प्रधान सजातीय स्थान

"Torsor" redirects here. For another use, see Torsor (algebraic geometry).

गणित में, एक प्रमुख सजातीय स्थान, या टोरसर, एक समूह के लिए (गणित) जी जी के लिए एक सजातीय स्थान एक्स है जिसमें प्रत्येक बिंदु का स्टेबलाइजर उपसमूह तुच्छ है। समान रूप से, समूह G के लिए एक प्रमुख सजातीय स्थान एक गैर-रिक्त सेट X है जिस पर G समूह क्रिया (गणित) समूह क्रिया (गणित)#Types_of_actions और समूह क्रिया (गणित) #क्रियाओं_के_प्रकार (अर्थात, X में किसी भी x, y के लिए, G में एक अद्वितीय g मौजूद है जैसे कि x·g = y, जहां · X पर G की (दाएं) कार्रवाई को दर्शाता है)। एक समान परिभाषा अन्य श्रेणी (गणित) में होती है, जहां, उदाहरण के लिए,

• जी एक टोपोलॉजिकल समूह है, एक्स एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और क्रिया निरंतर है (टोपोलॉजी),
• जी एक झूठ समूह है, एक्स एक चिकनी कई गुना है और क्रिया सुचारू कार्य है,
• G एक बीजगणितीय समूह है, X एक बीजगणितीय किस्म है और क्रिया नियमित कार्य है।

परिभाषा

यदि जी नॉनबेलियन समूह है तो किसी को बाएं और दाएं टॉर्सर्स के बीच अंतर करना चाहिए कि क्या कार्रवाई बाईं ओर है या दाईं ओर। इस लेख में हम सही कार्यों का प्रयोग करेंगे।

परिभाषा को अधिक स्पष्ट रूप से बताने के लिए, यदि X गैर-रिक्त है और एक मानचित्र (उपयुक्त श्रेणी में) से सुसज्जित है, तो X × G → X ऐसा है कि

x·1 = x

x·(gh) = (x·g)·h

सभी के लिए x ∈ X और सभी g,h ∈ G और ऐसा कि नक्शा X × G → X × X द्वारा दिए गए

$(x,g)\mapsto (x,x\cdot g)$

एक समरूपता है (सेट, या टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान या ..., जैसा उपयुक्त हो, यानी प्रश्न में श्रेणी में)।

ध्यान दें कि इसका मतलब यह है कि एक्स और जी समरूपी हैं (प्रश्नाधीन श्रेणी में; समूहों के रूप में नहीं: निम्नलिखित देखें)। हालाँकि—और यह आवश्यक बिंदु है—X में कोई पसंदीदा 'पहचान' बिंदु नहीं है। यानी, X बिल्कुल G जैसा दिखता है, सिवाय इसके कि कौन सा बिंदु पहचान है भूल गया है। (इस अवधारणा का उपयोग अक्सर गणित में 'मूल को फेंक दो' शीर्षक के तहत अधिक आंतरिक दृष्टिकोण तक पहुंचने के तरीके के रूप में किया जाता है।)

चूँकि X एक समूह नहीं है, हम तत्वों को गुणा नहीं कर सकते; हालाँकि, हम उनका भागफल ले सकते हैं। यानी एक नक्शा है X × X → G जो भेजता है (x,y) अद्वितीय तत्व के लिए g = x \ y ∈ G ऐसा है कि y = x·g.

हालाँकि, सही समूह कार्रवाई के साथ बाद वाले ऑपरेशन की संरचना, एक टर्नरी ऑपरेशन उत्पन्न करती है X × (X × X) → X, जो समूह गुणन के एक सामान्यीकरण के रूप में कार्य करता है और जो एक प्रमुख सजातीय स्थान को बीजगणितीय रूप से और आंतरिक रूप से उस समूह को चिह्नित करने के लिए पर्याप्त है जिसके साथ यह जुड़ा हुआ है। यदि हम निरूपित करें $x/y\cdot z\,:=\,x\cdot (y\backslash z)$ इस टर्नरी ऑपरेशन का परिणाम, फिर निम्नलिखित पहचान (गणित)

$x/y\cdot y=x=y/y\cdot x$

$v/w\cdot (x/y\cdot z)=(v/w\cdot x)/y\cdot z$

एक प्रमुख सजातीय स्थान को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त होगा, जबकि अतिरिक्त संपत्ति

$x/y\cdot z=z/y\cdot x$

उन स्थानों की पहचान करता है जो एबेलियन समूहों से जुड़े हैं। समूह को औपचारिक भागफल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $x\backslash y$ तुल्यता संबंध के अधीन

