रुद्धोष्म प्रमेय

This article is about the adiabatic theorem in quantum mechanics. For adiabatic processes in thermodynamics, see adiabatic process.

रुद्धोष्म प्रमेय क्वांटम यांत्रिकी में एक अवधारणा है। मैक्स बोर्न और व्लादिमीर फॉक (1928) के कारण इसका मूल स्वरूप इस प्रकार बताया गया था:

एक भौतिक प्रणाली अपने तात्कालिक अपना राज्य में रहती है यदि कोई दिया गया गड़बड़ी सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) उस पर धीरे-धीरे कार्य कर रहा है और यदि eigenvalue और हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के शेष स्पेक्ट्रम के बीच एक अंतर है ऑपरेटर।

सरल शब्दों में, एक क्वांटम यांत्रिक प्रणाली धीरे-धीरे बदलती बाहरी परिस्थितियों के अधीन अपने कार्यात्मक रूप को अनुकूलित करती है, लेकिन जब तेजी से बदलती परिस्थितियों के अधीन होती है तो कार्यात्मक रूप को अनुकूलित करने के लिए अपर्याप्त समय होता है, इसलिए स्थानिक संभाव्यता घनत्व अपरिवर्तित रहता है।

मधुमेह बनाम रुद्धोष्म प्रक्रियाएं

Comparison

Diabatic	Adiabatic
Rapidly changing conditions prevent the system from adapting its configuration during the process, hence the spatial probability density remains unchanged. Typically there is no eigenstate of the final Hamiltonian with the same functional form as the initial state. The system ends in a linear combination of states that sum to reproduce the initial probability density.	Gradually changing conditions allow the system to adapt its configuration, hence the probability density is modified by the process. If the system starts in an eigenstate of the initial Hamiltonian, it will end in the corresponding eigenstate of the final Hamiltonian.

कुछ शुरुआती समय में $t_{0}$ एक क्वांटम-मैकेनिकल प्रणाली में हैमिल्टनियन द्वारा दी गई ऊर्जा होती है ${\hat {H}}(t_{0})$; सिस्टम एक आदर्श स्थिति में है ${\hat {H}}(t_{0})$ लेबल किए गए $\psi (x,t_{0})$. बदलती स्थितियाँ हैमिल्टनियन को निरंतर तरीके से संशोधित करती हैं, जिसके परिणामस्वरूप अंतिम हैमिल्टनियन बनता है ${\hat {H}}(t_{1})$ कुछ बाद के समय में $t_{1}$. अंतिम स्थिति तक पहुंचने के लिए, सिस्टम समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण के अनुसार विकसित होगा $\psi (x,t_{1})$. रुद्धोष्म प्रमेय बताता है कि सिस्टम में संशोधन गंभीर रूप से समय पर निर्भर करता है $\tau =t_{1}-t_{0}$ जिसके दौरान संशोधन होता है।

वास्तव में रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए हमें इसकी आवश्यकता होती है $\tau \to \infty$; इस मामले में अंतिम स्थिति $\psi (x,t_{1})$ अंतिम हैमिल्टनियन का एक प्रतिरूप होगा ${\hat {H}}(t_{1})$, एक संशोधित विन्यास के साथ:

$|\psi (x,t_{1})|^{2}\neq |\psi (x,t_{0})|^{2}.$

किसी दिए गए परिवर्तन से रुद्धोष्म प्रक्रिया किस हद तक अनुमानित होती है, यह दोनों के बीच ऊर्जा पृथक्करण पर निर्भर करता है $\psi (x,t_{0})$ और आसन्न राज्य, और अंतराल का अनुपात $\tau$ के विकास के विशिष्ट समय-पैमाने पर $\psi (x,t_{0})$ एक समय-स्वतंत्र हैमिल्टनियन के लिए, $\tau _{int}=2\pi \hbar /E_{0}$, कहाँ $E_{0}$ की ऊर्जा है $\psi (x,t_{0})$.

इसके विपरीत, सीमा में $\tau \to 0$ हमारे पास असीम रूप से तेज़, या डायबेटिक मार्ग है; राज्य का विन्यास अपरिवर्तित रहता है:

$|\psi (x,t_{1})|^{2}=|\psi (x,t_{0})|^{2}.$

ऊपर दी गई बॉर्न और फॉक की मूल परिभाषा में शामिल तथाकथित अंतर स्थिति एक आवश्यकता को संदर्भित करती है कि एक ऑपरेटर का स्पेक्ट्रम ${\hat {H}}$ असतत गणित और पतित ऊर्जा स्तर है, जैसे कि राज्यों के क्रम में कोई अस्पष्टता नहीं है (कोई भी आसानी से स्थापित कर सकता है कि कौन सा स्वदेशी राज्य है) ${\hat {H}}(t_{1})$ से मेल खाती है $\psi (t_{0})$). 1999 में जे. ई. एवरॉन और ए. एल्गार्ट ने रुद्धोष्म प्रमेय को बिना किसी अंतराल के स्थितियों के अनुकूल बनाने के लिए पुन: तैयार किया।

ऊष्मागतिकी में रुद्धोष्म अवधारणा के साथ तुलना

रुद्धोष्म शब्द पारंपरिक रूप से ऊष्मप्रवैगिकी में सिस्टम और पर्यावरण के बीच गर्मी के आदान-प्रदान के बिना प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है (एडियाबेटिक प्रक्रिया देखें), अधिक सटीक रूप से ये प्रक्रियाएं आमतौर पर गर्मी विनिमय के समयमान से तेज़ होती हैं। (उदाहरण के लिए, ताप तरंग के संबंध में एक दबाव तरंग रुद्धोष्म है, जो रुद्धोष्म नहीं है।) थर्मोडायनामिक्स के संदर्भ में रुद्धोष्म को अक्सर तेज प्रक्रिया के पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है।

