आंशिक निशान

Left हाथ की ओर एक पूर्ण घनत्व मैट्रिक्स दिखाता है $\rho _{AB}$ एक द्विदलीय qubit प्रणाली का। आंशिक ट्रेस 2 बाय 2 आयाम (सिंगल क्वबिट डेंसिटी मैट्रिक्स) के सबसिस्टम पर किया जाता है। दाहिनी ओर परिणामी 2 बटा 2 कम घनत्व मैट्रिक्स को दर्शाता है $\rho _{A}$.

रैखिक बीजगणित और कार्यात्मक विश्लेषण में, आंशिक ट्रेस ट्रेस (रैखिक बीजगणित) का एक सामान्यीकरण है। जबकि ट्रेस ऑपरेटरों पर एक स्केलर (गणित)-मूल्यवान फ़ंक्शन है, आंशिक ट्रेस एक ऑपरेटर (गणित)-मूल्यवान फ़ंक्शन है। आंशिक ट्रेस में क्वांटम जानकारी और असम्बद्धता में अनुप्रयोग होते हैं जो क्वांटम माप के लिए प्रासंगिक है और इस प्रकार लगातार इतिहास और सापेक्ष स्थिति व्याख्या सहित क्वांटम यांत्रिकी की व्याख्याओं के लिए डिकोहेरेंट दृष्टिकोण के लिए प्रासंगिक है।

विवरण

कल्पना करना $V$, $W$ आयामों के साथ एक क्षेत्र (गणित) पर परिमित-आयामी सदिश स्थल हैं $m$ और $n$, क्रमश। किसी भी स्थान के लिए $A$, होने देना $L(A)$ पर रैखिक ऑपरेटरों के स्थान को निरूपित करें $A$. आंशिक ट्रेस खत्म $W$ फिर इस प्रकार लिखा जाता है $\operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\to \operatorname {L} (V)$.

इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: के लिए $T\in \operatorname {L} (V\otimes W)$, होने देना $e_{1},\ldots ,e_{m}$, और $f_{1},\ldots ,f_{n}$, क्रमशः V और W के लिए आधार बनें; फिर टी एक मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व है

$\{a_{k\ell ,ij}\}\quad 1\leq k,i\leq m,\quad 1\leq \ell ,j\leq n$

आधार के सापेक्ष $e_{k}\otimes f_{\ell }$ का $V\otimes W$.

अब सूचकांक k, i के लिए श्रेणी 1, ..., m में, योग पर विचार करें

$b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}.$

यह एक मैट्रिक्स बी देता है_{k, i}. वी पर संबद्ध रैखिक ऑपरेटर आधारों की पसंद से स्वतंत्र है और परिभाषा के अनुसार 'आंशिक ट्रेस' है।

भौतिकविदों के बीच, इसे अक्सर उस संदर्भ में V पर केवल एक ऑपरेटर छोड़ने के लिए W पर ट्रेसिंग आउट या ट्रेसिंग कहा जाता है, जहां W और V क्वांटम सिस्टम से जुड़े हिल्बर्ट स्थान हैं (नीचे देखें)।

अपरिवर्तनीय परिभाषा

आंशिक ट्रेस ऑपरेटर को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है (अर्थात, बिना किसी आधार के संदर्भ के): यह अद्वितीय रैखिक मानचित्र है

$\operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\rightarrow \operatorname {L} (V)$ ऐसा है कि

$\operatorname {Tr} _{W}(R\otimes S)=\operatorname {Tr} (S)\,R\quad \forall R\in \operatorname {L} (V)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W).$

