नो-कम्युनिकेशन प्रमेय

भौतिकी में, नो-कम्युनिकेशन प्रमेय या नो-सिग्नलिंग सिद्धांत क्वांटम सूचना सिद्धांत से नो-गो प्रमेय है जो बताता है कि, क्वांटम उलझाव की स्थिति के मापन के दौरान, एक सबसिस्टम का माप करके एक पर्यवेक्षक के लिए यह संभव नहीं है। कुल राज्य का, किसी अन्य पर्यवेक्षक को सूचना संप्रेषित करने के लिए। प्रमेय महत्वपूर्ण है क्योंकि, क्वांटम यांत्रिकी में, क्वांटम उलझाव एक ऐसा प्रभाव है जिसके द्वारा कुछ व्यापक रूप से अलग-अलग घटनाओं को इस तरह से सहसंबद्ध किया जा सकता है, जो पहली नज़र में, प्रकाश से तेज संचार की संभावना का सुझाव देते हैं। नो-कम्युनिकेशन प्रमेय ऐसी स्थितियाँ देता है जिसके तहत दो पर्यवेक्षकों के बीच सूचना का ऐसा हस्तांतरण असंभव है। इन परिणामों को क्वांटम यांत्रिकी में तथाकथित विरोधाभासों को समझने के लिए लागू किया जा सकता है, जैसे ईपीआर विरोधाभास, या बेल के प्रमेय के परीक्षणों में प्राप्त स्थानीय यथार्थवाद का उल्लंघन। इन प्रयोगों में, नो-कम्युनिकेशन प्रमेय से पता चलता है कि स्थानीय यथार्थवाद की विफलता उस ओर नहीं ले जाती है जिसे एक दूरी पर डरावना संचार के रूप में संदर्भित किया जा सकता है (आइंस्टीन के क्वांटम उलझाव के लेबलिंग के अनुरूप दूरी पर डरावनी कार्रवाई की आवश्यकता होती है) क्यूएम की पूर्णता)।

अनौपचारिक सिंहावलोकन

नो-कम्युनिकेशन प्रमेय कहता है कि, क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में, सावधानी से तैयार मिश्रित अवस्था (भौतिकी) या शुद्ध अवस्थाओं के माध्यम से सूचना के शास्त्रीय बिट्स को प्रसारित करना संभव नहीं है, चाहे उलझा हुआ राज्य हो या नहीं। प्रमेय केवल एक पर्याप्त स्थिति है जो बताती है कि यदि क्वांटम ऑपरेशन # क्रॉस_ऑपरेटर्स कम्यूट करते हैं तो क्वांटम उलझे हुए राज्यों के माध्यम से कोई संचार नहीं हो सकता है और यह सभी संचारों पर लागू होता है। सापेक्षता और क्वांटम क्षेत्र के नजरिए से प्रकाश की तुलना में भी तेज या तात्कालिक संचार की अनुमति नहीं है। केवल एक पर्याप्त स्थिति होने के कारण ऐसे अतिरिक्त मामले हो सकते हैं जहां संचार की अनुमति नहीं है और ऐसे मामले भी हो सकते हैं जहां शास्त्रीय सूचना से अधिक क्वांटम चैनल एन्कोडिंग के माध्यम से संचार करना अभी भी संभव है।

संचार के संबंध में साझा क्वांटम राज्यों के माध्यम से शास्त्रीय जानकारी को स्थानांतरित करने के लिए एक क्वांटम चैनल का हमेशा उपयोग किया जा सकता है। 2008 में मैथ्यू हेस्टिंग्स ने एक प्रति उदाहरण साबित किया जहां न्यूनतम आउटपुट एन्ट्रापी सभी क्वांटम चैनलों के लिए योगात्मक नहीं है। इसलिए, पीटर शोर के कारण एक तुल्यता परिणाम द्वारा, होलेवो क्षमता केवल योगात्मक नहीं है, बल्कि एन्ट्रापी की तरह सुपर-एडिटिव है, और इसके परिणामस्वरूप कुछ क्वांटम चैनल हो सकते हैं जहां आप शास्त्रीय क्षमता से अधिक स्थानांतरित कर सकते हैं। आमतौर पर समग्र संचार क्वांटम और गैर क्वांटम चैनलों के माध्यम से एक ही समय में होता है, और सामान्य समय में आदेश और कार्य-कारण का उल्लंघन नहीं किया जा सकता है।