शास्त्रीय यांत्रिकी और क्वांटम यांत्रिकी यांत्रिकी परिभाषा इसके बजाय एक क्वासिस्टैटिक प्रक्रिया की थर्मोडायनामिकल अवधारणा के करीब है, जो ऐसी प्रक्रियाएं हैं जो लगभग हमेशा संतुलन में होती हैं (यानी जो आंतरिक ऊर्जा विनिमय इंटरैक्शन समय के पैमाने से धीमी होती हैं, अर्थात् एक सामान्य वायुमंडलीय गर्मी लहर अर्ध-स्थैतिक होती है और एक दबाव लहर होती है) नहीं)। यांत्रिकी के संदर्भ में रुद्धोष्म को अक्सर धीमी प्रक्रिया के पर्याय के रूप में प्रयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, क्वांटम दुनिया में एडियाबेटिक का मतलब है कि इलेक्ट्रॉनों और फोटॉन की परस्पर क्रिया का समय पैमाना इलेक्ट्रॉनों और फोटॉन प्रसार के औसत समय पैमाने के संबंध में बहुत तेज या लगभग तात्कालिक है। इसलिए, हम इंटरैक्शन को इलेक्ट्रॉनों और फोटॉनों के निरंतर प्रसार (यानी संतुलन पर राज्य) और राज्यों के बीच एक क्वांटम छलांग (यानी तात्कालिक) के रूप में मॉडल कर सकते हैं।

इस अनुमानी संदर्भ में रुद्धोष्म प्रमेय अनिवार्य रूप से बताता है कि क्वांटम जंप को अधिमानतः टाला जाता है और सिस्टम राज्य और क्वांटम संख्याओं को संरक्षित करने का प्रयास करता है। रुद्धोष्म की क्वांटम यांत्रिक अवधारणा रुद्धोष्म अपरिवर्तनीय से संबंधित है, इसका उपयोग अक्सर पुराने क्वांटम सिद्धांत में किया जाता है और इसका ताप विनिमय से कोई सीधा संबंध नहीं है।

उदाहरण सिस्टम

सरल लोलक

उदाहरण के तौर पर, ऊर्ध्वाधर तल में दोलन कर रहे एक लंगर पर विचार करें। यदि समर्थन को स्थानांतरित किया जाता है, तो पेंडुलम के दोलन का तरीका बदल जाएगा। यदि समर्थन को पर्याप्त रूप से धीरे-धीरे स्थानांतरित किया जाता है, तो समर्थन के सापेक्ष पेंडुलम की गति अपरिवर्तित रहेगी। बाहरी परिस्थितियों में क्रमिक परिवर्तन प्रणाली को अनुकूलन की अनुमति देता है, जिससे कि यह अपने प्रारंभिक चरित्र को बरकरार रखता है। विस्तृत शास्त्रीय उदाहरण एडियाबैटिक इनवेरिएंट#क्लासिकल मैकेनिक्स - एक्शन वेरिएबल पेज और यहां उपलब्ध है।

क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर

चित्र 1. संभाव्यता घनत्व में परिवर्तन, $|\psi (t)|^{2}$स्प्रिंग स्थिरांक में रुद्धोष्म वृद्धि के कारण, ग्राउंड स्टेट क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर का।

पेंडुलम की शास्त्रीय भौतिकी प्रकृति रुद्धोष्म प्रमेय के प्रभावों का पूरा विवरण नहीं देती है। एक और उदाहरण के रूप में एक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर को स्प्रिंग स्थिरांक के रूप में मानें $k$ बढ़ जाती है। शास्त्रीय रूप से यह स्प्रिंग की कठोरता को बढ़ाने के बराबर है; क्वांटम-यांत्रिक रूप से प्रभाव सिस्टम हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) में संभावित ऊर्जा वक्र का संकुचन है।

अगर $k$ रूद्धोष्म रूप से बढ़ जाता है ${\textstyle \left({\frac {dk}{dt}}\to 0\right)}$ फिर समय पर सिस्टम $t$ एक तात्कालिक स्वदेशी स्थिति में होगा $\psi (t)$ वर्तमान हैमिल्टनियन का ${\hat {H}}(t)$, के प्रारंभिक स्वदेशी राज्य के अनुरूप ${\hat {H}}(0)$. एकल क्वांटम संख्या द्वारा वर्णित क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर जैसी प्रणाली के विशेष मामले के लिए, इसका मतलब है कि क्वांटम संख्या अपरिवर्तित रहेगी। चित्र 1 दिखाता है कि कैसे एक हार्मोनिक ऑसिलेटर, शुरू में अपनी जमीनी अवस्था में, $n=0$, संभावित ऊर्जा वक्र संपीड़ित होने पर जमीनी अवस्था में रहता है; धीरे-धीरे बदलती परिस्थितियों के अनुरूप ढलने वाला राज्य का कार्यात्मक स्वरूप।

तेजी से बढ़े हुए स्प्रिंग स्थिरांक के लिए, सिस्टम डायबेटिक प्रक्रिया से गुजरता है ${\textstyle \left({\frac {dk}{dt}}\to \infty \right)}$ जिसमें सिस्टम के पास बदलती परिस्थितियों के अनुसार अपने कार्यात्मक स्वरूप को अनुकूलित करने का समय नहीं होता है। जबकि अंतिम अवस्था प्रारंभिक अवस्था के समान दिखनी चाहिए $\left(|\psi (t)|^{2}=|\psi (0)|^{2}\right)$ एक लुप्त हो रही समय अवधि में होने वाली प्रक्रिया के लिए, नए हैमिल्टनियन का कोई जनक नहीं है, ${\hat {H}}(t)$, जो प्रारंभिक अवस्था जैसा दिखता है। अंतिम अवस्था कई अलग-अलग स्वदेशी राज्यों के रैखिक सुपरपोजिशन से बनी होती है ${\hat {H}}(t)$ जिसका योग प्रारंभिक अवस्था के स्वरूप को पुन: उत्पन्न करना है।

