लघु (रैखिक बीजगणित)

This article is about रैखिक बीजगणित में अवधारणा. For ग्राफ़ सिद्धांत में "लघु" की अवधारणा, see ग्राफ लघु.

रैखिक बीजगणित में, आव्यूह (गणित) A का लघु, A की अधिक पंक्तियों एवं स्तंभों को विस्थापित करके A से विभक्त किये गए कुछ अल्प वर्ग आव्यूह का सारणिक होता है। वर्ग आव्यूहों (प्रथम लघु) से केवल पंक्ति एवं स्तंभ को विस्थापित करके प्राप्त किए गए लघु की आवश्यकता आव्यूह सहगुणकों की गणना के लिए होती है, जो विनिमय में वर्ग आव्यूहों के सारणिक एवं व्युत्क्रम आव्यूह दोनों की गणना के लिए उपयोगी होते हैं। इस प्रकार परिभाषा में यह आवश्यकता अधिकांशतः त्याग दी जाती है कि वर्ग आव्यूह मूल आव्यूह से अल्प होता है।

परिभाषा एवं चित्रण

प्रथम लघु

यदि A वर्ग आव्यूह है, तो i th पंक्ति एवं j th स्तंभ में प्रविष्टि का लघु (जिसे (i, j) लघु, या प्रथम लघु भी कहा जाता है) i th पंक्ति एवं j th स्तंभ को विस्थापित करके गठित अर्धआव्यूह का सारणिक है। इस संख्या को अधिकांशतः M_i,j से दर्शाया जाता है। (i, j) सहगुणक लघु $(-1)^{i+j}$ को गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

इन परिभाषाओं को स्पष्ट करने के लिए, निम्नलिखित 3 बटा 3 आव्यूह पर विचार करें,

${\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}$

लघु M_2,3 एवं सहगुणक C_2,3, की गणना करने के लिए, हम पंक्ति 2 एवं स्तंभ 3 को विस्थापित करके उपरोक्त आव्यूह के सारणिक का अन्वेषण करते हैं।

$M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13$

तो (2,3) प्रविष्टि का सहगुणक है-

$\ C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.$

सामान्य परिभाषा

मान लीजिए A, m × n आव्यूह है एवं k, 0 < k ≤ m, एवं k ≤ n के साथ पूर्णांक है। इस प्रकार A का k × k लघु, जिसे A के क्रम k का लघु सारणिक भी कहा जाता है अथवा, यदि m = n, (n−k)th, A का लघु सारणिक (सारणिक शब्द अधिकांशतः त्याग दिया जाता है, एवं कभी-कभी क्रम के अतिरिक्त डिग्री शब्द का उपयोग किया जाता है)m−k पंक्तियों एवं n−k स्तंभों को विस्थापित करके A से प्राप्त k × k आव्यूह का सारणिक है।इस प्रकार कभी-कभी इस शब्द का उपयोग उपरोक्त A से प्राप्त k × k आव्यूह को संदर्भित करने के लिए किया जाता है (m−k पंक्तियों एवं n−k स्तंभों को विस्थापित करके), किन्तु इस आव्यूह को A के (वर्ग) अर्धआव्यूह के रूप में संदर्भित किया जाना चाहिए, इस आव्यूह के सारणिक को संदर्भित करने के लिए लघु शब्द को त्याग देना चाहिए। उपरोक्त आव्यूह A के लिए, k × k आकार के कुल ${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$ लघु हैं। इस प्रकार क्रम शून्य के लघु को अधिकांशतः 1 के रूप में परिभाषित किया जाता है। वर्ग आव्यूह के लिए, शून्यवां लघु केवल आव्यूह का सारणिक होता है।

मान लीजिए कि $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m$ एवं $1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n$ को अनुक्रमित किया गया है (प्राकृतिक क्रम में, जिस प्रकार सदैव लघु के सम्बन्ध विचार करते समय माना जाता है जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो), उन्हें क्रमशः I एवं J कहते हैं। अनुक्रमणिका के इन विकल्पों के अनुरूप लघु ${\textstyle \det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}$को स्रोत के आधार पर $\det _{I,J}A$ अथवा $\det A_{I,J}$ अथवा $[A]_{I,J}$ अथवा $M_{I,J}$ अथवा $M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}$ अथवा $M_{(i),(j)}$ (जहां $(i)$ सूचकांक I, आदि के अनुक्रम को दर्शाता है) दर्शाया गया है। इसके अतिरिक्त, साहित्य में उपयोग किये जाने वाले दो प्रकार के संकेत होते हैं: सूचकांक I एवं J के क्रमबद्ध अनुक्रमों से संयोजित लघु से कुछ लेखकों का तात्पर्य आव्यूह के सारणिक से है जो उपरोक्त के रूप में बनता है, मूल आव्यूह के तत्वों को उन पंक्तियों से लेकर जिनके सूचकांक I में हैं एवं जिन स्तंभों के सूचकांक J में हैं, यद्यपि कुछ अन्य लेखकों का तात्पर्य I एवं J से संयोजित लघु से है जो I में पंक्तियों एवं J में स्तंभों को विस्थापित करके मूल आव्यूह से बने आव्यूह के सारणिक हैं। किस नोटेशन का उपयोग किया गया है इसका परिक्षण सदैव संबंधित स्रोत से किया जाना चाहिए। इस लेख में, हम I की पंक्तियों एवं J के स्तंभों से तत्वों को चयनित करने की समावेशी परिभाषा का उपयोग करते हैं। असाधारण स्थिति ऊपर वर्णित प्रथम लघु अथवा (i, j)-लघु का स्थिति है; उस स्थिति में, विशिष्ट अर्थ ${\textstyle M_{i,j}=\det \left(\left(A_{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}\right)}$ साहित्य में प्रत्येक स्थान पर मानक है एवं इस लेख में भी इसका उपयोग किया गया है।

