रैखिक प्रणाली

This article is about the systems theory concept. For the linear algebra concept, see System of linear equations. For the algebraic geometry concept, see Linear system of divisors. For the tactical formation, see Line (formation).

सिस्टम सिद्धांत में, एक रैखिक प्रणाली एक रैखिक ऑपरेटर के उपयोग के आधार पर एक प्रणाली का गणितीय मॉडल है। रैखिक सिस्टम आम तौर पर ऐसी विशेषताएं और गुण प्रदर्शित करते हैं जो गैर-रेखीय मामले की तुलना में बहुत सरल होते हैं। गणितीय अमूर्तता या आदर्शीकरण के रूप में, रैखिक सिस्टम स्वचालित नियंत्रण सिद्धांत, संकेत आगे बढ़ाना और दूरसंचार में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग पाते हैं। उदाहरण के लिए, वायरलेस संचार प्रणालियों के लिए प्रसार माध्यम अक्सर हो सकता है रैखिक प्रणालियों द्वारा प्रतिरूपित।

परिभाषा

एक नियतात्मक निरंतर-समय एसआईएसओ प्रणाली के लिए additivity संपत्ति को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। सिस्टम एडिटिविटी प्रॉपर्टी को संतुष्ट करता है या एडिटिव है यदि और केवल यदि $y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)$ हमेशा के लिए $t$ और सभी इनपुट के लिए $x_{1}(t)$ और $x_{2}(t)$. इसे विस्तृत करने के लिए छवि पर क्लिक करें।

एक नियतात्मक निरंतर-समय एसआईएसओ प्रणाली के लिए एकरूपता संपत्ति को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। सिस्टम समरूपता संपत्ति को संतुष्ट करता है या यदि और केवल यदि सजातीय है $y_{2}(t)=a\,y_{1}(t)$ हमेशा के लिए $t$, सभी वास्तविक स्थिरांक के लिए $a$ और सभी इनपुट के लिए $x_{1}(t)$. इसे विस्तृत करने के लिए छवि पर क्लिक करें।

एक नियतात्मक निरंतर-समय एसआईएसओ प्रणाली के लिए सुपरपोजिशन सिद्धांत को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। प्रणाली सुपरपोजिशन सिद्धांत को संतुष्ट करती है और इस प्रकार रैखिक है यदि और केवल यदि $y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)$ हमेशा के लिए $t$, सभी वास्तविक स्थिरांकों के लिए $a_{1}$ और $a_{2}$ और सभी इनपुट के लिए $x_{1}(t)$ और $x_{2}(t)$. इसे विस्तृत करने के लिए छवि पर क्लिक करें।

एक सामान्य नियतिवादी प्रणाली (गणित) का वर्णन एक ऑपरेटर द्वारा किया जा सकता है, H, जो एक इनपुट को मैप करता है, x(t), के एक कार्य के रूप में t एक आउटपुट के लिए, y(t), एक प्रकार का ब्लैक बॉक्स (सिस्टम) विवरण।

एक प्रणाली रैखिक है यदि और केवल यदि यह सुपरपोजिशन सिद्धांत, या समतुल्यता और समरूपता गुणों दोनों को बिना किसी प्रतिबंध के संतुष्ट करती है (अर्थात, सभी इनपुट, सभी स्केलिंग स्थिरांक और सभी समय के लिए।)

सुपरपोज़िशन सिद्धांत का अर्थ है कि सिस्टम में इनपुट का एक रैखिक संयोजन व्यक्तिगत इनपुट के अनुरूप व्यक्तिगत शून्य-स्थिति आउटपुट (यानी प्रारंभिक स्थितियों को शून्य पर सेट करने वाले आउटपुट) का एक रैखिक संयोजन उत्पन्न करता है।

एक ऐसी प्रणाली में जो समरूपता संपत्ति को संतुष्ट करती है, इनपुट को स्केल करने से हमेशा एक ही कारक द्वारा शून्य-स्थिति प्रतिक्रिया को स्केल किया जाता है।ऐसी प्रणाली में जो एडिटिविटी प्रॉपर्टी को संतुष्ट करती है, दो इनपुट जोड़ने से हमेशा व्यक्तिगत इनपुट के कारण संबंधित दो शून्य-स्थिति प्रतिक्रियाएं जुड़ती हैं।

गणितीय रूप से, एक सतत समय प्रणाली के लिए, दो मनमाने इनपुट दिए गए हैं

$${\begin{aligned}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{aligned}}$$

साथ ही उनके संबंधित शून्य-अवस्था आउटपुट

$${\begin{aligned}y_{1}(t)&=H\left\{x_{1}(t)\right\}\\y_{2}(t)&=H\left\{x_{2}(t)\right\}\end{aligned}}$$

तो एक रैखिक प्रणाली को संतुष्ट करना होगा

$$\alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}$$

किसी भी अदिश (गणित) मान के लिए α और β, किसी भी इनपुट सिग्नल के लिए x₁(t) और x₂(t), और हर समय के लिए t.

