बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड

गणित में, एक क्षेत्र (गणित) $F$ बीजगणितीय रूप से बंद है यदि एक बहुपद की प्रत्येक डिग्री|गैर-स्थिर बहुपद में $F [x]$ (गुणांक के साथ अविभाज्य बहुपद वलय $F$ ) में किसी फ़ंक्शन का शून्य होता है $F$ .

उदाहरण

उदाहरण के तौर पर, वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है, क्योंकि बहुपद समीकरण $x^{2}+1=0$ इसका वास्तविक संख्याओं में कोई हल नहीं है, भले ही इसके सभी गुणांक (1 और 0) वास्तविक हों। वही तर्क साबित करता है कि वास्तविक क्षेत्र का कोई भी उपक्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है; विशेष रूप से, परिमेय संख्याओं का क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है। इसके विपरीत, बीजगणित का मौलिक प्रमेय बताता है कि जटिल संख्याओं का क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद है। बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र का एक अन्य उदाहरण (जटिल) बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र है।

कोई भी परिमित क्षेत्र F बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है, क्योंकि यदि a₁, ए₂, ..., ए_nयदि F के अवयव हैं, तो बहुपद (x − a) है₁)(एक्स − ए₂) ⋯ (x − a_n)+1 F में कोई शून्य नहीं है। हालाँकि, एक निश्चित विशेषता p के सभी परिमित क्षेत्रों का मिलन एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है, जो वास्तव में, क्षेत्र का बीजगणितीय समापन है $\mathbb {F} _{p}$ पी तत्वों के साथ.

समतुल्य गुण

फ़ील्ड F को देखते हुए, दावा F बीजगणितीय रूप से बंद है, अन्य दावों के बराबर है:

एकमात्र अप्रासंगिक बहुपद घात एक वाले होते हैं

फ़ील्ड F को बीजगणितीय रूप से बंद कर दिया जाता है यदि और केवल यदि बहुपद वलय F[x] में एकमात्र अप्रासंगिक बहुपद घात एक के हों।

यह दावा कि डिग्री एक के बहुपद अपरिवर्तनीय हैं, किसी भी क्षेत्र के लिए तुच्छ रूप से सत्य है। यदि F बीजगणितीय रूप से बंद है और p(x) F[x] का एक अप्रासंगिक बहुपद है, तो इसका कुछ मूल a है और इसलिए p(x) x − a का गुणज है। चूँकि p(x) अपरिवर्तनीय है, इसका मतलब है कि p(x)=k(x −a), कुछ k∈F\{0} के लिए। दूसरी ओर, यदि F बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है, तो F[x] में कुछ गैर-स्थिर बहुपद p(x) है, जिसका F में कोई मूल नहीं है। मान लीजिए q(x) p(x) का कुछ अघुलनशील कारक है। चूँकि p(x) का F में कोई मूल नहीं है, q(x) का भी F में कोई मूल नहीं है। इसलिए, q(x) की घात एक से अधिक है, क्योंकि प्रत्येक प्रथम घात बहुपद का F में एक मूल होता है।

प्रत्येक बहुपद प्रथम डिग्री बहुपद का गुणनफल है

फ़ील्ड F को बीजगणितीय रूप से बंद कर दिया जाता है यदि और केवल यदि प्रत्येक बहुपद p(x) डिग्री n ≥ 1 का हो, F में गुणांक के साथ, गुणनखंडन हो। दूसरे शब्दों में, तत्व k,x हैं₁, एक्स₂, ..., एक्स_nफ़ील्ड F का ऐसा है कि p(x)=k(x--x₁)(एक्स − एक्स₂) ⋯ (x − x_n).

यदि F में यह गुण है, तो स्पष्ट रूप से F[x] में प्रत्येक गैर-स्थिर बहुपद का F में कुछ मूल है; दूसरे शब्दों में, F बीजगणितीय रूप से बंद है। दूसरी ओर, यदि एफ को बीजगणितीय रूप से बंद किया गया है तो यहां बताई गई संपत्ति एफ के लिए मान्य है, जो पिछली संपत्ति से इस तथ्य के साथ मिलती है कि, किसी भी क्षेत्र के के लिए, के [एक्स] में किसी भी बहुपद को अपरिवर्तनीय बहुपद के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। .

