मरोड़ उपसमूह

एबेलियन समूहों के सिद्धांत में, मरोड़ उपसमूह ए_Tएक एबेलियन समूह ए का उपसमूह ए का उपसमूह है जिसमें परिमित आदेश (समूह सिद्धांत) (ए के 'मरोड़ तत्व') वाले सभी तत्व शामिल हैं). एक एबेलियन समूह ए को मरोड़ समूह (या आवधिक समूह) कहा जाता है यदि ए के प्रत्येक तत्व का परिमित क्रम होता है और इसे मरोड़-मुक्त एबेलियन समूह कहा जाता है। मरोड़-मुक्त यदि पहचान तत्व को छोड़कर ए का प्रत्येक तत्व अनंत क्रम का है।

सबूत है कि ए_Tसमूह ऑपरेशन के तहत बंद है ऑपरेशन की कम्यूटेटिविटी पर निर्भर करता है (उदाहरण अनुभाग देखें)।

यदि A एबेलियन है, तो मरोड़ उपसमूह T, A का एक विशिष्ट उपसमूह है और कारक समूह A/T मरोड़ रहित है। एबेलियन समूहों की श्रेणी से मरोड़ समूहों की श्रेणी में एक सहसंयोजक फ़ंक्टर है जो प्रत्येक समूह को उसके मरोड़ उपसमूह और प्रत्येक समूह समरूपता को मरोड़ उपसमूह के प्रतिबंध के लिए भेजता है। एबेलियन समूहों की श्रेणी से मरोड़-मुक्त समूहों की श्रेणी में एक और सहसंयोजक फ़ंक्टर है जो प्रत्येक समूह को उसके मरोड़ वाले उपसमूह द्वारा भागफल में भेजता है, और प्रत्येक समरूपता को स्पष्ट प्रेरित समरूपता में भेजता है (जो आसानी से अच्छी तरह से परिभाषित देखा जाता है ).

यदि A अंतिम रूप से उत्पन्न समूह और एबेलियन है, तो इसे इसके मरोड़ वाले उपसमूह T और एक मरोड़-मुक्त उपसमूह के समूहों के प्रत्यक्ष योग के रूप में लिखा जा सकता है (लेकिन यह सभी असीम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों के लिए सही नहीं है)। ए के किसी भी अपघटन में एक मरोड़ उपसमूह एस और एक मरोड़ मुक्त उपसमूह के प्रत्यक्ष योग के रूप में, एस को टी के बराबर होना चाहिए (लेकिन मरोड़ मुक्त उपसमूह विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं है)। यह अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों के वर्गीकरण में एक महत्वपूर्ण कदम है।

पी-शक्ति मरोड़ उपसमूह

किसी भी एबेलियन समूह के लिए $(A,+)$ और कोई अभाज्य संख्या p समुच्चय A_TpA के उन तत्वों में से जिनके पास p की शक्ति है, एक उपसमूह है जिसे 'p-शक्ति मरोड़ उपसमूह' या, अधिक शिथिल रूप से, 'p-torsion उपसमूह' कहा जाता है:

$A_{T_{p}}=\{a\in A\;|\;\exists n\in \mathbb {N} \;,p^{n}a=0\}.\;$

मरोड़ उपसमूह ए_Tसभी अभाज्य संख्याओं p पर इसके p-शक्ति मरोड़ वाले उपसमूहों के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप है:

$A_{T}\cong \bigoplus _{p\in P}A_{T_{p}}.\;$

जब A परिमित एबेलियन समूह होता है, तो A_Tpअद्वितीय साइलो उपसमूह के साथ मेल खाता है। ए के साइलो पी-उपसमूह।

A का प्रत्येक p-शक्ति मरोड़ उपसमूह एक विशिष्ट उपसमूह है। अधिक दृढ़ता से, एबेलियन समूहों के बीच कोई समरूपता प्रत्येक पी-पॉवर टॉर्सन उपसमूह को संबंधित पी-पॉवर टॉर्सन उपसमूह में भेजती है।

