बोगोलीउबोव आंतरिक उत्पाद

बोगोलीबोव आंतरिक उत्पाद (डुहामेल दो-बिंदु फ़ंक्शन, बोगोलीबोव आंतरिक उत्पाद, बोगोलीबोव स्केलर उत्पाद, या रोगो कुबो -मोरी-बोगोलीबोव आंतरिक उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है) ऑपरेटर (गणित) के स्थान में एक विशेष आंतरिक उत्पाद है। बोगोलीउबोव आंतरिक उत्पाद क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी में प्रकट होता है और इसका नाम सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी निकोले बोगोल्युबोव के नाम पर रखा गया है।

परिभाषा

होने देना $A$ एक स्व-सहायक ऑपरेटर बनें। किन्हीं दो ऑपरेटरों X और Y के बोगोलीउबोव आंतरिक उत्पाद को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\langle X,Y\rangle _{A}=\int \limits _{0}^{1}{\rm {Tr}}[{\rm {e}}^{xA}X^{\dagger }{\rm {e}}^{(1-x)A}Y]dx$

बोगोलीउबोव आंतरिक उत्पाद आंतरिक उत्पाद के सभी सिद्धांतों को संतुष्ट करता है: यह सेसक्विलिनियर फॉर्म है, सकारात्मक अर्धनिश्चित (यानी, $\langle X,X\rangle _{A}\geq 0$), और समरूपता गुण को संतुष्ट करता है $\langle X,Y\rangle _{A}=(\langle Y,X\rangle _{A})^{*}$ कहाँ $\alpha ^{*}$ का जटिल संयुग्म है $\alpha$.

क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी के अनुप्रयोगों में, ऑपरेटर $A$ रूप है $A=\beta H$, कहाँ $H$ क्वांटम प्रणाली का हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) है और $\beta$ उलटा तापमान है. इन संकेतन के साथ, बोगोलीउबोव आंतरिक उत्पाद रूप लेता है

$\langle X,Y\rangle _{\beta H}=\int \limits _{0}^{1}\langle {\rm {e}}^{x\beta H}X^{\dagger }{\rm {e}}^{-x\beta H}Y\rangle dx$

कहाँ $\langle \dots \rangle$ हैमिल्टनियन के संबंध में थर्मल औसत को दर्शाता है $H$ और उलटा तापमान $\beta$.

क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी में, बोगोलीउबोव आंतरिक उत्पाद सांख्यिकीय योग के विस्तार में दूसरे क्रम के शब्द के रूप में प्रकट होता है:

$\langle X,Y\rangle _{\beta H}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t\partial s}}{\rm {Tr}}\,{\rm {e}}^{\beta H+tX+sY}{\bigg \vert }_{t=s=0}$