पारलौकिक कार्य

गणित में, एक पारलौकिक फलन एक विश्लेषणात्मक फलन होता है जो एक बीजगणितीय फलन के विपरीत एक बहुपद समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।^[1]^[2] दूसरे शब्दों में, एक ट्रान्सेंडैंटल फ़ंक्शन :wikt:transcend algebra कि इसे बीजगणितीय रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

पारलौकिक कार्यों के उदाहरणों में घातीय कार्य, लघुगणक और त्रिकोणमितीय कार्य शामिल हैं।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, एक विश्लेषणात्मक कार्य $f (z)$ एक वास्तविक संख्या या जटिल संख्या चर का $z$ पारलौकिक है यदि यह बीजगणितीय रूप से उस चर से स्वतंत्र है।^[3] इसे कई वास्तविक चरों के कार्य तक बढ़ाया जा सकता है।

इतिहास

ट्रान्सेंडैंटल फ़ंक्शंस उन लोगों के और [[ कोजाना ]] पुरातनता में भौतिक माप से त्रिकोणमितीय तालिकाएँ थीं, जैसा कि ग्रीस (हिप्पार्कस) और भारत (ज्य और कोटि-जय) में प्रमाणित है। टॉलेमी की तारों की तालिका का वर्णन करते हुए, साइन की तालिका के बराबर, ओलाफ पेडरसन ने लिखा:

The mathematical notion of continuity as an explicit concept is unknown to Ptolemy. That he, in fact, treats these functions as continuous appears from his unspoken presumption that it is possible to determine a value of the dependent variable corresponding to any value of the independent variable by the simple process of linear interpolation.^[4]

इन परिपत्र कार्यों की एक क्रांतिकारी समझ 17 वीं शताब्दी में हुई और लियोनहार्ड यूलर द्वारा 1748 में अपने परिचय में अनंत के विश्लेषण में इसका पता लगाया गया। आयताकार अतिपरवलय के चतुर्भुज (गणित) के माध्यम से ये प्राचीन पारलौकिक कार्य निरंतर कार्यों के रूप में जाने जाते हैं $xy = 1$ 1647 में ग्रेगोइरे डे सेंट-विन्सेंट द्वारा, आर्किमिडीज़ द्वारा पैराबोला के चतुर्भुज का निर्माण करने के दो सहस्राब्दियों के बाद।

हाइपरबोला के अंतर्गत क्षेत्र को सीमा के निरंतर अनुपात के लिए स्थिर क्षेत्र की स्केलिंग संपत्ति के रूप में दिखाया गया था। अतिशयोक्तिपूर्ण लघुगणक फ़ंक्शन का वर्णन 1748 तक सीमित सेवा का था, जब लियोनहार्ड यूलर ने इसे उन कार्यों से संबंधित किया था जहां एक निरंतर एक चर घातांक के लिए उठाया जाता है, जैसे कि घातीय फ़ंक्शन जहां निरंतर आधार (घातांक) e (गणितीय स्थिरांक) है। इन पारलौकिक कार्यों को शुरू करने और एक व्युत्क्रम कार्य का अर्थ करने वाली आपत्ति संपत्ति को ध्यान में रखते हुए, प्राकृतिक लघुगणक के बीजगणितीय जोड़तोड़ के लिए कुछ सुविधा प्रदान की गई थी, भले ही यह बीजगणितीय कार्य न हो।

घातीय कार्य लिखा है $\exp(x)=e^{x}$ . यूलर ने इसकी पहचान अनंत श्रृंखला से की ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$ , कहाँ $k!$ के भाज्य को दर्शाता है $k$ .

इस श्रंखला के सम और विषम पद योग दर्शाते हुए प्रदान करते हैं $cosh(x)$ और $sinh(x)$ , ताकि $e^{x}=\cosh x+\sinh x.$ इन अनुवांशिक अतिपरवलयिक कार्यों को शुरू करके साइन और कोसाइन में परिपत्र कार्यों में परिवर्तित किया जा सकता है $(-1) k$ श्रृंखला में, जिसके परिणामस्वरूप वैकल्पिक श्रृंखला होती है। यूलर के बाद, गणितज्ञ जटिल संख्या अंकगणित में अक्सर यूलर के सूत्र के माध्यम से साइन और कोसाइन को लघुगणक और प्रतिपादक कार्यों के उत्थान से संबंधित करने के लिए देखते हैं।

उदाहरण

निम्नलिखित कार्य पारलौकिक हैं:

