समरूपता सिद्धांत

होमोटोपी सिद्धांत ऐसे परिणामों को सामान्यीकृत करता है जैसे स्मेल का क्षेत्र विवर्तन का प्रमाण।

गणित में, होमोटॉपी सिद्धांत (या एच-सिद्धांत) आंशिक अंतर समीकरणों (पीडीई) और अधिक सामान्यतः आंशिक अंतर संबंधों (पीडीआर) को हल करने का एक बहुत ही सामान्य तरीका है। एच-सिद्धांत कम निर्धारित प्रणाली पीडीई या पीडीआर, जैसे विसर्जन समस्या, आइसोमेट्रिक विसर्जन समस्या, द्रव गतिशीलता और अन्य क्षेत्रों के लिए अच्छा है।

इस सिद्धांत की शुरुआत याकोव एलियाशबर्ग, मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) और एंथोनी वी. फिलिप्स ने की थी। यह पहले के परिणामों पर आधारित था जिसने विशेष रूप से विसर्जन के लिए समरूपता में आंशिक अंतर संबंधों को कम कर दिया था। एच-सिद्धांत का पहला प्रमाण व्हिटनी-ग्राउस्टीन प्रमेय में सामने आया। इसके बाद नैश-कुइपर आइसोमेट्रिक सी आया¹ एम्बेडिंग प्रमेय और स्मेल-हिर्श विसर्जन प्रमेय।

कठिन विचार

मान लें कि हम 'R' पर एक फ़ंक्शन खोजना चाहते हैं^m जो निर्देशांक में डिग्री k के आंशिक अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है $(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})$ . कोई इसे फिर से लिख सकता है

\Psi (u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},J_{f}^{k})=0

कहाँ $J_{f}^{k}$ ऑर्डर k तक के सभी आंशिक व्युत्पन्नों को दर्शाता है। आइए हम प्रत्येक चर का आदान-प्रदान करें $J_{f}^{k}$ नए स्वतंत्र चर के लिए $y_{1},y_{2},\dots ,y_{N}.$ तब हमारे मूल समीकरण को एक प्रणाली के रूप में सोचा जा सकता है

\Psi _{}^{}(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},y_{1},y_{2},\dots ,y_{N})=0

और निम्नलिखित प्रकार के कुछ समीकरण

y_{j}={\partial ^{k}f \over \partial u_{j_{1}}\ldots \partial u_{j_{k}}}.

का एक समाधान

\Psi _{}^{}(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},y_{1},y_{2},\dots ,y_{N})=0

एक गैर-होलोनोमिक समाधान कहा जाता है, और सिस्टम का एक समाधान जो हमारे मूल पीडीई का समाधान भी है उसे होलोनोमिक समाधान कहा जाता है।

यह जांचने के लिए कि क्या हमारे मूल समीकरण का कोई समाधान मौजूद है, कोई पहले यह जांच सकता है कि क्या कोई गैर-होलोनोमिक समाधान है। आमतौर पर यह काफी आसान है, और यदि कोई गैर-होलोनोमिक समाधान नहीं है, तो हमारे मूल समीकरण में कोई समाधान नहीं था।

एक पीडीई एच-सिद्धांत को संतुष्ट करता है यदि किसी गैर-होलोनोमिक समाधान को गैर-होलोनोमिक समाधानों की श्रेणी में एक होलोनोमिक समाधान में समरूप बनाया जा सकता है। इस प्रकार एच-सिद्धांत की उपस्थिति में, एक विभेदक टोपोलॉजिकल समस्या एक बीजगणितीय टोपोलॉजिकल समस्या में बदल जाती है। अधिक स्पष्ट रूप से इसका मतलब यह है कि टोपोलॉजिकल बाधा के अलावा होलोनोमिक समाधान के अस्तित्व में कोई अन्य बाधा नहीं है। गैर-होलोनोमिक समाधान खोजने की टोपोलॉजिकल समस्या को संभालना बहुत आसान है और इसे टोपोलॉजिकल बंडलों के लिए बाधा सिद्धांत के साथ संबोधित किया जा सकता है।