$x\backslash y=u\backslash v\quad {\text{iff}}\quad v=u/x\cdot y$,

समूह उत्पाद, पहचान और व्युत्क्रम के साथ क्रमशः परिभाषित

$(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v$,

$e=x\backslash x$,

$(x\backslash y)^{-1}=y\backslash x,$

और समूह कार्रवाई द्वारा

$x\cdot (y\backslash z)=x/y\cdot z.$

उदाहरण

प्रत्येक समूह G को बाएँ या दाएँ गुणन की प्राकृतिक क्रिया के तहत बाएँ या दाएँ G-टॉर्सर के रूप में सोचा जा सकता है।

एक अन्य उदाहरण एफ़िन स्पेस अवधारणा है: सदिश स्थल वी के अंतर्निहित एफ़िन स्पेस ए के विचार को संक्षेप में यह कहकर कहा जा सकता है कि ए अनुवाद के योगात्मक समूह के रूप में कार्य करने वाले वी के लिए एक प्रमुख सजातीय स्थान है।

किसी भी नियमित पॉलीटोप का ध्वज (ज्यामिति) उसके समरूपता समूह के लिए एक टोरसर बनाता है।

एक सदिश समष्टि V को देखते हुए हम G को सामान्य रैखिक समूह GL(V) के रूप में ले सकते हैं, और X को V के सभी (आदेशित) आधार (रैखिक बीजगणित) का समुच्चय मान सकते हैं। वी के वैक्टर पर; और यह समूह क्रिया (गणित) कार्य करता है क्योंकि किसी भी आधार को जी के माध्यम से किसी अन्य में बदला जा सकता है। और क्या, एक आधार के प्रत्येक वेक्टर को ठीक करने वाला एक रैखिक परिवर्तन वी में सभी वी को ठीक कर देगा, इसलिए यह सामान्य रैखिक समूह जीएल (वी) का तटस्थ तत्व है: ताकि एक्स वास्तव में एक प्रमुख सजातीय स्थान हो। रैखिक बीजगणित तर्क में आधार-निर्भरता का पालन करने का एक तरीका एक्स में चर एक्स को ट्रैक करना है। इसी तरह, ऑर्थोनॉर्मल आधारों का स्थान (स्टिफ़ेल मैनिफ़ोल्ड ) $V_{n}(\mathbf {R} ^{n})$ k-frame|n-frames) ऑर्थोगोनल समूह के लिए एक प्रमुख सजातीय स्थान है।

श्रेणी सिद्धांत में, यदि दो वस्तुएँ X और Y समरूपी हैं, तो उनके बीच समरूपता, Iso(X,Y), वस्तुओं के बीच समरूपता का विकल्प इन समूहों के बीच एक समरूपता को जन्म देता है और इन दो समूहों के साथ टोरसर की पहचान करता है, जिससे टोरसर को एक समूह संरचना मिलती है (क्योंकि इसमें अब एक आधार बिंदु है)।

अनुप्रयोग

प्रमुख सजातीय अंतरिक्ष अवधारणा प्रमुख बंडल का एक विशेष मामला है: इसका मतलब है एक एकल बिंदु के आधार के साथ एक प्रमुख बंडल। दूसरे शब्दों में, प्रमुख बंडलों का स्थानीय सिद्धांत आधार में कुछ मापदंडों के आधार पर प्रमुख सजातीय स्थानों के एक परिवार का है। 'उत्पत्ति' की आपूर्ति फाइबर बंडल#बंडल के अनुभागों द्वारा की जा सकती है - ऐसे अनुभागों को आमतौर पर आधार पर स्थानीय रूप से मौजूद माना जाता है - बंडल स्थानीय रूप से तुच्छ होता है, ताकि स्थानीय संरचना कार्टेशियन उत्पाद की हो। लेकिन अनुभाग अक्सर विश्व स्तर पर मौजूद नहीं होंगे। उदाहरण के लिए एक विभेदक अनेक गुना एम में इसके स्पर्शरेखा बंडल से जुड़े फ़्रेम बंडल का एक प्रमुख बंडल होता है। एक वैश्विक खंड (परिभाषा के अनुसार) तभी अस्तित्व में रहेगा जब एम समानांतर हो, जिसका तात्पर्य मजबूत टोपोलॉजिकल प्रतिबंधों से है।

