समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली

नियतात्मक निरंतर-समय एकल-इनपुट एकल-आउटपुट सिस्टम के लिए समय के व्युत्क्रम को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। सिस्टम समय-अपरिवर्तनीय है अगर और केवल अगर y₂(t) = y₁(t – t₀) हमेशा के लिए t, सभी वास्तविक स्थिरांक के लिए t₀ और सभी इनपुट के लिए x₁(t). इसे विस्तृत करने के लिए छवि पर क्लिक करें।

नियंत्रण सिद्धांत में, एक समय-अपरिवर्तनीय (टीआई) प्रणाली में एक समय-निर्भर प्रणाली कार्य होता है जो समय का प्रत्यक्ष कार्य (गणित) नहीं होता है। ऐसी गतिशील प्रणालियों को सिस्टम विश्लेषण के क्षेत्र में सिस्टम की एक श्रेणी के रूप में माना जाता है। टाइम-डिपेंडेंट सिस्टम फंक्शन, टाइम-डिपेंडेंट इनपुट फंक्शन का एक फंक्शन है। यदि यह फ़ंक्शन अप्रत्यक्ष रूप से समय क्षेत्र (उदाहरण के लिए इनपुट फ़ंक्शन के माध्यम से) पर निर्भर करता है, तो यह एक ऐसी प्रणाली है जिसे समय-अपरिवर्तनीय माना जाएगा। इसके विपरीत, सिस्टम फ़ंक्शन के समय-डोमेन पर किसी भी प्रत्यक्ष निर्भरता को समय-भिन्न प्रणाली के रूप में माना जा सकता है।

गणितीय रूप से बोलना, सिस्टम का समय-अपरिवर्तनीय निम्नलिखित संपत्ति है:

एक समय-निर्भर आउटपुट फ़ंक्शन के साथ एक प्रणाली को देखते हुए $y(t)$, और एक समय-निर्भर इनपुट फ़ंक्शन $x(t)$, इनपुट पर समय-विलंब होने पर सिस्टम को समय-अपरिवर्तनीय माना जाएगा $x(t+\delta )$ सीधे आउटपुट के समय-विलंब के बराबर है $y(t+\delta )$ समारोह। उदाहरण के लिए, यदि समय $t$ बीता हुआ समय है, तो समय-अपरिवर्तन का अर्थ है कि इनपुट फ़ंक्शन के बीच संबंध $x(t)$ और आउटपुट फ़ंक्शन $y(t)$ समय के संबंध में स्थिर है $t:$::$y(t)=f(x(t),t)=f(x(t)).$ संकेत आगे बढ़ाना की भाषा में, यह संपत्ति संतुष्ट हो सकती है यदि सिस्टम का स्थानांतरण प्रकार्य इनपुट और आउटपुट द्वारा व्यक्त किए जाने के अलावा समय का प्रत्यक्ष कार्य नहीं है।

सिस्टम आरेख के संदर्भ में, इस संपत्ति को निम्नानुसार भी कहा जा सकता है, जैसा कि चित्र में दाईं ओर दिखाया गया है:

यदि कोई सिस्टम टाइम-इनवेरिएंट है तो सिस्टम मनमाने ढंग से देरी के साथ विनिमेय को ब्लॉक कर देता है।

यदि समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली भी रैखिक प्रणाली है, तो यह एनएमआर स्पेक्ट्रोस्कोपी, भूकंप विज्ञान, विद्युत नेटवर्क, सिग्नल प्रोसेसिंग, नियंत्रण सिद्धांत और अन्य तकनीकी क्षेत्रों में प्रत्यक्ष अनुप्रयोगों के साथ रैखिक समय-अपरिवर्तनीय सिद्धांत (रैखिक समय-अपरिवर्तनीय) का विषय है। गैर-रैखिक प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों में एक व्यापक, शासी सिद्धांत का अभाव है। असतत-समय संकेत समय-भिन्न प्रणाली को शिफ्ट-इनवेरिएंट सिस्टम के रूप में जाना जाता है। जिन प्रणालियों में समय-अपरिवर्तनीय संपत्ति का अभाव होता है, उनका अध्ययन समय-भिन्न प्रणालियों के रूप में किया जाता है।

सरल उदाहरण

यह प्रदर्शित करने के लिए कि कैसे निर्धारित किया जाए कि कोई प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय है, दो प्रणालियों पर विचार करें:

• सिस्टम ए: $y(t)=tx(t)$
• सिस्टम बी: $y(t)=10x(t)$

सिस्टम फ़ंक्शन के बाद से $y(t)$ सिस्टम ए के लिए स्पष्ट रूप से टी के बाहर निर्भर करता है $x(t)$, यह समय-अपरिवर्तनीय नहीं है क्योंकि समय-निर्भरता स्पष्ट रूप से इनपुट फ़ंक्शन का कार्य नहीं है।