कई अनिर्धारित आंशिक अंतर समीकरण एच-सिद्धांत को संतुष्ट करते हैं। हालाँकि, एच-सिद्धांत की मिथ्याता भी एक दिलचस्प बयान है, सहज रूप से इसका मतलब है कि जिन वस्तुओं का अध्ययन किया जा रहा है उनमें गैर-तुच्छ ज्यामिति है जिसे टोपोलॉजी में कम नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के तौर पर, सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड में एंबेडेड लैग्रेंजियन सबमैनिफोल्ड एक एच-सिद्धांत को संतुष्ट नहीं करता है, इसे साबित करने के लिए स्यूडोहोलोमोर्फिक वक्र|स्यूडो-होलोमोर्फिक कर्व्स से आने वाले इनवेरिएंट को खोजने की जरूरत है।

सरल उदाहरण

मोनोटोन फ़ंक्शन

शायद सबसे सरल आंशिक अंतर संबंध यह है कि व्युत्पन्न गायब न हो: $f'(x)\neq 0.$ ठीक से, यह एक सामान्य अंतर संबंध है, क्योंकि यह एक चर में एक फ़ंक्शन है।

इस संबंध का एक होलोनोमिक समाधान एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसका व्युत्पन्न कहीं भी गायब नहीं हो रहा है, यानी एक सख्ती से मोनोटोन अलग-अलग फ़ंक्शन, या तो बढ़ रहा है या घट रहा है। ऐसे कार्यों के स्थान में दो असंयुक्त उत्तल सेट होते हैं: बढ़ते हुए और घटते हुए, और इसमें दो बिंदुओं का समरूप प्रकार होता है।

इस संबंध के एक गैर-होलोनोमिक समाधान में दो कार्यों का डेटा शामिल होगा, एक भिन्न फ़ंक्शन f(x), और एक सतत फ़ंक्शन g(x), जिसमें g(x) कहीं गायब नहीं होगा। एक होलोनोमिक समाधान g(x) = f'(x) लेकर एक गैर-होलोनोमिक समाधान को जन्म देता है। गैर-होलोनोमिक समाधानों के स्थान में फिर से दो असंयुक्त उत्तल सेट होते हैं, जैसा कि g(x) सकारात्मक या नकारात्मक है।

इस प्रकार गैर-होलोनोमिक समाधानों में होलोनोमिक का समावेश एच-सिद्धांत को संतुष्ट करता है।

व्हिटनी-ग्राउस्टीन प्रमेय से पता चलता है कि विमान में वृत्त का विसर्जन एक एच-सिद्धांत को संतुष्ट करता है, जिसे मोड़ संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है।

इस तुच्छ उदाहरण में गैर-तुच्छ सामान्यीकरण हैं:

इसे एक वृत्त के विसर्जन तक विस्तारित करके उन्हें क्रम (या घुमावदार संख्या) के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है, मानचित्र को सार्वभौमिक कवरिंग स्थान पर उठाकर और उपरोक्त विश्लेषण को परिणामी मोनोटोन मानचित्र पर लागू करके - रैखिक मानचित्र गुणा कोण से मेल खाता है: $\theta \mapsto n\theta$ ( $z\mapsto z^{n}$ सम्मिश्र संख्याओं में)। ध्यान दें कि यहां ऑर्डर 0 का कोई विसर्जन नहीं है, क्योंकि उन्हें खुद को वापस चालू करने की आवश्यकता होगी। इसे समतल में डूबे हुए वृत्तों तक विस्तारित करना - विसर्जन की स्थिति ठीक वही स्थिति है कि व्युत्पन्न गायब नहीं होता है - व्हिटनी-ग्राउस्टीन प्रमेय ने गॉस मानचित्र के होमोटॉपी वर्ग पर विचार करके संख्याओं को बदलकर इन्हें वर्गीकृत किया है और दिखाया है कि यह एक एच को संतुष्ट करता है- सिद्धांत; यहाँ फिर से क्रम 0 अधिक जटिल है।

