मोडुली स्थान

गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में, एक मॉड्यूलि स्पेस एक ज्यामितीय स्थान होता है (आमतौर पर एक योजना (गणित) या एक बीजीय स्टैक) जिसके बिंदु कुछ निश्चित प्रकार की बीजगणित-ज्यामितीय वस्तुओं, या ऐसी वस्तुओं के समरूपता वर्गों का प्रतिनिधित्व करते हैं। ऐसे स्थान अक्सर वर्गीकरण समस्याओं के समाधान के रूप में उत्पन्न होते हैं: यदि कोई यह दिखा सकता है कि दिलचस्प वस्तुओं का संग्रह (उदाहरण के लिए, एक निश्चित जीनस (टोपोलॉजी) के चिकनी बीजगणितीय वक्र) को एक ज्यामितीय स्थान की संरचना दी जा सकती है, तो कोई ऐसा पैरामीट्रिज कर सकता है परिणामी स्थान पर निर्देशांक प्रस्तुत करके वस्तुएँ। इस संदर्भ में, मापांक शब्द का प्रयोग पैरामीटर के पर्यायवाची रूप से किया जाता है; मॉड्यूलि रिक्त स्थान को पहले वस्तुओं के स्थान के बजाय मापदंडों के स्थान के रूप में समझा जाता था। मॉड्यूलि स्पेस का एक प्रकार औपचारिक मॉड्यूलि है। बर्नहार्ड रीमैन ने पहली बार 1857 में मोडुली शब्द का इस्तेमाल किया था।

प्रेरणा

मॉड्यूलि स्थान ज्यामितीय वर्गीकरण समस्याओं के समाधान के स्थान हैं। अर्थात्, मॉड्यूलि स्पेस के बिंदु ज्यामितीय समस्याओं के समाधान के अनुरूप होते हैं। यहां विभिन्न समाधानों की पहचान की जाती है यदि वे समरूपी हैं (अर्थात्, ज्यामितीय रूप से समान)। मॉड्यूलि स्पेस को समस्या के लिए मापदंडों का एक सार्वभौमिक स्थान देने के रूप में सोचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन तल में सर्वांगसमता तक सभी वृत्तों को खोजने की समस्या पर विचार करें। किसी भी वृत्त को तीन बिंदु देकर विशिष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है, लेकिन तीन बिंदुओं के कई अलग-अलग सेट एक ही वृत्त देते हैं: पत्राचार कई-से-एक है। हालाँकि, वृत्तों को उनके केंद्र और त्रिज्या देकर विशिष्ट रूप से मानकीकृत किया जाता है: यह दो वास्तविक पैरामीटर और एक सकारात्मक वास्तविक पैरामीटर है। चूँकि हम केवल सर्वांगसमता तक के वृत्तों में रुचि रखते हैं, हम विभिन्न केंद्रों वाले लेकिन समान त्रिज्या वाले वृत्तों की पहचान करते हैं, और इसलिए त्रिज्या अकेले ही रुचि के सेट को मानकीकृत करने के लिए पर्याप्त है। इसलिए, मॉड्यूलि स्पेस सकारात्मक वास्तविक संख्या है।

मॉड्यूलि स्पेस में अक्सर प्राकृतिक ज्यामितीय और टोपोलॉजिकल संरचनाएं भी होती हैं। उदाहरण के लिए, वृत्तों के उदाहरण में, मॉड्यूलि स्पेस केवल एक अमूर्त सेट नहीं है, बल्कि त्रिज्या के अंतर का पूर्ण मान यह निर्धारित करने के लिए एक मीट्रिक (गणित) को परिभाषित करता है कि कब दो वृत्त करीब हैं। मॉड्यूलि स्पेस की ज्यामितीय संरचना स्थानीय रूप से हमें बताती है कि ज्यामितीय वर्गीकरण समस्या के दो समाधान कब करीब हैं, लेकिन आम तौर पर मॉड्यूलि स्पेस में एक जटिल वैश्विक संरचना भी होती है।

फ़ाइल:वास्तविक प्रक्षेप्य लाइन मॉड्यूलि स्पेस example.pdf|thumb|कंस्ट्रक्टिंग पी¹(R) 0 ≤ θ < π या S के भागफल स्थान के रूप में भिन्न करके¹.