वक्र क्रॉसिंग से बचा गया

Main article: Avoided crossing

चित्र 2. बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के अधीन दो-स्तरीय प्रणाली में ऊर्जा-स्तर क्रॉसिंग से बचा गया। मधुमेह अवस्थाओं की ऊर्जाओं पर ध्यान दें, $|1\rangle$ और $|2\rangle$ और हैमिल्टनियन के स्वदेशी मूल्य, स्वदेशी राज्यों की ऊर्जा दे रहे हैं $|\phi _{1}\rangle$ और $|\phi _{2}\rangle$ (रुद्धोष्म अवस्थाएँ)। (वास्तव में, $|\phi _{1}\rangle$ और $|\phi _{2}\rangle$ इस चित्र में स्विच किया जाना चाहिए।)

अधिक व्यापक रूप से लागू उदाहरण के लिए, बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के अधीन 2-ऊर्जा स्तर के परमाणु पर विचार करें। राज्यों, लेबल $|1\rangle$ और $|2\rangle$ ब्रा-केट नोटेशन का उपयोग करते हुए, इसे परमाणु अज़ीमुथल क्वांटम संख्या | कोणीय-संवेग अवस्थाओं के रूप में सोचा जा सकता है, प्रत्येक एक विशेष ज्यामिति के साथ। जो कारण स्पष्ट हो जायेंगे, इन अवस्थाओं को अब से मधुमेह अवस्था कहा जायेगा। सिस्टम वेवफ़ंक्शन को मधुमेह अवस्थाओं के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

$|\Psi \rangle =c_{1}(t)|1\rangle +c_{2}(t)|2\rangle .$

क्षेत्र अनुपस्थित होने पर, मधुमेह अवस्थाओं का ऊर्जावान पृथक्करण बराबर होता है $\hbar \omega _{0}$; राज्य की ऊर्जा $|1\rangle$ बढ़ते चुंबकीय क्षेत्र (एक कम क्षेत्र की तलाश वाली स्थिति) के साथ बढ़ता है, जबकि राज्य की ऊर्जा $|2\rangle$ बढ़ते चुंबकीय क्षेत्र (एक उच्च-क्षेत्र-चाहने वाली स्थिति) के साथ घटता है। यह मानते हुए कि चुंबकीय-क्षेत्र निर्भरता रैखिक है, लागू क्षेत्र वाले सिस्टम के लिए हैमिल्टनियन मैट्रिक्स लिखा जा सकता है

$\mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\mu B(t)-\hbar \omega _{0}/2&a\\a^{*}&\hbar \omega _{0}/2-\mu B(t)\end{pmatrix}}$

कहाँ $\mu$ परमाणु का चुंबकीय क्षण है, जिसे दो मधुमेह अवस्थाओं के लिए समान माना जाता है, और $a$ दोनों राज्यों के बीच कुछ समय-स्वतंत्र कोणीय गति युग्मन है। विकर्ण तत्व मधुमेह अवस्थाओं की ऊर्जा हैं ($E_{1}(t)$ और $E_{2}(t)$), हालाँकि, जैसे $\mathbf {H}$ एक विकर्ण मैट्रिक्स नहीं है, यह स्पष्ट है कि ये राज्य eigenstates नहीं हैं $\mathbf {H}$ ऑफ विकर्ण युग्मन स्थिरांक के कारण।

मैट्रिक्स के eigenvectors $\mathbf {H}$ सिस्टम के स्वदेशी राज्य हैं, जिन्हें हम लेबल करेंगे $|\phi _{1}(t)\rangle$ और $|\phi _{2}(t)\rangle$, संगत eigenvalues ​​​​के साथ

$${\begin{aligned}\varepsilon _{1}(t)&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}+(\hbar \omega _{0}-2\mu B(t))^{2}}}\\[4pt]\varepsilon _{2}(t)&=+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}+(\hbar \omega _{0}-2\mu B(t))^{2}}}.\end{aligned}}$$

यह समझना महत्वपूर्ण है कि eigenvalues $\varepsilon _{1}(t)$ और $\varepsilon _{2}(t)$ सिस्टम ऊर्जा के किसी भी व्यक्तिगत माप के लिए एकमात्र अनुमत आउटपुट हैं, जबकि डायबेटिक ऊर्जा $E_{1}(t)$ और $E_{2}(t)$ मधुमेह अवस्थाओं में प्रणाली की ऊर्जा के लिए अपेक्षित मूल्यों के अनुरूप $|1\rangle$ और $|2\rangle$.

चित्र 2 चुंबकीय क्षेत्र के मान पर मधुमेह और रुद्धोष्म ऊर्जा की निर्भरता को दर्शाता है; ध्यान दें कि गैर-शून्य युग्मन के लिए हैमिल्टनियन के आइगेनवैल्यू ऊर्जा स्तर को कम नहीं कर सकते हैं, और इस प्रकार हमारे पास एक टाला हुआ क्रॉसिंग है। यदि कोई परमाणु प्रारंभ में अवस्था में है $|\phi _{2}(t_{0})\rangle$ शून्य चुंबकीय क्षेत्र में (लाल वक्र पर, सबसे बाईं ओर), चुंबकीय क्षेत्र में रुद्धोष्म वृद्धि ${\textstyle \left({\frac {dB}{dt}}\to 0\right)}$ यह सुनिश्चित करेगा कि सिस्टम हैमिल्टनियन के स्वदेशी राज्य में बना रहे $|\phi _{2}(t)\rangle$ पूरी प्रक्रिया के दौरान (लाल वक्र का अनुसरण करता है)। चुंबकीय क्षेत्र में मधुमेह संबंधी वृद्धि ${\textstyle \left({\frac {dB}{dt}}\to \infty \right)}$ यह सुनिश्चित करेगा कि सिस्टम डायबेटिक पथ (बिंदीदार नीली रेखा) का अनुसरण करता है, जैसे कि सिस्टम राज्य में संक्रमण से गुजरता है $|\phi _{1}(t_{1})\rangle$. परिमित चुंबकीय क्षेत्र के लिए धीमी दरें ${\textstyle \left(0<{\frac {dB}{dt}}<\infty \right)}$ दोनों में से किसी एक ईजेनस्टेट में सिस्टम को खोजने की सीमित संभावना होगी। इन संभावनाओं की गणना के तरीकों के लिए #एडियाबेटिक पैसेज संभावनाओं की गणना करना देखें।

