पुशफ़ॉरवर्ड (अंतर)

For other uses, see Pushforward.

यदि कोई नक्शा, φ, प्रत्येक को ले जाता है मैनिफोल्ड M पर बिंदु को मैनिफोल्ड N तक ले जाएं, फिर φ का पुशफॉरवर्ड M के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान में वैक्टर को N के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान में ले जाता है।

विभेदक ज्यामिति में, पुशफॉरवर्ड स्पर्शरेखा स्थानों पर चिकने मानचित्रों (मैनिफोल्ड फॉर्मूलेशन) का एक रैखिक सन्निकटन है। लगता है कि $\varphi :M\to N$ चिकनी मैनिफोल्ड्स के बीच एक चिकना नक्शा है; फिर का अंतर $\varphi$ एक बिंदु पर $x$, निरूपित $d\varphi _{x}$, कुछ अर्थों में, सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है $\varphi$ पास में $x$. इसे साधारण कलन के कुल व्युत्पन्न के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। स्पष्ट रूप से, अंतर स्पर्शरेखा स्थान से एक रेखीय मानचित्र है $M$ पर $x$ के स्पर्शरेखा स्थान पर $N$ पर $\varphi (x)$, $d\varphi _{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N$. इसलिए इसका उपयोग स्पर्शरेखा सदिशों को आगे बढ़ाने के लिए किया जा सकता है $M$ स्पर्शरेखा सदिशों पर आगे $N$. मानचित्र का अंतर $\varphi$ विभिन्न लेखकों द्वारा इसे व्युत्पन्न या कुल व्युत्पन्न भी कहा जाता है $\varphi$.

प्रेरणा

होने देना $\varphi :U\to V$ एक स्मूथ फ़ंक्शन बनें#ओपन सबसेट#यूक्लिडियन स्पेस से मैनिफ़ोल्ड्स के बीच स्मूथ फ़ंक्शन $U$ का $\mathbb {R} ^{m}$ एक खुले उपसमुच्चय के लिए $V$ का $\mathbb {R} ^{n}$. किसी भी बिंदु के लिए $x$ में $U$, जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक $\varphi$ पर $x$ (मानक निर्देशांक के संबंध में) कुल व्युत्पन्न का मैट्रिक्स (गणित) प्रतिनिधित्व है $\varphi$ पर $x$, जो एक रेखीय मानचित्र है

$d\varphi _{x}:T_{x}\mathbb {R} ^{m}\to T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}$

उनके स्पर्शरेखा स्थानों के बीच। स्पर्शरेखा रिक्त स्थान नोट करें $T_{x}\mathbb {R} ^{m},T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}$ के समरूपी हैं $\mathbb {R} ^{m}$ और $\mathbb {R} ^{n}$, क्रमश। पुशफॉरवर्ड इस निर्माण को उस मामले में सामान्यीकृत करता है $\varphi$ किसी भी मैनिफोल्ड#डिफरेंशियल मैनिफोल्ड के बीच एक सुचारू कार्य है $M$ और $N$.

चिकने मानचित्र का अंतर

होने देना $\varphi \colon M\to N$ चिकनी मैनिफोल्ड्स का एक चिकना नक्शा बनें। दिया गया $x\in M,$ का अंतर $\varphi$ पर $x$ एक रेखीय मानचित्र है

$d\varphi _{x}\colon \ T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N\,$

के स्पर्शरेखा स्थान से $M$ पर $x$ के स्पर्शरेखा स्थान पर $N$ पर $\varphi (x).$ छवि $d\varphi _{x}X$ एक स्पर्शरेखा सदिश का $X\in T_{x}M$ अंतर्गत $d\varphi _{x}$ कभी-कभी इसे पुशफॉरवर्ड भी कहा जाता है $X$ द्वारा $\varphi .$ इस पुशफॉरवर्ड की सटीक परिभाषा स्पर्शरेखा वैक्टर के लिए उपयोग की जाने वाली परिभाषा पर निर्भर करती है (विभिन्न परिभाषाओं के लिए स्पर्शरेखा स्थान देखें)।

यदि स्पर्शरेखा सदिशों को वक्रों के तुल्यता वर्गों के रूप में परिभाषित किया गया है $\gamma$ जिसके लिए $\gamma (0)=x,$ तब अंतर द्वारा दिया जाता है

