अलग करने योग्य स्थान

गणित में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस को वियोज्य कहा जाता है यदि इसमें एक गणनीय सेट, सघन (टोपोलॉजी) उपसमुच्चय होता है; अर्थात् एक क्रम विद्यमान है $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ अंतरिक्ष के तत्वों का ऐसा होना कि अंतरिक्ष के प्रत्येक गैर-रिक्त खुले उपसमुच्चय में अनुक्रम का कम से कम एक तत्व शामिल हो।

गणनीयता के अन्य सिद्धांतों की तरह, पृथक्करण आकार पर एक सीमा है, जरूरी नहीं कि प्रमुखता के संदर्भ में (हालांकि, हॉसडॉर्फ़ स्थान की उपस्थिति में, यह मामला बन जाता है; नीचे देखें) लेकिन अधिक सूक्ष्म टोपोलॉजिकल अर्थ में . विशेष रूप से, एक वियोज्य स्थान पर प्रत्येक निरंतर कार्य जिसकी छवि हॉसडॉर्फ स्थान का एक उपसमूह है, गणनीय घने उपसमुच्चय पर उसके मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

दूसरी गणनीयता की संबंधित धारणा के साथ पृथक्करण की तुलना करें, जो सामान्य रूप से मजबूत है लेकिन मेट्रिज़ेबल रिक्त स्थान के वर्ग के बराबर है।

पहले उदाहरण

कोई भी टोपोलॉजिकल स्पेस जो स्वयं परिमित सेट या गणनीय रूप से अनंत है, अलग किया जा सकता है, क्योंकि संपूर्ण स्पेस स्वयं का एक गणनीय सघन उपसमुच्चय है। बेशुमार वियोज्य स्थान का एक महत्वपूर्ण उदाहरण वास्तविक रेखा है, जिसमें परिमेय संख्याएँ एक गणनीय सघन उपसमुच्चय बनाती हैं। इसी प्रकार सभी लंबाई का सेट- $n$ तर्कसंगत संख्याओं के वेक्टर (गणित और भौतिकी), ${\boldsymbol {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}$ , सभी लंबाई के सेट का एक गणनीय सघन उपसमुच्चय है- $n$ वास्तविक संख्याओं के सदिश, $\mathbb {R} ^{n}$ ; तो हर किसी के लिए $n$ , $n$ -आयामी यूक्लिडियन स्थान वियोज्य है।

एक ऐसे स्थान का एक सरल उदाहरण जो अलग नहीं किया जा सकता, बेशुमार कार्डिनैलिटी का एक अलग स्थान है।

आगे के उदाहरण नीचे दिये गये हैं।

पृथक्करणीयता और दूसरी गणनीयता

और दूसरा-गणनीय स्थान वियोज्य है: यदि $\{U_{n}\}$ एक गणनीय आधार है, किसी को भी चुनना $x_{n}\in U_{n}$ गैर-रिक्त से $U_{n}$ एक गणनीय सघन उपसमुच्चय देता है। इसके विपरीत, एक मेट्रिज़ेबल स्थान को अलग किया जा सकता है यदि और केवल यदि यह दूसरा गणनीय है, जो कि मामला है यदि और केवल यदि यह लिंडेलोफ़ स्पेस है|लिंडेलोफ़।

इन दोनों संपत्तियों की तुलना करने के लिए:

दूसरे गणनीय स्थान का एक मनमाना उपस्थान (टोपोलॉजी) दूसरा गणनीय है; वियोज्य स्थानों के उप-स्थानों को वियोज्य करने की आवश्यकता नहीं है (नीचे देखें)।
वियोज्य स्थान की कोई भी सतत छवि वियोज्य होती है (Willard 1970, Th. 16.4a); यहां तक कि दूसरे गणनीय स्थान की भागफल टोपोलॉजी को भी दूसरे गणनीय होने की आवश्यकता नहीं है।
अधिक से अधिक सातत्यक कई वियोज्य स्थानों की एक उत्पाद टोपोलॉजी वियोज्य होती है (Willard 1970, p. 109, Th 16.4c). द्वितीय-गणनीय स्थानों का गणनीय गुणनफल द्वितीय गणनीय होता है, लेकिन द्वितीय-गणनीय स्थानों का गणनीय गुणनफल प्रथम गणनीय होना भी आवश्यक नहीं है।