उदाहरण के लिए, आर में लाइनों के संग्रह का वर्णन कैसे करें पर विचार करें²जो मूल को काटता है। हम इस परिवार की प्रत्येक पंक्ति एल को एक मात्रा निर्दिष्ट करना चाहते हैं जो इसे विशिष्ट रूप से पहचान सके - एक मापांक। ऐसी मात्रा का एक उदाहरण 0 ≤ θ < π रेडियन वाला धनात्मक कोण θ(L) है। रेखाओं L के इस प्रकार पैरामीट्रिज्ड सेट को 'P' के नाम से जाना जाता है¹(R) और वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा कहलाती है।

हम R में रेखाओं के संग्रह का भी वर्णन कर सकते हैं²जो टोपोलॉजिकल निर्माण के माध्यम से मूल को प्रतिच्छेद करता है। बुद्धि के लिए: एस पर विचार करें¹⊂ आर² और ध्यान दें कि प्रत्येक बिंदु s ∈ 'S'¹संग्रह में एक पंक्ति L(s) देता है (जो मूल और s को जोड़ती है)। हालाँकि, यह मानचित्र दो-से-एक है, इसलिए हम 'P' प्राप्त करने के लिए s ~ −s की पहचान करना चाहते हैं।¹(R) ≅ S¹/~ जहां इस स्थान पर टोपोलॉजी भागफल मानचित्र (टोपोलॉजी) एस द्वारा प्रेरित भागफल टोपोलॉजी है¹→ पी¹(आर).

इस प्रकार, जब हम पी पर विचार करते हैं¹(R) रेखाओं के एक मॉड्यूलि स्पेस के रूप में जो मूल बिंदु को R में प्रतिच्छेद करता है², हम उन तरीकों को पकड़ते हैं जिनमें परिवार के सदस्य (इस मामले में रेखाएं) 0 ≤ θ < π को लगातार बदलते हुए व्यवस्थित कर सकते हैं।

बुनियादी उदाहरण

प्रोजेक्टिव स्पेस और ग्रासमैनियन

वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान Pⁿ एक मॉड्यूलि स्पेस है जो 'आर' में लाइनों के स्थान को पैरामीट्रिज करता हैⁿ⁺¹जो मूल से होकर गुजरता है। इसी प्रकार, जटिल प्रक्षेप्य स्थान 'सी' में सभी जटिल रेखाओं का स्थान हैⁿ⁺¹उद्गम से होकर गुजरना।

अधिक सामान्यतः, फ़ील्ड F पर वेक्टर स्पेस V का ग्रासमैनियन 'G' (k, V) V के सभी k-आयामी रैखिक उप-स्थानों का मॉड्यूलि स्पेस है।

विश्व स्तर पर उत्पन्न अनुभागों के साथ बहुत व्यापक लाइन बंडलों के मॉड्यूल के रूप में प्रक्षेप्य स्थान

जब भी किसी योजना का एम्बेडिंग होता है $X$ सार्वभौमिक प्रक्षेप्य स्थान में $\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}$, एम्बेडिंग एक लाइन बंडल द्वारा दी गई है ${\mathcal {L}}\to X$ और $n+1$ धारा $s_{0},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})$ जो सभी एक ही समय में गायब नहीं होते हैं। इसका मतलब है, एक बिंदु<ब्लॉककोट> दिया गया है$x:{\text{Spec}}(R)\to X$एक संबद्ध बिंदु

है${\hat {x}}:{\text{Spec}}(R)\to \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}$

रचनाओं द्वारा दिया गया

$[s_{0}:\cdots :s_{n}]\circ x=[s_{0}(x):\cdots :s_{n}(x)]\in \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}(R)$

फिर, अनुभागों के साथ दो लाइन बंडल समतुल्य

हैं$({\mathcal {L}},(s_{0},\ldots ,s_{n}))\sim ({\mathcal {L}}',(s_{0}',\ldots ,s_{n}'))$

यदि कोई समरूपता है $\phi :{\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}'$ ऐसा है कि $\phi (s_{i})=s_{i}'$. इसका मतलब है संबंधित मॉड्यूल फ़ंक्टर <ब्लॉककोट>$\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}:{\text{Sch}}\to {\text{Sets}}$एक स्कीम भेजता है $X$ सेट<ब्लॉककोट> पर$\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}(X)=\left\{({\mathcal {L}},s_{0},\ldots ,s_{n}):{\begin{matrix}{\mathcal {L}}\to X{\text{ is a line bundle}}\\s_{0},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})\\{\text{ form a basis of global sections}}\end{matrix}}\right\}/\sim$यह सच है यह दिखाने के लिए टॉटोलॉजी की एक श्रृंखला चलाकर काम किया जा सकता है: कोई भी प्रोजेक्टिव एम्बेडिंग $i:X\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}$ विश्व स्तर पर उत्पन्न शीफ देता है $i^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}(1)$ अनुभागों के साथ $i^{*}x_{0},\ldots ,i^{*}x_{n}$. इसके विपरीत, एक पर्याप्त लाइन बंडल दिया गया है ${\mathcal {L}}\to X$ विश्व स्तर पर उत्पन्न $n+1$ अनुभाग उपरोक्त के अनुसार एक एम्बेडिंग देता है।

चाउ किस्म

चाउ रिंग चाउ(डी,पी³) एक प्रक्षेपी बीजगणितीय किस्म है जो 'पी' में डिग्री डी वक्रों को पैरामीट्रिज करती है।³. इसका निर्माण इस प्रकार किया गया है। मान लीजिए C 'P' में डिग्री d का एक वक्र है³, फिर P की सभी पंक्तियों पर विचार करें³जो वक्र C को प्रतिच्छेद करता है। यह एक डिग्री d भाजक (बीजगणितीय ज्यामिति) D है_C'जी'(2,4) में, 'पी' में पंक्तियों का ग्रासमैनियन³. जब C भिन्न होता है, तो C को D से जोड़कर_C, हम ग्रासमैनियन के डिग्री डी विभाजक के स्थान के उपसमुच्चय के रूप में डिग्री डी वक्रों का एक पैरामीटर स्थान प्राप्त करते हैं: 'चाउ'(डी,'पी'³).

