श्रृंखला है:

Universally catenary rings ⊃ Cohen–Macaulay rings ⊃ Gorenstein rings ⊃ complete intersection rings ⊃ regular local rings

विशेषताएँ

नियमित स्थानीय वलय की कई उपयोगी परिभाषाएँ हैं, जिनमें से का उल्लेख ऊपर किया गया है। विशेषकर, यदि $A$ अधिकतम आदर्श वाला नोथेरियन स्थानीय वलय ${\mathfrak {m}}$ है , तो निम्नलिखित समकक्ष परिभाषाएँ हैं

मान लीजिए ${\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ जहाँ $n$ जितना संभव हो उतना छोटा चुना जाता है। तब $A$ यदि नियमित है

{\mbox{dim }}A=n\,

,

जहां आयाम क्रुल आयाम है। जनरेटर का न्यूनतम समुच्चय

a_{1},\ldots ,a_{n}

फिर मापदंडों की नियमित प्रणाली कहलाती है।

मान लीजिए $k=A/{\mathfrak {m}}$ का अवशेष क्षेत्र है तब $A$ यदि नियमित है

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,

,

जहां दूसरा आयाम क्रुल आयाम है।

मान लीजिए ${\mbox{gl dim }}A:=\sup\{{\mbox{pd }}M{\mbox{ }}|{\mbox{ }}M{\mbox{ is an }}A{\mbox{-module}}\}$ का ग्लोबल आयाम $A$ है (अर्थात, सभी के प्रक्षेप्य आयाम का सर्वोच्च $A$ -मॉड्यूल।) फिर $A$ यदि नियमित है

{\mbox{gl dim }}A<\infty \,

,

इस स्थिति में,

{\mbox{gl dim }}A=\dim A

.

बहुलता मानदंड बताता है:^[2] यदि नोथेरियन स्थानीय वलय a का पूरा होना अमिश्रित है (इस अर्थ में कि शून्य आदर्श का कोई एम्डेबेड प्राइम विभाजक नहीं है और प्रत्येक न्यूनतम प्राइम p के लिए, $\dim {\widehat {A}}/p=\dim {\widehat {A}}$ ) और यदि A की हिल्बर्ट-सैमुअल बहुलता है, तो A नियमित है। (विपरीत सदैव सत्य होता है: नियमित स्थानीय वलय की बहुलता होती है।) यह मानदंड बीजगणितीय ज्यामिति में ज्यामितीय अंतर्ज्ञान से मेल खाता है कि पद्धति-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन की स्थानीय वलय नियमित होती है यदि और केवल यदि प्रतिच्छेदन ट्रांसवर्सलिटी है ( अंक शास्त्र)।

धनात्मक विशेषता स्थिति में, कुंज के कारण निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिणाम हैं: इस प्रकार नोथेरियन स्थानीय वलय $R$ धनात्मक विशेषता (बीजगणित) p नियमित है यदि और केवल यदि फ्रोबेनियस रूपवाद $R\to R,r\mapsto r^{p}$ फ्लैट वलय समरूपता है और $R$ वलय कम हो गई है. विशेषता शून्य में कोई समान परिणाम ज्ञात नहीं है (सिर्फ इसलिए कि फ्रोबेनियस को कैसे बदला जाए यह स्पष्ट नहीं है)।

उदाहरण

प्रत्येक क्षेत्र (गणित) नियमित स्थानीय वलय है। इनका (क्रुल) आयाम 0 है। वास्तव में, क्षेत्र पुर्णतः आयाम 0 के नियमित स्थानीय वलय हैं।
कोई भी अलग मूल्यांकन वलय आयाम 1 की नियमित स्थानीय वलय है और आयाम 1 की नियमित स्थानीय वलय पुर्णतः अलग मूल्यांकन वलय हैं। विशेष रूप से, यदि k क्षेत्र है और X अनिश्चित है, तो फॉर्मल पॉवर श्रृंखला k का वलय [[X]] नियमित स्थानीय वलय है जिसका (क्रुल) आयाम 1 है।
यदि p साधारण अभाज्य संख्या है, तो p-एडिक पूर्णांकों का वलय असतत मूल्यांकन वलय का उदाहरण है, और परिणामस्वरूप नियमित स्थानीय वलय है, जिसमें कोई क्षेत्र नहीं है।
अधिक सामान्यतः, यदि k क्षेत्र है और X₁, x₂, ..., x_d अनिश्चित हैं, तो फॉर्मल पॉवर श्रृंखला k का वलय k[[X₁, X₂, ..., X_d]] नियमित स्थानीय वलय है जिसका आयाम (क्रुल) d है।
यदि A नियमित स्थानीय वलय है, तो यह फॉर्मल पॉवर श्रृंखला वलय A है इस प्रकार [[x]] नियमित स्थानीय है.
यदि Z पूर्णांकों का वलय है और X अनिश्चित है, तो वलय Z[X]_{(2, X)} (अर्थात वलय Z[X] प्राइम आदर्श (2, X) में वलय और मॉड्यूल का स्थानीयकरण) 2-आयामी नियमित स्थानीय वलय का उदाहरण है जिसमें कोई क्षेत्र नहीं है .
इरविन कोहेन के कोहेन संरचना प्रमेय के अनुसार, पूर्णता (वलय सिद्धांत) क्रुल आयाम d की नियमित स्थानीय वलय जिसमें क्षेत्र के सम्मिलित है, पर d चर में पॉवर श्रृंखला वलय k का विस्तार क्षेत्र है ।