फिर सिस्टम को समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है H(x(t)) = y(t), कहाँ y(t) समय का कुछ मनमाना कार्य है, और x(t) सिस्टम स्थिति है. दिया गया y(t) और H, सिस्टम के लिए समाधान किया जा सकता है x(t).

जटिल इनपुट के अधीन परिणामी प्रणाली के व्यवहार को सरल इनपुट की प्रतिक्रियाओं के योग के रूप में वर्णित किया जा सकता है। अरेखीय प्रणालियों में, ऐसा कोई संबंध नहीं है। यह गणितीय गुण कई गैर-रेखीय प्रणालियों की तुलना में मॉडलिंग समीकरणों के समाधान को सरल बनाता है। समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली के लिए | समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली यह आवेग प्रतिक्रिया या आवृत्ति प्रतिक्रिया विधियों (एलटीआई सिस्टम सिद्धांत देखें) का आधार है, जो एक सामान्य इनपुट फ़ंक्शन का वर्णन करती है x(t) इकाई आवेगों या आवृत्ति घटकों के संदर्भ में।

रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली के विशिष्ट अंतर समीकरण | समय-अपरिवर्तनीय सिस्टम निरंतर फ़ंक्शन मामले में लाप्लास परिवर्तन और असतत गणित मामले में जेड-परिवर्तन (विशेष रूप से कंप्यूटर कार्यान्वयन में) का उपयोग करके विश्लेषण के लिए अच्छी तरह से अनुकूलित होते हैं।

एक अन्य परिप्रेक्ष्य यह है कि रैखिक प्रणालियों के समाधान में फ़ंक्शन (गणित) की एक प्रणाली शामिल होती है जो ज्यामितीय अर्थ में वेक्टर (ज्यामितीय) की तरह कार्य करती है।

रैखिक मॉडल का एक सामान्य उपयोग रैखिककरण द्वारा एक गैर-रेखीय प्रणाली का वर्णन करना है। यह आमतौर पर गणितीय सुविधा के लिए किया जाता है।

रैखिक प्रणाली की पिछली परिभाषा SISO (एकल-इनपुट एकल-आउटपुट) प्रणालियों पर लागू होती है। MIMO (मल्टीपल-इनपुट मल्टीपल-आउटपुट) सिस्टम के लिए, इनपुट और आउटपुट सिग्नल वैक्टर (${\mathbf {x} }_{1}(t)$, ${\mathbf {x} }_{2}(t)$, ${\mathbf {y} }_{1}(t)$, ${\mathbf {y} }_{2}(t)$) को इनपुट और आउटपुट सिग्नल के बजाय माना जाता है ($x_{1}(t)$, $x_{2}(t)$, $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$.)

एक रैखिक प्रणाली की यह परिभाषा गणना में एक रैखिक अंतर समीकरण और रैखिक बीजगणित में एक रैखिक मानचित्र की परिभाषा के अनुरूप है।

उदाहरण

एक सरल हार्मोनिक थरथरानवाला अंतर समीकरण का पालन करता है:

$$m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx.$$

अगर

$$H(x(t))=m{\frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t),$$

तब H एक रैखिक संचालिका है. दे y(t) = 0, हम अवकल समीकरण को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं H(x(t)) = y(t), जो दर्शाता है कि एक साधारण हार्मोनिक ऑसिलेटर एक रैखिक प्रणाली है।

रैखिक प्रणालियों के अन्य उदाहरणों में वर्णित उदाहरण शामिल हैं $y(t)=k\,x(t)$, $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$, $y(t)=k\,\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm {d} \tau$, और साधारण रैखिक अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित कोई भी प्रणाली।द्वारा वर्णित प्रणालियाँ $y(t)=k$, $y(t)=k\,x(t)+k_{0}$, $y(t)=\sin {[x(t)]}$, $y(t)=\cos {[x(t)]}$, $y(t)=x^{2}(t)$, ${\textstyle y(t)={\sqrt {x(t)}}}$, $y(t)=|x(t)|$, और विषम-समरूपता आउटपुट वाली एक प्रणाली जिसमें एक रैखिक क्षेत्र और एक संतृप्ति (स्थिर) क्षेत्र शामिल है, गैर-रैखिक हैं क्योंकि वे हमेशा सुपरपोजिशन सिद्धांत को संतुष्ट नहीं करते हैं।

एक रैखिक प्रणाली के आउटपुट बनाम इनपुट ग्राफ़ को मूल के माध्यम से एक सीधी रेखा होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, द्वारा वर्णित एक प्रणाली पर विचार करें $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ (जैसे कि एक स्थिर-समाई संधारित्र या एक स्थिर-प्रेरकत्व प्रारंभ करनेवाला)। यह रैखिक है क्योंकि यह सुपरपोज़िशन सिद्धांत को संतुष्ट करता है। हालाँकि, जब इनपुट एक साइनसॉइड होता है, तो आउटपुट भी एक साइनसॉइड होता है, और इसलिए इसका आउटपुट-इनपुट प्लॉट मूल से गुजरने वाली सीधी रेखा के बजाय मूल पर केंद्रित एक दीर्घवृत्त होता है।