हिल्बर्ट योजना

हिल्बर्ट योजना हिल्ब(एक्स) एक मॉड्यूलि योजना है। हिल्ब(X) का प्रत्येक बंद बिंदु एक निश्चित योजना X के एक बंद उपयोजना से मेल खाता है, और प्रत्येक बंद उपयोजना को ऐसे एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है। हिल्बर्ट योजना का एक सरल उदाहरण हिल्बर्ट योजना पैरामीटरीकरण डिग्री है $d$ प्रक्षेप्य स्थान की हाइपरसतहें $\mathbb {P} ^{n}$. यह प्रक्षेप्य बंडल<ब्लॉककोट> द्वारा दिया गया है${\mathcal {Hilb}}_{d}(\mathbb {P} ^{n})=\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(d)))$सार्वभौमिक परिवार के साथ

द्वारा दिया गया${\mathcal {U}}=\{(V(f),f):f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(d))\}$</ब्लॉकक्वॉट>कहां $V(f)$ डिग्री के लिए संबद्ध प्रक्षेप्य योजना है $d$ सजातीय बहुपद $f$.

परिभाषाएँ

चीज़ों से संबंधित कई धारणाएँ हैं जिन्हें हम मॉड्यूलि स्पेस कह सकते हैं। इनमें से प्रत्येक परिभाषा एक अलग धारणा को औपचारिक बनाती है कि अंतरिक्ष एम के बिंदुओं के लिए ज्यामितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करने का क्या मतलब है।

फाइन मॉड्यूलि स्पेस

यह मानक अवधारणा है. अनुमानतः, यदि हमारे पास एक स्थान M है जिसके लिए प्रत्येक बिंदु m ∊ M एक बीजगणित-ज्यामितीय वस्तु U से मेल खाता है_m, तो हम इन वस्तुओं को एम के ऊपर एक टॉटोलॉजिकल बंडल परिवार यू में इकट्ठा कर सकते हैं। (उदाहरण के लिए, ग्रासमैनियन 'जी' (के, वी) एक रैंक के बंडल रखता है जिसका फाइबर किसी भी बिंदु पर होता है [एल] ∊ 'जी' (के, V) केवल रैखिक उपसमष्टि L ⊂ V है।) M को परिवार U का 'आधार स्थान' कहा जाता है। हम कहते हैं कि सार्वभौमिक बंडल 'सार्वभौमिक' है यदि बीजगणित-ज्यामितीय वस्तुओं का कोई भी परिवार T किसी भी आधार स्थान B पर है एक अनूठे मानचित्र बी → एम के साथ यू का पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) एक अच्छा मॉड्यूलि स्पेस एक स्पेस एम है जो एक सार्वभौमिक परिवार का आधार है।

अधिक सटीक रूप से, मान लें कि हमारे पास योजनाओं से सेट तक एक फ़ैक्टर एफ है, जो स्कीम बी को आधार बी के साथ वस्तुओं के सभी उपयुक्त परिवारों के सेट को निर्दिष्ट करता है। यदि एम प्रतिनिधित्व योग्य है तो एक स्पेस एम फ़ंक्टर एफ के लिए एक 'फाइन मॉड्यूलि स्पेस' है। फ़ंक्टर एफ, यानी, एक प्राकृतिक समरूपता है τ : F → 'Hom'(−, M), जहां 'Hom'(−, M) बिंदुओं का कारक है। इसका तात्पर्य यह है कि एम एक सार्वभौमिक परिवार रखता है; यह परिवार पहचान मानचित्र '1' के अनुरूप एम पर परिवार है_M ∊ होम(एम, एम)।