हम एक अलग करने योग्य टोपोलॉजिकल स्पेस का एक उदाहरण बना सकते हैं जो दूसरी गणना योग्य नहीं है। किसी भी अनगिनत समुच्चय पर विचार करें $X$ , कुछ चुनें $x_{0}\in X$ , और टोपोलॉजी को सभी सेटों के संग्रह के रूप में परिभाषित करें $x_{0}$ (या खाली हैं). फिर, का समापन ${x_{0}}$ संपूर्ण स्थान है ( $X$ सबसे छोटा बंद सेट है जिसमें शामिल है $x_{0}$ ), लेकिन फॉर्म का हर सेट $\{x_{0},x\}$ खुला है। अत: स्थान पृथक् करने योग्य है परंतु गणनीय आधार नहीं हो सकता।

कार्डिनैलिटी

पृथक्करण की संपत्ति अपने आप में टोपोलॉजिकल स्पेस की कार्डिनैलिटी पर कोई सीमा नहीं देती है: तुच्छ टोपोलॉजी से संपन्न कोई भी सेट अलग करने योग्य है, साथ ही दूसरा गणनीय, अर्ध-कॉम्पैक्ट और जुड़ा हुआ स्थान भी है। तुच्छ टोपोलॉजी के साथ समस्या इसकी खराब पृथक्करण गुण है: इसका कोलमोगोरोव भागफल एक-बिंदु स्थान है।

एक प्रथम-गणनीय, वियोज्य हॉसडॉर्फ स्थान (विशेष रूप से, एक वियोज्य मीट्रिक स्थान) में सातत्य की अधिकतम कार्डिनैलिटी होती है ${\mathfrak {c}}$ . ऐसे स्थान में, समापन (टोपोलॉजी) अनुक्रमों की सीमाओं द्वारा निर्धारित किया जाता है और किसी भी अभिसरण अनुक्रम में अधिकतम एक सीमा होती है, इसलिए बिंदुओं के गणनीय घने उपसमुच्चय में मानों के साथ अभिसरण अनुक्रमों के सेट से एक विशेषण मानचित्र होता है। $X$ .

एक पृथक्करणीय हॉसडॉर्फ़ स्थान में अधिकतम कार्डिनैलिटी होती है $2^{\mathfrak {c}}$ , कहाँ ${\mathfrak {c}}$ सातत्य की प्रमुखता है. इसके लिए टोपोलॉजी में फिल्टर के संदर्भ में क्लोजर की विशेषता है: यदि $Y\subseteq X$ और $z\in X$ , तब $z\in {\overline {Y}}$ यदि और केवल यदि कोई फ़िल्टर बेस मौजूद है ${\mathcal {B}}$ के उपसमुच्चय से मिलकर बना है $Y$ जो कि एकत्रित हो जाता है $z$ . सेट की प्रमुखता $S(Y)$ ऐसे फ़िल्टर बेस अधिकतम हैं $2^{2^{|Y|}}$ . इसके अलावा, हॉसडॉर्फ़ क्षेत्र में, प्रत्येक फ़िल्टर बेस की अधिकतम एक सीमा होती है। इसलिए, एक आपत्ति है $S(Y)\rightarrow X$ कब ${\overline {Y}}=X.$ वही तर्क अधिक सामान्य परिणाम स्थापित करते हैं: मान लीजिए कि एक हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ इसमें कार्डिनैलिटी का सघन उपसमुच्चय शामिल है $\kappa$ . तब $X$ अधिकतम में कार्डिनैलिटी है $2^{2^{\kappa }}$ और अधिक से अधिक कार्डिनैलिटी $2^{\kappa }$ यदि यह पहले गणनीय है।

अधिक से अधिक सातत्य कई वियोज्य स्थानों का उत्पाद एक वियोज्य स्थान है (Willard 1970, p. 109, Th 16.4c). विशेषकर अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ वास्तविक रेखा से स्वयं तक सभी कार्यों का, उत्पाद टोपोलॉजी से संपन्न, कार्डिनैलिटी का एक अलग करने योग्य हॉसडॉर्फ स्थान है $2^{\mathfrak {c}}$ . अधिक सामान्यतः, यदि $\kappa$ यदि कोई अनन्त कार्डिनल है, तो अधिकतम का गुणनफल है $2^{\kappa }$ अधिकतम आकार के सघन उपसमुच्चय वाले स्थान $\kappa$ अपने आप में अधिकतम आकार का एक सघन उपसमुच्चय होता है $\kappa$ (हेविट-मार्क्ज़वेस्की-पॉन्डिसेरी प्रमेय)।

रचनात्मक गणित

संख्यात्मक विश्लेषण और गणितीय रचनावाद में पृथक्करण विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, क्योंकि कई प्रमेय जिन्हें अविभाज्य स्थानों के लिए सिद्ध किया जा सकता है, उनके पास केवल अलग-अलग स्थानों के लिए रचनात्मक प्रमाण हैं। ऐसे रचनात्मक प्रमाणों को संख्यात्मक विश्लेषण में उपयोग के लिए कलन विधि में बदला जा सकता है, और वे रचनात्मक विश्लेषण में स्वीकार्य एकमात्र प्रकार के प्रमाण हैं। इस प्रकार के प्रमेय का एक प्रसिद्ध उदाहरण हैन-बानाच प्रमेय है।