प्रमेय में प्रवेश करने वाली मूल धारणा यह है कि एक क्वांटम-यांत्रिक प्रणाली प्रारंभिक अवस्था में कुछ उलझी हुई अवस्थाओं के साथ तैयार की जाती है, और यह प्रारंभिक अवस्था हिल्बर्ट स्पेस एच में मिश्रित या शुद्ध अवस्था के रूप में वर्णित है। एक निश्चित समय के बाद सिस्टम को दो भागों में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक में कुछ गैर उलझे हुए राज्य और आधे क्वांटम उलझे हुए राज्य हैं और दो भाग स्थानिक रूप से अलग हो जाते हैं, ए और बी, दो अलग-अलग पर्यवेक्षकों, एलिस और बॉब को भेजे जाते हैं, जो क्वांटम मैकेनिकल प्रदर्शन करने के लिए स्वतंत्र हैं। कुल प्रणाली के उनके हिस्से पर माप (अर्थात, ए और बी)। सवाल यह है: क्या ऐलिस ए पर कोई कार्रवाई कर सकता है जो बॉब द्वारा बी का अवलोकन करने से पता लगाया जा सकता है? प्रमेय का उत्तर 'नहीं' है।

प्रमेय में जाने वाली एक महत्वपूर्ण धारणा यह है कि प्रारंभिक अवस्था की तैयारी को प्रभावित करने के लिए न तो ऐलिस और न ही बॉब को किसी भी तरह से अनुमति दी जाती है। यदि ऐलिस को प्रारंभिक अवस्था की तैयारी में भाग लेने की अनुमति दी गई, तो उसके लिए इसमें एक संदेश को सांकेतिक शब्दों में बदलना बहुत आसान होगा; इस प्रकार न तो ऐलिस और न ही बॉब प्रारंभिक अवस्था की तैयारी में भाग लेते हैं। प्रमेय की आवश्यकता नहीं है कि प्रारंभिक अवस्था किसी तरह 'यादृच्छिक' या 'संतुलित' या 'समान' हो: वास्तव में, प्रारंभिक अवस्था तैयार करने वाला एक तीसरा पक्ष एलिस और बॉब द्वारा प्राप्त संदेशों को इसमें आसानी से एन्कोड कर सकता है। सीधे शब्दों में, प्रमेय कहता है कि, कुछ प्रारंभिक अवस्था को देखते हुए, किसी तरह से तैयार किया गया, ऐलिस कोई कार्रवाई नहीं कर सकता है जो बॉब द्वारा पता लगाया जा सके।

सबूत यह परिभाषित करके आगे बढ़ता है कि कैसे कुल हिल्बर्ट अंतरिक्ष एच को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है, एच_A और वह_Bऐलिस और बॉब के लिए सुलभ उप-स्थानों का वर्णन करना। सिस्टम की कुल स्थिति को घनत्व मैट्रिक्स σ द्वारा वर्णित माना जाता है। यह एक उचित धारणा प्रतीत होती है, क्योंकि घनत्व मैट्रिक्स क्वांटम यांत्रिकी में शुद्ध और मिश्रित दोनों अवस्थाओं का वर्णन करने के लिए पर्याप्त है। प्रमेय का एक अन्य महत्वपूर्ण हिस्सा यह है कि राज्य σ पर एक सामान्यीकृत प्रक्षेपण ऑपरेटर पी लागू करके मापन किया जाता है। यह फिर से उचित है, क्योंकि प्रोजेक्शन ऑपरेटर क्वांटम मापन का उपयुक्त गणितीय विवरण देते हैं। ऐलिस द्वारा मापन के बाद, कहा जाता है कि संपूर्ण प्रणाली की अवस्था का तरंग-फ़ंक्शन पतन अवस्था P(σ) पर आ जाता है।