मोटे मॉड्यूलि रिक्त स्थान

बारीक मॉड्यूलि स्पेस वांछनीय हैं, लेकिन वे हमेशा मौजूद नहीं होते हैं और अक्सर उनका निर्माण करना कठिन होता है, इसलिए गणितज्ञ कभी-कभी एक कमजोर धारणा, मोटे मॉड्यूलि स्पेस के विचार का उपयोग करते हैं। यदि कोई प्राकृतिक परिवर्तन मौजूद है तो एक स्पेस एम फ़ंक्टर एफ के लिए एक 'मोटे मॉडुली स्पेस' है: एफ → 'होम' (-, एम) और τ ऐसे प्राकृतिक परिवर्तनों के बीच सार्वभौमिक है। अधिक ठोस रूप से, एम, एफ के लिए एक मोटा मॉड्यूली स्थान है यदि आधार बी पर कोई भी परिवार टी एक मानचित्र को जन्म देता है φ_T : बी → एम और कोई भी दो वस्तुएं वी और डब्ल्यू (एक बिंदु पर परिवारों के रूप में मानी जाती हैं) एम के एक ही बिंदु के अनुरूप हैं यदि और केवल यदि वी और डब्ल्यू आइसोमोर्फिक हैं। इस प्रकार, एम एक ऐसा स्थान है जिसमें प्रत्येक वस्तु के लिए एक बिंदु होता है जो एक परिवार में दिखाई दे सकता है, और जिसकी ज्यामिति उन तरीकों को दर्शाती है जिनसे वस्तुएं परिवारों में भिन्न हो सकती हैं। हालाँकि, ध्यान दें कि एक मोटे मॉड्यूलि स्पेस में आवश्यक रूप से उपयुक्त वस्तुओं का कोई परिवार नहीं होता है, एक सार्वभौमिक को तो छोड़ ही दें।

दूसरे शब्दों में, एक बढ़िया मॉड्यूलि स्पेस में बेस स्पेस एम और यूनिवर्सल फैमिली यू → एम दोनों शामिल होते हैं, जबकि मोटे मॉड्यूलि स्पेस में केवल बेस स्पेस एम होता है।

मोदुली ढेर

अक्सर ऐसा होता है कि दिलचस्प ज्यामितीय वस्तुएं कई प्राकृतिक स्वचालितता से सुसज्जित होती हैं। यह विशेष रूप से एक बढ़िया मॉड्यूलि स्पेस के अस्तित्व को असंभव बनाता है (सहज रूप से, विचार यह है कि यदि एल कुछ ज्यामितीय वस्तु है, तो तुच्छ परिवार एल × [0,1] को सर्कल 'एस' पर एक मुड़ परिवार में बनाया जा सकता है¹ एक गैर-तुच्छ ऑटोमोर्फिज्म के माध्यम से एल × {0} को एल × {1} के साथ पहचानकर। अब यदि एक बढ़िया मॉड्यूलि स्पेस एक्स मौजूद है, तो मानचित्र 'एस'¹→ हालाँकि, यह दृष्टिकोण आदर्श नहीं है, क्योंकि ऐसे स्थानों के अस्तित्व की गारंटी नहीं है, जब वे अस्तित्व में होते हैं तो वे अक्सर एकवचन होते हैं, और उनके द्वारा वर्गीकृत वस्तुओं के कुछ गैर-तुच्छ परिवारों के बारे में विवरण छूट जाते हैं।

एक अधिक परिष्कृत दृष्टिकोण समरूपताओं को याद करके वर्गीकरण को समृद्ध करना है। अधिक सटीक रूप से, किसी भी आधार बी पर परिवारों की श्रेणी पर विचार किया जा सकता है जिसमें केवल परिवारों के बीच समरूपता को रूपवाद के रूप में लिया जाता है। फिर कोई रेशेदार श्रेणी पर विचार करता है जो किसी भी स्थान बी को बी के ऊपर परिवारों के समूह को निर्दिष्ट करता है। मॉड्यूलि समस्या का वर्णन करने के लिए समूह में फाइबर वाली इन श्रेणियों का उपयोग ग्रोथेंडिक (1960/61) में वापस जाता है। सामान्य तौर पर, उन्हें योजनाओं या यहां तक ​​कि बीजगणितीय रिक्त स्थान द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है, लेकिन कई मामलों में, उनके पास बीजगणितीय स्टैक की प्राकृतिक संरचना होती है।

बीजगणितीय ढेर और मोडुली समस्याओं का विश्लेषण करने के लिए उनका उपयोग डेलिग्ने-ममफोर्ड (1969) में किसी दिए गए जीनस के बीजगणितीय वक्रों के (मोटे) मॉड्यूली की अपरिवर्तनीयता को साबित करने के लिए एक उपकरण के रूप में दिखाई दिया। बीजगणितीय स्टैक की भाषा अनिवार्य रूप से फ़ाइबर श्रेणी को देखने का एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करती है जो एक स्थान के रूप में मॉड्यूली समस्या का गठन करती है, और 'मोडुली स्टैक' कई मॉड्यूलि समस्याओं में से संबंधित मोटे मॉड्यूलि स्पेस की तुलना में बेहतर व्यवहार (जैसे चिकनी) है।

