मेट्रिज़ेबल स्थान

टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, एक मेट्रिज़ेबल स्पेस एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जो एक मीट्रिक स्थान के लिए होमियोमोर्फिज्म है। यानी एक टोपोलॉजिकल स्पेस $(X,\tau )$ यदि कोई मीट्रिक (गणित) है तो इसे मेट्रिज़ेबल कहा जाता है $d:X\times X\to [0,\infty )$ ऐसा कि टोपोलॉजी से प्रेरित है $d$ है $\tau .$ मेट्रिज़ेशन प्रमेय वे प्रमेय हैं जो टोपोलॉजिकल स्पेस को मेट्रिज़ेबल होने के लिए पर्याप्त शर्तें देते हैं।

गुण

मेट्रिज़ेबल रिक्त स्थान मीट्रिक रिक्त स्थान से सभी टोपोलॉजिकल गुणों को प्राप्त करते हैं। उदाहरण के लिए, वे हॉसडॉर्फ़ स्थान परा-सुसंहत स्पेस (और इसलिए सामान्य स्पेस और टाइकोनोफ़ स्थान ) और प्रथम-गणनीय स्थान |फर्स्ट-काउंटेबल हैं। हालाँकि, मीट्रिक के कुछ गुण, जैसे पूर्णता, को विरासत में मिला हुआ नहीं कहा जा सकता है। यह मीट्रिक से जुड़ी अन्य संरचनाओं के बारे में भी सच है। उदाहरण के लिए, एक मेट्रिज़ेबल एकसमान स्थान में एक मीट्रिक स्थान की तुलना में संकुचन मानचित्रण का एक अलग सेट हो सकता है जिसके लिए यह होमियोमोर्फिक है।

मेट्रीज़ेशन प्रमेय

पहले व्यापक रूप से मान्यता प्राप्त मेट्रिज़ेशन प्रमेयों में से एक थाUrysohn's metrization theorem. इसमें कहा गया है कि प्रत्येक हॉसडॉर्फ़ द्वितीय-गणनीय नियमित स्थान मेट्रिज़ेबल है। इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रत्येक सेकंड-गणनीय कई गुना मेट्रिज़ेबल है। (ऐतिहासिक नोट: यहां दिखाए गए प्रमेय का रूप वास्तव में 1926 में एंड्री निकोलाइविच तिखोनॉफ़ द्वारा सिद्ध किया गया था। 1925 में मरणोपरांत प्रकाशित एक पेपर में पावेल सैमुइलोविच उरीसोहन ने जो दिखाया था, वह यह था कि हर सेकंड-गणनीय सामान्य स्थान हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष मेट्रिज़ेबल है)। इसका विलोम मान्य नहीं है: ऐसे मीट्रिक स्थान मौजूद हैं जो दूसरे गणनीय नहीं हैं, उदाहरण के लिए, असतत मीट्रिक से संपन्न एक बेशुमार सेट। नागाटा-स्मिरनोव मेट्रिज़ेशन प्रमेय, जिसका नीचे वर्णन किया गया है, एक अधिक विशिष्ट प्रमेय प्रदान करता है जहां उलटा प्रभाव पड़ता है।

कई अन्य मेट्रिज़ेशन प्रमेय उरीसोहन के प्रमेय के सरल परिणाम के रूप में अनुसरण करते हैं। उदाहरण के लिए, एक सघन स्थान हॉसडॉर्फ स्पेस मेट्रिज़ेबल है यदि और केवल अगर यह दूसरी-गणना योग्य है।

उरीसोहन के प्रमेय को इस प्रकार दोहराया जा सकता है: एक टोपोलॉजिकल स्पेस अलग करने योग्य स्थान और मेट्रिजेबल है यदि और केवल अगर यह नियमित, हॉसडॉर्फ और दूसरा-गणनीय है। नागाटा-स्मिरनोव मेट्रिज़ेशन प्रमेय इसे गैर-वियोज्य मामले तक विस्तारित करता है। इसमें कहा गया है कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस मेट्रिज़ेबल है अगर और केवल अगर यह नियमित है, हॉसडॉर्फ और इसका σ-स्थानीय रूप से सीमित आधार है। σ-स्थानीय रूप से परिमित आधार एक आधार है जो खुले सेटों के अनगिनत स्थानीय रूप से परिमित संग्रहों का एक संघ है। निकट से संबंधित प्रमेय के लिए बिंग मेट्रिज़ेशन प्रमेय देखें।