यह देखने के लिए कि उपरोक्त स्थितियाँ आंशिक ट्रेस को विशिष्ट रूप से निर्धारित करती हैं, आइए $v_{1},\ldots ,v_{m}$ के लिए एक आधार तैयार करें $V$, होने देना $w_{1},\ldots ,w_{n}$ के लिए एक आधार तैयार करें $W$, होने देना $E_{ij}\colon V\to V$ वह मानचित्र बनें जो भेजता है $v_{i}$ को $v_{j}$ (और अन्य सभी आधार तत्व शून्य पर), और चलो $F_{kl}\colon W\to W$ वह मानचित्र बनें जो भेजता है $w_{k}$ को $w_{l}$. वैक्टर के बाद से $v_{i}\otimes w_{k}$ के लिए एक आधार तैयार करें $V\otimes W$, मानचित्र $E_{ij}\otimes F_{kl}$ के लिए एक आधार तैयार करें $\operatorname {L} (V\otimes W)$.

इस अमूर्त परिभाषा से, निम्नलिखित गुण अनुसरण करते हैं:

$\operatorname {Tr} _{W}(I_{V\otimes W})=\dim W\ I_{V}$

$\operatorname {Tr} _{W}(T(I_{V}\otimes S))=\operatorname {Tr} _{W}((I_{V}\otimes S)T)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W)\quad \forall T\in \operatorname {L} (V\otimes W).$

श्रेणी सैद्धांतिक धारणा

यह रैखिक परिवर्तनों का आंशिक निशान है जो जॉयल, स्ट्रीट और वेरिटी की पता लगाया गया मोनोइडल श्रेणी की धारणा का विषय है। एक अनुरेखित मोनोइडल श्रेणी एक मोनोइडल श्रेणी है $(C,\otimes ,I)$ साथ में, श्रेणी में वस्तुओं X, Y, U के लिए, होम-सेट का एक फ़ंक्शन,

$\operatorname {Tr} _{X,Y}^{U}\colon \operatorname {Hom} _{C}(X\otimes U,Y\otimes U)\to \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)$

कुछ सिद्धांतों को संतुष्ट करना।

आंशिक ट्रेस की इस अमूर्त धारणा का एक और मामला परिमित सेट और उनके बीच के आक्षेपों की श्रेणी में होता है, जिसमें मोनोइडल उत्पाद असंयुक्त संघ होता है। कोई इसे किसी भी परिमित सेट, एक्स, वाई, यू और आक्षेप के लिए दिखा सकता है $X+U\cong Y+U$ वहाँ एक संगत आंशिक रूप से पता लगाया आक्षेप मौजूद है $X\cong Y$.

हिल्बर्ट स्पेस पर ऑपरेटरों के लिए आंशिक ट्रेस

आंशिक ट्रेस अनंत आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर ऑपरेटरों के लिए सामान्यीकरण करता है। मान लीजिए V, W हिल्बर्ट स्थान हैं, और होने देना

$\{f_{i}\}_{i\in I}$

डब्ल्यू के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनें। अब एक आइसोमेट्रिक आइसोमोर्फिज्म है

$\bigoplus _{\ell \in I}(V\otimes \mathbb {C} f_{\ell })\rightarrow V\otimes W$

इस अपघटन के अंतर्गत कोई भी ऑपरेटर $T\in \operatorname {L} (V\otimes W)$ एक अनंत मैट्रिक्स के रूप में माना जा सकता है वी पर ऑपरेटरों की

${\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}&\ldots &T_{1j}&\ldots \\T_{21}&T_{22}&\ldots &T_{2j}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \\T_{k1}&T_{k2}&\ldots &T_{kj}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \end{bmatrix}},$

कहाँ $T_{k\ell }\in \operatorname {L} (V)$.

