सहअस्तित्व

गणित में, एक समुच्चय का एक सह-परिमित उपसमुच्चय $X$ एक उपसमुच्चय है $A$ जिसका पूरक (सेट सिद्धांत) में है $X$ एक परिमित समुच्चय है. दूसरे शब्दों में, $A$ इसमें सीमित रूप से अनेक तत्वों को छोड़कर सभी शामिल हैं $X.$ यदि पूरक परिमित नहीं है, बल्कि गणनीय है, तो कोई कहता है कि समुच्चय सहगणनीय है।

ये स्वाभाविक रूप से तब उत्पन्न होते हैं जब परिमित सेटों पर संरचनाओं को अनंत सेटों में सामान्यीकृत किया जाता है, विशेष रूप से अनंत उत्पादों पर, जैसे #उत्पाद टोपोलॉजी या #डायरेक्ट योग में।

उपसर्ग का यह प्रयोगco किसी सेट के पूरक (सेट सिद्धांत) के पास मौजूद संपत्ति का वर्णन करना|coकार्यान्वयन अन्य शर्तों जैसे तुलनात्मक सेट में इसके उपयोग के अनुरूप है|coअल्प सेट।

बूलियन बीजगणित

के सभी उपसमुच्चय का समुच्चय $X$ जो या तो परिमित हैं या सह-परिमित हैं, एक बूलियन बीजगणित (संरचना) बनाते हैं, जिसका अर्थ है कि यह संघ (गणित), प्रतिच्छेदन और पूरकता के संचालन के तहत बंद है। यह बूलियन बीजगणित हैfinite–cofinite algebra पर $X.$ एक बूलियन बीजगणित $A$ एक अद्वितीय गैर-प्रमुख अल्ट्राफ़िल्टर है (अर्थात, एक अधिकतम फ़िल्टर जो बीजगणित के एक भी तत्व द्वारा उत्पन्न नहीं होता है) यदि और केवल यदि कोई अनंत सेट मौजूद है $X$ ऐसा है कि $A$ परिमित-कोफिनिट बीजगणित के लिए समरूपी है $X.$ इस मामले में, गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर सभी सह-परिमित सेटों का सेट है।

कोफिनिट टोपोलॉजी

कोफिनिट टोपोलॉजी (कभी-कभी परिमित पूरक टोपोलॉजी भी कहा जाता है) एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसे हर सेट पर परिभाषित किया जा सकता है $X.$ इसमें बिल्कुल खाली सेट और सभी सह-परिमित उपसमुच्चय हैं $X$ खुले सेट के रूप में. परिणामस्वरूप, कोफिनिट टोपोलॉजी में, एकमात्र बंद उपसमुच्चय परिमित सेट या संपूर्ण होते हैं $X.$ प्रतीकात्मक रूप से, कोई टोपोलॉजी को इस प्रकार लिखता है

{\mathcal {T}}=\{A\subseteq X:A=\varnothing {\mbox{ or }}X\setminus A{\mbox{ is finite}}\}.

यह टोपोलॉजी स्वाभाविक रूप से ज़ारिस्की टोपोलॉजी के संदर्भ में होती है। चूँकि एक क्षेत्र में एक चर में बहुपद (गणित)

K

परिमित समुच्चय या संपूर्ण पर शून्य होते हैं

K,

ज़ारिस्की टोपोलॉजी पर

K

(एफ़िन लाइन के रूप में माना जाता है) कोफिनिट टोपोलॉजी है। किसी भी इरेड्यूसिबल घटक बीजगणितीय वक्र के लिए भी यही सच है; यह सच नहीं है, उदाहरण के लिए, के लिए

XY=0

प्लेन में।

गुण

सबस्पेस: कोफिनिट टोपोलॉजी की प्रत्येक सबस्पेस टोपोलॉजी भी एक कोफिनिट टोपोलॉजी है।
सघनता: चूंकि प्रत्येक खुले सेट में सीमित संख्या को छोड़कर बाकी सभी बिंदु होते हैं $X,$ अंतरिक्ष $X$ कॉम्पैक्ट सेट और क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट है।
पृथक्करण: सह-परिमित टोपोलॉजी टी1 स्पेस|टी को संतुष्ट करने वाली टोपोलॉजी की तुलना है₁ स्वयंसिद्ध; अर्थात्, यह सबसे छोटी टोपोलॉजी है जिसके लिए प्रत्येक सिंगलटन सेट बंद है। वास्तव में, एक मनमाना टोपोलॉजी पर $X$ टी को संतुष्ट करता है₁ स्वयंसिद्ध यदि और केवल यदि इसमें सह-परिमित टोपोलॉजी शामिल है। अगर $X$ परिमित है तो सह-परिमित टोपोलॉजी केवल असतत स्थान है। अगर $X$ परिमित नहीं है तो यह टोपोलॉजी हॉसडॉर्फ़ स्पेस नहीं है|हॉसडॉर्फ़ (टी₂), नियमित स्थान या सामान्य स्थान क्योंकि कोई भी दो गैर-रिक्त खुले सेट असंयुक्त नहीं हैं (अर्थात, यह हाइपरकनेक्टेड स्थान है)।

डबल-पॉइंट कोफिनिट टोपोलॉजी

डबल-पॉइंटेड कोफिनिट टोपोलॉजी, प्रत्येक बिंदु को दोगुना करने वाली कोफिनिट टोपोलॉजी है; अर्थात्, यह दो-तत्व सेट पर अविवेकी टोपोलॉजी के साथ सह-परिमित टोपोलॉजी का टोपोलॉजिकल उत्पाद है। यह T0 स्पेस|T नहीं है₀या T1 स्पेस|T₁, क्योंकि प्रत्येक दोहरे के बिंदु स्थलाकृतिक रूप से अप्रभेद्य हैं। हालाँकि, यह R0 स्पेस|R है₀चूंकि टोपोलॉजिकली अलग-अलग बिंदु अलग-अलग सेट हैं। अंतरिक्ष दो कॉम्पैक्ट स्थानों के उत्पाद के रूप में कॉम्पैक्ट (टोपोलॉजी) है; वैकल्पिक रूप से, यह सघन है क्योंकि प्रत्येक गैर-रिक्त खुले सेट में सीमित रूप से कई बिंदुओं को छोड़कर सभी बिंदु होते हैं।

गणनीय डबल-पॉइंटेड कोफिनिट टोपोलॉजी के एक उदाहरण के लिए, सेट $\mathbb {Z}$ पूर्णांकों की टोपोलॉजी इस प्रकार दी जा सकती है कि प्रत्येक संख्या सम हो $2n$ निम्नलिखित विषम संख्या से स्थलाकृतिक रूप से अप्रभेद्य है $2n+1$ . बंद समुच्चय परिमित रूप से अनेक युग्मों के मिलन हैं $2n,2n+1,$ या पूरा सेट. खुले समुच्चय बंद समुच्चयों के पूरक हैं; अर्थात्, प्रत्येक खुले सेट में एक सीमित संख्या को छोड़कर सभी जोड़े होते हैं $2n,2n+1,$ या खाली सेट है.

अन्य उदाहरण

उत्पाद टोपोलॉजी

टोपोलॉजिकल स्पेस के उत्पाद पर उत्पाद टोपोलॉजी $\prod X_{i}$ आधार (टोपोलॉजी) है $\prod U_{i}$ कहाँ $U_{i}\subseteq X_{i}$ खुला है, और अनंत रूप से अनेक $U_{i}=X_{i}.$ यह आवश्यक किए बिना कि संपूर्ण स्थान में अनेक कारक हों, एनालॉग बॉक्स टोपोलॉजी है।

सीधा योग

मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के तत्व $\bigoplus M_{i}$ अनुक्रम हैं $\alpha _{i}\in M_{i}$ जहाँ निश्चित रूप से अनेक हैं $\alpha _{i}=0.$ यह आवश्यक किए बिना कि निश्चित रूप से कई सारांश शून्य हों, एनालॉग प्रत्यक्ष उत्पाद है।

यह भी देखें

संदर्भ

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446 (See example 18)