परमाणुओं या अणुओं की आबादी में ऊर्जा-अवस्था वितरण के नियंत्रण के लिए ये परिणाम परमाणु भौतिकी और आणविक भौतिकी में बेहद महत्वपूर्ण हैं।

गणितीय कथन

धीरे-धीरे बदलते हैमिल्टनियन के तहत $H(t)$ तात्कालिक eigenstates के साथ $|n(t)\rangle$ और संगत ऊर्जाएँ $E_{n}(t)$, एक क्वांटम प्रणाली प्रारंभिक अवस्था से विकसित होती है

$$|\psi (0)\rangle =\sum _{n}c_{n}(0)|n(0)\rangle$$

अंतिम अवस्था तक

$$|\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)|n(t)\rangle ,$$

जहां गुणांक चरण परिवर्तन से गुजरते हैं

$$c_{n}(t)=c_{n}(0)e^{i\theta _{n}(t)}e^{i\gamma _{n}(t)}$$

गतिशील चरण के साथ

$$\theta _{m}(t)={\frac {-1}{\hbar }}\int _{0}^{t}E_{m}(t')dt'$$

और ज्यामितीय चरण

$$\gamma _{m}(t)=i\int _{0}^{t}\langle m(t')|{\dot {m}}(t')\rangle dt'.$$

विशेष रूप से, $|c_{n}(t)|^{2}=|c_{n}(0)|^{2}$, इसलिए यदि सिस्टम एक मूल अवस्था में शुरू होता है $H(0)$, यह एक मूल अवस्था में रहता है $H(t)$ विकास के दौरान केवल चरण परिवर्तन के साथ।

प्रमाण

Sakurai in Modern Quantum Mechanics

This proof is partly inspired by one given by Sakurai in Modern Quantum Mechanics. The instantaneous eigenstates $|n(t)\rangle$ and energies $E_{n}(t)$, by assumption, satisfy the time-independent Schrödinger equation $$H(t)|n(t)\rangle =E_{n}(t)|n(t)\rangle$$ at all times $t$. Thus, they constitute a basis that can be used to expand the state $$|\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)|n(t)\rangle$$ at any time $t$. The evolution of the system is governed by the time-dependent Schrödinger equation $$i\hbar |{\dot {\psi }}(t)\rangle =H(t)|\psi (t)\rangle ,$$ where ${\dot {}}=d/dt$ (see Notation for differentiation § Newton's notation). Insert the expansion of $|\psi (t)\rangle$, use $H(t)|n(t)\rangle =E_{n}(t)|n(t)\rangle$, differentiate with the product rule, take the inner product with $|m(t)\rangle$ and use orthonormality of the eigenstates to obtain $$i\hbar {\dot {c}}_{m}(t)+i\hbar \sum _{n}c_{n}(t)\langle m(t)|{\dot {n}}(t)\rangle =c_{m}(t)E_{m}(t).$$ This coupled first-order differential equation is exact and expresses the time-evolution of the coefficients in terms of inner products $\langle m(t)|{\dot {n}}(t)\rangle$ between the eigenstates and the time-differentiated eigenstates. But it is possible to re-express the inner products for $m\neq n$ in terms of matrix elements of the time-differentiated Hamiltonian ${\dot {H}}(t)$. To do so, differentiate both sides of the time-independent Schrödinger equation with respect to time using the product rule to get $${\dot {H}}(t)|n(t)\rangle +H(t)|{\dot {n}}(t)\rangle ={\dot {E}}_{n}(t)|n(t)\rangle +E_{n}(t)|{\dot {n}}(t)\rangle .$$ Again take the inner product with $|m(t)\rangle$ and use $\langle m(t)|H(t)=E_{m}(t)\langle m(t)|$ and orthonormality to find $$\langle m(t)|{\dot {n}}(t)\rangle =-{\frac {\langle m(t)|{\dot {H}}(t)|n(t)\rangle }{E_{m}(t)-E_{n}(t)}}\qquad (m\neq n).$$ Insert this into the differential equation for the coefficients to obtain $${\dot {c}}_{m}(t)+\left({\frac {i}{\hbar }}E_{m}(t)+\langle m(t)|{\dot {m}}(t)\rangle \right)c_{m}(t)=\sum _{n\neq m}{\frac {\langle m(t)|{\dot {H}}|n(t)\rangle }{E_{m}(t)-E_{n}(t)}}c_{n}(t).$$ This differential equation describes the time-evolution of the coefficients, but now in terms of matrix elements of ${\dot {H}}(t)$. To arrive at the adiabatic theorem, neglect the right hand side. This is valid if the rate of change of the Hamiltonian ${\dot {H}}(t)$ is small and there is a finite gap $E_{m}(t)-E_{n}(t)\neq 0$ between the energies. This is known as the adiabatic approximation. Under the adiabatic approximation, $${\dot {c}}_{m}(t)=i\left(-{\frac {E_{m}(t)}{\hbar }}+i\langle m(t)|{\dot {m}}(t)\rangle \right)c_{m}(t)$$ which integrates precisely to the adiabatic theorem $$c_{m}(t)=c_{m}(0)e^{i\theta _{m}(t)}e^{i\gamma _{m}(t)}$$ with the phases defined in the statement of the theorem. The dynamical phase $\theta _{m}(t)$ is real because it involves an integral over a real energy. To see that the geometric phase $\gamma _{m}(t)$ is purely real, differentiate the normalization $\langle m(t)|m(t)\rangle =1$ of the eigenstates and use the product rule to find that $$0={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}\langle m(t)|m(t)\rangle {\Bigr )}=\langle {\dot {m}}(t)|m(t)\rangle +\langle m(t))|{\dot {m}}(t)\rangle =\langle m(t))|{\dot {m}}(t)\rangle ^{*}+\langle m(t))|{\dot {m}}(t)\rangle =2\,\operatorname {Re} {\Bigl (}\langle m(t))|{\dot {m}}(t)\rangle {\Bigr )}.$$ Thus, $\langle m(t))|{\dot {m}}(t)\rangle$ is purely imaginary, so the geometric phase $\gamma _{m}(t)$ is purely real.

