बर्नस्टीन बहुपद

डी-मॉड्यूल सिद्धांत में बर्नस्टीन बहुपद के लिए, बर्नस्टीन-सातो बहुपद देखें।

बर्नस्टीन बहुपद एक वक्र का अनुमान लगाते हैं

संख्यात्मक विश्लेषण के गणितीय क्षेत्र में, बर्नस्टीन बहुपद एक बहुपद है जो बर्नस्टीन आधार बहुपदों का एक रैखिक संयोजन है। इस विचार का नाम सर्गेई नटनोविच बर्नस्टीन के नाम पर रखा गया है।

बर्नस्टीन रूप में बहुपदों का मूल्यांकन करने के लिए एक संख्यात्मक रूप से स्थिर तरीका डी कास्टलजौ का एल्गोरिदम है।

बर्नस्टीन रूप में बहुपदों का उपयोग पहली बार बर्नस्टीन द्वारा वीयरस्ट्रास सन्निकटन प्रमेय के लिए एक रचनात्मक प्रमाण में किया गया था। कंप्यूटर ग्राफिक्स के आगमन के साथ, बर्नस्टीन बहुपद, अंतराल [0, 1] तक सीमित, बेज़ियर वक्र के रूप में महत्वपूर्ण हो गया।

4^वें डिग्री कर्व ब्लेंडिंग के लिए बर्नस्टीन आधार बहुपद

परिभाषा

n+1 डिग्री n वाले बर्नस्टीन आधार बहुपदों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$b_{\nu ,n}(x)={\binom {n}{\nu }}x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu },\quad \nu =0,\ldots ,n,$

जहां ${\tbinom {n}{\nu }}$ एक द्विपद गुणांक है।

तो, उदाहरण के लिए, $b_{2,5}(x)={\tbinom {5}{2}}x^{2}(1-x)^{3}=10x^{2}(1-x)^{3}.$ 1, 2, 3 या 4 मानों को एक साथ मिलाने के लिए पहले कुछ बर्नस्टीन आधारित बहुपद हैं:

${\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-x,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2},&b_{1,2}(x)&=2x(1-x),&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3},&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2},&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x),&b_{3,3}(x)&=x^{3}\end{aligned}}$

डिग्री n के बर्नस्टीन आधार बहुपद सदिश स्थान के लिए $\Pi _{n}$ एक आधार बनाते हैं, वास्तविक गुणांकों के साथ अधिक से अधिक n डिग्री के बहुपदों का बर्नस्टीन आधार बहुपदों का एक रैखिक संयोजन,

$B_{n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)$

डिग्री n के बर्नस्टीन रूप में बर्नस्टीन बहुपद या बहुपद कहा जाता है। गुणांक $\beta _{\nu }$ बर्नस्टीन गुणांक या बेज़ियर गुणांक कहलाते हैं।

ऊपर से एकपदी रूप में पहले कुछ बर्नस्टीन आधारित बहुपद हैं:

${\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-1x,&b_{1,1}(x)&=0+1x\\b_{0,2}(x)&=1-2x+1x^{2},&b_{1,2}(x)&=0+2x-2x^{2},&b_{2,2}(x)&=0+0x+1x^{2}\\b_{0,3}(x)&=1-3x+3x^{2}-x^{3},&b_{1,3}(x)&=0+3x-6x^{2}+3x^{3},&b_{2,3}(x)&=0+0x+3x^{2}-3x^{3},&b_{3,3}(x)&=0+0x+0x^{2}+1x^{3}\end{aligned}}$

गुण

बर्नस्टीन आधार बहुपदों में निम्नलिखित गुण होते हैं:

• $b_{\nu ,n}(x)=0$, अगर $\nu <0$ या $\nu >n.$
• $b_{\nu ,n}(x)\geq 0$ के लिए $x\in [0,\ 1].$
• $b_{\nu ,n}\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}(x).$
• $b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}$ और $b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}$ जहां $\delta$ क्रोनकर डेल्टा कार्य है: $\delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}$
• $b_{\nu ,n}(x)$ बहुलता के साथ एक मूल है $\nu$ बिंदु पर $x=0$ (ध्यान दें: अगर $\nu =0$, 0 पर कोई रूट नहीं है)।
• $b_{\nu ,n}(x)$ बहुलता के साथ एक मूल है $\left(n-\nu \right)$ बिंदु पर $x=1$ (ध्यान दें: अगर $\nu =n$, 1 पर कोई रूट नहीं है)।
• व्युत्पन्न को निम्न कोटि के दो बहुपदों के संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है:
  $$b'_{\nu ,n}(x)=n\left(b_{\nu -1,n-1}(x)-b_{\nu ,n-1}(x)\right).$$
• k-वें व्युत्पन्न 0 पर:
  $$b_{\nu ,n}^{(k)}(0)={\frac {n!}{(n-k)!}}{\binom {k}{\nu }}(-1)^{\nu +k}.$$
• 1 पर k-वें व्युत्पन्न:
  $$b_{\nu ,n}^{(k)}(1)=(-1)^{k}b_{n-\nu ,n}^{(k)}(0).$$
• बर्नस्टीन बहुपद का एकपदी में रूपांतरण है
  $$b_{\nu ,n}(x)={\binom {n}{\nu }}\sum _{k=0}^{n-\nu }{\binom {n-\nu }{k}}(-1)^{n-\nu -k}x^{\nu +k}=\sum _{\ell =\nu }^{n}{\binom {n}{\ell }}{\binom {\ell }{\nu }}(-1)^{\ell -\nu }x^{\ell },$$
  और व्युत्क्रम द्विपद परिवर्तन द्वारा, विपरीत परिवर्तन है
  $$x^{k}=\sum _{i=0}^{n-k}{\binom {n-k}{i}}{\frac {1}{\binom {n}{i}}}b_{n-i,n}(x)={\frac {1}{\binom {n}{k}}}\sum _{j=k}^{n}{\binom {j}{k}}b_{j,n}(x).$$
• अनिश्चित समाकल द्वारा दिया जाता है
  $$\int b_{\nu ,n}(x)\,dx={\frac {1}{n+1}}\sum _{j=\nu +1}^{n+1}b_{j,n+1}(x).$$
  * किसी दिए गए n के लिए निश्चित समाकल स्थिर है:
  $$\int _{0}^{1}b_{\nu ,n}(x)\,dx={\frac {1}{n+1}}\quad \ \,{\text{for all }}\nu =0,1,\dots ,n.$$
• अगर $n\neq 0$, तब $b_{\nu ,n}(x)$ अंतराल पर एक अद्वितीय स्थानीय अधिकतम है $[0,\,1]$ पर $x={\frac {\nu }{n}}$. यह अधिकतम मान लेता है
  $$\nu ^{\nu }n^{-n}\left(n-\nu \right)^{n-\nu }{n \choose \nu }.$$
• डिग्री के बर्नस्टीन आधार बहुपद $n$ एकता का एक विभाजन बनाते हैं:
  $$\sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu }=\left(x+\left(1-x\right)\right)^{n}=1.$$
• पहले लेने से $x$- व्युत्पन्न $(x+y)^{n}$, इलाज $y$ स्थिरांक के रूप में, फिर मान को प्रतिस्थापित करना $y=1-x$, यह दिखाया जा सकता है कि
  $$\sum _{\nu =0}^{n}\nu b_{\nu ,n}(x)=nx.$$
• इसी प्रकार दूसरा $x$- व्युत्पन्न $(x+y)^{n}$, साथ $y$ फिर से प्रतिस्थापित $y=1-x$, यह दर्शाता है
  $$\sum _{\nu =1}^{n}\nu (\nu -1)b_{\nu ,n}(x)=n(n-1)x^{2}.$$
• बर्नस्टीन बहुपद को हमेशा उच्च कोटि के बहुपदों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है:
  $$b_{\nu ,n-1}(x)={\frac {n-\nu }{n}}b_{\nu ,n}(x)+{\frac {\nu +1}{n}}b_{\nu +1,n}(x).$$
• बर्नस्टीन आधार में चेबिशेव बहुपदों का प्रथम प्रकार का विस्तार है
  $$T_{n}(u)=(2n-1)!!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{n-k}}{(2k-1)!!(2n-2k-1)!!}}b_{k,n}(u).$$

