वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन

Not to be confused with the Weierstrass elliptic function ($\wp$) or the Weierstrass sigma, zeta, or eta functions.

अंतराल [−2, 2] पर वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन का प्लॉट। कुछ अन्य भग्न ्स की तरह, फ़ंक्शन आत्म-समानता प्रदर्शित करता है: प्रत्येक ज़ूम (लाल वृत्त) वैश्विक प्लॉट के समान है।

गणित में, वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) का एक उदाहरण है जो हर जगह निरंतर फ़ंक्शन है लेकिन कहीं भी भिन्न फ़ंक्शन नहीं है। यह भग्न वक्र का एक उदाहरण है। इसका नाम इसके खोजकर्ता कार्ल वीयरस्ट्रैस के नाम पर रखा गया है।

वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन ने ऐतिहासिक रूप से एक पैथोलॉजिकल (गणित) फ़ंक्शन की भूमिका निभाई है, यह पहला प्रकाशित उदाहरण (1872) है जो विशेष रूप से इस धारणा को चुनौती देने के लिए गढ़ा गया है कि प्रत्येक निरंतर फ़ंक्शन अलग-अलग बिंदुओं के सेट को छोड़कर भिन्न होता है। वीयरस्ट्रैस का यह प्रदर्शन कि निरंतरता का अर्थ लगभग हर जगह भिन्नता नहीं है, ने गणित को उलट दिया, कई प्रमाणों को पलट दिया जो ज्यामितीय अंतर्ज्ञान और सहजता की अस्पष्ट परिभाषाओं पर निर्भर थे। इस प्रकार के कार्यों की समकालीनों द्वारा निंदा की गई: हेनरी पोंकारे ने प्रसिद्ध रूप से उन्हें राक्षसों के रूप में वर्णित किया और वीयरस्ट्रैस के काम को सामान्य ज्ञान के खिलाफ आक्रोश कहा, जबकि चार्ल्स हर्मिट ने लिखा कि वे एक शोकपूर्ण संकट थे। अगली शताब्दी में कंप्यूटर के आगमन तक कार्यों की कल्पना करना कठिन था, और परिणामों को तब तक व्यापक स्वीकृति नहीं मिली जब तक कि एक प्रकार कि गति के मॉडल जैसे व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए असीम रूप से दांतेदार कार्यों (आजकल फ्रैक्टल कर्व्स के रूप में जाना जाता है) की आवश्यकता नहीं हुई।

निर्माण

एनीमेशन a मान को 0.1 से 5 तक बढ़ाने पर आधारित है।

वीयरस्ट्रैस के मूल पेपर में, फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया गया था:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),$

कहाँ $0<a<1$, $b$ एक धनात्मक विषम पूर्णांक है, और

$ab>1+{\frac {3}{2}}\pi .$

का न्यूनतम मूल्य $b$ जिसके लिए मौजूद है $0<a<1$ जैसे कि ये बाधाएँ संतुष्ट हैं $b=7$. यह निर्माण, इस प्रमाण के साथ कि फ़ंक्शन किसी भी अंतराल पर भिन्न नहीं होता है, पहली बार वेइरस्ट्रैस द्वारा 18 जुलाई 1872 को प्रशिया एकेडमी ऑफ साइंसेज | कोनिग्लिचे एकेडमी डेर विसेनशाफ्टन को प्रस्तुत एक पेपर में दिया गया था। कभी भी भिन्न न होने के बावजूद, फलन सतत है: चूंकि इसे परिभाषित करने वाली अनंत श्रृंखला के पद ±a से बंधे हैंⁿ और इसका 0 < a < 1 के लिए परिमित योग है, पदों के योग का अभिसरण एम के साथ वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट द्वारा एक समान अभिसरण है_n= एⁿ. चूँकि प्रत्येक आंशिक योग सतत है, एकसमान सीमा प्रमेय के अनुसार, यह इस प्रकार है कि f सतत है। इसके अतिरिक्त, चूंकि प्रत्येक आंशिक योग एक समान निरंतरता है, इसका मतलब यह है कि एफ भी समान रूप से निरंतर है।

