शास्त्रीय वीनर स्थान

नॉर्बर्ट वीनर

गणित में, क्लासिकल वीनर स्पेस एक फ़ंक्शन के दिए गए डोमेन (आमतौर पर वास्तविक रेखा का एक उपअंतराल) पर सभी कंटीन्यूअस_फंक्शन#कंटीन्यूअस_फंक्शन_बिटवीन_मेट्रिक_स्पेस का संग्रह है, जो एक मीट्रिक स्थान (आमतौर पर एन-आयामी यूक्लिडियन स्थान ) में मान लेता है। क्लासिकल वीनर स्पेस स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में उपयोगी है जिनके नमूना पथ निरंतर कार्य हैं। इसका नाम संयुक्त राज्य अमेरिका के गणितज्ञ नॉर्बर्ट वीनर के नाम पर रखा गया है।

परिभाषा

E ⊆ 'R' पर विचार करेंⁿ और एक मीट्रिक स्थान (एम, डी)। 'क्लासिकल वीनर स्पेस' C(E; M) सभी निरंतर कार्यों का स्थान है f : E → M. यानी ई में प्रत्येक निश्चित टी के लिए,

$d(f(s),f(t))\to 0$ जैसा $|s-t|\to 0.$

लगभग सभी अनुप्रयोगों में, कोई E = [0, T ] या [0, +∞) और M = 'R' लेता है।ⁿ'N' में कुछ n के लिए। संक्षिप्तता के लिए, C([0, T ]; 'R' के लिए C लिखेंⁿ); यह एक सदिश समष्टि है. सी लिखें₀ रैखिक उप-स्थान के लिए जिसमें केवल वे फ़ंक्शन (गणित) शामिल हैं जो सेट ई के न्यूनतम पर मान शून्य लेते हैं। कई लेखक सी का उल्लेख करते हैं₀ शास्त्रीय वीनर स्थान के रूप में।

स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के लिए $\{X_{t},t\in T\}:(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\to (E,{\mathcal {B}})$ और स्थान ${\mathcal {F}}(T,E)$ से सभी कार्यों का $T$ को $E$, कोई मानचित्र को देखता है $\varphi :\Omega \to {\mathcal {F}}(T,E)\cong E^{T}$. फिर कोई समन्वय मानचित्रों या विहित संस्करणों को परिभाषित कर सकता है $Y_{t}:E^{T}\to E$ द्वारा परिभाषित $Y_{t}(\omega )=\omega (t)$. $\{Y_{t},t\in T\}$ h> एक और प्रक्रिया बनाएं। वीनर माप तब अद्वितीय माप है $C_{0}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} )$ जैसे कि समन्वय प्रक्रिया एक ब्राउनियन गति है।

क्लासिकल वीनर स्पेस के गुण

यूनिफ़ॉर्म टोपोलॉजी

सदिश समष्टि C को एकसमान मानदण्ड से सुसज्जित किया जा सकता है

$\|f\|:=\sup _{t\in [0,\,T]}|f(t)|$

इसे एक मानकीकृत सदिश स्थान (वास्तव में एक बनच स्थान) में बदलना। यह मानदंड (गणित) सामान्य तरीके से C पर एक मीट्रिक (गणित) प्रेरित करता है: $d(f,g):=\|f-g\|$. इस मीट्रिक में खुले सेटों द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी [0, T ], या एकसमान टोपोलॉजी (बहुविकल्पी) पर एकसमान अभिसरण की टोपोलॉजी है।

डोमेन [0, T ] को समय और सीमा 'R' के रूप में सोचनाⁿस्पेस के रूप में, समान टोपोलॉजी का एक सहज दृश्य यह है कि दो फ़ंक्शन करीब हैं यदि हम स्पेस को थोड़ा सा हिला सकते हैं और एफ के ग्राफ को जी के ग्राफ के शीर्ष पर ले जा सकते हैं, जबकि समय को निश्चित छोड़ सकते हैं। इसकी तुलना Càdlàg#Skorokhod स्पेस से करें, जो हमें स्थान और समय दोनों को बदलने की अनुमति देता है।