संख्या सिद्धांत में फ़ील्ड K (और अधिक सामान्य एबेलियन किस्म) पर परिभाषित अण्डाकार वक्र E के लिए प्रमुख सजातीय स्थानों पर विचार करने का एक (सतही रूप से अलग) कारण है। एक बार जब यह समझ में आ गया तो अन्य बीजगणितीय समूहों के लिए शीर्षक के तहत कई अन्य उदाहरण एकत्र किए गए: ऑर्थोगोनल समूहों के लिए द्विघात रूप, और सेवेरी-ब्राउर किस्म|प्रक्षेपी रैखिक समूहों के लिए सेवेरी-ब्राउर किस्में दो हैं।

अण्डाकार वक्र मामले में, डायोफैंटाइन समीकरणों के लिए रुचि का कारण यह है कि K को बीजगणितीय रूप से बंद नहीं किया जा सकता है। ऐसे वक्र C मौजूद हो सकते हैं जिनका K पर कोई बिंदु परिभाषित नहीं है, और जो E के बड़े क्षेत्र पर समरूपी हो जाते हैं, जिसकी परिभाषा के अनुसार इसके अतिरिक्त कानून के लिए पहचान तत्व के रूप में कार्य करने के लिए K पर एक बिंदु होता है। अर्थात्, इस मामले के लिए हमें C को अलग करना चाहिए जिसमें जीनस (गणित) 1 है, अण्डाकार वक्र E से जिसमें K-बिंदु है (या, दूसरे शब्दों में, एक डायोफैंटाइन समीकरण प्रदान करें जिसका समाधान K में है)। वक्र C, E के ऊपर मरोड़ते हैं, और एक समृद्ध संरचना वाला एक सेट बनाते हैं, इस मामले में कि K एक संख्या क्षेत्र है (सेल्मर समूह का सिद्धांत)। वास्तव में 'Q' के ऊपर एक विशिष्ट समतल घनीय वक्र C के पास तर्कसंगत बिंदु होने का कोई विशेष कारण नहीं है; मानक वीयरस्ट्रैस मॉडल हमेशा ऐसा करता है, अर्थात् अनंत पर बिंदु, लेकिन आपको C को K के ऊपर उस रूप में रखने के लिए K के ऊपर एक बिंदु की आवश्यकता होती है।

इस सिद्धांत को स्थानीय विश्लेषण पर बहुत ध्यान देकर विकसित किया गया है, जिससे टेट-शफारेविच समूह की परिभाषा सामने आई है। सामान्य तौर पर टॉरसर सिद्धांत को अपनाने का दृष्टिकोण, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर आसान, और एक छोटे क्षेत्र में 'नीचे' वापस जाने की कोशिश करना वंश (श्रेणी सिद्धांत) का एक पहलू है। यह तुरंत गैलोइस कोहोमोलॉजी के प्रश्नों की ओर ले जाता है, क्योंकि टॉर्सर्स समूह कोहोमोलॉजी एच में कक्षाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं¹.

अन्य उपयोग

एक प्रमुख सजातीय स्थान की अवधारणा को निम्नानुसार भी वैश्वीकृत किया जा सकता है। मान लीजिए कि (दाईं ओर, मान लीजिए)

$E\times _{X}G\rightarrow E\times _{X}E$ द्वारा दिए गए

$(x,g)\mapsto (x,xg)$ उपयुक्त श्रेणी (गणित) में एक समरूपता है, और ऐसा है कि ई, एक्स पर स्थानीय रूप से तुच्छ है E → X एक्स पर स्थानीय रूप से एक खंड प्राप्त करता है। इस अर्थ में टॉर्सर्स की समरूपता कक्षाएं सह-समरूपता समूह एच में कक्षाओं के अनुरूप हैं¹(एक्स,जी).

जब हम स्मूथ मैनिफोल्ड श्रेणी (गणित) में होते हैं, तो एक जी-टॉर्सर (जी ए लाई समूह के लिए) तब बिल्कुल एक प्रमुख जी-प्रिंसिपल बंडल होता है जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।

उदाहरण: यदि G एक सघन झूठ समूह है (मान लीजिए), तो $EG$ वर्गीकरण स्थान पर एक जी-टॉर्सर है $BG$.

यह भी देखें

• सजातीय स्थान
• हीप (गणित)

अग्रिम पठन

• Garibaldi, Skip; Merkurjev, Alexander; Serre, Jean-Pierre (2003). Cohomological invariants in Galois cohomology. University Lecture Series. Vol. 28. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3287-5. Zbl 1159.12311.
• Skorobogatov, A. (2001). Torsors and rational points. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 144. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-80237-7. Zbl 0972.14015.

बाहरी संबंध

• Torsors made easy by John Baez