पहले मान लीजिए कि T एक गैर-ऋणात्मक संकारक है। इस मामले में, उपरोक्त मैट्रिक्स की सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ V पर गैर-नकारात्मक ऑपरेटर हैं। यदि योग

$\sum _{\ell }T_{\ell \ell }$

L(V) के मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी में अभिसरण होता है, यह W के चुने हुए आधार से स्वतंत्र है। आंशिक ट्रेस Tr_W(टी) को इस ऑपरेटर के रूप में परिभाषित किया गया है। सेल्फ-एडजॉइंट ऑपरेटर का आंशिक ट्रेस तभी परिभाषित किया जाता है जब सकारात्मक और नकारात्मक भागों के आंशिक ट्रेस परिभाषित किए जाते हैं।

आंशिक ट्रेस की गणना

मान लीजिए कि W का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार है, जिसे हम गुड-केट वेक्टर नोटेशन द्वारा निरूपित करते हैं $\{|\ell \rangle \}_{\ell }$. तब

$\operatorname {Tr} _{W}\left(\sum _{k,\ell }T^{(k\ell )}\,\otimes \,|k\rangle \langle \ell |\right)=\sum _{j}T^{(jj)}.$

कोष्ठक में सुपरस्क्रिप्ट मैट्रिक्स घटकों का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, बल्कि मैट्रिक्स को स्वयं लेबल करते हैं।

आंशिक ट्रेस और अपरिवर्तनीय एकीकरण

परिमित आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान के मामले में, डब्ल्यू के एकात्मक समूह यू (डब्ल्यू) पर उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत हार माप μ के संबंध में एकीकरण से जुड़े आंशिक ट्रेस को देखने का एक उपयोगी तरीका है। उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत का मतलब है कि μ को लिया जाता है कुल द्रव्यमान मंद(W) वाला एक माप।

'प्रमेय'. मान लीजिए V, W परिमित आयामी हिल्बर्ट स्थान हैं। तब

$\int _{\operatorname {U} (W)}(I_{V}\otimes U^{*})T(I_{V}\otimes U)\ d\mu (U)$

फॉर्म के सभी ऑपरेटरों के साथ आवागमन करता है $I_{V}\otimes S$ और इसलिए इसका स्वरूप विशिष्ट है $R\otimes I_{W}$. ऑपरेटर R, T का आंशिक ट्रेस है।

क्वांटम ऑपरेशन के रूप में आंशिक ट्रेस

आंशिक ट्रेस को क्वांटम ऑपरेशन के रूप में देखा जा सकता है। एक क्वांटम यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें जिसका राज्य स्थान टेंसर उत्पाद है $H_{A}\otimes H_{B}$ हिल्बर्ट स्थानों का. एक मिश्रित अवस्था का वर्णन घनत्व मैट्रिक्स ρ द्वारा किया जाता है, अर्थात टेंसर उत्पाद पर ट्रेस 1 का एक गैर-नकारात्मक ट्रेस-क्लास ऑपरेटर $H_{A}\otimes H_{B}.$ सिस्टम बी के संबंध में ρ का आंशिक ट्रेस, द्वारा दर्शाया गया है $\rho ^{A}$, को सिस्टम ए पर ρ की घटी हुई अवस्था कहा जाता है। प्रतीकों में,

$\rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\rho .$

यह दिखाने के लिए कि ए सबसिस्टम पर ρ को एक राज्य निर्दिष्ट करने का यह वास्तव में एक समझदार तरीका है, हम निम्नलिखित औचित्य प्रदान करते हैं। मान लीजिए कि एम सबसिस्टम ए पर एक अवलोकन योग्य है, तो समग्र प्रणाली पर संबंधित अवलोकन योग्य है $M\otimes I$. हालाँकि कोई कम अवस्था को परिभाषित करना चुनता है $\rho ^{A}$, माप आँकड़ों में एकरूपता होनी चाहिए। सबसिस्टम ए तैयार होने के बाद एम का अपेक्षित मूल्य $\rho ^{A}$ और वह का $M\otimes I$ जब समग्र प्रणाली ρ में तैयार की जाती है तो वही होनी चाहिए, यानी निम्नलिखित समानता होनी चाहिए:

$\operatorname {Tr} (M\cdot \rho ^{A})=\operatorname {Tr} (M\otimes I\cdot \rho ).$