गैर-उदाहरण

वलय $A=k[x]/(x^{2})$ एक नियमित स्थानीय वलय नहीं है क्योंकि यह परिमित आयामी है किन्तु इसमें परिमित ग्लोबल आयाम नहीं है। उदाहरण के लिए, एक अनंत संकल्प है

\cdots \xrightarrow {\cdot x} {\frac {k[x]}{(x^{2})}}\xrightarrow {\cdot x} {\frac {k[x]}{(x^{2})}}\to k\to 0

किसी अन्य लक्षण वर्णन का उपयोग करते हुए, $A$ का बिल्कुल एक अभाज्य आदर्श ${\mathfrak {m}}={\frac {(x)}{(x^{2})}}$ है, इसलिए वलय का क्रुल आयाम $0$ है, किन्तु ${\mathfrak {m}}^{2}$ शून्य आदर्श है, इसलिए ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ का $k$ आयाम कम से कम $1$ है। (वास्तव में यह $1$ के समान है) चूँकि $x+{\mathfrak {m}}$ एक आधार है।)

मूलभूत गुण

ऑसलैंडर-बुच्सबाम प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक नियमित स्थानीय वलय अद्वितीय कारक डोमेन है।

नियमित स्थानीय वलय के वलय का प्रत्येक स्थानीयकरण नियमित होता है।

एक नियमित स्थानीय वलय का पूरा होना (वलय सिद्धांत) नियमित है।

यदि $(A,{\mathfrak {m}})$ पूर्ण नियमित स्थानीय वलय है जिसमें क्षेत्र होता है

A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]

,

जहां $k=A/{\mathfrak {m}}$ अवशेष क्षेत्र है, और $d=\dim A$ , क्रुल आयाम है।

यह भी देखें: ऊंचाई पर सेरे की असमानता और सेरे की बहुलता अनुमान है।

मूलभूत धारणाओं की उत्पत्ति

नियमित स्थानीय वलयों को मूल रूप से 1937 में वोल्फगैंग क्रुल द्वारा परिभाषित किया गया था,^[3] किन्तु वे पहली बार कुछ साल पश्चात् ऑस्कर ज़ारिस्की के कार्य में प्रमुख होते है,^[4]^[5] जिन्होंने दिखाया कि ज्यामितीय रूप से, नियमित स्थानीय वलय बीजीय विविधता पर समतल बिंदु से मेल खाता है। मान लीजिए कि Y बीजगणितीय विविधता है जो पूर्ण क्षेत्र पर एफ़िन n-स्पेस में निहित है, और मान लीजिए कि Y बहुपद f₁,...,f_m का लुप्त होने वाला स्थान है. यदि Y जैकोबियन विविधता को संतुष्ट करता है तो Y, P पर एकवचन नहीं है: यदि M = (∂f_i/∂x_j) विविधता के परिभाषित समीकरणों के आंशिक व्युत्पन्न का आव्यूह है, जिससे p पर m का मूल्यांकन करके पाए गए आव्यूह की रैंक n - y है। ज़ारिस्की ने सिद्ध किया कि y p पर गैर-एकवचन है यदि और केवल यदि y की स्थानीय वलय P पर नियमित है. (ज़ारिस्की ने देखा कि यह गैर-परिपूर्ण क्षेत्रों में विफल हो सकता है।) इसका तात्पर्य यह है कि चिकनाई विविधता का आंतरिक गुण है, दूसरे शब्दों में यह इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि विविधता एफ़िन स्पेस में कहां या कैसे अंतर्निहित है। यह यह भी सुझाव देता है कि नियमित स्थानीय वलयों में अच्छे गुण होने चाहिए, किन्तु होमोलॉजिकल बीजगणित से तकनीकों की प्रारंभ से पहले इस दिशा में बहुत कम जानकारी थी। इस प्रकार 1950 के दशक में ऐसी तकनीकें प्रस्तुत की गईं, तो ऑसलैंडर और बुच्सबाम ने सिद्ध कर दिया कि प्रत्येक नियमित स्थानीय वलय अद्वितीय फ़ैक्टराइज़ेशन डोमेन है।

ज्यामितीय अंतर्ज्ञान द्वारा सुझाई गई अन्य प्रोपर्टी यह है कि नियमित स्थानीय वलय का स्थानीयकरण फिर से नियमित होना चाहिए। फिर, यह होमोलॉजिकल तकनीकों की प्रारंभ तक था। यह जीन पियरे सेरे ही थे जिन्होंने नियमित स्थानीय वलयो का समरूप लक्षण वर्णन पाया गया था: स्थानीय वलय A नियमित है यदि और केवल यदि A का ग्लोबल आयाम सीमित है, अर्थात यदि प्रत्येक A-मॉड्यूल में परिमित लंबाई का प्रक्षेप्य रिज़ॉल्यूशन है। यह दिखाना सरल है कि सीमित ग्लोबल आयाम होने की प्रोपर्टी स्थानीयकरण के अनुसार संरक्षित है, और परिणामस्वरूप प्रमुख आदर्शों पर नियमित स्थानीय वलयों का स्थानीयकरण फिर से नियमित है।