पूरक

वर्ग आव्यूह, A के लघु, M_{ijk...,pqr...} का पूरक, B_{ijk...,pqr...}, आव्यूह A के सारणिक द्वारा बनता है जिसमें से M_{ijk...,pqr...} से संयोजित सभी पंक्तियाँ (ijk...) एवं स्तम्भ (pqr...) विस्थापित कर दिए गए हैं। किसी तत्व a_ij के प्रथम लघु का पूरक केवल वह तत्व है।

लघु एवं सहगुणकों के अनुप्रयोग

सारणिक का सहगुणक विस्तार

Main article: लाप्लास विस्तार

सारणिकों के विस्तार के लिए लाप्लास के सूत्र में सहगुणकों को प्रमुखता से दर्शाया गया है, जो अल्प सारणिकों के संदर्भ में बड़े सारणिकों की गणना करने की विधि है। n × n आव्यूह $A=(a_{ij})$ को देखते हुए, A का सारणिक, जिसे det(A) कहा जाता है, आव्यूह की किसी भी पंक्ति या स्तंभ के सहगुणकों के योग को उन प्रविष्टियों से गुणा करके अंकित किया जा सकता है जो उन्हें उत्पन्न करते हैं। अन्य शब्दों में, $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ को परिभाषित करते हुए j th स्तंभ के साथ सहगुणक विस्तार देता है:

$\ \det(\mathbf {A} )=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$

i th पंक्ति के साथ सहगुणक विस्तार देता है:

$\ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$

आव्यूह का व्युत्क्रम

Main article: व्युत्क्रम आव्यूह

क्रैमर के नियम का उपयोग करके तथा इसके सहगुणकों की गणना करके कोई व्युत्क्रमणीय आव्यूह का व्युत्क्रम इस प्रकार अंकित कर सकता है। व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के सभी सहगुणकों द्वारा निर्मित आव्यूह को सहगुणक आव्यूह कहा जाता है (जिसे सहगुणकों का आव्यूह भी कहा जाता है अथवा, कभी-कभी, सहआव्यूह भी कहा जाता है):

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}$

तत्पश्चात A का व्युत्क्रम A के सारणिक के व्युत्क्रम से गुणा सहगुणक आव्यूह का स्थानान्तरण है:

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.$

सहगुणक आव्यूह के स्थानान्तरण को A का सहायक आव्यूह (जिसे शास्त्रीय सहायक भी कहा जाता है) कहा जाता है।

उपरोक्त सूत्र को निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: मान लीजिए कि $1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n$ एवं $1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n$ को सूचकांकों का अनुक्रम (प्राकृतिक क्रम में) दिया गया है (जहाँ A, n × n आव्यूह है)। तब

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},$

जहाँ I', J', I, J के पूरक सूचकांकों के क्रमबद्ध अनुक्रम को दर्शाते हैं (सूचकांक परिमाण के प्राकृतिक क्रम में हैं, जिस प्रकार ऊपर दर्शाया गया है), जिससे कि प्रत्येक सूचकांक 1, ..., n या तो I या I' में पूर्णतः दिखाई दे, किन्तु दोनों में नहीं (समान रूप से J एवं J' के लिए) एवं $[\mathbf {A} ]_{I,J}$ सूचकांक समुच्चय I की पंक्तियों एवं सूचकांक समुच्चय J के स्तंभों को चयनित करके गठित A के अर्धआव्यूह के सारणिक को दर्शाता है। $[\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)$ के सारणिक को भी दर्शाता है। वेज गुणनफल का उपयोग करके सरल प्रमाण दिया जा सकता है। वास्तव में,

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},$

जहाँ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ आधार सदिश हैं। A द्वारा दोनों पक्ष से कार्य करने पर प्राप्त होता है-

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).$

चिह्न $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$ प्राप्त किया जा सकता है, इसलिए चिन्ह I एवं J में तत्वों के योग से निर्धारित होता है।

अन्य अनुप्रयोग

वास्तविक संख्या प्रविष्टियों (अथवा किसी अन्य क्षेत्र (गणित) से प्रविष्टियाँ) एवं कोटि (आव्यूह सिद्धांत) r के साथ m × n आव्यूह दिया गया है, तो कम से कम अशून्य r × r लघु उपस्थित है, यद्यपि सभी बड़े लघु शून्य हैं।