इसके विपरीत, सिस्टम बी की समय-निर्भरता केवल समय-भिन्न इनपुट का एक कार्य है $x(t)$. यह सिस्टम बी को समय-अपरिवर्तनीय बनाता है।

नीचे दिया गया औपचारिक उदाहरण अधिक विस्तार से दिखाता है कि जबकि सिस्टम बी समय के कार्य के रूप में एक शिफ्ट-इनवेरिएंट सिस्टम है, टी, सिस्टम ए नहीं है।

औपचारिक उदाहरण

सिस्टम A और B ऊपर क्यों भिन्न हैं, इसका एक अधिक औपचारिक प्रमाण अब प्रस्तुत किया गया है। इस प्रमाण को करने के लिए दूसरी परिभाषा का उपयोग किया जाएगा।

सिस्टम A: इनपुट की देरी से शुरू करें $x_{d}(t)=x(t+\delta )$

$y(t)=tx(t)$

$y_{1}(t)=tx_{d}(t)=tx(t+\delta )$

अब आउटपुट में देरी करें $\delta$

$y(t)=tx(t)$

$y_{2}(t)=y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )$

स्पष्ट रूप से $y_{1}(t)\neq y_{2}(t)$, इसलिए सिस्टम समय-अपरिवर्तनीय नहीं है।

सिस्टम B: इनपुट की देरी से शुरू करें $x_{d}(t)=x(t+\delta )$

$y(t)=10x(t)$

$y_{1}(t)=10x_{d}(t)=10x(t+\delta )$

अब आउटपुट में देरी करें $\delta$

$y(t)=10x(t)$

$y_{2}(t)=y(t+\delta )=10x(t+\delta )$

स्पष्ट रूप से $y_{1}(t)=y_{2}(t)$, इसलिए प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय है।

अधिक सामान्यतः, इनपुट और आउटपुट के बीच संबंध है

$y(t)=f(x(t),t),$

और समय के साथ इसकी भिन्नता है

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}.$

समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों के लिए, सिस्टम गुण समय के साथ स्थिर रहते हैं,

${\frac {\partial f}{\partial t}}=0.$ उपरोक्त सिस्टम A और B पर लागू:

$f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0$ सामान्य तौर पर, इसलिए यह समय-अपरिवर्तनीय नहीं है,

$f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0$ तो यह समय-अपरिवर्तनीय है।

सार उदाहरण

हम शिफ्ट ऑपरेटर को निरूपित कर सकते हैं $\mathbb {T} _{r}$ कहाँ $r$ वह राशि है जिसके द्वारा वेक्टर के पैरामीटर को स्थानांतरित किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, एडवांस-बाय -1 सिस्टम

$x(t+1)=\delta (t+1)*x(t)$

द्वारा इस सार अंकन में दर्शाया जा सकता है

${\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}{\tilde {x}}$

कहाँ ${\tilde {x}}$ द्वारा दिया गया एक कार्य है

${\tilde {x}}=x(t)\forall t\in \mathbb {R}$

शिफ्ट आउटपुट देने वाली प्रणाली के साथ

${\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\forall t\in \mathbb {R}$

इसलिए $\mathbb {T} _{1}$ एक ऑपरेटर है जो इनपुट वेक्टर को 1 से आगे बढ़ाता है।

मान लीजिए हम एक ऑपरेटर द्वारा एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं (गणित) $\mathbb {H}$. यह सिस्टम टाइम-इनवेरिएंट है अगर यह शिफ्ट ऑपरेटर के साथ कम्यूटेटिव ऑपरेशन है, यानी,

$\mathbb {T} _{r}\mathbb {H} =\mathbb {H} \mathbb {T} _{r}\forall r$

यदि हमारा सिस्टम समीकरण द्वारा दिया गया है

${\tilde {y}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}$

यदि हम सिस्टम ऑपरेटर को लागू कर सकते हैं तो यह समय-अपरिवर्तनीय है $\mathbb {H}$ पर ${\tilde {x}}$ उसके बाद शिफ्ट ऑपरेटर $\mathbb {T} _{r}$, या हम शिफ्ट ऑपरेटर लागू कर सकते हैं $\mathbb {T} _{r}$ सिस्टम ऑपरेटर द्वारा पीछा किया $\mathbb {H}$, दो संगणनाओं के बराबर परिणाम देने के साथ।

सिस्टम ऑपरेटर को लागू करने से पहले देता है

$\mathbb {T} _{r}\mathbb {H} {\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}$

शिफ्ट ऑपरेटर को लागू करने से पहले देता है

$\mathbb {H} \mathbb {T} _{r}{\tilde {x}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}$

यदि सिस्टम समय-अपरिवर्तनीय है, तो

$\mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}$

यह भी देखें

• परिमित आवेग प्रतिक्रिया
• शेफ़र अनुक्रम
• राज्य स्थान (नियंत्रण)
• सिग्नल-फ्लो ग्राफ
• एलटीआई प्रणाली सिद्धांत
• स्वायत्त प्रणाली (गणित)