{\begin{aligned}f_{1}(x)&=x^{\pi }\\[2pt]f_{2}(x)&=c^{x}\\[2pt]f_{3}(x)&=x^{x}\\f_{4}(x)&=x^{\frac {1}{x}}={\sqrt[{x}]{x}}\\[2pt]f_{5}(x)&=\log _{c}x\\[2pt]f_{6}(x)&=\sin {x}\end{aligned}}

दूसरे समारोह के लिए

f_{2}(x)

, अगर हम सेट करते हैं

c

के बराबर

e

, चरघातांकी फलन, तो हमें वह मिलता है

e^{x}

एक पारलौकिक कार्य है। इसी तरह, अगर हम सेट करते हैं

c

के बराबर

e

में

f_{5}(x)

, तो हमें वह मिलता है

f_{5}(x)=\log _{e}x=\ln x

(अर्थात, प्राकृतिक लघुगणक) एक पारलौकिक कार्य है।

बीजगणितीय और पारलौकिक कार्य

सबसे परिचित पारलौकिक कार्य लघुगणक, घातीय कार्य (किसी भी गैर-तुच्छ आधार के साथ), त्रिकोणमितीय कार्य और अतिपरवलयिक कार्य और इन सभी के व्युत्क्रम कार्य हैं। कम परिचित गणितीय विश्लेषण के विशेष कार्य हैं, जैसे कि गामा समारोह, दीर्घवृत्तीय फ़ंक्शन और जीटा समारोह, जो सभी ट्रान्सेंडैंटल हैं। सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय फ़ंक्शन और बेसेल समारोह फ़ंक्शन सामान्य रूप से पारलौकिक हैं, लेकिन कुछ विशेष पैरामीटर मानों के लिए बीजगणितीय हैं।

एक कार्य जो पारलौकिक नहीं है वह बीजगणितीय है। बीजगणितीय कार्यों के सरल उदाहरण तर्कसंगत कार्य और वर्गमूल कार्य हैं, लेकिन सामान्य तौर पर, बीजगणितीय कार्यों को प्राथमिक कार्यों के परिमित सूत्रों के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है।^[5] कई बीजगणितीय कार्यों का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग पारलौकिक है। उदाहरण के लिए, अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र के क्षेत्र को खोजने के प्रयास में लघुगणक फलन गुणक व्युत्क्रम से उत्पन्न हुआ।

डिफरेंशियल बीजगणित जांच करता है कि कैसे एकीकरण अक्सर ऐसे कार्यों का निर्माण करता है जो बीजीय रूप से कुछ वर्ग से स्वतंत्र होते हैं, जैसे कि जब कोई चर के रूप में त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ बहुपद लेता है।

भावातीत रूप से पारलौकिक कार्य

गणितीय भौतिकी के विशेष कार्यों सहित अधिकांश परिचित ट्रान्सेंडैंटल फ़ंक्शन, बीजगणितीय अंतर समीकरणों के समाधान हैं। जो नहीं हैं, जैसे कि गामा फ़ंक्शन और ज़ेटा फ़ंक्शन फ़ंक्शंस, उन्हें ट्रान्सेंडैंटली ट्रान्सेंडैंटल या हाइपरट्रांसेंडेंटल फ़ंक्शन फ़ंक्शन कहा जाता है।^[6]

असाधारण सेट

अगर $f$ एक बीजगणितीय कार्य है और $\alpha$ तब एक बीजगणितीय संख्या है $f (α)$ भी एक बीजगणितीय संख्या है। इसका विलोम सत्य नहीं है: संपूर्ण कार्य हैं $f$ ऐसा है कि $f (α)$ किसी भी बीजगणितीय के लिए एक बीजगणितीय संख्या है $α$ .^[7] किसी दिए गए ट्रान्सेंडैंटल फ़ंक्शन के लिए बीजगणितीय परिणाम देने वाले बीजगणितीय संख्याओं के सेट को उस फ़ंक्शन का असाधारण सेट कहा जाता है।^[8]^[9] औपचारिक रूप से इसे परिभाषित किया गया है:

{\mathcal {E}}(f)=\left\{\alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}\,:\,f(\alpha )\in {\overline {\mathbb {Q} }}\right\}.

