प्रतिवर्ती संबंध

Transitive binary relations

	Symmetric	Antisymmetric	Connected	Well-founded	Has joins	Has meets	Reflexive	Irreflexive	Asymmetric
			Total, Semiconnex					Anti- reflexive
Equivalence relation	Y	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Preorder (Quasiorder)	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Partial order	✗	Y	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Total preorder	✗	✗	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Total order	✗	Y	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Prewellordering	✗	✗	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Well-quasi-ordering	✗	✗	✗	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Well-ordering	✗	Y	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Lattice	✗	Y	✗	✗	Y	Y	Y	✗	✗
Join-semilattice	✗	Y	✗	✗	Y	✗	Y	✗	✗
Meet-semilattice	✗	Y	✗	✗	✗	Y	Y	✗	✗
Strict partial order	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
Strict weak order	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
Strict total order	✗	✗	Y	✗	✗	✗	✗	Y	Y
	Symmetric	Antisymmetric	Connected	Well-founded	Has joins	Has meets	Reflexive	Irreflexive	Asymmetric
Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$	${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$	${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$	$aRa$	${\text{not }}aRa$	${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$

indicates that the column's property is required by the definition of the row's term (at the very left). For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. ✗ indicates that the property may, or may not hold. All definitions tacitly require the homogeneous relation

R

be transitive: for all

a,b,c,

if

aRb

and

bRc

then

aRc,

and there are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

गणित में, एक सेट (गणित) एक्स पर एक द्विआधारी संबंध आर 'रिफ्लेक्टिव' होता है यदि यह एक्स के प्रत्येक तत्व को स्वयं से जोड़ता है।^[1]^[2] प्रतिवर्ती संबंध का एक उदाहरण वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर समानता (गणित) संबंध है, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या स्वयं के बराबर होती है। कहा जाता है कि एक प्रतिवर्ती संबंध में प्रतिवर्ती गुण होता है या कहा जाता है कि उसमें प्रतिवर्तीता होती है। सममित संबंध और सकर्मक संबंध के साथ, रिफ्लेक्सिविटी तुल्यता संबंधों को परिभाषित करने वाले तीन गुणों में से एक है।

परिभाषाएँ

होने देना $R$ एक सेट पर एक द्विआधारी संबंध बनें $X,$ जो परिभाषा के अनुसार केवल एक उपसमुच्चय है $X\times X.$ किसी के लिए $x,y\in X,$ संकेतन $xRy$ मतलब कि $(x,y)\in R$ जबकि नहीं $xRy$ मतलब कि $(x,y)\not \in R.$ रिश्ता $R$ कहा जाता है reflexive अगर $xRx$ हरएक के लिए $x\in X$ या समकक्ष, यदि $\operatorname {I} _{X}\subseteq R$ कहाँ $\operatorname {I} _{X}:=\{(x,x)~:~x\in X\}$ पर पहचान संबंध को दर्शाता है $X.$

reflexive closure} का  $R$  संघ है  $R\cup \operatorname {I} _{X},$  जिसे समान रूप से सबसे छोटे (के संबंध में) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है  $\subseteq$ ) प्रतिवर्ती संबंध पर  $X$  वह एक सुपरसेट है  $R.$  एक रिश्ता  $R$  रिफ्लेक्सिव है यदि और केवल यदि यह इसके रिफ्लेक्सिव क्लोजर के बराबर है। reflexive reduction}पर या irreflexive kernel का  $R$  (के संबंध में) सबसे छोटा है  $\subseteq$ ) संबंध चालू  $X$  इसमें वैसा ही रिफ्लेक्सिव क्लोजर है  $R.$  यह बराबर है  $R\setminus \operatorname {I} _{X}=\{(x,y)\in R~:~x\neq y\}.$  का अपरिवर्तनीय कर्नेल  $R$  एक अर्थ में, इसे एक ऐसे निर्माण के रूप में देखा जा सकता है जो रिफ्लेक्सिव क्लोजर के विपरीत है  $R.$  उदाहरण के लिए, विहित सख्त असमानता का प्रतिवर्ती समापन  $<$  वास्तविक संख्या पर  $\mathbb {R}$  यह सामान्य गैर-सख्त असमानता है  $\leq$  जबकि प्रतिवर्ती कमी  $\leq$  है  $<.$

उदाहरण

प्रतिवर्ती संबंधों के उदाहरणों में शामिल हैं:

(समानता (गणित)) के बराबर है
(सबसेट समावेशन) का एक उपसमूह है
विभाजक (विभाजक)
से अधिक या बराबर है
से कम या बराबर है

अपरिवर्तनीय संबंधों के उदाहरणों में शामिल हैं:

के बराबर नहीं है
1 से बड़े पूर्णांकों पर सहअभाज्य है
का एक उचित उपसमुच्चय है
से बड़ा है
मै रुक जाना

एक अपरिवर्तनीय संबंध का एक उदाहरण, जिसका अर्थ है कि यह किसी भी तत्व को स्वयं से संबंधित नहीं करता है, संबंध से बड़ा है ( $x>y$ ) वास्तविक संख्याओं पर। प्रत्येक संबंध जो प्रतिवर्ती नहीं है, वह अप्रतिवर्ती नहीं है; उन संबंधों को परिभाषित करना संभव है जहां कुछ तत्व आपस में संबंधित हैं लेकिन अन्य नहीं हैं (अर्थात, न तो सभी और न ही कोई भी)। उदाहरण के लिए, द्विआधारी संबंध का उत्पाद $x$ और $y$ सम संख्याओं के समुच्चय पर सम प्रतिवर्ती है, विषम संख्याओं के समुच्चय पर प्रतिवर्ती है, और प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर न तो प्रतिवर्ती है और न ही अप्रतिवर्ती है।

अर्ध-प्रतिवर्ती संबंध का एक उदाहरण $R$ इसकी वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के सेट के समान ही सीमा होती है: प्रत्येक अनुक्रम की एक सीमा नहीं होती है, और इस प्रकार संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता है, लेकिन यदि किसी अनुक्रम की सीमा किसी अनुक्रम के समान होती है, तो इसकी भी वही सीमा होती है। . बाएं अर्ध-प्रतिवर्ती संबंध का एक उदाहरण एक बायां यूक्लिडियन संबंध है, जो हमेशा बाएं अर्ध-प्रतिवर्ती होता है लेकिन जरूरी नहीं कि दायां अर्ध-प्रतिवर्ती हो, और इस प्रकार जरूरी नहीं कि अर्ध-प्रतिवर्ती हो।

कोरफ्लेक्सिव संबंध का एक उदाहरण पूर्णांकों पर संबंध है जिसमें प्रत्येक विषम संख्या स्वयं से संबंधित होती है और कोई अन्य संबंध नहीं होता है। समानता संबंध रिफ्लेक्सिव और कोरफ्लेक्सिव संबंध दोनों का एकमात्र उदाहरण है, और कोई भी कोरफ्लेक्सिव संबंध पहचान संबंध का एक सबसेट है। एक ही सेट पर एक कोरफ्लेक्सिव संबंध और एक सकर्मक संबंध का मिलन हमेशा सकर्मक होता है।