आगे के उदाहरण

वक्रों का मापांक

Further information: Moduli of algebraic curves

मॉड्यूलि स्टैक ${\mathcal {M}}_{g}$ जीनस जी के चिकने प्रक्षेप्य वक्रों के परिवारों को उनकी समरूपता के साथ वर्गीकृत करता है। जब g > 1, तो इस स्टैक को नए सीमा बिंदु जोड़कर संकुचित किया जा सकता है जो स्थिर नोडल वक्रों (उनके समरूपता के साथ) के अनुरूप होते हैं। एक वक्र स्थिर होता है यदि इसमें ऑटोमोर्फिज्म का केवल एक सीमित समूह होता है। परिणामी स्टैक को दर्शाया गया है ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$. दोनों मॉड्यूली स्टैक वक्रों के सार्वभौमिक परिवारों को ले जाते हैं। कोई चिकने या स्थिर वक्रों के समरूपता वर्गों का प्रतिनिधित्व करने वाले मोटे मॉड्यूली स्थानों को भी परिभाषित कर सकता है। इन मोटे मॉड्यूलि स्थानों का वास्तव में अध्ययन मॉड्यूलि स्टैक की धारणा का आविष्कार होने से पहले किया गया था। वास्तव में, मोटे मॉड्यूली स्थानों की प्रोजेक्टिविटी को साबित करने के प्रयास में डेलिग्ने और ममफोर्ड द्वारा मॉड्यूली स्टैक के विचार का आविष्कार किया गया था। हाल के वर्षों में, यह स्पष्ट हो गया है कि वक्रों का ढेर वास्तव में अधिक मौलिक वस्तु है।

उपरोक्त दोनों ढेरों का आयाम 3g−3 है; इसलिए एक स्थिर नोडल वक्र को 3g-3 मापदंडों के मानों को चुनकर पूरी तरह से निर्दिष्ट किया जा सकता है, जब g > 1. निचले जीनस में, किसी को उनकी संख्या घटाकर, ऑटोमोर्फिज्म के चिकनी परिवारों की उपस्थिति का हिसाब देना चाहिए। जीनस शून्य का बिल्कुल एक जटिल वक्र है, रीमैन क्षेत्र, और इसकी समरूपता का समूह पीजीएल(2) है। इसलिए, का आयाम ${\mathcal {M}}_{0}$ है

मंद (जीनस शून्य वक्रों का स्थान) - मंद (ऑटोमोर्फिज्म का समूह) = 0 - मंद (पीजीएल (2)) = -3।

इसी तरह, जीनस 1 में, वक्रों का एक-आयामी स्थान होता है, लेकिन ऐसे प्रत्येक वक्र में ऑटोमोर्फिज्म का एक-आयामी समूह होता है। इसलिए, ढेर ${\mathcal {M}}_{1}$ इसका आयाम 0 है। मोटे मॉड्यूलि रिक्त स्थान का आयाम 3g−3 होता है, जब g > 1 होता है, क्योंकि जीनस g > 1 वाले वक्रों में केवल एक परिमित समूह होता है, क्योंकि इसकी ऑटोमोर्फिज्म यानी मंद (ऑटोमोर्फिज्म का एक समूह) = 0. अंततः, में जीनस शून्य, मोटे मॉड्यूलि स्पेस का आयाम शून्य है, और जीनस एक में, इसका आयाम एक है।

एन चिह्नित बिंदुओं के साथ जीनस जी नोडल वक्रों के मॉड्यूली स्टैक पर विचार करके भी समस्या को समृद्ध किया जा सकता है। ऐसे चिह्नित वक्रों को स्थिर कहा जाता है यदि वक्र ऑटोमोर्फिज्म का उपसमूह जो चिह्नित बिंदुओं को ठीक करता है, परिमित है। एन-चिह्नित बिंदुओं के साथ चिकने (या स्थिर) जीनस जी वक्रों के परिणामी मॉड्यूली स्टैक को दर्शाया गया है ${\mathcal {M}}_{g,n}$ (या ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$), और इसका आयाम 3जी −3+एन है।

विशेष रुचि का मामला मॉड्यूली स्टैक है ${\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}$ एक चिह्नित बिंदु के साथ जीनस 1 वक्र का। यह अण्डाकार वक्रों का ढेर है, और बहुत अधिक अध्ययन किए गए मॉड्यूलर रूपों का प्राकृतिक घर है, जो इस ढेर पर बंडलों के मेरोमोर्फिक खंड हैं।

किस्मों का मॉड्यूल

उच्च आयामों में, बीजगणितीय किस्मों के मॉड्यूल का निर्माण और अध्ययन करना अधिक कठिन होता है। उदाहरण के लिए, ऊपर चर्चा किए गए अण्डाकार वक्रों के मॉड्यूलि स्पेस का उच्च-आयामी एनालॉग एबेलियन किस्मों का मॉड्यूलि स्पेस है, जैसे सीगल मॉड्यूलर किस्म। यह सील मॉड्यूलर रूप सिद्धांत में अंतर्निहित समस्या है। शिमुरा किस्म भी देखें।