आगे के उदाहरण

विभाज्य स्थान

प्रत्येक कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्थान (या मेट्रिज़ेबल स्पेस) अलग करने योग्य है।
कोई भी टोपोलॉजिकल स्पेस जो अलग-अलग उप-स्थानों की गणनीय संख्या का संघ है, वियोज्य है। ये पहले दो उदाहरण मिलकर इस बात का अलग ही प्रमाण देते हैं $n$ -आयामी यूक्लिडियन स्थान वियोज्य है।
अंतरिक्ष $C(K)$ एक सघन स्थान सबसेट से सभी निरंतर कार्यों का $K\subseteq \mathbb {R}$ वास्तविक रेखा तक $\mathbb {R}$ वियोज्य है.
एलपी स्पेस $L^{p}\left(X,\mu \right)$ , एक अलग माप स्थान पर $\left\langle X,{\mathcal {M}},\mu \right\rangle$ , किसी के लिए वियोज्य हैं $1\leq p<\infty$ .
अंतरिक्ष $C([0,1])$ सतत कार्य का | इकाई अंतराल पर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्य $[0,1]$ एकसमान अभिसरण की मीट्रिक के साथ एक अलग करने योग्य स्थान है, क्योंकि यह स्टोन-वीयरस्ट्रैस प्रमेय से निम्नानुसार है कि सेट $\mathbb {Q} [x]$ तर्कसंगत गुणांक वाले एक चर में बहुपदों का एक गणनीय सघन उपसमुच्चय है $C([0,1])$ . बानाच-मज़ूर प्रमेय का दावा है कि कोई भी अलग करने योग्य बानाच स्थान एक बंद रैखिक उप-स्थान के लिए सममितीय रूप से आइसोमोर्फिक है $C([0,1])$ .
हिल्बर्ट स्पेस को तभी अलग किया जा सकता है जब इसका गणनीय ऑर्थोनॉर्मल आधार हो। यह इस प्रकार है कि कोई भी अलग करने योग्य, अनंत-आयामी हिल्बर्ट स्थान अंतरिक्ष के लिए सममितीय है $\ell ^{2}$ वर्ग-योगयोग्य अनुक्रमों का।
एक पृथक्करणीय स्थान का एक उदाहरण जो द्वितीय-गणनीय नहीं है सोर्गेनफ्रे रेखा है $\mathbb {S}$ , निचली सीमा टोपोलॉजी से सुसज्जित वास्तविक संख्याओं का सेट।
एक σ-बीजगणित#वियोज्य σ-बीजगणित|वियोज्य σ-बीजगणित एक σ-बीजगणित है ${\mathcal {F}}$ मीट्रिक (गणित) के साथ मीट्रिक स्थान के रूप में माने जाने पर यह एक अलग करने योग्य स्थान है $\rho (A,B)=\mu (A\triangle B)$ के लिए $A,B\in {\mathcal {F}}$ और एक दिया गया माप (गणित) $\mu$ (और साथ $\triangle$ सममित अंतर ऑपरेटर होने के नाते)।^[1]

गैर-वियोज्य स्थान

पहला बेशुमार क्रमसूचक $\omega _{1}$ , अपने प्राकृतिक ऑर्डर टोपोलॉजी से सुसज्जित, अलग नहीं किया जा सकता है।
बनच स्थान $\ell ^{\infty }$ सभी बंधे हुए वास्तविक अनुक्रमों को, एक समान मानदंड के साथ, अलग नहीं किया जा सकता है। वही बात लागू होती है $L^{\infty }$ .
परिबद्ध भिन्नता का बानाच स्थान वियोज्य नहीं है; हालाँकि ध्यान दें कि इस स्थान का गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग में बहुत महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है।