प्रमेय का लक्ष्य यह साबित करना है कि बॉब किसी भी तरह से पूर्व-माप स्थिति σ को माप के बाद की अवस्था P(σ) से अलग नहीं कर सकता है। यह σ के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) और P(σ) के ट्रेस की तुलना करके गणितीय रूप से पूरा किया जाता है, जिसमें ट्रेस उप-स्थान H पर लिया जाता है।_A. चूंकि ट्रेस केवल एक उप-स्थान पर है, इसे तकनीकी रूप से आंशिक ट्रेस कहा जाता है। इस कदम की कुंजी यह धारणा है कि (आंशिक) ट्रेस बॉब के दृष्टिकोण से सिस्टम को पर्याप्त रूप से सारांशित करता है। यही है, वह सब कुछ जिसकी बॉब के पास पहुंच है, या जिस तक पहुंच हो सकती है, माप या पता लगाया जा सकता है, एच पर आंशिक निशान द्वारा पूरी तरह से वर्णित है_A सिस्टम का σ। दोबारा, यह एक उचित धारणा है, क्योंकि यह मानक क्वांटम यांत्रिकी का हिस्सा है। तथ्य यह है कि यह निशान कभी नहीं बदलता है क्योंकि ऐलिस अपना मापन करती है, यह नो-कम्युनिकेशन प्रमेय के प्रमाण का निष्कर्ष है।

सूत्रीकरण

प्रमेय का प्रमाण आमतौर पर बेल परीक्षणों की स्थापना के लिए चित्रित किया गया है जिसमें दो पर्यवेक्षक ऐलिस और बॉब एक ​​सामान्य द्विपक्षीय प्रणाली पर स्थानीय अवलोकन करते हैं, और क्वांटम यांत्रिकी की सांख्यिकीय मशीनरी का उपयोग करते हैं, अर्थात् घनत्व राज्य और क्वांटम संचालन।

ऐलिस और बॉब सिस्टम एस पर माप करते हैं जिसका अंतर्निहित हिल्बर्ट स्थान है

$$H=H_{A}\otimes H_{B}.$$

यह भी माना जाता है कि अभिसरण के मुद्दों से बचने के लिए सब कुछ परिमित-आयामी है। समग्र प्रणाली की स्थिति एच पर घनत्व ऑपरेटर द्वारा दी गई है। एच पर कोई घनत्व ऑपरेटर σ फॉर्म का योग है:

$$\sigma =\sum _{i}T_{i}\otimes S_{i}$$

जहां टी_iऔर एस_iH पर ऑपरेटर हैं_A और वह_B क्रमश। निम्नलिखित के लिए, यह मानने की आवश्यकता नहीं है कि टी_iऔर एस_iस्टेट प्रोजेक्शन ऑपरेटर हैं: यानी जरूरी नहीं कि वे गैर-नकारात्मक हों, न ही उनके पास एक का निशान हो। अर्थात्, σ की परिभाषा घनत्व मैट्रिक्स की तुलना में कुछ व्यापक हो सकती है; प्रमेय अभी भी है। ध्यान दें कि प्रमेय अलग-अलग राज्यों के लिए तुच्छ है। यदि साझा स्थिति σ वियोज्य है, तो यह स्पष्ट है कि ऐलिस द्वारा किया गया कोई भी स्थानीय ऑपरेशन बॉब के सिस्टम को बरकरार रखेगा। इस प्रकार प्रमेय की बात यह है कि साझा उलझी हुई स्थिति के माध्यम से कोई संचार प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

ऐलिस अपने सबसिस्टम पर एक स्थानीय माप करती है। सामान्य तौर पर, यह एक क्वांटम ऑपरेशन द्वारा वर्णित है, सिस्टम स्टेट पर, निम्न प्रकार का

$$P(\sigma )=\sum _{k}(V_{k}\otimes I_{H_{B}})^{*}\ \sigma \ (V_{k}\otimes I_{H_{B}}),$$