निरंतर कार्यों का अनुमान लगाना

ƒ को अंतराल [0, 1] पर एक सतत कार्य होने दें। बर्नस्टीन बहुपद पर विचार करें

$B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).$

यह दिखाया जा सकता है

$\lim _{n\to \infty }{B_{n}(f)}=f$

अंतराल पर समान रूप से [0, 1]। बर्नस्टीन बहुपद इस प्रकार वीयरस्ट्रास सन्निकटन प्रमेय को सिद्ध करने का एक तरीका प्रदान करते हैं कि वास्तविक अंतराल [ए, बी] पर प्रत्येक वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्य को बहुपद कार्यों द्वारा समान रूप से अनुमानित किया जा सकता है $\mathbb {R}$. निरंतर k^वें व्युत्पन्न वाले फ़ंक्शन के लिए एक अधिक सामान्य कथन है

${\left\|B_{n}(f)^{(k)}\right\|}_{\infty }\leq {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}\left\|f^{(k)}\right\|_{\infty }\quad \ {\text{and}}\quad \ \left\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\right\|_{\infty }\to 0,$

इसके अतिरिक्त जहां

${\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}=\left(1-{\frac {0}{n}}\right)\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)$

बीएन का आइगेनवैल्यू है; संगत ईजेनफंक्शन डिग्री k का एक बहुपद है।

संभाव्य प्रमाण

यह प्रमाण बर्नस्टीन के 1912 के मूल प्रमाण का अनुसरण करता है। फेलर (1966) या कोरालोव और सिनाई (2007) भी देखें। मान लीजिए K प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की संभावना x के साथ n स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों में सफलताओं की संख्या के रूप में वितरित एक यादृच्छिक चर है; दूसरे शब्दों में, K का पैरामीटर n और x के साथ द्विपद बंटन है। तब हमारे पास अपेक्षित मूल्य है $\operatorname {\mathcal {E}} \left[{\frac {K}{n}}\right]=x\$ और

$p(K)={n \choose K}x^{K}\left(1-x\right)^{n-K}=b_{K,n}(x)$

संभाव्यता सिद्धांत की बड़ी संख्या के कमजोर नियम द्वारा,

$\lim _{n\to \infty }{P\left(\left|{\frac {K}{n}}-x\right|>\delta \right)}=0$

प्रत्येक δ > 0 के लिए, इसके अलावा, यह संबंध x में समान रूप से रहता है, जिसे इसके प्रमाण से चेबिशेव की असमानता के माध्यम से देखा जा सकता है, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि 1⁄n K का विचरण, 1⁄n x(1−x) के बराबर है, x पर ध्यान दिए बिना ऊपर से 1⁄(4n) से घिरा हुआ है।

क्योंकि ƒ, एक बंद परिबद्ध अंतराल पर निरंतर होने के कारण, उस अंतराल पर समान रूप से निरंतर होना चाहिए, एक फॉर्म के एक बयान का अनुमान लगाता है

$\lim _{n\to \infty }{P\left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|>\varepsilon \right)}=0$

एक्स में समान रूप से यह ध्यान में रखते हुए कि ƒ बाध्य है (दिए गए अंतराल पर) उम्मीद के लिए मिलता है

$\lim _{n\to \infty }{\operatorname {\mathcal {E}} \left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0$

एक्स में समान रूप से। यह अंत करने के लिए दो भागों में अपेक्षा के लिए योग को विभाजित करता है। एक भाग पर अंतर ε से अधिक नहीं है; यह भाग ε से अधिक योगदान नहीं दे सकता है।

दूसरी ओर अंतर ε से अधिक है, लेकिन 2M से अधिक नहीं है, जहां M |ƒ(x)| के लिए एक ऊपरी सीमा है; यह हिस्सा ε से अधिक होने की छोटी संभावना के 2M गुना से अधिक योगदान नहीं दे सकता है।

अंत में, कोई देखता है कि अपेक्षाओं के बीच के अंतर का निरपेक्ष मूल्य कभी भी अंतर के निरपेक्ष मूल्य की अपेक्षा से अधिक नहीं होता है, और

$\operatorname {\mathcal {E}} \left[f\left({\frac {K}{n}}\right)\right]=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)p(K)=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)b_{K,n}(x)=B_{n}(f)(x)$