न्यूनतम मॉडल कार्यक्रम से उत्पन्न तकनीकों का उपयोग करते हुए, सामान्य प्रकार की किस्मों के मॉड्यूलि स्पेस का निर्माण जानोस कोल्लार और निकोलस शेफर्ड-बैरन द्वारा किया गया था, जिसे अब केएसबी मॉड्यूलि स्पेस के रूप में जाना जाता है। डिफरेंशियल ज्योमेट्री और बायरेशनल ज्योमेट्री से उत्पन्न तकनीकों का एक साथ उपयोग करते हुए, फैनो किस्मों के मॉड्यूलि स्पेस का निर्माण फैनो किस्मों की K-स्थिरता के एक विशेष वर्ग तक सीमित करके प्राप्त किया गया है। इस सेटिंग में कॉचर बिरकर द्वारा सिद्ध फ़ानो किस्मों की सीमा के बारे में महत्वपूर्ण परिणामों का उपयोग किया जाता है, जिसके लिए उन्हें 2018 फील्ड्स मेडल से सम्मानित किया गया था।

कैलाबी-यौ किस्मों के मॉड्यूलि रिक्त स्थान का निर्माण एक महत्वपूर्ण खुली समस्या है, और केवल विशेष मामलों जैसे कि K3 सतह या एबेलियन किस्मों के मॉड्यूलि रिक्त स्थान को समझा जाता है।

वेक्टर बंडलों का मॉड्यूल

एक अन्य महत्वपूर्ण मॉड्यूलि समस्या मॉड्यूलि स्टैक वेक्ट की (विभिन्न उप-स्टैक्स) की ज्यामिति को समझना है_n(X) एक निश्चित बीजगणितीय किस्म X पर रैंक n वेक्टर बंडलों का। इस स्टैक का सबसे अधिक अध्ययन तब किया गया है जब X एक-आयामी है, और विशेष रूप से जब n एक के बराबर है। इस मामले में, मोटे मॉड्यूलि स्पेस पिकार्ड योजना है, जिसका अध्ययन वक्रों के मॉड्यूलि स्पेस की तरह, स्टैक के आविष्कार से पहले किया गया था। जब बंडलों में रैंक 1 और डिग्री शून्य होती है, तो मोटे मॉड्यूलि स्पेस का अध्ययन जैकोबियन किस्म का अध्ययन होता है।

भौतिकी के अनुप्रयोगों में, वेक्टर बंडलों के मॉड्यूल की संख्या और फाइबर बंडल के मॉड्यूल की संख्या की निकट संबंधी समस्या | प्रिंसिपल जी-बंडलों को गेज सिद्धांत में महत्वपूर्ण पाया गया है।

मॉड्यूलि स्पेस का आयतन

सीमाबद्ध रीमैन सतहों के सरल जियोडेसिक्स और वेइल-पीटर्ससन मॉड्यूली रिक्त स्थान की मात्रा।

मोडुलि स्पेस बनाने की विधियाँ

मॉड्यूलि समस्याओं का आधुनिक सूत्रीकरण और मॉड्यूलि फंक्शनर्स (या अधिक आम तौर पर समूहबद्ध में रेशेदार श्रेणी) और उनका प्रतिनिधित्व करने वाले रिक्त स्थान (लगभग) के संदर्भ में मॉड्यूलि रिक्त स्थान की परिभाषा, ग्रोथेंडिक (1960/61) से मिलती है, जिसमें उन्होंने वर्णन किया है एक उदाहरण के रूप में जटिल विश्लेषणात्मक ज्यामिति में टेइचमुलर रिक्त स्थान का उपयोग करते हुए सामान्य रूपरेखा, दृष्टिकोण और मुख्य समस्याएं। वार्ता, विशेष रूप से, विचाराधीन मॉड्यूलि समस्या को पहले कठोर बनाकर मॉड्यूलि रिक्त स्थान के निर्माण की सामान्य विधि का वर्णन करती है।

अधिक सटीक रूप से, वर्गीकृत की जा रही वस्तुओं के गैर-तुच्छ ऑटोमोर्फिज्म के अस्तित्व से एक अच्छा मॉड्यूलि स्थान होना असंभव हो जाता है। हालाँकि, अतिरिक्त डेटा के साथ मूल वस्तुओं को वर्गीकृत करने की संशोधित मॉड्यूली समस्या पर विचार करना अक्सर संभव होता है, इस तरह से चुना जाता है कि पहचान अतिरिक्त डेटा का भी सम्मान करने वाली एकमात्र ऑटोमोर्फिज्म है। कठोर डेटा के उपयुक्त विकल्प के साथ, संशोधित मॉड्यूलि समस्या में एक (ठीक) मॉड्यूलि स्पेस टी होगा, जिसे अक्सर उपयुक्त हिल्बर्ट योजना या कोट योजना की उप-योजना के रूप में वर्णित किया जाता है। कठोर डेटा को इसके अलावा चुना जाता है ताकि यह बीजगणितीय संरचना समूह जी के साथ एक प्रमुख बंडल से मेल खाए। इस प्रकार कोई व्यक्ति जी की कार्रवाई से भागफल लेकर कठोर समस्या से मूल तक वापस जा सकता है, और मॉड्यूलि स्पेस के निर्माण की समस्या एक ऐसी योजना (या अधिक सामान्य स्थान) खोजने का हो जाता है जो (उपयुक्त रूप से मजबूत अर्थ में) जी की कार्रवाई से टी का भागफल टी/जी है। अंतिम समस्या, सामान्य तौर पर, किसी समाधान को स्वीकार नहीं करती है; हालाँकि, इसे 1965 में डेविड मम्फोर्ड द्वारा विकसित अभूतपूर्व ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत (जीआईटी) द्वारा संबोधित किया गया है, जो दर्शाता है कि उपयुक्त परिस्थितियों में भागफल वास्तव में मौजूद है।