Adiabatic approximation

Proof with the details of the adiabatic approximation We are going to formulate the statement of the theorem as follows: For a slowly varying Hamiltonian ${\hat {H}}$ in the time range T the solution of the schroedinger equation $\Psi (t)$ with initial conditions $\Psi (0)=\psi _{n}(0)$ where $\psi _{n}(t)$ is the eigenvector of the instantaneous Schroedinger equation ${\hat {H}}(t)\psi _{n}(t)=E_{n}(t)\psi _{n}(t)$ can be approximated as: $$\left\|{\Psi (t)-\psi _{\text{adiabatic}}(t)}\right\|\approx O({\frac {1}{T}})$$ where the adiabatic approximation is: $$|\psi _{\text{adiabatic}}(t)\rangle =e^{i\theta _{n}(t)}e^{i\gamma _{n}(t)}|\psi _{n}(t)\rangle$$ and $$\theta _{n}(t)=-{\frac {1}{\hbar }}\int _{0}^{t}E_{n}(t')dt'$$ $$\gamma _{n}(t)=\int _{0}^{t}\nu _{n}(t')dt'$$ also called Berry phase $$\nu _{n}(t)=i\langle \psi _{n}(t)|{\dot {\psi }}_{n}(t)\rangle$$ And now we are going to prove the theorem. Consider the time-dependent Schrödinger equation $$i\hbar {\partial \over \partial t}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}({\tfrac {t}{T}})|\psi (t)\rangle$$ with Hamiltonian ${\hat {H}}(t).$ We would like to know the relation between an initial state $|\psi (0)\rangle$ and its final state $|\psi (T)\rangle$ at $t=T$ in the adiabatic limit $T\to \infty .$ First redefine time as $\lambda ={\tfrac {t}{T}}\in [0,1]$: $$i\hbar {\partial \over \partial \lambda }|\psi (\lambda )\rangle =T{\hat {H}}(\lambda )|\psi (\lambda )\rangle .$$ At every point in time ${\hat {H}}(\lambda )$ can be diagonalized ${\hat {H}}(\lambda )|\psi _{n}(\lambda )\rangle =E_{n}(\lambda )|\psi _{n}(\lambda )\rangle$ with eigenvalues $E_{n}$ and eigenvectors $|\psi _{n}(\lambda )\rangle$. Since the eigenvectors form a complete basis at any time we can expand $|\psi (\lambda )\rangle$ as: $$|\psi (\lambda )\rangle =\sum _{n}c_{n}(\lambda )|\psi _{n}(\lambda )\rangle e^{iT\theta _{n}(\lambda )},$$ where $$\theta _{n}(\lambda )=-{\frac {1}{\hbar }}\int _{0}^{\lambda }E_{n}(\lambda ')d\lambda '.$$ The phase $\theta _{n}(t)$ is called the dynamic phase factor. By substitution into the Schrödinger equation, another equation for the variation of the coefficients can be obtained: $$i\hbar \sum _{n}({\dot {c}}_{n}|\psi _{n}\rangle +c_{n}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle +ic_{n}|\psi _{n}\rangle T{\dot {\theta }}_{n})e^{iT\theta _{n}}=\sum _{n}c_{n}TE_{n}|\psi _{n}\rangle e^{iT\theta _{n}}.$$ The term ${\dot {\theta }}_{n}$ gives $-E_{n}/\hbar$, and so the third term of left side cancels out with the right side, leaving $$\sum _{n}{\dot {c}}_{n}|\psi _{n}\rangle e^{iT\theta _{n}}=-\sum _{n}c_{n}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT\theta _{n}}.$$ Now taking the inner product with an arbitrary eigenfunction $\langle \psi _{m}|$, the $\langle \psi _{m}|\psi _{n}\rangle$ on the left gives $\delta _{nm}$, which is 1 only for m = n and otherwise vanishes. The remaining part gives $${\dot {c}}_{m}=-\sum _{n}c_{n}\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})}.$$ For $T\to \infty$ the $e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})}$ will oscillate faster and faster and intuitively will eventually suppress nearly all terms on the right side. The only exceptions are when $\theta _{n}-\theta _{m}$ has a critical point, i.e. $E_{n}(\lambda )=E_{m}(\lambda )$. This is trivially true for $m=n$. Since the adiabatic theorem assumes a gap between the eigenenergies at any time this cannot hold for $m\neq n$. Therefore, only the $m=n$ term will remain in the limit $T\to \infty$. In order to show this more rigorously we first need to remove the $m=n$ term. This can be done by defining $$d_{m}(\lambda )=c_{m}(\lambda )e^{\int _{0}^{\lambda }\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{m}\rangle d\lambda }=c_{m}(\lambda )e^{-i\gamma _{m}(\lambda )}.$$ We obtain: $${\dot {d}}_{m}=-\sum _{n\neq m}d_{n}\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}.$$ This equation can be integrated: $${\begin{aligned}d_{m}(1)-d_{m}(0)&=-\int _{0}^{1}\sum _{n\neq m}d_{n}\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda \\&=-\int _{0}^{1}\sum _{n\neq m}(d_{n}-d_{n}(0))\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda -\int _{0}^{1}\sum _{n\neq m}d_{n}(0)\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda \end{aligned}}$$ or written in vector notation $${\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)=-\int _{0}^{1}{\hat {A}}(T,\lambda )({\vec {d}}(\lambda )-{\vec {d}}(0))d\lambda -{\vec {\alpha }}(T).$$ Here ${\hat {A}}(T,\lambda )$ is a matrix and $$\alpha _{m}(T)=\int _{0}^{1}\sum _{n\neq m}d_{n}(0)\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda$$ is basically a Fourier transform. It follows from the Riemann-Lebesgue lemma that ${\vec {\alpha }}(T)\to 0$ as $T\to \infty$. As last step take the norm on both sides of the above equation: $$\Vert {\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)\Vert \leq \Vert {\vec {\alpha }}(T)\Vert +\int _{0}^{1}\Vert {\hat {A}}(T,\lambda )\Vert \Vert {\vec {d}}(\lambda )-{\vec {d}}(0)\Vert d\lambda$$ and apply Grönwall's inequality to obtain $$\Vert {\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)\Vert \leq \Vert {\vec {\alpha }}(T)\Vert e^{\int _{0}^{1}\Vert {\hat {A}}(T,\lambda )\Vert d\lambda }.$$ Since ${\vec {\alpha }}(T)\to 0$ it follows $\Vert {\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)\Vert \to 0$ for $T\to \infty$. This concludes the proof of the adiabatic theorem. In the adiabatic limit the eigenstates of the Hamiltonian evolve independently of each other. If the system is prepared in an eigenstate $|\psi (0)\rangle =|\psi _{n}(0)\rangle$ its time evolution is given by: $$|\psi (\lambda )\rangle =|\psi _{n}(\lambda )\rangle e^{iT\theta _{n}(\lambda )}e^{i\gamma _{n}(\lambda )}.$$ So, for an adiabatic process, a system starting from nth eigenstate also remains in that nth eigenstate like it does for the time-independent processes, only picking up a couple of phase factors. The new phase factor $\gamma _{n}(t)$ can be canceled out by an appropriate choice of gauge for the eigenfunctions. However, if the adiabatic evolution is cyclic, then $\gamma _{n}(t)$ becomes a gauge-invariant physical quantity, known as the Berry phase.