प्राथमिक प्रमाण

संभाव्यता के प्रमाण को अंतर्निहित संभाव्य विचारों का उपयोग करते हुए, लेकिन प्रत्यक्ष सत्यापन द्वारा आगे बढ़ने पर प्राथमिक तरीके से भी दोहराया जा सकता है: निम्नलिखित पहचानों को सत्यापित किया जा सकता है:

1. $\sum _{k}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=1$ ("संभावना")
2. $\sum _{k}{k \over n}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=x$ ("अर्थ")
3. $\sum _{k}\left(x-{k \over n}\right)^{2}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}={x(1-x) \over n}.$ ("भिन्नता")

वास्तव में, द्विपद प्रमेय द्वारा

$$(1+t)^{n}=\sum _{k}{n \choose k}t^{k},$$

और इस समीकरण को दो बार लागू किया जा सकता है $t{\frac {d}{dt}}$. प्रतिस्थापन का उपयोग करके सर्वसमिका (1), (2), और (3) आसानी से अनुसरण करते हैं $t=x/(1-x)$.

इन तीन सर्वसमिकाओं के भीतर, उपरोक्त आधार बहुपद संकेतन का उपयोग करें

$b_{k,n}(x)={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k},$

और जाने

$f_{n}(x)=\sum _{k}f(k/n)\,b_{k,n}(x).$

अत: सर्वसमिका (1) द्वारा

$f_{n}(x)-f(x)=\sum _{k}[f(k/n)-f(x)]\,b_{k,n}(x),$

ताकि

$|f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{k}|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).$

चूंकि f समान रूप से निरंतर है, दिया गया है $\varepsilon >0$, एक है $\delta >0$ ऐसा है कि $|f(a)-f(b)|<\varepsilon$ जब भी $|a-b|<\delta$. इसके अलावा, निरंतरता से, $M=\sup |f|<\infty$. परन्तु फिर

$|f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{|x-{k \over n}|<\delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x)+\sum _{|x-{k \over n}|\geq \delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).$

पहला योग ε से कम है। दूसरी ओर, उपरोक्त पहचान (3) द्वारा, और चूंकि $|x-k/n|\geq \delta$, दूसरा योग 2M गुना से घिरा हुआ है

$\sum _{|x-k/n|\geq \delta }b_{k,n}(x)\leq \sum _{k}\delta ^{-2}\left(x-{k \over n}\right)^{2}b_{k,n}(x)=\delta ^{-2}{x(1-x) \over n}<\delta ^{-2}n^{-1}.$

(चेबीशेव की असमानता)

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि बहुपद f_n समान रूप से f की ओर प्रवृत्त होते हैं।

उच्च आयाम के लिए सामान्यीकरण

बर्नस्टीन बहुपदों को k आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है - परिणामी बहुपदों का रूप B_i1(x₁) B_i2(x₂) ... B_ik(x_k) होता है सरलतम मामले में केवल इकाई अंतराल [0,1] के उत्पादों पर विचार किया जाता है; लेकिन, लाइन के एफ़िन रूपांतरणों का उपयोग करके, बर्नस्टीन बहुपदों को उत्पादों [a₁, b₁] × [a₂, b₂] × ... × [a_k, b_k] के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है। यूनिट अंतराल के k-गुना उत्पाद पर निरंतर कार्य f के लिए, प्रमाण है कि f(x₁, x₂, ... , x_k) को समान रूप से अनुमानित किया जा सकता है

$\sum _{i_{1}}\sum _{i_{2}}\cdots \sum _{i_{k}}{n_{1} \choose i_{1}}{n_{2} \choose i_{2}}\cdots {n_{k} \choose i_{k}}f\left({i_{1} \over n_{1}},{i_{2} \over n_{2}},\dots ,{i_{k} \over n_{k}}\right)x_{1}^{i_{1}}(1-x_{1})^{n_{1}-i_{1}}x_{2}^{i_{2}}(1-x_{2})^{n_{2}-i_{2}}\cdots x_{k}^{i_{k}}(1-x_{k})^{n_{k}-i_{k}}$

एक आयाम में बर्नस्टीन के प्रमाण का सीधा विस्तार है।

यह भी देखें

• बहुपद प्रक्षेप
• न्यूटन रूप
• लैग्रेंज रूप
• द्विपद क्यूएमएफ (डौबेचीज वेवलेट के रूप में भी जाना जाता है)

संदर्भ

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