यह उम्मीद की जा सकती है कि एक सतत फ़ंक्शन में एक व्युत्पन्न होना चाहिए, या उन बिंदुओं का सेट जहां यह भिन्न नहीं है, गणनीय रूप से अनंत या परिमित होना चाहिए। अपने पेपर में वीयरस्ट्रैस के अनुसार, कार्ल फ्रेडरिक गॉस सहित पहले के गणितज्ञों ने अक्सर यह मान लिया था कि यह सच था। ऐसा इसलिए हो सकता है क्योंकि एक सतत फ़ंक्शन को चित्रित करना या कल्पना करना मुश्किल है जिसका अविभाज्य बिंदुओं का सेट अंकों के गणनीय सेट के अलावा कुछ और है। निरंतर कार्यों के बेहतर व्यवहार वाले वर्गों के लिए अनुरूप परिणाम मौजूद हैं, उदाहरण के लिए लिप्सचिट्ज़ कार्य करता है, जिनके गैर-विभेदीकरण बिंदुओं का सेट एक लेब्सेग शून्य सेट (रेडमेकर का प्रमेय) होना चाहिए। जब हम एक सामान्य सतत फ़ंक्शन बनाने का प्रयास करते हैं, तो हम आमतौर पर एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ खींचते हैं जो लिप्सचिट्ज़ या अन्यथा अच्छा व्यवहार करता है।

वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन अध्ययन किए गए पहले भग्न में से एक था, हालांकि इस शब्द का उपयोग बहुत बाद तक नहीं किया गया था। फ़ंक्शन में हर स्तर पर विवरण होता है, इसलिए वक्र के एक टुकड़े पर ज़ूम करने से यह नहीं दिखता है कि यह उत्तरोत्तर एक सीधी रेखा के करीब और करीब आ रहा है। बल्कि किन्हीं दो बिंदुओं के बीच चाहे कितना भी करीब हो, कार्य एकरस नहीं होगा।

शास्त्रीय वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के हॉसडॉर्फ़ आयाम डी की गणना 2018 तक एक खुली समस्या थी, जबकि आम तौर पर यह माना जाता था कि डी = $2+\log _{b}(a)<2$. वह D पूर्णतया 2 से कम है जो कि शर्तों पर आधारित है $a$ और $b$ उपर से। 30 से अधिक वर्षों के बाद ही यह कठोरता से सिद्ध हुआ। वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन शब्द का उपयोग अक्सर वास्तविक विश्लेषण में वीयरस्ट्रैस के मूल उदाहरण के समान गुणों और निर्माण वाले किसी भी फ़ंक्शन को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, कोसाइन फ़ंक्शन को अनंत श्रृंखला में त्रिभुज तरंग | टुकड़े-टुकड़े रैखिक ज़िगज़ैग फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। जी. एच. हार्डी ने दिखाया कि उपरोक्त निर्माण का कार्य 0 < a < 1, ab ≥ 1 की मान्यताओं के साथ कहीं भी भिन्न नहीं है।

रीमैन फ़ंक्शन

वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन पहले के रीमैन फ़ंक्शन पर आधारित है, जिसके बारे में दावा किया जाता है कि यह कहीं भी भिन्न नहीं है। कभी-कभी, इस फ़ंक्शन को वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन भी कहा जाता है।

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n^{2}x)}{n^{2}}}$

जबकि बर्नहार्ड रीमैन ने दृढ़ता से दावा किया है कि फ़ंक्शन कहीं भी भिन्न नहीं है, रीमैन द्वारा इसका कोई सबूत प्रकाशित नहीं किया गया है, और वीयरस्ट्रैस ने नोट किया है कि उन्हें रीमैन के कागजात में या उनके छात्रों से मौखिक रूप से इसका कोई सबूत नहीं मिला है।

1916 में, जी. एच. हार्डी ने पुष्टि की कि फ़ंक्शन का किसी भी मान में कोई परिमित व्युत्पन्न नहीं है $\pi x$ जहां x अपरिमेय है या दोनों में से किसी एक रूप में परिमेय है ${\frac {2A}{4B+1}}$ या ${\frac {2A+1}{2B}}$, जहां A और B पूर्णांक हैं।1969 में, जोसेफ गेवर ने पाया कि रीमैन फ़ंक्शन में x के प्रत्येक मान पर एक परिभाषित अंतर होता है जिसे के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ${\frac {2A+1}{2B+1}}\pi$ पूर्णांक ए और बी के साथ, या एक विषम अंश और हर के साथ पाई के तर्कसंगत गुणक। इन बिंदुओं पर, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होता है $-{\frac {1}{2}}$. 1971 में, जे. गेवर ने दिखाया कि फ़ंक्शन में x के मानों पर कोई सीमित अंतर नहीं है जिसे के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ${\frac {2A}{2B+1}}\pi$, रीमैन फ़ंक्शन की भिन्नता की समस्या को पूरा करना। चूंकि रीमैन फ़ंक्शन केवल बिंदुओं के शून्य सेट पर भिन्न होता है, यह लगभग कहीं भी भिन्न नहीं होता है।