Generic proof in parameter space

Let's start from a parametric Hamiltonian $H({\vec {R}}(t))$, where the parameters are slowly varying in time, the definition of slow here is defined essentially by the distance in energy by the eigenstates (through the uncertainty principle, we can define a timescale that shall be always much lower than the time scale considered). This way we clearly also identify that while slowly varying the eigenstates remains clearly separated in energy (e.g. also when we generalize this to the case of bands as in the TKNN formula the bands shall remain clearly separated). Given they do not intersect the states are ordered and in this sense this is also one of the meanings of the name topological order. We do have the instantaneous Schrödinger equation: $$H({\vec {R}}(t))|\psi _{m}(t)\rangle =E_{m}(t)|\psi _{m}(t)\rangle$$ And instantaneous eigenstates: $$\langle \psi _{m}(t)|\psi _{n}(t)\rangle =\delta _{mn}$$ The generic solution: $$\Psi (t)=\sum a_{n}(t)|\psi _{n}(t)\rangle$$ plugging in the full Schrödinger equation and multiplying by a generic eigenvector: $$\langle \psi _{m}(t)|i\hbar \partial _{t}|\Psi (t)\rangle =\langle \psi _{m}(t)|H({\vec {R}}(t))|\Psi (t)\rangle$$ $${\dot {a}}_{m}+\sum _{n}\langle \psi _{m}(t)|\partial _{\vec {R}}|\psi _{n}(t)\rangle {\dot {\vec {R}}}a_{n}=-{\frac {i}{\hbar }}E_{m}(t)a_{m}$$ And if we introduce the adiabatic approximation: $$|\langle \psi _{m}(t)|\partial _{\vec {R}}|\psi _{n}(t)\rangle {\dot {\vec {R}}}a_{n}|\ll |a_{m}|$$ for each $m\neq n$ We have $${\dot {a}}_{m}=-\langle \psi _{m}(t)|\partial _{\vec {R}}|\psi _{m}(t)\rangle {\dot {\vec {R}}}a_{m}-{\frac {i}{\hbar }}E_{m}(t)a_{m}$$ and $$a_{m}(t)=e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}E_{m}(t')dt'}e^{i\gamma _{m}(t)}a_{m}(t_{0})$$ where $$\gamma _{m}(t)=i\int _{t_{0}}^{t}\langle \psi _{m}(t)|\partial _{\vec {R}}|\psi _{m}(t)\rangle {\dot {\vec {R}}}dt'=i\int _{C}\langle \psi _{m}({\vec {R}})|\partial _{\vec {R}}|\psi _{m}({\vec {R}})\rangle d{\vec {R}}$$ And C is the path in the parameter space, This is the same as the statement of the theorem but in terms of the coefficients of the total wave function and its initial state. Now this is slightly more general than the other proofs given we consider a generic set of parameters, and we see that the Berry phase acts as a local geometric quantity in the parameter space. Finally integrals of local geometric quantities can give topological invariants as in the case of the Gauss-Bonnet theorem. In fact if the path C is closed then the Berry phase persists to Gauge transformation and becomes a physical quantity.