अभाज्य घात वाले बहुपदों के मूल होते हैं

यदि अभाज्य घात वाले F से अधिक प्रत्येक बहुपद का मूल F में है, तो प्रत्येक अचर बहुपद का मूल F में है।^[1] इसका तात्पर्य यह है कि एक क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद हो जाता है यदि और केवल तभी जब अभाज्य डिग्री के F से अधिक प्रत्येक बहुपद का मूल F में हो।

फ़ील्ड में कोई उचित बीजगणितीय विस्तार नहीं है

फ़ील्ड F को बीजगणितीय रूप से बंद कर दिया जाता है यदि और केवल तभी जब इसमें कोई उचित बीजगणितीय विस्तार न हो।

यदि F का कोई उचित बीजगणितीय विस्तार नहीं है, तो मान लीजिए कि F[x] में p(x) कुछ अप्रासंगिक बहुपद है। फिर पी(एक्स) द्वारा उत्पन्न एफ[एक्स] मॉड्यूलो आदर्श (रिंग सिद्धांत) की भागफल रिंग एफ का एक बीजगणितीय विस्तार है जिसके क्षेत्र विस्तार की डिग्री पी(एक्स) की डिग्री के बराबर है। चूँकि यह एक उचित विस्तार नहीं है, इसकी डिग्री 1 है और इसलिए p(x) की डिग्री 1 है।

दूसरी ओर, यदि F के पास कुछ उचित बीजगणितीय विस्तार K है, तो K \ F में एक तत्व का न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) अप्रासंगिक है और इसकी डिग्री 1 से अधिक है।

फ़ील्ड का कोई उचित परिमित विस्तार नहीं है

फ़ील्ड F को बीजगणितीय रूप से बंद कर दिया जाता है यदि और केवल यदि इसका कोई उचित परिमित विस्तार नहीं है क्योंकि यदि, फ़ील्ड के भीतर कोई उचित बीजगणितीय विस्तार नहीं है, तो बीजगणितीय विस्तार शब्द को परिमित विस्तार शब्द से बदल दिया जाता है, तो प्रमाण अभी भी मान्य है। (परिमित विस्तार आवश्यक रूप से बीजगणितीय होते हैं।)

===एफ की प्रत्येक एंडोमोर्फिज्मⁿ में कुछ eigenvector=== है फ़ील्ड F बीजगणितीय रूप से बंद है यदि और केवल यदि, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, F से प्रत्येक रैखिक मानचित्रⁿ अपने आप में कुछ eigenvector है।

एफ का एक एंडोमोर्फिज्मⁿ में एक eigenvector है यदि और केवल तभी जब इसके अभिलक्षणिक बहुपद में कुछ जड़ हो। इसलिए, जब F को बीजगणितीय रूप से बंद किया जाता है, तो F का प्रत्येक एंडोमोर्फिज्मⁿ में कुछ eigenvector हैं। दूसरी ओर, यदि एफ की प्रत्येक एंडोमोर्फिज्मⁿ में एक eigenvector है, मान लीजिए p(x) F[x] का एक तत्व है। इसके अग्रणी गुणांक से विभाजित करने पर, हमें एक और बहुपद q(x) मिलता है जिसके मूल हैं यदि और केवल यदि p(x) के मूल हैं। लेकिन यदि q(x)=xⁿ + ए_n − 1x^{n - 1}+ ⋯ + a₀, तो q(x) n×n साथी मैट्रिक्स का विशिष्ट बहुपद है

{\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}.

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों का विघटन

फ़ील्ड F को बीजगणितीय रूप से बंद कर दिया जाता है यदि और केवल तभी जब एक चर x में प्रत्येक तर्कसंगत फ़ंक्शन, F में गुणांक के साथ, फॉर्म a/(x - b) के तर्कसंगत कार्यों के साथ एक बहुपद फ़ंक्शन के योग के रूप में लिखा जा सके।ⁿ, जहां n एक प्राकृतिक संख्या है, और a और b F के तत्व हैं।

यदि F बीजगणितीय रूप से बंद है, तो चूंकि F[x] में सभी अप्रासंगिक बहुपद 1 डिग्री के हैं, इसलिए ऊपर बताई गई संपत्ति प्रमेय के आंशिक अंश अपघटन # कथन द्वारा धारण की जाती है।

दूसरी ओर, मान लीजिए कि ऊपर बताई गई संपत्ति फ़ील्ड F के लिए मान्य है। मान लीजिए कि p(x) F[x] में एक अपरिवर्तनीय तत्व है। तब परिमेय फलन 1/p को a/(x – b) रूप के परिमेय फलन वाले बहुपद फलन q के योग के रूप में लिखा जा सकता है।ⁿ. अत: तर्कसंगत अभिव्यक्ति

{\frac {1}{p(x)}}-q(x)={\frac {1-p(x)q(x)}{p(x)}}

इसे दो बहुपदों के भागफल के रूप में लिखा जा सकता है जिनमें हर प्रथम डिग्री बहुपदों का गुणनफल होता है। चूँकि p(x) अपरिवर्तनीय है, इसे इस गुणनफल को विभाजित करना होगा और इसलिए, यह प्रथम डिग्री बहुपद भी होना चाहिए।