जहां वी_k पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्र कहलाते हैं जो संतुष्ट करते हैं

$$\sum _{k}V_{k}V_{k}^{*}=I_{H_{A}}.$$

अवधि

$$I_{H_{B}}$$

अभिव्यक्ति से

$$(V_{k}\otimes I_{H_{B}})$$

इसका मतलब है कि ऐलिस का माप उपकरण बॉब के सबसिस्टम के साथ इंटरैक्ट नहीं करता है।

मान लीजिए कि संयुक्त प्रणाली को राज्य σ में तैयार किया गया है और तर्क के प्रयोजनों के लिए, एक गैर-सापेक्षवादी स्थिति, ऐलिस द्वारा अपना माप करने के तुरंत बाद (बिना किसी समय की देरी के) मान लिया गया है, बॉब के सिस्टम की सापेक्ष स्थिति आंशिक ट्रेस द्वारा दी गई है। ऐलिस की प्रणाली के संबंध में समग्र स्थिति। प्रतीकों में, ऐलिस के ऑपरेशन के बाद बॉब की प्रणाली की सापेक्ष स्थिति है

$$\operatorname {tr} _{H_{A}}(P(\sigma ))$$

कहां $\operatorname {tr} _{H_{A}}$ ऐलिस की प्रणाली के संबंध में आंशिक ट्रेस मैपिंग है।

कोई इस स्थिति की सीधे गणना कर सकता है:

$${\begin{aligned}\operatorname {tr} _{H_{A}}(P(\sigma ))&=\operatorname {tr} _{H_{A}}\left(\sum _{k}(V_{k}\otimes I_{H_{B}})^{*}\sigma (V_{k}\otimes I_{H_{B}})\right)\\&=\operatorname {tr} _{H_{A}}\left(\sum _{k}\sum _{i}V_{k}^{*}T_{i}V_{k}\otimes S_{i}\right)\\&=\sum _{i}\sum _{k}\operatorname {tr} (V_{k}^{*}T_{i}V_{k})S_{i}\\&=\sum _{i}\sum _{k}\operatorname {tr} (T_{i}V_{k}V_{k}^{*})S_{i}\\&=\sum _{i}\operatorname {tr} \left(T_{i}\sum _{k}V_{k}V_{k}^{*}\right)S_{i}\\&=\sum _{i}\operatorname {tr} (T_{i})S_{i}\\&=\operatorname {tr} _{H_{A}}(\sigma ).\end{aligned}}$$

इससे यह तर्क दिया जाता है कि, सांख्यिकीय रूप से, बॉब ऐलिस ने क्या किया और एक यादृच्छिक माप (या उसने कुछ भी किया या नहीं) के बीच अंतर नहीं बता सकता।