धारक निरंतरता

वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन को समकक्ष रूप से लिखना सुविधाजनक है

$W_{\alpha }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{-n\alpha }\cos(b^{n}\pi x)$

के लिए $\alpha =-{\frac {\ln(a)}{\ln(b)}}$. फिर डब्ल्यू_α(x) घातांक α का निरंतर धारक है, जिसका अर्थ है कि एक स्थिरांक C है जैसे कि

$|W_{\alpha }(x)-W_{\alpha }(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }$

सभी x और y के लिए. इसके अलावा, डब्ल्यू₁ सभी आदेशों का होल्डर निरंतर है α < 1 लेकिन लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं।

कहीं भी भिन्न-भिन्न कार्यों का घनत्व

यह पता चला है कि वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन एक अलग उदाहरण होने से बहुत दूर है: हालांकि यह पैथोलॉजिकल है, यह निरंतर कार्यों की भी विशेषता है:

• टोपोलॉजी अर्थ में: [0, 1] पर कहीं भी भिन्न-भिन्न वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का सेट सभी निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के सदिश स्थल सी ([0,1]; 'आर') में कमेजर सेट नहीं है। 0, 1] एकसमान अभिसरण की टोपोलॉजी के साथ।
• एक माप सिद्धांत में | माप-सैद्धांतिक अर्थ: जब स्थान सी ([0, 1]; 'आर') शास्त्रीय वीनर माप γ से सुसज्जित है, तो कार्यों का संग्रह जो [0, के एक बिंदु पर भी भिन्न होता है 1] में γ-माप शून्य है। यही बात तब भी सच है, जब कोई C([0, 1]; 'R') के परिमित-आयामी स्लाइस लेता है, इस अर्थ में कि कहीं भी भिन्न-भिन्न कार्य C([0, 1]; के प्रचलित और शर्मीले सेट नहीं बनाते हैं; 'आर')।

यह भी देखें

• ब्लैंकमैंज वक्र
• कोच बर्फ के टुकड़े
• कहीं भी सतत कार्य नहीं

संदर्भ

• David, Claire (2018), "Bypassing dynamical systems : A simple way to get the box-counting dimension of the graph of the Weierstrass function", Proceedings of the International Geometry Center, Academy of Sciences of Ukraine, 11 (2): 53–68, doi:10.15673/tmgc.v11i2.1028
• Falconer, K. (1984), The Geometry of Fractal Sets, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. Book 85, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33705-2
• Gelbaum, B Bernard R.; Olmstead, John M. H. (2003) [1964], Counterexamples in Analysis, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, ISBN 978-0-486-42875-8
• Hardy, G. H. (1916), "Weierstrass's nondifferentiable function" (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 17 (3): 301–325, doi:10.2307/1989005, JSTOR 1989005
• Weierstrass, Karl (18 July 1872), Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen, Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften
  • Weierstrass, Karl (1895), "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen", Mathematische Werke von Karl Weierstrass, vol. 2, Berlin, Germany: Mayer & Müller, pp. 71–74
  • English translation: Edgar, Gerald A. (1993), "On continuous functions of a real argument that do not possess a well-defined derivative for any value of their argument", Classics on Fractals, Studies in Nonlinearity, Addison-Wesley Publishing Company, pp. 3–9, ISBN 978-0-201-58701-2

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Weierstrass function". MathWorld. (a different Weierstrass Function which is also continuous and nowhere differentiable)
• Nowhere differentiable continuous function proof of existence using Banach's contraction principle.
• Nowhere monotonic continuous function proof of existence using the Baire category theorem.
• Johan Thim. "Continuous Nowhere Differentiable Functions". Master Thesis Lulea Univ of Technology 2003. Retrieved 28 July 2006.
• Weierstrass function in the complex plane Beautiful fractal.
• SpringerLink - Journal of Fourier Analysis and Applications, Volume 16, Number 1 Simple Proofs of Nowhere-Differentiability for Weierstrass's Function and Cases of Slow Growth
• Weierstrass functions: continuous but not differentiable anywhere
• The Weierstrass Function by Brent Nelson at Berkeley, showing non differentiable