इसके अलावा, एक रैखिक प्रणाली के आउटपुट में हार्मोनिक विश्लेषण हो सकता है (और इनपुट की तुलना में छोटी मौलिक आवृत्ति होती है) भले ही इनपुट एक साइनसॉइड हो। उदाहरण के लिए, द्वारा वर्णित एक प्रणाली पर विचार करें $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$. यह रैखिक है क्योंकि यह सुपरपोज़िशन सिद्धांत को संतुष्ट करता है। हालाँकि, जब इनपुट फॉर्म का साइनसॉइड होता है $x(t)=\cos {(3t)}$, List_of_trigonometric_identities#Product-to-sum_and_sum-to-product_identities|product-to-sum त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि आउटपुट है $y(t)=1.5\cos {(3t)}+0.5\cos {(2t)}+0.5\cos {(4t)}$, अर्थात्, आउटपुट में केवल इनपुट के समान आवृत्ति के साइनसॉइड शामिल नहीं होते हैं (3 rad/s), लेकिन इसके बजाय आवृत्तियों के साइनसॉइड भी 2 rad/s और 4 rad/s; इसके अलावा, आउटपुट के साइनसोइड्स की मौलिक अवधि का कम से कम सामान्य गुणक लेते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि आउटपुट की मौलिक कोणीय आवृत्ति है 1 rad/s, जो इनपुट से भिन्न है।

समय-परिवर्तनशील आवेग प्रतिक्रिया

समय-परिवर्तनशील आवेग प्रतिक्रिया h(t₂, t₁) एक रैखिक प्रणाली को समय t = t पर प्रणाली की प्रतिक्रिया के रूप में परिभाषित किया गया है₂ समय पर लागू एकल आवेग फ़ंक्शन के लिए t = t₁. दूसरे शब्दों में, यदि इनपुट x(t) एक रैखिक प्रणाली के लिए है

$$x(t)=\delta (t-t_{1})$$

कहाँ δ(t) डिराक डेल्टा फ़ंक्शन और संबंधित प्रतिक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है y(t) सिस्टम का है

$$y(t=t_{2})=h(t_{2},t_{1})$$

फिर फ़ंक्शन h(t₂, t₁) सिस्टम की समय-परिवर्तनशील आवेग प्रतिक्रिया है। चूंकि इनपुट लागू होने से पहले सिस्टम प्रतिक्रिया नहीं दे सकता है, इसलिए निम्नलिखित कार्य-कारण स्थिति को पूरा किया जाना चाहिए:

$$h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}$$

कन्वोल्यूशन इंटीग्रल

किसी भी सामान्य निरंतर-समय रैखिक प्रणाली का आउटपुट एक इंटीग्रल द्वारा इनपुट से संबंधित होता है जिसे कार्य-कारण की स्थिति के कारण दोगुनी अनंत सीमा पर लिखा जा सकता है:

$$y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t')x(t')dt'$$

यदि सिस्टम के गुण उस समय पर निर्भर नहीं करते जिस पर यह संचालित होता है तो इसे समय-अपरिवर्तनीय कहा जाता है और h केवल समय के अंतर का एक फलन है τ = t − t' जिसके लिए शून्य है τ < 0 (अर्थात् t < t' ). की पुनर्परिभाषा द्वारा h फिर इनपुट-आउटपुट संबंध को किसी भी तरीके से समकक्ष रूप से लिखना संभव है,

$$y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau$$

रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों को आमतौर पर आवेग प्रतिक्रिया फ़ंक्शन के लाप्लास परिवर्तन की विशेषता होती है जिसे ट्रांसफर फ़ंक्शन कहा जाता है जो है:

$$H(s)=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt.$$

अनुप्रयोगों में यह आमतौर पर एक तर्कसंगत बीजगणितीय कार्य है s. क्योंकि h(t)नकारात्मक के लिए शून्य है t, समाकलन को दोगुनी अनंत सीमा और पुटिंग पर समान रूप से लिखा जा सकता है s = iω आवृत्ति प्रतिक्रिया फ़ंक्शन के लिए सूत्र का अनुसरण करता है:

$$H(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i\omega t}dt$$

असतत-समय प्रणाली

किसी भी असतत समय रैखिक प्रणाली का आउटपुट समय-परिवर्तनीय कनवल्शन योग द्वारा इनपुट से संबंधित है:

$$y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}$$

या पुनर्परिभाषित करने पर समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली के लिए समकक्ष h,

$$y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}$$

कहाँ

$$k=n-m$$

समय m पर उत्तेजना और समय n पर प्रतिक्रिया के बीच अंतराल समय का प्रतिनिधित्व करता है।

यह भी देखें

• अपरिवर्तनीय प्रणाली को बदलें
• रैखिक नियंत्रण
• रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली
• अरेखीय प्रणाली
• प्रणाली विश्लेषण
• रैखिक समीकरणों की प्रणाली

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