अलग-अलग मेट्रिज़ेबल रिक्त स्थान को उन स्थानों के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है जो हिल्बर्ट क्यूब के उप-स्थान के लिए होम्योमॉर्फिक हैं $\lbrack 0,1\rbrack ^{\mathbb {N} },$ अर्थात्, इकाई अंतराल का गणनीय अनंत उत्पाद (वास्तविकता से इसकी प्राकृतिक उप-स्थान टोपोलॉजी के साथ), उत्पाद टोपोलॉजी से संपन्न है।

किसी स्थान को स्थानीय रूप से मेट्रिज़ेबल कहा जाता है यदि प्रत्येक बिंदु पर मेट्रिज़ेबल नेबरहुड (गणित) हो। स्मिरनोव ने साबित किया कि स्थानीय रूप से मेट्रिज़ेबल स्थान मेट्रिज़ेबल है यदि और केवल यदि वह हॉसडॉर्फ और पैराकॉम्पैक्ट है। विशेष रूप से, मैनिफ़ोल्ड मेट्रिज़ेबल है यदि और केवल यदि यह पैराकॉम्पैक्ट है।

उदाहरण

एकात्मक संचालकों का समूह $\mathbb {U} ({\mathcal {H}})$ एक अलग करने योग्य हिल्बर्ट स्थान पर ${\mathcal {H}}$ संपन्न मजबूत ऑपरेटर के साथ टोपोलॉजी मेट्रिज़ेबल है (प्रस्ताव II.1 देखें)। ).

गैर-मेट्रिज़ेबल रिक्त स्थान के उदाहरण

गैर-सामान्य स्थान मेट्रिज़ेबल नहीं हो सकते; महत्वपूर्ण उदाहरणों में शामिल हैं

• बीजगणितीय विविधता पर या रिंग के स्पेक्ट्रम पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी, बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग किया जाता है,
• वास्तविक रेखा से सभी फ़ंक्शन (गणित) का टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस $\mathbb {R}$ स्वयं के लिए, बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी के साथ।

निचली सीमा टोपोलॉजी के साथ वास्तविक रेखा मेट्रिज़ेबल नहीं है। सामान्य दूरी फ़ंक्शन इस स्थान पर एक मीट्रिक नहीं है क्योंकि यह जिस टोपोलॉजी को निर्धारित करता है वह सामान्य टोपोलॉजी है, न कि निचली सीमा टोपोलॉजी। यह स्थान हॉसडॉर्फ, पैराकॉम्पैक्ट और प्रथम गणनीय है।

स्थानीय रूप से मेट्रिज़ेबल लेकिन मेट्रिज़ेबल नहीं

दो मूलों वाली रेखा, जिसे 'द' भी कहा जाता हैbug-eyed line एक गैर-हॉसडॉर्फ़ मैनिफोल्ड है (और इस प्रकार मेट्रिज़ेबल नहीं हो सकता)। सभी मैनिफोल्ड्स की तरह, यह यूक्लिडियन स्थान के लिए स्थानीय रूप से होमोमोर्फिक है और इस प्रकार स्थानीय रूप स्थानीय रूप से मेट्रिज़ेबल स्थान (लेकिन मेट्रिजेबल नहीं) और स्थानीय रूप से हॉसडॉर्फ स्पेस (स्थानीय रूप से हॉसडॉर्फ़ स्थान नहीं) है। यह एक T1 स्पेस|T भी है₁स्थानीय रूप से नियमित स्थान लेकिन अर्धनियमित स्थान नहीं।

लंबी लाइन (टोपोलॉजी) स्थानीय रूप से मेट्रिज़ेबल है लेकिन मेट्रिज़ेबल नहीं है; एक तरह से यह बहुत लंबा है.

यह भी देखें

• Apollonian metric
• Bing metrization theorem
• Metrizable topological vector space
• Moore space (topology)
• Nagata–Smirnov metrization theorem
• Uniformizability, एक समान स्थान के लिए होमोमोर्फिक होने की एक टोपोलॉजिकल स्पेस की संपत्ति, या समकक्ष टोपोलॉजी को स्यूडोमेट्रिक स्पेस के एक परिवार द्वारा परिभाषित किया जा रहा है

संदर्भ

This article incorporates material from Metrizable on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.