हम लघु के लिए निम्नलिखित संकेतन का उपयोग करेंगे: यदि A, m × n आव्यूह है, तो I, k तत्वों के साथ {1,...,m} का उपसमुच्चय है,, एवं J, k तत्वों के साथ {1,...,n} का उपसमुच्चय है, तब हम A के k × k लघु के लिए [A]_I,J लिखते हैं जो I में सूचकांक वाली पंक्तियों एवं J में सूचकांक वाले स्तंभों से युग्मित होता है।

• यदि I = J, तो [A]_I,J को प्रमुख लघु कहा जाता है।
• यदि आव्यूह जो प्रमुख लघु से युग्मित होता है वह बड़े आव्यूह का वर्गाकार ऊपरी-बायाँ अर्धआव्यूह (गणित) है (अर्थात, इसमें 1 से k तक पंक्तियों एवं स्तंभों में आव्यूह तत्व होते हैं, जिसे अग्रणी प्रमुख अर्धआव्यूह के रूप में भी जाना जाता है), तो प्रमुख लघु को अग्रणी प्रमुख लघु (क्रम k का) अथवा कॉर्नर (प्रमुख) लघु (क्रम k का) कहा जाता है। n × n वर्ग आव्यूह के लिए, n अग्रणी प्रमुख लघु है।
• आव्यूह का मूल लघु वर्ग अर्धआव्यूह का सारणिक होता है जो अशून्य सारणिक के साथ अधिकतम आकार का होता है।
• हर्मिटियन आव्यूह के लिए, अग्रणी प्रमुख लघु का उपयोग धनात्मक-निश्चित आव्यूह के परीक्षण के लिए किया जा सकता है एवं प्रमुख लघु का उपयोग धनात्मक-अर्ध-निश्चित आव्यूह के परीक्षण के लिए किया जा सकता है। अधिक विवरण के लिए सिल्वेस्टर का मानदंड देखें।

साधारण आव्यूह गुणन के लिए सूत्र एवं दो आव्यूह के गुणनफल के सारणिक के लिए कॉची-बिनेट सूत्र दोनों दो आव्यूह के गुणनफल के लघु के सम्बन्ध में निम्नलिखित सामान्य कथन के विशेष स्थितियाँ हैं।

मान लीजिए कि A, m × n आव्यूह है, B, n × p आव्यूह है, I, k तत्वों के साथ {1,...,m} का उपसमुच्चय है एवं J, k तत्वों के साथ {1,...,p} का उपसमुच्चय है। तब,

$[\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,$

जहां योग k तत्वों के साथ {1,...,n} के सभी उपसमुच्चय K पर विस्तारित होता है। यह सूत्र कॉची-बिनेट सूत्र का प्रत्यक्ष विस्तार है।

बहुरेखीय बीजगणित दृष्टिकोण

वेज गुणनफल का उपयोग करते हुए, बहुरेखीय बीजगणित में लघु का अधिक व्यवस्थित, बीजगणितीय उपचार दिया जाता है: आव्यूह के k-लघु, kth बाहरी गुणनफल मानचित्र में प्रविष्टियाँ होती हैं।

यदि आव्यूह के स्तम्भ को समान समय में संयोजित किया जाता है, तो k × k लघु परिणामी k-वेक्टर के घटकों के रूप में दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, आव्यूह के 2 × 2 लघु

${\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}$

-13 (प्रथम दो पंक्तियों से), -7 (प्रथम एवं अंतिम पंक्ति से), एवं 5 (अंतिम दो पंक्तियों से) हैं। अब वेज गुणनफल पर विचार करें,

$(\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})$

जहां दो अभिव्यक्तियां हमारे आव्यूह के दो स्तंभों से युग्मित होती हैं। वेज गुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए, अर्थात् यह द्विरेखीय मानचित्र एवं वैकल्पिक बहुरेखीय मानचित्र है,

$\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,$

एवं प्रतिसंक्रामकता,

$\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},$

हम इस अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं

$-13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}$

जहां गुणांक पूर्व गणना किए गए लघु से सहमत हैं।

विभिन्न संकेतन के सम्बन्ध में टिप्पणी

कुछ पुस्तकों में सहगुणक के स्थान पर सहायक शब्द का प्रयोग किया जाता है। इसके अतिरिक्त, इसे A_ij के रूप में दर्शाया गया है एवं सहगुणक के समान ही परिभाषित किया गया है:

$\mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}$

इस संकेतन का उपयोग करके व्युत्क्रम आव्यूह को इस प्रकार अंकित किया जाता है:

$\mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}$

ध्यान रखें कि एडजॉइंट एडजंक्ट अथवा सहखंडज नहीं है। आधुनिक शब्दावली में, आव्यूह का एडजॉइंट अधिकांशतः संबंधित एडजॉइंट संकारक को संदर्भित करता है।

यह भी देखें

• अर्धआव्यूह

बाहरी संबंध

• MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• PlanetMath entry of Cofactors
• Springer Encyclopedia of Mathematics entry for Minor