$d\varphi _{x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0).$

यहाँ, $\gamma$ में एक वक्र है $M$ साथ $\gamma (0)=x,$ और $\gamma '(0)$ वक्र का स्पर्शरेखा सदिश है $\gamma$ पर $0.$ दूसरे शब्दों में, स्पर्शरेखा सदिश को वक्र की ओर धकेलना $\gamma$ पर $0$ वक्र का स्पर्शरेखा सदिश है $\varphi \circ \gamma$ पर $0.$ वैकल्पिक रूप से, यदि स्पर्शरेखा सदिशों को सुचारू वास्तविक-मूल्यवान कार्यों पर कार्य करने वाली व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित) के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो अंतर इस प्रकार दिया जाता है

$d\varphi _{x}(X)(f)=X(f\circ \varphi ),$

एक मनमाना कार्य के लिए $f\in C^{\infty }(N)$ और एक मनमाना व्युत्पत्ति $X\in T_{x}M$ बिंदु पर $x\in M$ (एक व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित) को एक रेखीय मानचित्र के रूप में परिभाषित किया गया है $X\colon C^{\infty }(M)\to \mathbb {R}$ जो उत्पाद नियम को संतुष्ट करता है, देखें: स्पर्शरेखा स्थान#व्युत्पत्ति के माध्यम से परिभाषा)। परिभाषा के अनुसार, आगे की ओर धकेलना $X$ में है $T_{\varphi (x)}N$ और इसलिए यह स्वयं एक व्युत्पत्ति है, $d\varphi _{x}(X)\colon C^{\infty }(N)\to \mathbb {R}$.

चारों ओर दो मैनिफोल्ड (गणित) चुनने के बाद $x$ और आसपास $\varphi (x),$ $\varphi$ स्थानीय रूप से एक सहज मानचित्र द्वारा निर्धारित किया जाता है ${\widehat {\varphi }}\colon U\to V$ के खुले सेट के बीच $\mathbb {R} ^{m}$ और $\mathbb {R} ^{n}$, और

$d\varphi _{x}\left({\frac {\partial }{\partial u^{a}}}\right)={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}{\frac {\partial }{\partial v^{b}}},$

आइंस्टीन सारांश संकेतन में, जहां आंशिक व्युत्पन्न का मूल्यांकन बिंदु पर किया जाता है $U$ तदनुसार $x$ दिए गए चार्ट में.

रैखिकता द्वारा विस्तार निम्नलिखित मैट्रिक्स देता है

$\left(d\varphi _{x}\right)_{a}^{\;b}={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}.$

इस प्रकार अंतर एक रैखिक परिवर्तन है, स्पर्शरेखा स्थानों के बीच, जो चिकने मानचित्र से जुड़ा है $\varphi$ प्रत्येक बिंदु पर. इसलिए, कुछ चुने हुए स्थानीय निर्देशांकों में, इसे संबंधित सुचारु मानचित्र के जैकोबियन मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है $\mathbb {R} ^{m}$ को $\mathbb {R} ^{n}$. सामान्य तौर पर, अंतर को उलटा होने की आवश्यकता नहीं है। हालांकि, यदि $\varphi$ तो फिर, यह एक स्थानीय भिन्नता है $d\varphi _{x}$ उलटा है, और उलटा पुलबैक (अंतर ज्यामिति) देता है $T_{\varphi (x)}N.$ अंतर को अक्सर कई अन्य नोटेशनों का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है जैसे कि

$D\varphi _{x},\left(\varphi _{*}\right)_{x},\varphi '(x),T_{x}\varphi .$

परिभाषा से यह पता चलता है कि किसी फ़ंक्शन संरचना का अंतर अंतरों (यानी, कार्यात्मक व्यवहार) का संयोजन है। यह सुचारू मानचित्रों के लिए श्रृंखला नियम है।

इसके अलावा, स्थानीय भिन्नता का अंतर स्पर्शरेखा स्थानों का एक रैखिक समरूपता है।

स्पर्शरेखा बंडल पर अंतर

चिकने मानचित्र का अंतर $\varphi$ स्पष्ट तरीके से, स्पर्शरेखा बंडल से एक बंडल मानचित्र (वास्तव में एक वेक्टर बंडल समरूपता) प्रेरित करता है $M$ के स्पर्शरेखा बंडल के लिए $N$, द्वारा चिह्नित $d\varphi$, जो निम्नलिखित क्रमविनिमेय आरेख में फिट बैठता है:

कहाँ $\pi _{M}$ और $\pi _{N}$ के स्पर्शरेखा बंडलों के बंडल अनुमानों को निरूपित करें $M$ और $N$ क्रमश।

$\operatorname {d} \!\varphi$ से एक बंडल मानचित्र प्रेरित करता है $TM$ पुलबैक बंडल के लिए φ^∗टीएन खत्म $M$ के जरिए

$(m,v_{m})\mapsto (m,\operatorname {d} \!\varphi (m,v_{m})),$

कहाँ $m\in M$ और $v_{m}\in T_{m}M.$ बाद वाले मानचित्र को वेक्टर बंडल के एक खंड (फाइबर बंडल) के रूप में देखा जा सकता है Hom(TM, φ^∗TN) एम से अधिक। बंडल मानचित्र $\operatorname {d} \!\varphi$ द्वारा भी निरूपित किया जाता है $T\varphi$ और स्पर्शरेखा मानचित्र को बुलाया। इस प्रकार से, $T$ यह एक पदाधिकारी है.

वेक्टर फ़ील्ड को आगे बढ़ाएं

एक सहज नक्शा दिया φ : M → N और M पर एक सदिश क्षेत्र φ की छवि के बाहर आगे की ओर पुश करें। इसके अलावा, यदि φ इंजेक्शन नहीं है तो किसी दिए गए बिंदु पर पुशफॉरवर्ड के एक से अधिक विकल्प हो सकते हैं। फिर भी, मानचित्र के साथ एक सदिश क्षेत्र की धारणा का उपयोग करके, कोई इस कठिनाई को सटीक बना सकता है।

φ का एक वेक्टर बंडल^∗M के ऊपर TN को 'φ के अनुदिश वेक्टर फ़ील्ड' कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि M, N का उपमान है और φ समावेशन है, तो φ के साथ एक सदिश क्षेत्र, M के साथ N के स्पर्शरेखा बंडल का एक खंड मात्र है; विशेष रूप से, एम पर एक वेक्टर फ़ील्ड टीएन के अंदर टीएम को शामिल करके ऐसे अनुभाग को परिभाषित करता है। यह विचार मनमाने ढंग से सुचारू मानचित्रों का सामान्यीकरण करता है।

मान लीजिए कि X, M पर एक सदिश क्षेत्र है, अर्थात, TM का एक खंड है। तब, $\operatorname {d} \!\phi \circ X$ उपरोक्त अर्थ में, पुशफॉरवर्ड φ उत्पन्न होता है_∗X, जो φ के अनुदिश एक सदिश क्षेत्र है, अर्थात, φ का एक खंड^∗टीएन ओवर एम।

N पर कोई भी वेक्टर फ़ील्ड Y एक पुलबैक बंडल φ को परिभाषित करता है^∗Y का φ^∗टीएन के साथ (φ^∗Y)_x = Y_φ(x). M पर एक सदिश क्षेत्र X और N पर एक सदिश क्षेत्र Y को 'φ-संबंधित' कहा जाता है यदि φ_∗X = φ^∗Y φ के साथ वेक्टर फ़ील्ड के रूप में। दूसरे शब्दों में, M में सभी x के लिए, dφ_x(X) = Y_φ(x).

कुछ स्थितियों में, एम पर एक एक्स वेक्टर फ़ील्ड दिया गया है, एन पर एक अद्वितीय वेक्टर फ़ील्ड वाई है जो एक्स से संबंधित है। यह विशेष रूप से सच है जब φ एक भिन्नता है। इस मामले में, पुशफॉरवर्ड एन पर एक वेक्टर फ़ील्ड वाई को परिभाषित करता है, जो कि दिया गया है

$Y_{y}=\phi _{*}\left(X_{\phi ^{-1}(y)}\right).$

अधिक सामान्य स्थिति तब उत्पन्न होती है जब φ विशेषण होता है (उदाहरण के लिए फाइबर बंडल का फाइबर बंडल)। तब M पर एक सदिश क्षेत्र X को 'प्रक्षेप्य' कहा जाता है यदि N में सभी y के लिए, dφ_x(एक्स_x) φ में x की पसंद से स्वतंत्र है⁻¹({y}). यह बिल्कुल वही स्थिति है जो गारंटी देती है कि एन पर एक वेक्टर फ़ील्ड के रूप में एक्स का पुशफॉरवर्ड अच्छी तरह से परिभाषित है।