कई उदाहरणों में असाधारण सेट काफी छोटा होता है। उदाहरण के लिए,

{\mathcal {E}}(\exp )=\{0\},

यह 1882 में फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन द्वारा सिद्ध किया गया था। विशेष रूप से

exp(1) = e

पारलौकिक है। इसके अलावा, चूंकि

exp(iπ) = -1

बीजगणितीय है जो हम जानते हैं

iπ

बीजगणितीय नहीं हो सकता। तब से

i

बीजगणितीय है इसका तात्पर्य है कि

π

एक पारलौकिक संख्या है।

सामान्य तौर पर, किसी फ़ंक्शन के असाधारण सेट को ढूंढना एक कठिन समस्या है, लेकिन अगर इसकी गणना की जा सकती है तो यह अक्सर पारलौकिक संख्या सिद्धांत में परिणाम दे सकता है। यहाँ कुछ अन्य ज्ञात असाधारण सेट हैं:

क्लेन का जे-इनवेरिएंट|जे-इनवेरिएंट ${\mathcal {E}}(j)=\left\{\alpha \in {\mathcal {H}}\,:\,[\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]=2\right\},$ कहाँ ${\mathcal {H}}$ ऊपरी आधा विमान है, और $[\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]$ बीजगणितीय संख्या क्षेत्र के क्षेत्र विस्तार की डिग्री है $\mathbb {Q} (\alpha ).$ यह परिणाम थियोडोर श्नाइडर के कारण है।^[10]
आधार 2 में घातीय फलन: ${\mathcal {E}}(2^{x})=\mathbb {Q} ,$ यह परिणाम गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय का परिणाम है, जिसमें कहा गया है कि अगर $\alpha \neq 0,1$ बीजगणितीय है, और $\beta$ तब बीजगणितीय और अपरिमेय है $\alpha ^{\beta }$ पारलौकिक है। इस प्रकार समारोह $2 x$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $c x$ किसी भी बीजगणितीय के लिए $c$ 0 या 1 के बराबर नहीं। दरअसल, हमारे पास: ${\mathcal {E}}(x^{x})={\mathcal {E}}\left(x^{\frac {1}{x}}\right)=\mathbb {Q} \setminus \{0\}.$
पारलौकिक संख्या सिद्धांत में शैनुअल के अनुमान का एक परिणाम यह होगा ${\mathcal {E}}\left(e^{e^{x}}\right)=\emptyset .$
खाली असाधारण सेट वाला एक फ़ंक्शन जिसे शानुएल के अनुमान को मानने की आवश्यकता नहीं है $f(x)=\exp(1+\pi x).$

किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए असाधारण सेट की गणना करना आसान नहीं है, यह ज्ञात है कि बीजगणितीय संख्याओं का कोई भी सबसेट दिया गया है, मान लीजिए $A$ , एक पारलौकिक कार्य है जिसका असाधारण सेट है $A$ .^[11] सबसेट को उचित होने की आवश्यकता नहीं है, जिसका अर्थ है $A$ बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय हो सकता है। इसका सीधा अर्थ है कि पारलौकिक कार्य मौजूद हैं जो पारलौकिक संख्याएँ तभी उत्पन्न करते हैं जब पारलौकिक संख्याएँ दी जाती हैं। एलेक्स विल्की ने यह भी साबित कर दिया कि ऐसे पारलौकिक कार्य मौजूद हैं जिनके लिए उनके पारगमन के बारे में प्रथम-क्रम-तर्क प्रमाण एक अनुकरणीय विश्लेषणात्मक कार्य प्रदान करके मौजूद नहीं हैं।^[12]