यह देखने के लिए कि यह कैसे काम कर सकता है, जीनस g > 2 के पैरामीट्रिज़िंग चिकने वक्रों की समस्या पर विचार करें। डिग्री d > 2g की पूरी रैखिक प्रणाली के साथ एक चिकना वक्र प्रक्षेप्य स्थान 'पी' के एक बंद एक आयामी उपयोजना के बराबर है।^d−g. नतीजतन, चिकने वक्रों और रैखिक प्रणालियों (कुछ मानदंडों को पूरा करने वाले) के मॉड्यूलि स्पेस को पर्याप्त रूप से उच्च-आयामी प्रक्षेप्य स्थान की हिल्बर्ट योजना में एम्बेड किया जा सकता है। हिल्बर्ट योजना में इस स्थान एच में पीजीएल (एन) की क्रिया है जो रैखिक प्रणाली के तत्वों को मिश्रित करती है; फलस्वरूप, चिकने वक्रों का मॉड्यूलि स्थान प्रक्षेप्य सामान्य रैखिक समूह द्वारा H के भागफल के रूप में पुनर्प्राप्त किया जाता है।

एक अन्य सामान्य दृष्टिकोण मुख्य रूप से माइकल आर्टिन से जुड़ा है। यहां विचार यह है कि वर्गीकृत की जाने वाली वस्तु से शुरुआत की जाए और उसके विरूपण सिद्धांत का अध्ययन किया जाए। इसका मतलब है कि पहले बहुत छोटी विकृतियों का निर्माण करना, फिर इन्हें एक औपचारिक योजना आधार पर एक वस्तु में एक साथ रखने के लिए 'प्रस्तुतीकरण' प्रमेयों की अपील करना। इसके बाद, अलेक्जेंड्रे ग्रोथेंडिक के लिए एक अपील | ग्रोथेंडिक का ग्रोथेंडिक अस्तित्व प्रमेय एक आधार पर वांछित प्रकार की वस्तु प्रदान करता है जो एक पूर्ण स्थानीय रिंग है। इस वस्तु का अनुमान आर्टिन के सन्निकटन प्रमेय के माध्यम से एक परिमित रूप से उत्पन्न रिंग पर परिभाषित वस्तु द्वारा लगाया जा सकता है। इस बाद वाली रिंग के स्पेक्ट्रम को वांछित मॉड्यूलि स्पेस पर एक प्रकार का समन्वय चार्ट देने के रूप में देखा जा सकता है। इन चार्टों को एक साथ जोड़कर, हम अंतरिक्ष को कवर कर सकते हैं, लेकिन हमारे स्पेक्ट्रा के संघ से मॉड्यूलि स्पेस तक का नक्शा, सामान्य तौर पर, कई से एक होगा। इसलिए, हम पूर्व पर एक समतुल्य संबंध को परिभाषित करते हैं; अनिवार्य रूप से, दो बिंदु समतुल्य हैं यदि प्रत्येक पर स्थित वस्तुएँ समरूपी हैं। यह एक योजना और एक तुल्यता संबंध देता है, जो हमेशा एक योजना नहीं होने पर एक बीजगणितीय स्थान (वास्तव में एक बीजगणितीय ढेर अगर हम सावधान रह रहे हैं) को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है।

भौतिकी में

Further information: moduli (physics)

मॉड्यूलि स्पेस शब्द का उपयोग कभी-कभी भौतिकी में विशेष रूप से अदिश क्षेत्र के सेट के वैक्यूम अपेक्षा मूल्यों के मॉड्यूलि स्पेस या संभावित स्ट्रिंग पृष्ठभूमि के मॉड्यूलि स्पेस को संदर्भित करने के लिए किया जाता है।

मॉड्यूलि स्पेस भौतिकी में टोपोलॉजिकल क्षेत्र सिद्धांत में भी दिखाई देते हैं, जहां कोई विभिन्न बीजीय मॉड्यूलि स्पेस के प्रतिच्छेदन संख्याओं की गणना करने के लिए फेनमैन पथ अभिन्न ्स का उपयोग कर सकता है।

यह भी देखें

निर्माण उपकरण

• हिल्बर्ट योजना
• उद्धरण योजना
• विरूपण सिद्धांत
• जीआईटी भागफल
• आर्टिन का मानदंड, मॉड्यूलि फ़ंक्शनर्स से बीजगणितीय ढेर के रूप में मॉड्यूलि रिक्त स्थान के निर्माण के लिए सामान्य मानदंड