गुण

वियोज्य स्थान के एक उप-स्थान (टोपोलॉजी) को अलग करने की आवश्यकता नहीं है (सोर्गेनफ्रे विमान और मूर विमान देखें), लेकिन एक वियोज्य स्थान का प्रत्येक खुला उप-स्थान वियोज्य है (Willard 1970, Th 16.4b). साथ ही वियोज्य मीट्रिक स्थान का प्रत्येक उपस्थान वियोज्य है।
वास्तव में, प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस समान कार्डिनैलिटी के एक अलग किए जाने योग्य स्पेस का उप-स्थान है। अधिकतम गिनने लायक कई बिंदुओं को जोड़ने वाली एक रचना दी गई है (Sierpiński 1952, p. 49); यदि वह स्थान हॉसडॉर्फ़ स्थान था तो जिस स्थान का निर्माण किया गया वह भी हॉसडॉर्फ़ स्थान है।
एक पृथक्करणीय स्थान पर सभी वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों के सेट में एक कार्डिनैलिटी बराबर होती है ${\mathfrak {c}}$ , सातत्य की प्रमुखता। यह इस प्रकार है क्योंकि ऐसे फ़ंक्शन सघन उपसमुच्चय पर उनके मानों द्वारा निर्धारित होते हैं।
उपरोक्त संपत्ति से, कोई निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकता है: यदि एक्स एक अलग करने योग्य स्थान है जिसमें बेशुमार बंद असतत उप-स्थान है, तो एक्स सामान्य स्थान नहीं हो सकता है। इससे पता चलता है कि सोर्गेनफ्रे विमान सामान्य नहीं है.
कॉम्पैक्ट स्पेस हॉसडॉर्फ स्पेस एक्स के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं:
1. X is second countable.
2. The space ${\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )$ of continuous real-valued functions on X with the supremum norm is separable.
3. X is metrizable.

वियोज्य मीट्रिक रिक्त स्थान एम्बेड करना

प्रत्येक पृथक्करणीय मीट्रिक स्थान हिल्बर्ट क्यूब के एक उपसमुच्चय के लिए समरूप है। यह उरीसोहन मेट्रिज़ेशन प्रमेय के प्रमाण में स्थापित किया गया है।
प्रत्येक वियोज्य मीट्रिक स्थान (गैर-वियोज्य) बानाच स्थान l के सबसेट के लिए आइसोमेट्री है^∞समान मानदंड के साथ सभी बंधे हुए वास्तविक अनुक्रमों का; इसे फ़्रेचेट एम्बेडिंग के रूप में जाना जाता है। (Heinonen 2003)
प्रत्येक वियोज्य मीट्रिक स्थान C([0,1]) के उपसमुच्चय के लिए सममितीय है, निरंतर कार्यों का वियोज्य बनच स्थान [0,1] → R, समान मानदंड के साथ। यह स्टीफ़न बानाच के कारण है। (Heinonen 2003)
प्रत्येक वियोज्य मीट्रिक स्थान उरीसोहन सार्वभौमिक स्थान के सबसेट के लिए सममितीय है।

अविभाज्य स्थानों के लिए:

सघन सेट का एक मीट्रिक स्थान एक अनंत कार्डिनल के बराबर होता है $α$ एक उपसमष्टि के लिए सममितीय है $C([0,1] α, R)$ , के उत्पाद पर वास्तविक निरंतर कार्यों का स्थान $α$ इकाई अंतराल की प्रतियां। (Kleiber & Pervin 1969)

संदर्भ

↑ Džamonja, Mirna; Kunen, Kenneth (1995). "माप वियोज्य कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान के वर्ग के गुण" (PDF). Fundamenta Mathematicae: 262. arXiv:math/9408201. Bibcode:1994math......8201D. If $\mu$ is a Borel measure on $X$ , the measure algebra of $(X,\mu )$ is the Boolean algebra of all Borel sets modulo $\mu$ -null sets. If $\mu$ is finite, then such a measure algebra is also a metric space, with the distance between the two sets being the measure of their symmetric difference. Then, we say that $\mu$ is separable iff this metric space is separable as a topological space.

Heinonen, Juha (January 2003), Geometric embeddings of metric spaces (PDF), retrieved 6 February 2009

Kelley, John L. (1975), General Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90125-1, MR 0370454
Kleiber, Martin; Pervin, William J. (1969), "A generalized Banach-Mazur theorem", Bull. Austral. Math. Soc., 1 (2): 169–173, doi:10.1017/S0004972700041411
Sierpiński, Wacław (1952), General topology, Mathematical Expositions, No. 7, Toronto, Ont.: University of Toronto Press, MR 0050870
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
Willard, Stephen (1970), General Topology, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-08707-9, MR 0264581

[1] Džamonja, Mirna; Kunen, Kenneth (1995). "माप वियोज्य कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान के वर्ग के गुण" (PDF). Fundamenta Mathematicae: 262. arXiv:math/9408201. Bibcode:1994math......8201D. If $\mu$ is a Borel measure on $X$ , the measure algebra of $(X,\mu )$ is the Boolean algebra of all Borel sets modulo $\mu$ -null sets. If $\mu$ is finite, then such a measure algebra is also a metric space, with the distance between the two sets being the measure of their symmetric difference. Then, we say that $\mu$ is separable iff this metric space is separable as a topological space.

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