अपेक्षाकृत अभाज्य बहुपद और मूल

किसी भी फ़ील्ड F के लिए, यदि दो बहुपद p(x),q(x)∈F[x] सहअभाज्य हैं तो उनका एक सामान्य मूल नहीं है, यदि a∈F एक सामान्य मूल था, तो p(x) और q (x) दोनों x − a के गुणज होंगे और इसलिए वे अपेक्षाकृत अभाज्य नहीं होंगे। वे क्षेत्र जिनके लिए विपरीत निहितार्थ होता है (अर्थात्, ऐसे क्षेत्र जहां जब भी दो बहुपदों का कोई सामान्य मूल नहीं होता है तो वे अपेक्षाकृत अभाज्य होते हैं) बिल्कुल बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र होते हैं।

यदि फ़ील्ड F बीजगणितीय रूप से बंद है, तो मान लें कि p(x) और q(x) दो बहुपद हैं जो अपेक्षाकृत अभाज्य नहीं हैं और मान लीजिए कि r(x) उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। फिर, चूँकि r(x) स्थिर नहीं है, इसका कुछ मूल a होगा, जो p(x) और q(x) का एक उभयनिष्ठ मूल होगा।

यदि F बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है, तो मान लें कि p(x) एक बहुपद है जिसकी डिग्री बिना मूल के कम से कम 1 है। तब p(x) और p(x) अपेक्षाकृत अभाज्य नहीं हैं, लेकिन उनकी कोई उभयनिष्ठ जड़ें नहीं हैं (क्योंकि उनमें से किसी की भी जड़ें नहीं हैं)।

अन्य गुण

यदि F एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है और n एक प्राकृतिक संख्या है, तो F में एकता की सभी nवीं जड़ें शामिल हैं, क्योंकि ये (परिभाषा के अनुसार) बहुपद x के n (जरूरी नहीं कि अलग) शून्य हैंⁿ − 1. एक क्षेत्र विस्तार जो एकता की जड़ों द्वारा उत्पन्न विस्तार में समाहित होता है, एक साइक्लोटोमिक विस्तार होता है, और एकता की सभी जड़ों द्वारा उत्पन्न एक क्षेत्र के विस्तार को कभी-कभी इसका साइक्लोटोमिक क्लोजर कहा जाता है। इस प्रकार बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड साइक्लोटोमिक रूप से बंद होते हैं। इसका उलट सत्य नहीं है। यह मानते हुए भी कि प्रत्येक बहुपद का रूप x हैⁿ − a को रैखिक कारकों में विभाजित करना यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त नहीं है कि फ़ील्ड बीजगणितीय रूप से बंद है।

यदि कोई प्रस्ताव जिसे प्रथम-क्रम तर्क की भाषा में व्यक्त किया जा सकता है, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के लिए सत्य है, तो यह समान विशेषता (बीजगणित) वाले प्रत्येक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के लिए भी सत्य है। इसके अलावा, यदि ऐसा कोई प्रस्ताव विशेषता 0 के साथ बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड के लिए मान्य है, तो यह न केवल विशेषता 0 के साथ अन्य सभी बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड के लिए मान्य है, बल्कि कुछ प्राकृतिक संख्या एन भी है जैसे कि प्रस्ताव प्रत्येक बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड के लिए मान्य है जब p > N हो तो विशेषता p वाला फ़ील्ड।^[2] प्रत्येक फ़ील्ड F का कुछ विस्तार है जो बीजगणितीय रूप से बंद है। ऐसे विस्तार को 'बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार' कहा जाता है। ऐसे सभी एक्सटेंशनों में से एक और केवल एक (तक, लेकिन अनिवार्य रूप से अद्वितीय नहीं) है जो F का बीजगणितीय विस्तार है;^[3] इसे F का बीजगणितीय समापन कहा जाता है।

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों के सिद्धांत में क्वांटिफायर उन्मूलन है।

↑ Shipman, J. Improving the Fundamental Theorem of Algebra The Mathematical Intelligencer, Volume 29 (2007), Number 4. pp. 9–14
↑ See subsections Rings and fields and Properties of mathematical theories in §2 of J. Barwise's "An introduction to first-order logic".
↑ See Lang's Algebra, §VII.2 or van der Waerden's Algebra I, §10.1.

संदर्भ

Barwise, Jon (1978). "An introduction to first-order logic". In Barwise, Jon (ed.). Handbook of Mathematical Logic. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. North Holland. ISBN 0-7204-2285-X.
Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 211 (revised third ed.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4. MR 1878556.
Shipman, Joseph (2007). "Improving the fundamental theorem of algebra". Mathematical Intelligencer. 29 (4): 9–14. doi:10.1007/BF02986170. ISSN 0343-6993. S2CID 123089882.
van der Waerden, Bartel Leendert (2003). Algebra. Vol. I (7th ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-40624-7.

[1] Shipman, J. Improving the Fundamental Theorem of Algebra The Mathematical Intelligencer, Volume 29 (2007), Number 4. pp. 9–14

[2] See subsections Rings and fields and Properties of mathematical theories in §2 of J. Barwise's "An introduction to first-order logic".

[3] See Lang's Algebra, §VII.2 or van der Waerden's Algebra I, §10.1.

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