यह अगले भाग में दी गई गैर-स्थानीय क्रमविनिमेय वलय के लिए नियमितता की परिभाषा को उचित ठहराता है।

नियमित वलय

क्रमविनिमेय बीजगणित में, नियमित वलय क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय है, जैसे कि प्रत्येक अभाज्य आदर्श पर वलय का स्थानीयकरण नियमित स्थानीय वलय होता है: अर्थात, ऐसे प्रत्येक स्थानीयकरण में यह गुण होता है कि इसके अधिकतम आदर्श के जनरेटर की न्यूनतम संख्या होती है इसके क्रुल आयाम के समान होता है।

रेगुलर वलय शब्द की उत्पत्ति इस तथ्य में निहित है कि एफ़िन विविधता नॉनसिंगुलर विविधता है (अर्थात प्रत्येक बिंदु बीजगणितीय विविधता का नियमित बिंदु है) यदि और केवल तभी जब इसके नियमित कार्यों की वलय नियमित होता है।

नियमित वलयो के लिए, क्रुल आयाम ग्लोबल समरूप आयाम से सहमत है।

जीन-पियरे सेरे ने नियमित वलय को परिमित ग्लोबल समरूप आयाम की क्रमविनिमेय नॉथेरियन वलय के रूप में परिभाषित किया था। उनकी परिभाषा उपरोक्त परिभाषा से अधिक सशक्त है, जो अनंत क्रुल आयाम के नियमित वलय की अनुमति देती है।

नियमित वलयों के उदाहरणों में क्षेत्र (आयाम शून्य के) और डेडेकाइंड डोमेन सम्मिलित हैं। यदि a नियमित है तो a[x] भी है, जिसका आयाम a से बड़ा है।

विशेषकर यदि $k$ क्षेत्र है, पूर्णांकों का वलय है, या प्रमुख आदर्श डोमेन है, फिर बहुपद वलय है $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ नियमित है. किसी क्षेत्र के स्थिति में यह हिल्बर्ट का सहजीवन प्रमेय है।

नियमित वलय का कोई भी स्थानीयकरण भी नियमित होता है।

एक नियमित वलय कम वलय है ^{[lower-alpha 2]} किन्तु अभिन्न डोमेन होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, दो नियमित अभिन्न डोमेन का उत्पाद नियमित है, किन्तु अभिन्न डोमेन नहीं है।^[6]

यह भी देखें

ज्यामितीय रूप से नियमित वलय

उद्धरण

↑ Atiyah & Macdonald 1969, p. 123, Theorem 11.22.
↑ Herrmann, M., S. Ikeda, and U. Orbanz: Equimultiplicity and Blowing Up. An Algebraic Study with an Appendix by B. Moonen. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New-York, 1988. Theorem 6.8.
↑ Krull, Wolfgang (1937), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III", Math. Z.: 745–766, doi:10.1007/BF01160110
↑ Zariski, Oscar (1940), "Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0", Amer. J. Math., 62: 187–221, doi:10.2307/2371447
↑ Zariski, Oscar (1947), "The concept of a simple point of an abstract algebraic variety", Trans. Amer. Math. Soc., 62: 1–52, doi:10.1090/s0002-9947-1947-0021694-1
↑ Is a regular ring a domain

संदर्भ

Atiyah, Michael F.; Macdonald, Ian G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, MR 0242802
Kunz, Characterizations of regular local rings of characteristic p. Amer. J. Math. 91 (1969), 772–784.
Tsit-Yuen Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-1-4612-0525-8. Chap.5.G.
Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000, ISBN 3-540-66641-9. Chap.IV.D.
Regular rings at The Stacks Project

[2] A local von Neumann regular ring is a division ring, so the two conditions are not very compatible.

[7] since a ring is reduced if and only if its localizations at prime ideals are.

[FOOTNOTEAtiyahMacdonald1969123Theorem_11.22-1] Atiyah & Macdonald 1969, p. 123, Theorem 11.22.

[3] Herrmann, M., S. Ikeda, and U. Orbanz: Equimultiplicity and Blowing Up. An Algebraic Study with an Appendix by B. Moonen. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New-York, 1988. Theorem 6.8.

[4] Krull, Wolfgang (1937), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III", Math. Z.: 745–766, doi:10.1007/BF01160110

[5] Zariski, Oscar (1940), "Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0", Amer. J. Math., 62: 187–221, doi:10.2307/2371447

[6] Zariski, Oscar (1947), "The concept of a simple point of an abstract algebraic variety", Trans. Amer. Math. Soc., 62: 1–52, doi:10.1090/s0002-9947-1947-0021694-1

[8] Is a regular ring a domain

[1]

[lower-alpha 1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[lower-alpha 2]

[6]