स्फ़ेल मैनिफोल्ड्स के समरूप समूहों के रूप में गोले के विसर्जन का स्माले का वर्गीकरण, और फ़्रेम बंडल ों के मानचित्रों के समरूप वर्गों के रूप में वर्गीकृत किए जाने वाले मैनिफोल्ड्स के विसर्जन के लिए हिर्श का सामान्यीकरण बहुत आगे तक पहुंचने वाले सामान्यीकरण हैं, और बहुत अधिक शामिल हैं, लेकिन सिद्धांत में समान हैं - विसर्जन के लिए व्युत्पन्न को रैंक k की आवश्यकता होती है, जिसके लिए प्रत्येक दिशा में आंशिक व्युत्पन्न को गायब नहीं होने और रैखिक रूप से स्वतंत्र होने की आवश्यकता होती है, और गॉस मानचित्र का परिणामी एनालॉग स्टिफ़ेल मैनिफ़ोल्ड का मानचित्र होता है, या अधिक सामान्यतः फ्रेम बंडलों के बीच होता है।

विमान में एक कार

एक अन्य सरल उदाहरण के रूप में, विमान में चलती एक कार पर विचार करें। विमान में कार की स्थिति तीन मापदंडों द्वारा निर्धारित की जाती है: दो निर्देशांक $x$ और $y$ स्थान के लिए (एक अच्छा विकल्प पिछले पहियों के बीच मध्यबिंदु का स्थान है) और एक कोण $\alpha$ जो कार के ओरिएंटेशन का वर्णन करता है। कार की गति समीकरण को संतुष्ट करती है

{\dot {x}}\sin \alpha ={\dot {y}}\cos \alpha .

चूँकि एक नॉन-स्किडिंग कार को अपने पहियों की दिशा में चलना चाहिए। रोबोटिक्स के संदर्भ में, कार्य स्थान के सभी पथ होलोनोमिक (रोबोटिक्स) नहीं हैं।

इस मामले में एक गैर-होलोनोमिक समाधान, मोटे तौर पर बोलते हुए, विमान में फिसलने से कार की गति से मेल खाता है। इस मामले में गैर-होलोनोमिक समाधान न केवल होलोनोमिक समाधानों के लिए समरूप हैं, बल्कि उन्हें होलोनोमिक समाधानों द्वारा मनमाने ढंग से अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है (सीमित स्थान में समानांतर पार्किंग की तरह, आगे और पीछे जाकर) - ध्यान दें कि यह स्थिति और दोनों का अनुमान लगाता है कार का कोण मनमाने ढंग से बारीकी से। इसका तात्पर्य यह है कि, सैद्धांतिक रूप से, आपकी कार की लंबाई से अधिक लंबी किसी भी जगह पर समानांतर पार्क करना संभव है। इसका तात्पर्य यह भी है कि, संपर्क 3 मैनिफोल्ड में, कोई भी वक्र होता है $C^{0}$ -लेजेंडरी गाँठ वक्र के करीब। यह अंतिम संपत्ति सामान्य एच-सिद्धांत से अधिक मजबूत है; इसे कहा जाता है $C^{0}$ -घना एच-सिद्धांत।

हालांकि यह उदाहरण सरल है, नैश एम्बेडिंग प्रमेय की तुलना करें, विशेष रूप से नैश-कुइपर प्रमेय की, जो कहता है कि कोई भी छोटा नक्शा सुचारू ( $C^{\infty }$ ) एम्बेडिंग या विसर्जन $M^{m}$ में $\mathbf {R} ^{m+1}$ या उससे बड़े को एक आइसोमेट्रिक द्वारा मनमाने ढंग से अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है $C^{1}$ -एम्बेडिंग (क्रमशः, विसर्जन)। यह भी एक सघन एच-सिद्धांत है, और विमान में कार के लिए अनिवार्य रूप से समान झुर्रियों - या बल्कि, चक्कर लगाने - तकनीक द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, हालांकि यह बहुत अधिक शामिल है।

एच-सिद्धांत को सिद्ध करने के तरीके

ग्रोमोव और एलियाशबर्ग द्वारा विकसित सिंगुलैरिटीज़ तकनीक को हटाना
स्माले और हिर्श के काम पर आधारित शीफ़ तकनीक।^[1]^[2]
नैश और कुइपर के काम पर आधारित उत्तल एकीकरण।^[3]^[4]^[5]