उदाहरण अनुप्रयोग

अक्सर एक ठोस क्रिस्टल को स्वतंत्र वैलेंस इलेक्ट्रॉनों के एक सेट के रूप में तैयार किया जाता है जो आयनों की एक कठोर जाली द्वारा उत्पन्न औसत पूर्ण आवधिक क्षमता में चलते हैं। रुद्धोष्म प्रमेय के साथ हम क्रिस्टल में वैलेंस इलेक्ट्रॉनों की गति और आयनों की थर्मल गति को भी शामिल कर सकते हैं जैसा कि बोर्न-ओपेनहाइमर सन्निकटन में है। यह इस दायरे में कई घटनाओं की व्याख्या करता है:

• थर्मोडायनामिक्स: विशिष्ट गर्मी, थर्मल विस्तार, पिघलने की तापमान निर्भरता
• परिवहन घटनाएँ: विद्युत चालकों की विद्युत प्रतिरोधकता की तापमान निर्भरता, इन्सुलेटर (बिजली) में विद्युत चालकता की तापमान निर्भरता, कम तापमान अतिचालकता के कुछ गुण
• प्रकाशिकी: आयनिक क्रिस्टल के लिए अवरक्त में ऑप्टिक अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण), ब्रिलोइन प्रकीर्णन, रमन प्रकीर्णन

मधुमेह बनाम रुद्धोष्म मार्ग के लिए स्थितियाँ प्राप्त करना

अब हम और अधिक कठोर विश्लेषण करेंगे। ब्रा-केट नोटेशन का उपयोग करना, समय पर सिस्टम की जितना राज्य $t$ लिखा जा सकता है

$|\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}^{A}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|\phi _{n}\rangle ,$

जहां पहले बताया गया स्थानिक तरंग फ़ंक्शन स्थिति ऑपरेटर के स्वदेशी राज्यों पर राज्य वेक्टर का प्रक्षेपण है

$\psi (x,t)=\langle x|\psi (t)\rangle .$

इसमें सीमित मामलों की जांच करना शिक्षाप्रद है $\tau$ बहुत बड़ा (एडियाबेटिक, या क्रमिक परिवर्तन) और बहुत छोटा (डायबिटिक, या अचानक परिवर्तन) होता है।

प्रारंभिक मूल्य से निरंतर परिवर्तन से गुजरने वाली हैमिल्टनियन प्रणाली पर विचार करें ${\hat {H}}_{0}$, समय पर $t_{0}$, अंतिम मूल्य तक ${\hat {H}}_{1}$, समय पर $t_{1}$, कहाँ $\tau =t_{1}-t_{0}$. सिस्टम के विकास को श्रोडिंगर चित्र में समय-विकास ऑपरेटर द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसे अभिन्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है

${\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t'){\hat {U}}(t',t_{0})dt',$

जो श्रोडिंगर समीकरण के समतुल्य है।

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {U}}(t,t_{0})={\hat {H}}(t){\hat {U}}(t,t_{0}),$

प्रारंभिक स्थिति के साथ ${\hat {U}}(t_{0},t_{0})=1$. सिस्टम तरंग क्रिया का ज्ञान दिया गया $t_{0}$, बाद के समय तक सिस्टम का विकास $t$ का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है

$|\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .$

किसी दी गई प्रक्रिया की रुद्धोष्मता निर्धारित करने की समस्या निर्भरता स्थापित करने के बराबर है ${\hat {U}}(t_{1},t_{0})$ पर $\tau$.

किसी दी गई प्रक्रिया के लिए रुद्धोष्म सन्निकटन की वैधता निर्धारित करने के लिए, कोई सिस्टम को उस स्थिति के अलावा किसी अन्य स्थिति में खोजने की संभावना की गणना कर सकता है जिसमें यह शुरू हुआ था। ब्रै-केट नोटेशन का उपयोग करना और परिभाषा का उपयोग करना $|0\rangle \equiv |\psi (t_{0})\rangle$, हमारे पास है:

$\zeta =\langle 0|{\hat {U}}^{\dagger }(t_{1},t_{0}){\hat {U}}(t_{1},t_{0})|0\rangle -\langle 0|{\hat {U}}^{\dagger }(t_{1},t_{0})|0\rangle \langle 0|{\hat {U}}(t_{1},t_{0})|0\rangle .$

हम विस्तार कर सकते हैं ${\hat {U}}(t_{1},t_{0})$

${\hat {U}}(t_{1},t_{0})=1+{1 \over i\hbar }\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {H}}(t)dt+{1 \over (i\hbar )^{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt'\int _{t_{0}}^{t'}dt''{\hat {H}}(t'){\hat {H}}(t'')+\cdots .$

गड़बड़ी सिद्धांत में हम केवल पहले दो पद ले सकते हैं और उन्हें अपने समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं $\zeta$, उसे पहचानते हुए

${1 \over \tau }\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {H}}(t)dt\equiv {\bar {H}}$

हैमिल्टनियन प्रणाली है, जिसका अंतराल पर औसत निकाला जाता है $t_{0}\to t_{1}$, हमारे पास है:

$\zeta =\langle 0|(1+{\tfrac {i}{\hbar }}\tau {\bar {H}})(1-{\tfrac {i}{\hbar }}\tau {\bar {H}})|0\rangle -\langle 0|(1+{\tfrac {i}{\hbar }}\tau {\bar {H}})|0\rangle \langle 0|(1-{\tfrac {i}{\hbar }}\tau {\bar {H}})|0\rangle .$

उत्पादों का विस्तार करने और उचित रद्दीकरण करने के बाद, हमारे पास यह बचता है:

$\zeta ={\frac {\tau ^{2}}{\hbar ^{2}}}\left(\langle 0|{\bar {H}}^{2}|0\rangle -\langle 0|{\bar {H}}|0\rangle \langle 0|{\bar {H}}|0\rangle \right),$

दे रही है

$\zeta ={\frac {\tau ^{2}\Delta {\bar {H}}^{2}}{\hbar ^{2}}},$

कहाँ $\Delta {\bar {H}}$ ब्याज के अंतराल पर हैमिल्टनियन औसत प्रणाली का मूल माध्य वर्ग विचलन है।

आकस्मिक सन्निकटन तभी मान्य होता है $\zeta \ll 1$ (सिस्टम को जिस स्थिति में शुरू किया गया है उसके अलावा किसी अन्य स्थिति में खोजने की संभावना शून्य के करीब पहुंचती है), इस प्रकार वैधता की स्थिति दी जाती है

$\tau \ll {\hbar \over \Delta {\bar {H}}},$

जो हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत का एक कथन है#ऊर्जा-समय अनिश्चितता सिद्धांत|हेइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत का समय-ऊर्जा रूप।

