सूचक का लाप्लासियन

गणित में, डोमेन डी के संकेतक का लाप्लासियन उच्च आयामों के लिए डिराक डेल्टा फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक सामान्यीकरण है, और केवल डी की सतह पर गैर-शून्य है। . इसे सरफेस डेल्टा प्राइम फंक्शन के रूप में देखा जा सकता है। यह एक आयाम में हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न के अनुरूप है। इसे लाप्लास ऑपरेटर को कुछ डोमेन डी के संकेतक फ़ंक्शन पर काम करने की अनुमति देकर प्राप्त किया जा सकता है।

जब डोमेन डी की सीमा के बहुत करीब मूल्यांकन किया जाता है, तो संकेतक के लाप्लासियन को असीम रूप से सकारात्मक और नकारात्मक मानों के रूप में माना जा सकता है। गणितीय दृष्टिकोण से, यह पूरी तरह से एक फ़ंक्शन नहीं है बल्कि एक सामान्यीकृत फ़ंक्शन या माप (गणित) है। इसी तरह एक आयाम में डिराक डेल्टा फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए, संकेतक का लाप्लासियन केवल एक गणितीय वस्तु के रूप में समझ में आता है जब यह एक अभिन्न संकेत के तहत दिखाई देता है; यानी यह एक वितरण (गणित) फ़ंक्शन है। वितरण सिद्धांत के निर्माण की तरह, व्यवहार में इसे सुचारु कार्यों के अनुक्रम की एक सीमा के रूप में माना जाता है; कोई सार्थक रूप से टक्कर समारोह का लाप्लासियन ले सकता है, जो परिभाषा के अनुसार सुचारू है, और बम्प फ़ंक्शन को सीमा में संकेतक तक पहुंचने देता है।

इतिहास

File:Laplacian of the indicator v2.jpg

समतल (बाएं) में एक दीर्घवृत्त के नकारात्मक संकेतक फ़ंक्शन का एक अनुमान, सीमा (मध्य) की सामान्य दिशा में व्युत्पन्न, और इसके लाप्लासियन (दाएं)। सीमा में, सबसे दाहिना ग्राफ सूचक के (नकारात्मक) लाप्लासियन पर जाता है। विशुद्ध रूप से सहज रूप से बोलते हुए, सबसे दाहिना ग्राफ़ एक अण्डाकार महल जैसा दिखता है जिसके अंदर एक महल की दीवार और उसके सामने एक खाई है; सीमा में दीवार और खाई असीम रूप से ऊँची और गहरी (और संकीर्ण) हो जाती है।

पॉल डिराक ने डिराक डेल्टा फ़ंक्शन|डिराक की शुरुआत की δ-फ़ंक्शन, जैसा कि ज्ञात हो गया है, 1930 की शुरुआत में। एक आयामी डिराक δ-फ़ंक्शन केवल एक बिंदु पर गैर-शून्य है। इसी तरह, बहुआयामी सामान्यीकरण, जैसा कि आमतौर पर किया जाता है, केवल एक बिंदु पर गैर-शून्य होता है। कार्टेशियन निर्देशांक में, डी-आयामी डायराक δ-फ़ंक्शन डी एक-आयामी का एक उत्पाद है δ-कार्य; प्रत्येक कार्टेशियन निर्देशांक के लिए एक (उदाहरण देखें डिराक डेल्टा फ़ंक्शन#सामान्यीकरण)।

हालाँकि, एक अलग सामान्यीकरण संभव है। एक आयाम में बिंदु शून्य को सकारात्मक अर्धरेखा की सीमा माना जा सकता है। समारोह 1_x>0 सकारात्मक अर्धरेखा पर 1 और अन्यथा शून्य के बराबर होता है, और इसे हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन के रूप में भी जाना जाता है। औपचारिक रूप से, डिराक δ-फ़ंक्शन और इसके व्युत्पन्न (यानी एक-आयामी सतह डेल्टा प्राइम फ़ंक्शन) को हेविसाइड चरण फ़ंक्शन के पहले और दूसरे व्युत्पन्न के रूप में देखा जा सकता है, यानी ∂_x1_x>0 और $\partial _{x}^{2}\mathbf {1} _{x>0}$.

उच्च आयामों में स्टेप फ़ंक्शन का एनालॉग संकेतक फ़ंक्शन है, जिसे 1 के रूप में लिखा जा सकता है_x∈D, जहां D कुछ डोमेन है। सूचक फ़ंक्शन को विशेषता फ़ंक्शन के रूप में भी जाना जाता है। एक-आयामी मामले के अनुरूप, डिराक के निम्नलिखित उच्च-आयामी सामान्यीकरण δ-फ़ंक्शन और इसका व्युत्पन्न प्रस्तावित किया गया है:

${\begin{aligned}\delta (x)&\to -n_{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D},\\\delta '(x)&\to \nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}.\end{aligned}}$

यहाँ n जावक सामान्य (ज्यामिति) है। यहाँ डिराक δ-फ़ंक्शन को d ≥ 1 आयामों में कुछ डोमेन D की सीमा पर एक सतह डेल्टा फ़ंक्शन के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। यह परिभाषा सामान्य एक-आयामी मामला देती है, जब डोमेन को सकारात्मक अर्धरेखा माना जाता है। डोमेन डी (जहां यह अनंत है) की सीमा को छोड़कर यह शून्य है, और यह डी को घेरने वाले कुल सतह क्षेत्र में एकीकृत होता है, जैसा कि संकेतक का #सामान्य व्युत्पन्न दिखाया गया है।

एक आयामी डिराक δ'-फ़ंक्शन को d ≥ 1 आयामों में कुछ डोमेन D की सीमा पर एक बहुआयामी सतह डेल्टा प्राइम फ़ंक्शन के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। एक आयाम में और D को धनात्मक अर्धरेखा के बराबर लेने पर, सामान्य एक-आयामी δ'-फंक्शन को पुनः प्राप्त किया जा सकता है।

सूचक के सामान्य व्युत्पन्न और सूचक के लाप्लासियन दोनों को बिंदुओं के बजाय सतहों द्वारा समर्थित किया जाता है। उदाहरण के लिए सामान्यीकरण उपयोगी है। क्वांटम यांत्रिकी, क्योंकि सतही अंतःक्रियाएं d > 1 में सीमा स्थितियों को जन्म दे सकती हैं, जबकि बिंदु अंतःक्रियाएं नहीं हो सकतीं। स्वाभाविक रूप से, बिंदु और सतह की परस्पर क्रिया d=1 के लिए मेल खाती है। क्वांटम यांत्रिकी में सतह और बिंदु इंटरैक्शन दोनों का एक लंबा इतिहास है, और तथाकथित सतह डेल्टा क्षमता या डेल्टा-क्षेत्र इंटरैक्शन पर एक बड़ा साहित्य मौजूद है। सतही डेल्टा फ़ंक्शन एक-आयामी डायराक का उपयोग करते हैं δ-फ़ंक्शन, लेकिन रेडियल निर्देशांक r के एक फ़ंक्शन के रूप में, उदाहरण के लिए। δ(r−R) जहां R गोले की त्रिज्या है।

यद्यपि स्पष्ट रूप से अपरिभाषित प्रतीत होता है, सूचक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को औपचारिक रूप से वितरण (गणित) या सामान्यीकृत कार्यों का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, सूचक के लाप्लासियन को दो एकीकरणों द्वारा परिभाषित करके एक अच्छी तरह से परिभाषित नुस्खा प्राप्त किया जा सकता है भागों द्वारा जब यह एक अभिन्न चिह्न के अंतर्गत प्रकट होता है। वैकल्पिक रूप से, सूचक (और इसके डेरिवेटिव) को एक बम्प फ़ंक्शन (और इसके डेरिवेटिव) का उपयोग करके अनुमानित किया जा सकता है। सीमा, जहां (चिकना) बम्प फ़ंक्शन संकेतक फ़ंक्शन तक पहुंचता है, उसे इंटीग्रल के बाहर रखा जाना चाहिए।

डिराक सतह डेल्टा प्राइम फ़ंक्शन

यह खंड साबित करेगा कि सूचक का लाप्लासियन एक सतह डेल्टा प्राइम फ़ंक्शन है। सतह डेल्टा फ़ंक्शन पर नीचे विचार किया जाएगा।

सबसे पहले, अंतराल (ए,बी) में एक फ़ंक्शन एफ के लिए, कैलकुलस के मौलिक प्रमेय को याद करें

$\int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}\,dx={\underset {x\nearrow b}{\lim }}f(x)-{\underset {x\searrow a}{\lim }}f(x),$

यह मानते हुए कि f स्थानीय रूप से एकीकृत है। अब a<b के लिए, अनुमानतः आगे बढ़ते हुए, यह इस प्रकार है

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial ^{2}\mathbf {1} _{a<x<b}}{\partial x^{2}}}\,f(x)\;dx&=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathbf {1} _{a<x<b}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle {\Big (}{\underset {x\nearrow b}{\lim }}-{\underset {x\searrow a}{\lim }}{\Big )}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}.\end{aligned}}$

यहाँ 1_a<x<b डोमेन a < x < b का सूचक कार्य है। जब इसकी सबस्क्रिप्ट में शर्त पूरी हो जाती है तो सूचक एक के बराबर होता है, और अन्यथा शून्य के बराबर होता है। इस गणना में, भागों द्वारा दो एकीकरण (जैसा कि ऊपर दिखाया गया है कैलकुलस के मौलिक प्रमेय के साथ संयुक्त) से पता चलता है कि पहली समानता कायम है; जब a और b परिमित होते हैं, या जब f अनंत पर लुप्त हो जाता है, तो सीमा पद शून्य होते हैं। अंतिम समानता बाहरी सामान्य डेरिवेटिव का योग दिखाती है, जहां योग सीमा बिंदु ए और बी से अधिक है, और जहां संकेत बाहरी दिशा से आते हैं (यानी बी के लिए सकारात्मक और ए के लिए नकारात्मक)। यद्यपि संकेतक के व्युत्पन्न औपचारिक रूप से मौजूद नहीं हैं, आंशिक एकीकरण के सामान्य नियमों का पालन करने से 'सही' परिणाम मिलता है। एक परिमित डी-आयामी डोमेन डी पर विचार करते समय, बाहरी सामान्य डेरिवेटिव पर योग एक अभिन्न बनने की उम्मीद है, जिसकी पुष्टि निम्नानुसार की जा सकती है:

${\begin{aligned}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\;dx&=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathbf {1} _{x\in D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx,\\&=\int _{D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx,\\&=\oint _{\partial D}\,{\underset {x\to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{x}f(x)\;d\beta .\end{aligned}}$

जहां सीमा डोमेन डी, एन के अंदर से सतह β तक पहुंचने वाली एक्स की सीमा है_β सतह β, और ∇ के लिए सामान्य इकाई वेक्टर है_x अब बहुआयामी ग्रेडिएंट ऑपरेटर है। पहले की तरह, पहली समानता भागों द्वारा दो एकीकरणों के बाद होती है (उच्च आयामों में यह ग्रीन की पहचान द्वारा आगे बढ़ती है | ग्रीन की दूसरी पहचान) जहां सीमा शब्द तब तक गायब हो जाते हैं जब तक डोमेन डी परिमित होता है या यदि एफ अनंत पर गायब हो जाता है; जैसे दोनों '1'_x∈D और ∇_x1_x∈D R की 'सीमा' पर मूल्यांकन करने पर शून्य होते हैं^dजब डोमेन D परिमित है। तीसरी समानता विचलन प्रमेय का अनुसरण करती है और फिर से, सभी सीमा स्थानों पर बाहरी सामान्य डेरिवेटिव का योग (या, इस मामले में, एक अभिन्न) दिखाती है। विचलन प्रमेय टुकड़ा-वार चिकनी डोमेन डी के लिए मान्य है, और इसलिए डी को टुकड़े-टुकड़े चिकनी होने की आवश्यकता है।

इस प्रकार सतह डेल्टा प्राइम फ़ंक्शन (a.k.a. Dirac) δ'-फ़ंक्शन) एक टुकड़े के हिसाब से चिकनी सतह पर मौजूद होता है, और उस टुकड़े के हिसाब से चिकनी सतह से घिरे डोमेन डी के संकेतक फ़ंक्शन के लाप्लासियन के बराबर होता है। स्वाभाविक रूप से, एक आयाम में एक बिंदु और एक सतह के बीच का अंतर गायब हो जाता है।

इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में, एक सतह द्विध्रुव (या डबल परत क्षमता) को संकेतक के लाप्लासियन के सीमित वितरण द्वारा मॉडल किया जा सकता है।

उपरोक्त गणना क्वांटम भौतिकी में पथ इंटीग्रल्स पर शोध से ली गई है।

डिराक सतह डेल्टा फ़ंक्शन

यह खंड साबित करेगा कि सूचक का (अंदर की ओर) सामान्य व्युत्पन्न एक सतह डेल्टा फ़ंक्शन है।

एक परिमित डोमेन D के लिए या जब f अनंत पर लुप्त हो जाता है, तो यह विचलन प्रमेय का अनुसरण करता है कि

$\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}\left(\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\right)\;dx=0.$

उत्पाद नियम के अनुसार, यह उसका अनुसरण करता है

$\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\;dx+\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathbf {1} _{x\in D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx=-2\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x)\;dx.$

अनुभाग #सरफेस डिराक डेल्टा प्राइम फ़ंक्शन के विश्लेषण के बाद, बाईं ओर के दो पद बराबर हैं, और इस प्रकार

$\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{\alpha }f(\alpha )\;d\beta =-\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x)\;dx.$

सूचक की ढाल डी की सीमा को छोड़कर, जहां यह सामान्य दिशा में इंगित करती है, हर जगह गायब हो जाती है। इसलिए, केवल ∇ का घटक_xसामान्य दिशा में f(x) प्रासंगिक है। मान लीजिए कि, सीमा के निकट, ∇_xf(x) n के बराबर है_xg(x), जहाँ g कोई अन्य फलन है। फिर यह उसी का अनुसरण करता है

$\oint _{\partial D}\,g(\beta )\;d\beta =-\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\,\cdot \,n_{x}\,g(x)\;dx.$

बाहरी सामान्य एन_x मूल रूप से केवल सतह में x के लिए परिभाषित किया गया था, लेकिन इसे सभी x के लिए अस्तित्व में परिभाषित किया जा सकता है; उदाहरण के लिए x के निकटतम सीमा बिंदु का बाहरी अभिलंब लेकर।

उपरोक्त विश्लेषण से पता चलता है कि -n_x⋅ ∇_x1_x∈D इसे एक-आयामी डिराक डेल्टा फ़ंक्शन के सतही सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। फ़ंक्शन g को एक के बराबर सेट करने से, यह पता चलता है कि संकेतक का आवक सामान्य व्युत्पन्न D के सतह क्षेत्र में एकीकृत हो जाता है।

इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में, सतह चार्ज घनत्व (या एकल सीमा परत) को ऊपर दिए गए सतह डेल्टा फ़ंक्शन का उपयोग करके मॉडल किया जा सकता है। कुछ मामलों में सामान्य डिराक डेल्टा फ़ंक्शन का उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए जब सतह गोलाकार हो. सामान्य तौर पर, यहां चर्चा की गई सतह डेल्टा फ़ंक्शन का उपयोग किसी भी आकार की सतह पर सतह चार्ज घनत्व का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है।

उपरोक्त गणना क्वांटम भौतिकी में पथ इंटीग्रल्स पर शोध से ली गई है।

बम्प फ़ंक्शंस द्वारा अनुमान

यह अनुभाग दिखाता है कि सूचक के व्युत्पन्न को एक अभिन्न चिह्न के तहत संख्यात्मक रूप से कैसे व्यवहार किया जा सकता है।

सिद्धांत रूप में, संकेतक को संख्यात्मक रूप से विभेदित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इसका व्युत्पन्न या तो शून्य या अनंत है। लेकिन, व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, सूचक को I द्वारा इंगित बम्प फ़ंक्शन द्वारा अनुमानित किया जा सकता है_ε(x) और ε → 0 के लिए संकेतक के करीब पहुंच रहा हूं। कई विकल्प संभव हैं, लेकिन यह सुविधाजनक है कि बम्प फ़ंक्शन को गैर-नकारात्मक होने दें और नीचे से संकेतक तक पहुंचें, यानी।

${\begin{aligned}0\leq I_{\varepsilon }(x)&\leq \mathbf {1} _{{x}\in D}\quad \forall \varepsilon >0\\{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\;I_{\varepsilon }(x)&=\mathbf {1} _{x\in D}\end{aligned}}$

यह सुनिश्चित करता है कि बंप फ़ंक्शंस का परिवार डी के बाहर समान रूप से शून्य है। यह सुविधाजनक है, क्योंकि यह संभव है कि फ़ंक्शन एफ केवल डी के इंटीरियर में परिभाषित किया गया है। डी में परिभाषित एफ के लिए, हम इस प्रकार निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

${\begin{aligned}-{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,f(x)\,n_{x}\cdot \nabla _{x}I_{\varepsilon }(x)\;dx&=\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}f(\alpha )\;d\beta ,\\{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\,\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}I_{\varepsilon }(x)\,f(x)\;dx&=\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{\alpha }f(\alpha )\;d\beta ,\end{aligned}}$

जहां आंतरिक निर्देशांक α, D के आंतरिक भाग से सीमा समन्वय β तक पहुंचता है, और जहां D के बाहर f के अस्तित्व की कोई आवश्यकता नहीं है।

जब एफ को सीमा के दोनों किनारों पर परिभाषित किया जाता है, और इसके अलावा डी की सीमा में भिन्नता होती है, तो यह कम महत्वपूर्ण है कि बम्प फ़ंक्शन संकेतक तक कैसे पहुंचता है।

असंतत परीक्षण कार्य

यदि परीक्षण फ़ंक्शन f संभवतः सीमा के पार असंतत है, तो असंतत कार्यों के लिए वितरण सिद्धांत का उपयोग सतही वितरण को समझने के लिए किया जा सकता है, उदाहरण के लिए देखें। खंड V में . व्यवहार में, सतह डेल्टा फ़ंक्शन के लिए इसका मतलब आम तौर पर सीमा पर एकीकृत होने से पहले डी की सीमा के दोनों किनारों पर एफ का औसत होता है। इसी तरह, सतह डेल्टा प्राइम फ़ंक्शन के लिए इसका मतलब आमतौर पर सीमा पर एकीकृत होने से पहले डोमेन डी की सीमा के दोनों किनारों पर एफ के बाहरी सामान्य व्युत्पन्न का औसत होता है।

अनुप्रयोग

क्वांटम यांत्रिकी

क्वांटम यांत्रिकी में, बिंदु इंटरैक्शन अच्छी तरह से जाना जाता है और इस विषय पर साहित्य का एक बड़ा संग्रह है। एक आयामी एकवचन क्षमता का एक प्रसिद्ध उदाहरण डेल्टा क्षमता है | डिराक डेल्टा क्षमता के साथ श्रोडिंगर समीकरण। दूसरी ओर, एक-आयामी डिराक डेल्टा प्राइम क्षमता ने विवाद पैदा कर दिया है। ऐसा प्रतीत होता है कि यह विवाद एक स्वतंत्र अखबार द्वारा सुलझा लिया गया था, हालाँकि बाद में इस पेपर की भी आलोचना हुई। हाल ही में एक-आयामी डिराक डेल्टा प्राइम क्षमता पर बहुत अधिक ध्यान केंद्रित किया गया है। एक-आयामी रेखा पर एक बिंदु को एक बिंदु और सतह दोनों के रूप में माना जा सकता है; एक बिंदु के रूप में दो क्षेत्रों के बीच की सीमा को चिह्नित करता है। उच्च आयामों के लिए डिराक डेल्टा-फ़ंक्शन के दो सामान्यीकरण इस प्रकार किए गए हैं: एक बहुआयामी बिंदु का सामान्यीकरण, साथ ही बहुआयामी सतह का सामान्यीकरण। पूर्व सामान्यीकरणों को बिंदु इंटरैक्शन के रूप में जाना जाता है, जबकि बाद वाले को अलग-अलग नामों से जाना जाता है, उदाहरण के लिए। डेल्टा-क्षेत्र अंतःक्रिया और सतह डेल्टा अंतःक्रिया। बाद के सामान्यीकरण संकेतक के डेरिवेटिव का उपयोग कर सकते हैं, जैसा कि यहां बताया गया है, या एक-आयामी डायराक δ-रेडियल निर्देशांक r के एक फ़ंक्शन के रूप में फ़ंक्शन।

द्रव गतिकी

सूचक के लाप्लासियन का उपयोग द्रव गतिकी में किया गया है, उदाहरण के लिए। विभिन्न मीडिया के बीच इंटरफेस को मॉडल करने के लिए।

सतह पुनर्निर्माण

सूचक के विचलन और सूचक के लाप्लासियन (या सूचक फ़ंक्शन, जैसा कि सूचक को भी जाना जाता है) का उपयोग नमूना जानकारी के रूप में किया गया है जिससे सतहों का पुनर्निर्माण किया जा सकता है।

यह भी देखें

• Delta potential
• Dirac delta function
• Distribution (mathematics)
• Double layer potential
• Electrostatics
• Generalized function
• Indicator function
• Potential theory