प्रत्येक अभाज्य संख्या p के लिए, यह एबेलियन समूहों की श्रेणी से p-शक्ति मरोड़ समूहों की श्रेणी के लिए एक ऑपरेटर प्रदान करता है जो प्रत्येक समूह को उसके p-शक्ति मरोड़ उपसमूह में भेजता है, और प्रत्येक समरूपता को p-torsion उपसमूहों तक सीमित करता है। मरोड़ समूहों की श्रेणी के लिए इन फ़ैक्टरों के प्रतिबंध के सभी अभाज्य संख्याओं के सेट पर उत्पाद, मरोड़ समूहों की श्रेणी से पी-मरोड़ समूहों की श्रेणियों के सभी अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के लिए एक वफादार फ़ंक्टर है। एक मायने में, इसका मतलब यह है कि अलगाव में पी-टोरसन समूहों का अध्ययन हमें सामान्य तौर पर मरोड़ समूहों के बारे में सब कुछ बताता है।

उदाहरण और आगे के परिणाम

एक जाली द्वारा जोड़ के तहत जटिल संख्याओं के भागफल समूह का 4-मरोड़ उपसमूह।

* एक गैर-अबेलियन समूह का मरोड़ उपसमुच्चय सामान्य रूप से एक उपसमूह नहीं है। उदाहरण के लिए, अनंत डायहेड्रल समूह में, जिसमें समूह की प्रस्तुति है:

⟨ एक्स, वाई | x² = y² = 1 ⟩

तत्व xy दो मरोड़ वाले तत्वों का एक उत्पाद है, लेकिन इसमें अनंत क्रम है।

• निलपोटेंट समूह में मरोड़ वाले तत्व एक सामान्य उपसमूह बनाते हैं।
• प्रत्येक परिमित आबेली समूह एक मरोड़ समूह है। हालांकि हर मरोड़ समूह सीमित नहीं है: चक्रीय समूह सी की प्रतियों की अनगिनत अनंत संख्या के प्रत्यक्ष योग पर विचार करें₂; यह एक मरोड़ समूह है क्योंकि प्रत्येक तत्व का क्रम 2 है। न ही किसी मरोड़ समूह में तत्वों के आदेश पर ऊपरी सीमा होने की आवश्यकता है यदि यह समूह का सेट उत्पन्न नहीं कर रहा है, कारक समूह क्यू/जेड के उदाहरण के रूप में दिखाता है .
• प्रत्येक मुक्त एबेलियन समूह मरोड़-मुक्त है, लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है, जैसा कि परिमेय संख्या Q के योगात्मक समूह द्वारा दिखाया गया है।
• यहां तक ​​​​कि अगर 'ए' पूरी तरह से उत्पन्न नहीं हुआ है, तो इसके मरोड़-मुक्त हिस्से का आकार विशिष्ट रूप से निर्धारित किया गया है, जैसा कि एक एबेलियन समूह के रैंक पर लेख में अधिक विस्तार से बताया गया है।
• एक एबेलियन समूह 'ए' मरोड़ मुक्त है अगर और केवल अगर यह जेड-मॉड्यूल (गणित) के रूप में फ्लैट मॉड्यूल है, जिसका अर्थ है कि जब भी 'सी' कुछ एबेलियन समूह 'बी' का उपसमूह होता है ', तो एबेलियन समूहों के टेंसर उत्पाद से प्राकृतिक मानचित्र सी ⊗ ए से बी ⊗ ए इंजेक्शन है।
• क्यू (या किसी भी विभाज्य समूह) के साथ एबेलियन समूह 'ए' को टेंसर करने से मरोड़ खत्म हो जाता है। अर्थात, यदि T एक मरोड़ समूह है तो T ⊗ Q = 0. मरोड़ उपसमूह T वाले एक सामान्य एबेलियन समूह A के लिए एक में A ⊗ है क्यू ≅ ए/टी ⊗ क्यू.
• मरोड़ वाले उपसमूह को लेने से मरोड़ वाले एबेलियन समूहों को एबेलियन समूहों की एक प्रमुख उपश्रेणी में बदल दिया जाता है, जबकि मरोड़ वाले उपसमूह द्वारा भागफल लेने से मरोड़ मुक्त एबेलियन समूह एक चिंतनशील उपश्रेणी में बन जाते हैं।

यह भी देखें

• मरोड़ (बीजगणित)
• मरोड़ मुक्त एबेलियन समूह
• मरोड़ एबेलियन समूह

संदर्भ

• Epstein, David B. A.; Cannon, James W.; Holt, Derek F.; Levy, Silvio V. F.; Paterson, Michael S.; Thurston, William P. (1992), Word Processing in Groups, Boston, MA: Jones and Bartlett Publishers, ISBN 0-86720-244-0