उदाहरण

झूठ समूहों पर गुणा से आगे की ओर

एक झूठ समूह दिया गया $G$, हम गुणन मानचित्र का उपयोग कर सकते हैं $m(-,-):G\times G\to G$ बायां गुणन प्राप्त करने के लिए $L_{g}=m(g,-)$ और सही गुणा $R_{g}=m(-,g)$ एमएपीएस $G\to G$. इन मानचित्रों का उपयोग बाएँ या दाएँ अपरिवर्तनीय वेक्टर फ़ील्ड बनाने के लिए किया जा सकता है $G$ मूल बिंदु पर इसके स्पर्शरेखा स्थान से ${\mathfrak {g}}=T_{e}G$ (जो इसका संबद्ध झूठ बीजगणित है)। उदाहरणार्थ, दिया गया $X\in {\mathfrak {g}}$ हमें एक संबद्ध वेक्टर फ़ील्ड मिलता है ${\mathfrak {X}}$ पर $G$ द्वारा परिभाषित

$${\mathfrak {X}}_{g}=(L_{g})_{*}(X)\in T_{g}G$$

हरएक के लिए $g\in G$. इसे पुशफॉरवर्ड मानचित्रों की वक्र परिभाषा का उपयोग करके आसानी से गणना की जा सकती है। यदि हमारे पास एक वक्र है

$$\gamma :(-1,1)\to G$$

कहाँ

$$\gamma (0)=e\,,\quad \gamma '(0)=X$$

हम पाते हैं

$${\begin{aligned}(L_{g})_{*}(X)&=(L_{g}\circ \gamma )'(0)\\&=(g\cdot \gamma (t))'(0)\\&={\frac {dg}{d\gamma }}\gamma (0)+g\cdot {\frac {d\gamma }{dt}}(0)\\&=g\cdot \gamma '(0)\end{aligned}}$$

तब से $L_{g}$ के संबंध में स्थिर है $\gamma$. इसका तात्पर्य यह है कि हम स्पर्शरेखा स्थानों की व्याख्या कर सकते हैं $T_{g}G$ जैसा $T_{g}G=g\cdot T_{e}G=g\cdot {\mathfrak {g}}$.

कुछ झूठ समूहों के लिए पुशफॉरवर्ड

उदाहरण के लिए, यदि $G$ मैट्रिक्स द्वारा दिया गया हाइजेनबर्ग समूह है

$$H=\left\{{\begin{bmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}$$

इसमें मैट्रिक्स के सेट द्वारा दिया गया बीजगणित है

$${\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}$$

चूँकि हम एक रास्ता खोज सकते हैं $\gamma :(-1,1)\to H$ ऊपरी मैट्रिक्स प्रविष्टियों में से किसी एक में कोई वास्तविक संख्या देना $i<j$ (i-वीं पंक्ति और j-वें कॉलम)। फिर, के लिए

$$g={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{bmatrix}}$$

हमारे पास है

$$T_{g}H=g\cdot {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{bmatrix}0&a&2b+3c\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}$$

जो आव्यूहों के मूल समुच्चय के बराबर है। उदाहरण के लिए, समूह में हमेशा ऐसा नहीं होता है

$$G=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1/a\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}$$

हमारे पास आव्यूहों के समुच्चय के रूप में इसका लाई बीजगणित है

$${\mathfrak {g}}=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&-a\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}$$

इसलिए कुछ मैट्रिक्स के लिए

$$g={\begin{bmatrix}2&3\\0&1/2\end{bmatrix}}$$

हमारे पास है

$$T_{g}G=\left\{{\begin{bmatrix}2a&2b-a/2\\0&-a/2\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}$$

जो आव्यूहों का समान समुच्चय नहीं है।

यह भी देखें

• पुलबैक (विभेदक ज्यामिति)
• प्रवाह-आधारित जनरेटिव मॉडल

संदर्भ

• Lee, John M. (2003). Introduction to Smooth Manifolds. Springer Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218.
• Jost, Jürgen (2002). Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. See section 1.6.
• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. See section 1.7 and 2.3.