कुछ टिप्पणियाँ

• यदि घनत्व ऑपरेटर $P(\sigma )$ ए और बी के बीच गैर-स्थानीय बातचीत के प्रभाव में विकसित होने की अनुमति दी जाती है, तो आम तौर पर सबूत में गणना अब नहीं होती है, जब तक कि उपयुक्त कम्यूटेशन संबंधों को ग्रहण न किया जाए।
• असंचार प्रमेय इस प्रकार कहता है कि केवल साझा उलझाव का उपयोग किसी भी सूचना को प्रसारित करने के लिए नहीं किया जा सकता है। इसकी तुलना नो-टेलीपोर्टेशन प्रमेय से करें, जिसमें कहा गया है कि शास्त्रीय सूचना चैनल क्वांटम सूचना प्रसारित नहीं कर सकता है। (ट्रांसमिट से हमारा मतलब पूरी निष्ठा के साथ ट्रांसमिशन से है।) हालांकि, क्वांटम टेलीपोर्टेशन योजनाएं दोनों संसाधनों का उपयोग करती हैं ताकि वह हासिल किया जा सके जो अकेले दोनों के लिए असंभव है।
• नो-कम्युनिकेशन प्रमेय का तात्पर्य नो-क्लोनिंग प्रमेय से है, जो बताता है कि क्वांटम स्टेट्स (पूरी तरह से) कॉपी नहीं किए जा सकते। अर्थात्, शास्त्रीय सूचना के संचार के लिए क्लोनिंग एक पर्याप्त स्थिति है। इसे देखने के लिए, मान लीजिए कि क्वांटम राज्यों को क्लोन किया जा सकता है। मान लें कि अधिकतम उलझी हुई अवस्था बेल अवस्था के कुछ भाग ऐलिस और बॉब को वितरित किए गए हैं। ऐलिस बॉब को निम्नलिखित तरीके से बिट्स भेज सकती है: यदि ऐलिस 0 को संचारित करना चाहती है, तो वह अपने इलेक्ट्रॉन के स्पिन को 'z' दिशा में मापती है, बॉब की स्थिति को या तो ढहा देती है $|z+\rangle _{B}$ या $|z-\rangle _{B}$. 1 संचारित करने के लिए, ऐलिस अपनी कक्षा में कुछ नहीं करती है। बॉब अपने इलेक्ट्रॉन की स्थिति की कई प्रतियाँ बनाता है, और प्रत्येक प्रति के स्पिन को z दिशा में मापता है। बॉब को पता चलेगा कि ऐलिस ने 0 प्रेषित किया है यदि उसके सभी माप एक ही परिणाम उत्पन्न करेंगे; अन्यथा, उसके माप के परिणाम होंगे $|z+\rangle _{B}$ या $|z-\rangle _{B}$ समान संभावना के साथ। यह ऐलिस और बॉब को एक दूसरे के बीच शास्त्रीय बिट्स को संवाद करने की अनुमति देगा (संभवतः अंतरिक्ष-जैसे अलगाव, कार्य-कारण का उल्लंघन)।
• इस आलेख में चर्चा किए गए नो-कम्युनिकेशन प्रमेय का संस्करण मानता है कि ऐलिस और बॉब द्वारा साझा की गई क्वांटम प्रणाली एक समग्र प्रणाली है, यानी इसका अंतर्निहित हिल्बर्ट स्पेस एक टेन्सर उत्पाद है जिसका पहला कारक सिस्टम के उस हिस्से का वर्णन करता है जो ऐलिस कर सकता है के साथ इंटरैक्ट करता है और जिसका दूसरा फैक्टर सिस्टम के उस हिस्से का वर्णन करता है जिसके साथ बॉब इंटरैक्ट कर सकता है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, इस धारणा को इस धारणा से बदला जा सकता है कि ऐलिस और बॉब स्पेसटाइम # अंतरिक्ष की तरह इंटरवल हैं। नो-कम्युनिकेशन प्रमेय के इस वैकल्पिक संस्करण से पता चलता है कि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के नियमों का पालन करने वाली प्रक्रियाओं का उपयोग करके तेज़-से-प्रकाश संचार प्राप्त नहीं किया जा सकता है।
• नो-कम्युनिकेशन प्रमेय का प्रमाण मानता है कि बॉब के सिस्टम के सभी मापने योग्य गुणों की गणना उसके कम घनत्व वाले मैट्रिक्स से की जा सकती है, जो कि विभिन्न मापन करने की संभावना की गणना के लिए बोर्न नियम को देखते हुए सही है। लेकिन बोर्न नियम के साथ यह समानता अनिवार्य रूप से विपरीत दिशा में भी प्राप्त की जा सकती है, जिसमें यह दिखाना संभव है कि बोर्न नियम इस धारणा से चलता है कि अंतरिक्ष जैसी अलग-अलग घटनाएँ एक-दूसरे को प्रभावित करके कार्य-कारण का उल्लंघन नहीं कर सकती हैं।

यह भी देखें

• नो-ब्रॉडकास्ट प्रमेय
• नो-क्लोनिंग प्रमेय
• नो-डिलीटिंग प्रमेय
• नो-हाइडिंग प्रमेय
• नो-टेलीपोर्टेशन प्रमेय

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संदर्भ

• Hall, Michael J.W. (1987). "Imprecise measurements and non-locality in quantum mechanics". Physics Letters A. Elsevier BV. 125 (2–3): 89–91. Bibcode:1987PhLA..125...89H. doi:10.1016/0375-9601(87)90127-7. ISSN 0375-9601.
• Ghirardi, G. C.; Grassi, R; Rimini, A; Weber, T (1988-05-15). "Experiments of the EPR Type Involving CP-Violation Do not Allow Faster-than-Light Communication between Distant Observers". Europhysics Letters (EPL). IOP Publishing. 6 (2): 95–100. Bibcode:1988EL......6...95G. doi:10.1209/0295-5075/6/2/001. ISSN 0295-5075. S2CID 250762344.
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