आयामी विश्लेषण

आयामी विश्लेषण में, अनुवांशिक कार्य उल्लेखनीय हैं क्योंकि वे केवल तभी समझ में आते हैं जब उनका तर्क आयाम रहित मात्रा (संभवतः बीजगणितीय कमी के बाद) होता है। इस वजह से, पारलौकिक कार्य आयामी त्रुटियों का एक आसान-से-स्थान स्रोत हो सकता है। उदाहरण के लिए, $log(5 metres)$ एक निरर्थक अभिव्यक्ति है, इसके विपरीत $log(5 metres / 3 metres)$ या $log(3) metres$ . प्राप्त करने के लिए कोई लॉगरिदमिक पहचान लागू करने का प्रयास कर सकता है $log(5) + log(metres)$ , जो समस्या को उजागर करता है: एक गैर-बीजीय संक्रिया को एक आयाम पर लागू करने से अर्थहीन परिणाम पैदा होते हैं।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Townsend, E.J. (1915). एक जटिल चर के कार्य. H. Holt. p. 300. OCLC 608083625.
↑ Hazewinkel, Michiel (1993). गणित का विश्वकोश. Vol. 9. pp. 236.
↑ Waldschmidt, M. (2000). रेखीय बीजगणितीय समूहों पर डायोफैंटाइन सन्निकटन. Springer. ISBN 978-3-662-11569-5.
↑ Pedersen, Olaf (1974). Survey of the Almagest. Odense University Press. p. 84. ISBN 87-7492-087-1.
↑ cf. Abel–Ruffini theorem
↑ Rubel, Lee A. (November 1989). "ट्रान्सेंडैंटली ट्रान्सेंडैंटल फ़ंक्शंस का एक सर्वेक्षण". The American Mathematical Monthly. 96 (9): 777–788. doi:10.1080/00029890.1989.11972282. JSTOR 2324840.
↑ van der Poorten, A.J. (1968). "ट्रान्सेंडैंटल संपूर्ण फ़ंक्शन प्रत्येक बीजगणितीय संख्या फ़ील्ड को अपने आप में मैप करता है". J. Austral. Math. Soc. 8 (2): 192–8. doi:10.1017/S144678870000522X. S2CID 121788380.
↑ Marques, D.; Lima, F.M.S. (2010). "कुछ पारलौकिक कार्य जो प्रत्येक बीजगणितीय प्रविष्टि के लिए पारलौकिक मान उत्पन्न करते हैं". arXiv:1004.1668v1 [math.NT].
↑ Archinard, N. (2003). "हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के असाधारण सेट". Journal of Number Theory. 101 (2): 244–269. doi:10.1016/S0022-314X(03)00042-8.
↑ Schneider, T. (1937). "अण्डाकार समाकलों की अंकगणितीय जांच". Math. Annalen. 113: 1–13. doi:10.1007/BF01571618. S2CID 121073687.
↑ Waldschmidt, M. (2009). "अनुवांशिक संख्या सिद्धांत में सहायक कार्य". The Ramanujan Journal. 20 (3): 341–373. arXiv:0908.4024. doi:10.1007/s11139-009-9204-y. S2CID 122797406.
↑ Wilkie, A.J. (1998). "एक बीजीय रूप से रूढ़िवादी, पारलौकिक कार्य". Paris VII Preprints. 66.

बाहरी संबंध

Definition of "Transcendental function" in the Encyclopedia of Math

[1] Townsend, E.J. (1915). एक जटिल चर के कार्य. H. Holt. p. 300. OCLC 608083625.

[2] Hazewinkel, Michiel (1993). गणित का विश्वकोश. Vol. 9. pp. 236.

[3] Waldschmidt, M. (2000). रेखीय बीजगणितीय समूहों पर डायोफैंटाइन सन्निकटन. Springer. ISBN 978-3-662-11569-5.

[4] Pedersen, Olaf (1974). Survey of the Almagest. Odense University Press. p. 84. ISBN 87-7492-087-1.

[5] cf. Abel–Ruffini theorem

[6] Rubel, Lee A. (November 1989). "ट्रान्सेंडैंटली ट्रान्सेंडैंटल फ़ंक्शंस का एक सर्वेक्षण". The American Mathematical Monthly. 96 (9): 777–788. doi:10.1080/00029890.1989.11972282. JSTOR 2324840.

[7] van der Poorten, A.J. (1968). "ट्रान्सेंडैंटल संपूर्ण फ़ंक्शन प्रत्येक बीजगणितीय संख्या फ़ील्ड को अपने आप में मैप करता है". J. Austral. Math. Soc. 8 (2): 192–8. doi:10.1017/S144678870000522X. S2CID 121788380.

[8] Marques, D.; Lima, F.M.S. (2010). "कुछ पारलौकिक कार्य जो प्रत्येक बीजगणितीय प्रविष्टि के लिए पारलौकिक मान उत्पन्न करते हैं". arXiv:1004.1668v1 [math.NT].

[9] Archinard, N. (2003). "हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के असाधारण सेट". Journal of Number Theory. 101 (2): 244–269. doi:10.1016/S0022-314X(03)00042-8.

[10] Schneider, T. (1937). "अण्डाकार समाकलों की अंकगणितीय जांच". Math. Annalen. 113: 1–13. doi:10.1007/BF01571618. S2CID 121073687.

[11] Waldschmidt, M. (2009). "अनुवांशिक संख्या सिद्धांत में सहायक कार्य". The Ramanujan Journal. 20 (3): 341–373. arXiv:0908.4024. doi:10.1007/s11139-009-9204-y. S2CID 122797406.

[12] Wilkie, A.J. (1998). "एक बीजीय रूप से रूढ़िवादी, पारलौकिक कार्य". Paris VII Preprints. 66.

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