पृथक्करण और पूर्णता

एकसमान मीट्रिक के संबंध में, C एक अलग करने योग्य स्थान और एक पूर्ण स्थान दोनों है:

• पृथक्करण स्टोन-वीयरस्ट्रैस प्रमेय का परिणाम है;
• पूर्णता इस तथ्य का परिणाम है कि निरंतर कार्यों के अनुक्रम की एकसमान सीमा स्वयं निरंतर होती है।

चूँकि यह वियोज्य और पूर्ण दोनों है, C एक पोलिश स्थान है।

क्लासिकल वीनर स्पेस में जकड़न

याद रखें कि किसी फ़ंक्शन के लिए निरंतरता का मापांक f : [0, T ] → 'R'ⁿ द्वारा परिभाषित किया गया है

$\omega _{f}(\delta ):=\sup \left\{|f(s)-f(t)|:s,t\in [0,T],\,|s-t|\leq \delta \right\}.$

यह परिभाषा तब भी समझ में आती है जब f निरंतर नहीं है, और यह दिखाया जा सकता है कि f निरंतर है यदि और केवल तभी जब इसकी निरंतरता का मापांक δ → 0 के रूप में शून्य हो जाता है:

$f\in C\iff \omega _{f}(\delta )\to 0{\text{ as }}\delta \to 0$.

आर्ज़ेला-अस्कोली प्रमेय के अनुप्रयोग द्वारा, कोई उस अनुक्रम को दिखा सकता है $(\mu _{n})_{n=1}^{\infty }$ शास्त्रीय वीनर स्पेस सी पर संभाव्यता उपायों की जकड़न उपायों की जकड़न है यदि और केवल यदि निम्नलिखित दोनों शर्तें पूरी होती हैं:

$\lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C\mid |f(0)|\geq a\}=0,$ और

$\lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C\mid \omega _{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0$ सभी के लिए ε > 0.

शास्त्रीय वीनर माप

C पर एक मानक माप है₀, जिसे शास्त्रीय वीनर माप (या केवल वीनर माप) के रूप में जाना जाता है। वीनर माप में (कम से कम) दो समतुल्य लक्षण हैं:

यदि कोई एक प्रकार कि गति को मार्कोव संपत्ति स्टोकेस्टिक प्रक्रिया बी के रूप में परिभाषित करता है: [0, टी ] × Ω → आरⁿ, मूल से शुरू होकर, लगभग निश्चित रूप से निरंतर पथ और स्वतंत्र वृद्धि के साथ

$B_{t}-B_{s}\sim \,\mathrm {Normal} \left(0,|t-s|\right),$

तब शास्त्रीय वीनर माप γ प्रक्रिया बी का कानून (स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं) है।

वैकल्पिक रूप से, कोई अमूर्त वीनर अंतरिक्ष निर्माण का उपयोग कर सकता है, जिसमें शास्त्रीय वीनर माप γ सिलेंडर सेट माप का रेडोनिफाइंग फ़ंक्शन है #सी के अनुरूप कैमरून-मार्टिन हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर सिलेंडर सेट माप₀.

शास्त्रीय वीनर माप एक गाऊसी माप है: विशेष रूप से, यह एक सख्ती से सकारात्मक माप संभाव्यता माप है।

C पर शास्त्रीय वीनर माप γ दिया गया है₀, उत्पाद माप γⁿ × γ C पर एक संभाव्यता माप है, जहां γⁿ 'आर' पर मानक गाऊसी माप को दर्शाता हैⁿ.

यह भी देखें

• सार वीनर स्थान
• कैडलैग, शास्त्रीय वीनर स्पेस का एक सामान्यीकरण, जो कार्यों को बंद करने की अनुमति देता है
• वीनर प्रक्रिया