हम देखते हैं कि यह संतुष्ट है यदि $\rho ^{A}$ जैसा कि ऊपर आंशिक ट्रेस के माध्यम से परिभाषित किया गया है। इसके अलावा, ऐसा ऑपरेशन अद्वितीय है।

मान लें कि T(H) हिल्बर्ट स्पेस H पर ट्रेस-क्लास ऑपरेटरों का बनच स्थान है। यह आसानी से जांचा जा सकता है कि आंशिक ट्रेस, मानचित्र के रूप में देखा जाता है

$\operatorname {Tr} _{B}:T(H_{A}\otimes H_{B})\rightarrow T(H_{A})$

पूरी तरह से सकारात्मक और ट्रेस-संरक्षित है।

घनत्व मैट्रिक्स ρ हर्मिटियन मैट्रिक्स, सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स | सकारात्मक अर्ध-निश्चित है, और इसमें 1 का निशान है। इसमें एक वर्णक्रमीय अपघटन (मैट्रिक्स) है:

$\rho =\sum _{m}p_{m}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|;\ 0\leq p_{m}\leq 1,\ \sum _{m}p_{m}=1$

यह देखना आसान है कि आंशिक ट्रेस $\rho ^{A}$ इन शर्तों को भी पूरा करता है. उदाहरण के लिए, किसी भी शुद्ध अवस्था के लिए $|\psi _{A}\rangle$ में $H_{A}$, अपने पास

$\langle \psi _{A}|\rho ^{A}|\psi _{A}\rangle =\sum _{m}p_{m}\operatorname {Tr} _{B}[\langle \psi _{A}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|\psi _{A}\rangle ]\geq 0$

ध्यान दें कि शब्द $\operatorname {Tr} _{B}[\langle \psi _{A}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|\psi _{A}\rangle ]$ राज्य को खोजने की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है $|\psi _{A}\rangle$ जब राज्य में कम्पोजिट सिस्टम है $|\Psi _{m}\rangle$. यह की सकारात्मक अर्ध-निश्चितता को सिद्ध करता है $\rho ^{A}$.

जैसा कि ऊपर दिया गया आंशिक ट्रेस मानचित्र एक दोहरे मानचित्र को प्रेरित करता है $\operatorname {Tr} _{B}^{*}$ बाउंडेड ऑपरेटरों के C*-बीजगणित के बीच $\;H_{A}$ और $H_{A}\otimes H_{B}$ द्वारा दिए गए

$\operatorname {Tr} _{B}^{*}(A)=A\otimes I.$

$\operatorname {Tr} _{B}^{*}$ अवलोकन योग्य से अवलोकन योग्य मानचित्र और हाइजेनबर्ग चित्र प्रतिनिधित्व है $\operatorname {Tr} _{B}$.

शास्त्रीय मामले के साथ तुलना

मान लीजिए कि क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम के बजाय, दो सिस्टम ए और बी शास्त्रीय हैं। प्रत्येक प्रणाली के लिए वेधशालाओं का स्थान एबेलियन सी*-बीजगणित है। ये कॉम्पैक्ट स्पेस एक्स, वाई के लिए क्रमशः सी (एक्स) और सी (वाई) फॉर्म के हैं। समग्र प्रणाली का राज्य स्थान बस है

$C(X)\otimes C(Y)=C(X\times Y).$

समग्र प्रणाली पर एक अवस्था C(X × Y) के दोहरे का एक सकारात्मक तत्व ρ है, जो रिज़्ज़-मार्कोव प्रमेय द्वारा X × Y पर एक नियमित बोरेल माप से मेल खाती है। माप को प्रक्षेपित करके संबंधित कम स्थिति प्राप्त की जाती है ρ से X. इस प्रकार आंशिक ट्रेस इस ऑपरेशन का क्वांटम मैकेनिकल समकक्ष है।

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