कुछ विरोधाभास

यहां हम कुछ प्रति-सहज ज्ञान युक्त परिणाम सूचीबद्ध करते हैं जिन्हें लागू करके सिद्ध किया जा सकता है एच-सिद्धांत:

शंकु विवर्तन.^[6] 'R' पर फलन f पर विचार करें² बिना मूल के f(x)= |x| फिर कार्यों का एक सतत एक-पैरामीटर परिवार होता है $f_{t}$ ऐसा है कि $f_{0}=f$ , $f_{1}=-f$ और किसी के लिए भी $t$ , $\operatorname {grad} (f_{t})$ किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं है.
कोई भी खुला मैनिफोल्ड सकारात्मक (या नकारात्मक) वक्रता के (गैर-पूर्ण) रीमैनियन मीट्रिक को स्वीकार करता है।
बिना क्रीज़िंग या फाड़े गोलाकार उत्क्रमण का उपयोग किया जा सकता है $C^{1}$ का विसर्जन $S^{2}$ .
नैश-कुइपर प्रमेय|नैश-कुइपर सी¹आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग प्रमेय, विशेष रूप से तात्पर्य यह है कि एक है $C^{1}$ दौर का सममितीय विसर्जन $S^{2}$ की एक मनमाने ढंग से छोटी गेंद में $\mathbb {R} ^{3}$ . यह विसर्जन नहीं हो सकता $C^{2}$ क्योंकि एक छोटा दोलन क्षेत्र मुख्य वक्रता के लिए एक बड़ी निचली सीमा प्रदान करेगा, और इसलिए डूबे हुए गोले की गॉस वक्रता के लिए, लेकिन दूसरी ओर यदि विसर्जन होता है $C^{2}$ यह हर जगह 1 के बराबर होना चाहिए, मानक की गॉस वक्रता $S^{2}$ , गॉस के प्रमेय एग्रेगियम द्वारा

संदर्भ

↑ M. W. Hirsch, Immersions of manifold. Trans. Amer. Math. Soc. 93 (1959)
↑ S. Smale, The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces. Ann. of Math(2) 69 (1959)
↑ John Nash, $C^{1}$ Isometric Imbedding. Ann. of Math(2) 60 (1954)
↑ N. Kuiper, On $C^{1}$ Isometric Imbeddings I, II. Nederl. Acad. Wetensch. Proc. Ser A 58 (1955)
↑ David Spring, Convex integration theory - solutions to the h-principle in geometry and topology, Monographs in Mathematics 92, Birkhauser-Verlag, 1998
↑ D. Fuchs, S. Tabachnikov, Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics

अग्रिम पठन

Masahisa Adachi, Embeddings and immersions, translation Kiki Hudson
Eliashberg, Y.; Mishachev, N.; Ariki, S. (2002). Introduction to the h-principle. American Mathematical Society. ISBN 9780821832271.
Gromov, M. (1986). Partial differential relations. Springer. ISBN 3-540-12177-3.
De Lellis, Camillo; Székelyhidi, László Jr. (2012). "The h-principle and the equations of fluid dynamics". Bull. Amer. Math. Soc. 49: 347–375. doi:10.1090/S0273-0979-2012-01376-9.

[1] M. W. Hirsch, Immersions of manifold. Trans. Amer. Math. Soc. 93 (1959)

[2] S. Smale, The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces. Ann. of Math(2) 69 (1959)

[3] John Nash, $C^{1}$ Isometric Imbedding. Ann. of Math(2) 60 (1954)

[4] N. Kuiper, On $C^{1}$ Isometric Imbeddings I, II. Nederl. Acad. Wetensch. Proc. Ser A 58 (1955)

[5] David Spring, Convex integration theory - solutions to the h-principle in geometry and topology, Monographs in Mathematics 92, Birkhauser-Verlag, 1998

[6] D. Fuchs, S. Tabachnikov, Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics

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