मोडुली रिक्त स्थान

• बीजगणितीय वक्रों का मापांक
• अण्डाकार वक्रों का मॉड्यूली स्टैक
• फैनो किस्मों की के-स्थिरता|के-स्थिर फैनो किस्मों के मोडुली स्थान
• मॉड्यूलर वक्र
• पिकार्ड फ़ैक्टर
• उद्धरण योजना#एक वक्र पर सेमिस्टेबल वेक्टर बंडल
• कोंटसेविच अंतरिक्ष मॉड्यूल
• सेमीस्टेबल शीव्स का मॉड्यूली

संदर्भ

टिप्पणियाँ

• Moduli theory
• Moduli stacks in P-adic modular forms and Langlands program

शोध लेख

मौलिक कागजात

• Grothendieck, Alexander (1960–1961). "विश्लेषणात्मक ज्यामिति में निर्माण तकनीकें। I. टीचमुलर के स्थान और उसके वेरिएंट का स्वयंसिद्ध विवरण।" (PDF). Séminaire Henri Cartan 13 No. 1, Exposés No. 7 and 8. Paris.

• डेविड ममफोर्ड|ममफोर्ड, डेविड, ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत। गणित के परिणाम और उनके सीमावर्ती क्षेत्र, नई श्रृंखला, खंड 34 स्प्रिंगर-वेरलाग, बर्लिन-न्यूयॉर्क 1965 vi+145 पीपी MR0214602
• ममफोर्ड, डेविड; फोगार्टी, जे.; किरवान, एफ. ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत। तीसरा संस्करण। गणित और संबंधित क्षेत्रों में परिणाम (2) (गणित और संबंधित क्षेत्रों में परिणाम (2)), 34. स्प्रिंगर-वेरलाग, बर्लिन, 1994। xiv+292 पीपी। MR1304906 ISBN 3-540-56963-4

प्रारंभिक आवेदन

• Deligne, Pierre; Mumford, David (1969). "दिए गए जीनस के वक्रों के स्थान की अपरिवर्तनीयता" (PDF). Publications Mathématiques de l'IHÉS. 36: 75–109. CiteSeerX 10.1.1.589.288. doi:10.1007/bf02684599.
• Faltings, Gerd; Chai, Ching-Li (1990). एबेलियन किस्मों का पतन. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. 22. With an appendix by David Mumford. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02632-8. ISBN 978-3-540-52015-3. MR 1083353.
• Katz, Nicholas M; Mazur, Barry (1985). अण्डाकार वक्रों का अंकगणितीय मापांक. Annals of Mathematics Studies. Vol. 108. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08352-0. MR 0772569.

अन्य सन्दर्भ

• पापाडोपोलोस, अथानासे, एड. (2007), टीचमुलर सिद्धांत की पुस्तिका। वॉल्यूम. मैं, गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में आईआरएमए व्याख्यान, 11, यूरोपीय गणितीय सोसायटी (ईएमएस), ज्यूरिख, doi:10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, MR2284826
• पापाडोपोलोस, अथानासे, एड. (2009), टीचमुलर सिद्धांत की पुस्तिका। वॉल्यूम. II, गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में आईआरएमए व्याख्यान, 13, यूरोपीय गणितीय सोसायटी (ईएमएस), ज्यूरिख, doi:10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, MR2524085
• पापाडोपोलोस, अथानासे, एड. (2012), टीचमुलर सिद्धांत की पुस्तिका। वॉल्यूम. III, गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में आईआरएमए व्याख्यान, 17, यूरोपीय गणितीय सोसायटी (ईएमएस), ज्यूरिख, doi:10.4171/103, ISBN 978-3-03719-103-3.

अन्य लेख और स्रोत

• Harris, Joe; Morrison, Ian (1998). वक्रों का मापांक. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 187. New York: Springer Verlag. doi:10.1007/b98867. ISBN 978-0-387-98429-2. MR 1631825.

• Viehweg, Eckart (1995). ध्रुवीकृत मैनिफोल्ड्स के लिए अर्ध-प्रोजेक्टिव मॉड्यूली (PDF). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-59255-6.

• Simpson, Carlos (1994). "एक सुचारु प्रक्षेप्य किस्म I के मौलिक समूह के अभ्यावेदन का मापांक" (PDF). Publications Mathématiques de l'IHÉS. 79: 47–129. doi:10.1007/bf02698887.
• मरयम मिर्जाखनी (2007) सरल जियोडेसिक्स और सीमावर्ती रीमैन सतहों के मॉड्यूलि रिक्त स्थान के वेइल-पीटरसन वॉल्यूम आविष्कार गणित

बाहरी संबंध

• Lurie, J. (2011). "Moduli Problems for Ring Spectra". Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2010 (ICM 2010). pp. 1099–1125. doi:10.1142/9789814324359_0088.