मधुमेह मार्ग

सीमा में $\tau \to 0$ हमारे पास असीम रूप से तेज़, या डायबेटिक मार्ग है:

$\lim _{\tau \to 0}{\hat {U}}(t_{1},t_{0})=1.$

सिस्टम का कार्यात्मक स्वरूप अपरिवर्तित रहता है:

$|\langle x|\psi (t_{1})\rangle |^{2}=\left|\langle x|\psi (t_{0})\rangle \right|^{2}.$

इसे कभी-कभी अचानक सन्निकटन भी कहा जाता है। किसी दी गई प्रक्रिया के लिए सन्निकटन की वैधता को इस संभावना से दर्शाया जा सकता है कि सिस्टम की स्थिति अपरिवर्तित रहती है:

$P_{D}=1-\zeta .$

रुद्धोष्म मार्ग

सीमा में $\tau \to \infty$ हमारे पास असीम रूप से धीमा, या रुद्धोष्म मार्ग है। प्रणाली बदलती परिस्थितियों के अनुसार अपना स्वरूप ढालते हुए विकसित होती है,

$|\langle x|\psi (t_{1})\rangle |^{2}\neq |\langle x|\psi (t_{0})\rangle |^{2}.$

यदि सिस्टम आरंभिक अवस्था में है ${\hat {H}}(t_{0})$, एक अवधि के बाद $\tau$ यह संबंधित स्वदेशी स्थिति में पारित हो चुका होगा ${\hat {H}}(t_{1})$.

इसे रुद्धोष्म सन्निकटन कहा जाता है। किसी दी गई प्रक्रिया के लिए सन्निकटन की वैधता इस संभावना से निर्धारित की जा सकती है कि सिस्टम की अंतिम स्थिति प्रारंभिक स्थिति से भिन्न है:

$P_{A}=\zeta .$

रुद्धोष्म मार्ग संभावनाओं की गणना

लैंडौ-जेनर फॉर्मूला

Main article: Landau–Zener formula

1932 में रुद्धोष्म संक्रमण संभावनाओं की गणना की समस्या का एक विश्लेषणात्मक समाधान लेव लैंडौ और क्लेरेंस जेनर द्वारा अलग से प्रकाशित किया गया था, रैखिक रूप से बदलते गड़बड़ी के विशेष मामले के लिए जिसमें समय-परिवर्तनशील घटक संबंधित राज्यों को जोड़े नहीं करता है (इसलिए डायबेटिक हैमिल्टनियन मैट्रिक्स में युग्मन समय से स्वतंत्र है)।

इस दृष्टिकोण में योग्यता का प्रमुख आंकड़ा लैंडौ-जेनर वेग है:

$$v_{\text{LZ}}={{\frac {\partial }{\partial t}}|E_{2}-E_{1}| \over {\frac {\partial }{\partial q}}|E_{2}-E_{1}|}\approx {\frac {dq}{dt}},$$

कहाँ $q$ गड़बड़ी चर (विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र, आणविक बंधन-लंबाई, या सिस्टम में कोई अन्य गड़बड़ी) है, और $E_{1}$ और $E_{2}$ दो डायबेटिक (क्रॉसिंग) अवस्थाओं की ऊर्जाएँ हैं। एक बड़ा $v_{\text{LZ}}$ इसके परिणामस्वरूप बड़ी मधुमेह संक्रमण संभावना होती है और इसके विपरीत भी।

लैंडौ-ज़ेनर सूत्र का उपयोग करके संभाव्यता, $P_{\rm {D}}$, एक मधुमेह संक्रमण द्वारा दिया गया है

$${\begin{aligned}P_{\rm {D}}&=e^{-2\pi \Gamma }\\\Gamma &={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {\partial }{\partial t}}(E_{2}-E_{1})\right|}={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {dq}{dt}}{\frac {\partial }{\partial q}}(E_{2}-E_{1})\right|}\\&={a^{2} \over \hbar |\alpha |}\\\end{aligned}}$$

संख्यात्मक दृष्टिकोण

Main article: Numerical solution of ordinary differential equations

डायबेटिक अवस्थाओं के बीच गड़बड़ी चर या समय-निर्भर युग्मन में एक गैर-रेखीय परिवर्तन से जुड़े संक्रमण के लिए, सिस्टम गतिशीलता के लिए गति के समीकरणों को विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है। मधुमेह संबंधी संक्रमण संभाव्यता अभी भी संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरणों की विस्तृत विविधता में से एक का उपयोग करके प्राप्त की जा सकती है।

हल किए जाने वाले समीकरण समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण से प्राप्त किए जा सकते हैं:

$$i\hbar {\dot {\underline {c}}}^{A}(t)=\mathbf {H} _{A}(t){\underline {c}}^{A}(t),$$

कहाँ ${\underline {c}}^{A}(t)$ एक स्तंभ वेक्टर है जिसमें रुद्धोष्म अवस्था के आयाम शामिल हैं, $\mathbf {H} _{A}(t)$ समय-निर्भर रुद्धोष्म हैमिल्टनियन है,और ओवरडॉट एक समय व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करता है।

संक्रमण के बाद राज्य के आयामों के मूल्यों के साथ उपयोग की जाने वाली प्रारंभिक स्थितियों की तुलना से डायबेटिक संक्रमण संभावना प्राप्त हो सकती है। विशेष रूप से, दो-राज्य प्रणाली के लिए:

$$P_{D}=|c_{2}^{A}(t_{1})|^{2}$$

एक ऐसी प्रणाली के लिए जिसकी शुरुआत हुई $|c_{1}^{A}(t_{0})|^{2}=1$.

यह भी देखें

• लैंडौ-जेनर फॉर्मूला
• बेरी चरण
• क्वांटम सरगर्मी, शाफ़्ट, और पंपिंग
• रुद्धोष्म क्वांटम मोटर
• जन्म-ओपेनहाइमर सन्निकटन
• मधुमेह
• आइजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना