सूचना क्षेत्र सिद्धांत

सूचना क्षेत्र सिद्धांत (आईएफटी) सिग्नल पुनर्निर्माण, सृष्टिवर्णन और अन्य संबंधित क्षेत्रों से संबंधित एक बायेसियन अनुमान सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत है। IFT बायेसियन संभाव्यता का उपयोग करके भौतिक क्षेत्र पर उपलब्ध जानकारी का सारांश प्रस्तुत करता है। यह किसी क्षेत्र की स्वतंत्रता (सांख्यिकी) की अनंत संख्या को संभालने और क्षेत्र अपेक्षित मूल्य की गणना के लिए एल्गोरिदम प्राप्त करने के लिए क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत के लिए विकसित कम्प्यूटेशनल तकनीकों का उपयोग करता है। उदाहरण के लिए, ज्ञात गॉसियन प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न और ज्ञात गाऊसी शोर आंकड़ों के साथ एक रैखिक उपकरण द्वारा मापा गया क्षेत्र का पश्च संभाव्यता अपेक्षा मूल्य मापा डेटा पर लागू सामान्यीकृत वीनर फ़िल्टर द्वारा दिया जाता है। IFT ऐसे ज्ञात फ़िल्टर फ़ॉर्मूले को गैर रेखीय , नॉनलाइनियर तत्व, गैर-गॉसियनिटी|नॉन-गॉसियन फ़ील्ड या शोर आँकड़े, फ़ील्ड मानों पर शोर आँकड़ों की निर्भरता और माप के आंशिक रूप से अज्ञात मापदंडों वाली स्थितियों तक विस्तारित करता है। इसके लिए यह फेनमैन आरेख, पुनर्सामान्यीकरण प्रवाह समीकरण और गणितीय भौतिकी के अन्य तरीकों का उपयोग करता है।

प्रेरणा

क्षेत्र (भौतिकी) विज्ञान, प्रौद्योगिकी और अर्थव्यवस्था में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। वे किसी मात्रा की स्थानिक विविधताओं, जैसे हवा का तापमान, को स्थिति के आधार पर वर्णित करते हैं। किसी फ़ील्ड के कॉन्फ़िगरेशन को जानना बहुत महत्वपूर्ण हो सकता है। हालाँकि, फ़ील्ड का माप कभी भी निश्चितता के साथ सटीक फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन प्रदान नहीं कर सकता है। भौतिक क्षेत्रों में स्वतंत्रता की अनंत डिग्री होती है, लेकिन किसी भी माप उपकरण द्वारा उत्पन्न डेटा हमेशा सीमित होता है, जो क्षेत्र पर केवल सीमित संख्या में बाधाएं प्रदान करता है। इस प्रकार, अकेले माप डेटा से ऐसे क्षेत्र की स्पष्ट कटौती असंभव है और केवल बायेसियन अनुमान ही क्षेत्र के बारे में बयान देने के साधन के रूप में रहता है। सौभाग्य से, भौतिक क्षेत्र सहसंबंध प्रदर्शित करते हैं और अक्सर ज्ञात भौतिक कानूनों का पालन करते हैं। माप बिंदुओं की स्वतंत्रता की फ़ील्ड डिग्री के बेमेल को दूर करने के लिए ऐसी जानकारी को फ़ील्ड अनुमान में सबसे अच्छा जोड़ा जाता है। इसे संभालने के लिए, फ़ील्ड के लिए एक सूचना सिद्धांत की आवश्यकता है, और यही सूचना क्षेत्र सिद्धांत है।

अवधारणाएँ

बायेसियन अनुमान

$s(x)$ किसी स्थान पर फ़ील्ड मान है $x\in \Omega$ एक स्थान में $\Omega$. अज्ञात सिग्नल क्षेत्र के बारे में पूर्व ज्ञान $s$ संभाव्यता वितरण में एन्कोड किया गया है ${\mathcal {P}}(s)$. आंकड़ा $d$ पर अतिरिक्त जानकारी प्रदान करता है $s$ संभावना के माध्यम से ${\mathcal {P}}(d|s)$ जो पश्चवर्ती संभाव्यता में शामिल हो जाता है

$${\mathcal {P}}(s|d)={\frac {{\mathcal {P}}(d|s)\,{\mathcal {P}}(s)}{{\mathcal {P}}(d)}}$$

बेयस प्रमेय के अनुसार.

सूचना हैमिल्टनियन क्षेत्र सिद्धांत

IFT में बेयस प्रमेय को आमतौर पर सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत की भाषा में फिर से लिखा जाता है,

$${\mathcal {P}}(s|d)={\frac {{\mathcal {P}}(d,s)}{{\mathcal {P}}(d)}}\equiv {\frac {e^{-{\mathcal {H}}(d,s)}}{{\mathcal {Z}}(d)}},$$

जानकारी के साथ हैमिल्टनियन को परिभाषित किया गया है

$${\mathcal {H}}(d,s)\equiv -\ln {\mathcal {P}}(d,s)=-\ln {\mathcal {P}}(d|s)-\ln {\mathcal {P}}(s)\equiv {\mathcal {H}}(d|s)+{\mathcal {H}}(s),$$

डेटा और सिग्नल की संयुक्त संभावना का नकारात्मक लघुगणक और विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) के साथ

$${\mathcal {Z}}(d)\equiv {\mathcal {P}}(d)=\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {P}}(d,s).$$

बेयस प्रमेय का यह पुनर्रचना सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के उपचार के लिए विकसित गणितीय भौतिकी के तरीकों के उपयोग की अनुमति देता है।

फ़ील्ड

चूंकि फ़ील्ड में स्वतंत्रता की अनंत डिग्री होती है, इसलिए फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन के स्थानों पर संभावनाओं की परिभाषा में सूक्ष्मताएं होती हैं। फ़ंक्शन स्पेस के तत्वों के रूप में भौतिक फ़ील्ड की पहचान करने से यह समस्या उत्पन्न होती है कि बाद वाले पर कोई लेब्सेग माप परिभाषित नहीं किया गया है और इसलिए संभाव्यता घनत्व को वहां परिभाषित नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, भौतिक क्षेत्रों में फ़ंक्शन स्पेस के अधिकांश तत्वों की तुलना में बहुत अधिक नियमितता होती है, क्योंकि वे अपने अधिकांश स्थानों पर निरंतर और सुचारू होते हैं। इसलिए कम सामान्य, लेकिन पर्याप्त रूप से लचीले निर्माणों का उपयोग किसी क्षेत्र की स्वतंत्रता की अनंत डिग्री को संभालने के लिए किया जा सकता है।

एक व्यावहारिक दृष्टिकोण यह है कि क्षेत्र को पिक्सेल के संदर्भ में अलग रखा जाए। प्रत्येक पिक्सेल में एक एकल फ़ील्ड मान होता है जिसे पिक्सेल वॉल्यूम के भीतर स्थिर माना जाता है। सतत क्षेत्र के बारे में सभी कथनों को इसके पिक्सेल प्रतिनिधित्व में डाला जाना चाहिए। इस तरह, कोई परिमित आयामी क्षेत्र रिक्त स्थान से निपटता है, जिस पर संभाव्यता घनत्व अच्छी तरह से परिभाषित होते हैं।

इस विवरण को एक उचित क्षेत्र सिद्धांत बनाने के लिए, पिक्सेल रिज़ॉल्यूशन की भी आवश्यकता है $\Delta x$ विवेकाधीन क्षेत्र के अपेक्षा मूल्यों को हमेशा परिष्कृत किया जा सकता है $s_{\Delta x}$ परिमित मूल्यों में अभिसरण:

$$\langle f(s)\rangle _{(s|d)}\equiv \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\int ds_{\Delta x}f(s_{\Delta x})\,{\mathcal {P}}(s_{\Delta x}).$$

पथ इंटीग्रल

यदि यह सीमा मौजूद है, तो कोई फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन स्पेस इंटीग्रल या पथ अभिन्न सूत्रीकरण के बारे में बात कर सकता है

$$\langle f(s)\rangle _{(s|d)}\equiv \int {\mathcal {D}}s\,f(s)\,{\mathcal {P}}(s).$$

संकल्प के बावजूद इसका मूल्यांकन संख्यात्मक रूप से किया जा सकता है।

गाऊसी पूर्व

किसी क्षेत्र के लिए सबसे सरल पूर्व शून्य माध्य गाऊसी संभाव्यता वितरण है

$${\mathcal {P}}(s)={\mathcal {G}}(s,S)\equiv {\frac {1}{|2\pi S|}}e^{-{\frac {1}{2}}\,s^{\dagger }S^{-1}\,s}.$$

हर में निर्धारक को सातत्य सीमा में गलत तरीके से परिभाषित किया जा सकता है $\Delta x\rightarrow 0$हालाँकि, IFT के सुसंगत होने के लिए जो कुछ भी आवश्यक है वह यह है कि इस निर्धारक का अनुमान किसी भी परिमित रिज़ॉल्यूशन फ़ील्ड प्रतिनिधित्व के लिए लगाया जा सकता है $\Delta x>0$ और यह अभिसरण अपेक्षा मूल्यों की गणना की अनुमति देता है।

गाऊसी संभाव्यता वितरण के लिए क्षेत्र के दो बिंदु सहसंबंध फ़ंक्शन के विनिर्देश की आवश्यकता होती है $S\equiv \langle s\,s^{\dagger }\rangle _{(s)}$ गुणांक के साथ

$$S_{xy}\equiv \langle s(x)\,{\overline {s(y)}}\rangle _{(s)}$$

और सतत क्षेत्रों के लिए एक अदिश उत्पाद

$$a^{\dagger }b\equiv \int _{\Omega }dx\,{\overline {a(x)}}\,b(x),$$

जिसके संबंध में व्युत्क्रम संकेत क्षेत्र सहप्रसरण $S^{-1}$ का निर्माण किया गया है, अर्थात $(S^{-1}S)_{xy}\equiv \int _{\Omega }dz\,(S^{-1})_{xz}S_{zy}=\mathbb {1} _{xy}\equiv \delta (x-y).$ संबंधित पूर्व सूचना हैमिल्टनियन पढ़ता है

$${\mathcal {H}}(s)=-\ln {\mathcal {G}}(s,S)={\frac {1}{2}}\,s^{\dagger }S^{-1}\,s+{\frac {1}{2}}\,\ln |2\pi S|.$$

माप समीकरण

माप डेटा $d$ संभावना के साथ उत्पन्न हुआ था ${\mathcal {P}}(d|s)$. यदि उपकरण रैखिक था, तो प्रपत्र का एक माप समीकरण

$$d=R\,s+n$$

दिया जा सकता है, जिसमें $R$ उपकरण प्रतिक्रिया है, जो बताती है कि डेटा औसतन सिग्नल पर कैसे प्रतिक्रिया करता है, और $n$ शोर है, बस डेटा के बीच का अंतर है $d$ और रैखिक संकेत प्रतिक्रिया $R\,s$. यह ध्यान रखना आवश्यक है कि प्रतिक्रिया अनंत आयामी सिग्नल वेक्टर को परिमित आयामी डेटा स्थान में अनुवादित करती है। घटकों में यह पढ़ता है $d_{i}=\int _{\Omega }dx\,R_{ix}\,s_{x}+n_{i},$ जहां सिग्नल और डेटा वैक्टर के लिए एक वेक्टर घटक नोटेशन भी पेश किया गया था।

यदि शोर एक संकेत का अनुसरण करता है तो सहप्रसरण के साथ स्वतंत्र शून्य माध्य गाऊसी आँकड़े $N$, ${\mathcal {P}}(n|s)={\mathcal {G}}(n,N),$ तो संभावना गॉसियन भी है,

$${\mathcal {P}}(d|s)={\mathcal {G}}(d-R\,s,N),$$

और संभावना जानकारी हैमिल्टनियन है

$${\mathcal {H}}(d|s)=-\ln {\mathcal {G}}(d-R\,s,N)={\frac {1}{2}}\,(d-R\,s)^{\dagger }N^{-1}\,(d-R\,s)+{\frac {1}{2}}\,\ln |2\pi N|.$$

गॉसियन सिग्नल का एक रैखिक माप, गॉसियन और सिग्नल स्वतंत्र शोर के अधीन एक मुक्त आईएफटी की ओर जाता है।

मुक्त सिद्धांत

मुफ़्त हैमिल्टनियन

ऊपर वर्णित गॉसियन परिदृश्य की संयुक्त जानकारी हैमिल्टनियन है

$${\begin{aligned}{\mathcal {H}}(d,s)&={\mathcal {H}}(d|s)+{\mathcal {H}}(s)\\&{\widehat {=}}{\frac {1}{2}}\,(d-R\,s)^{\dagger }N^{-1}\,(d-R\,s)+{\frac {1}{2}}\,s^{\dagger }S^{-1}\,s\\&{\widehat {=}}{\frac {1}{2}}\,\left[s^{\dagger }\underbrace {(S^{-1}+R^{\dagger }N^{-1}R)} _{D^{-1}}\,s-s^{\dagger }\underbrace {R^{\dagger }N^{-1}d} _{j}-\underbrace {d^{\dagger }N^{-1}R} _{j^{\dagger }}\,s\right]\\&\equiv {\frac {1}{2}}\,\left[s^{\dagger }D^{-1}s-s^{\dagger }j-j^{\dagger }s\right]\\&={\frac {1}{2}}\,\left[s^{\dagger }D^{-1}s-s^{\dagger }D^{-1}\underbrace {D\,j} _{m}-\underbrace {j^{\dagger }D} _{m^{\dagger }}\,D^{-1}s\right]\\&{\widehat {=}}{\frac {1}{2}}\,(s-m)^{\dagger }D^{-1}(s-m),\end{aligned}}$$

कहाँ ${\widehat {=}}$ अप्रासंगिक स्थिरांक तक समानता को दर्शाता है, जो, इस मामले में, उन अभिव्यक्तियों का मतलब है जो स्वतंत्र हैं $s$. इससे यह स्पष्ट है कि पिछला भाग माध्य के साथ गॉसियन होना चाहिए $m$ और विचरण $D$,

$${\mathcal {P}}(s|d)\propto e^{-{\mathcal {H}}(d,s)}\propto e^{-{\frac {1}{2}}\,(s-m)^{\dagger }D^{-1}(s-m)}\propto {\mathcal {G}}(s-m,D)$$

जहाँ दाएँ और बाएँ पक्षों के बीच समानता बनी रहती है क्योंकि दोनों वितरण सामान्यीकृत होते हैं, $\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {P}}(s|d)=1=\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {G}}(s-m,D)$.

सामान्यीकृत वीनर फ़िल्टर

पश्च माध्य

$$m=D\,j=(S^{-1}+R^{\dagger }N^{-1}R)^{-1}R^{\dagger }N^{-1}d$$

इसे सामान्यीकृत विनीज़ फ़िल्टर समाधान और अनिश्चितता सहप्रसरण के रूप में भी जाना जाता है

$$D=(S^{-1}+R^{\dagger }N^{-1}R)^{-1}$$

वीनर विचरण के रूप में।

आईएफटी में, $j=R^{\dagger }N^{-1}d$ सूचना स्रोत कहा जाता है, क्योंकि यह क्षेत्र (ज्ञान) को उत्तेजित करने के लिए स्रोत शब्द के रूप में कार्य करता है, और $D$ सूचना प्रचारक, क्योंकि यह सूचना को एक स्थान से दूसरे स्थान तक प्रसारित करता है

$$m_{x}=\int _{\Omega }dy\,D_{xy}j_{y}.$$

इंटरैक्टिंग सिद्धांत

हैमिल्टनियन से बातचीत

यदि मुक्त सिद्धांत की ओर ले जाने वाली किसी भी धारणा का उल्लंघन किया जाता है, तो आईएफटी एक अंतःक्रियात्मक सिद्धांत बन जाता है, जिसमें ऐसे शब्द होते हैं जो सिग्नल क्षेत्र में द्विघात क्रम से अधिक होते हैं। ऐसा तब होता है जब सिग्नल या शोर गॉसियन आंकड़ों का पालन नहीं कर रहे होते हैं, जब प्रतिक्रिया गैर-रैखिक होती है, जब शोर सिग्नल पर निर्भर करता है, या जब प्रतिक्रिया या सहप्रसरण अनिश्चित होते हैं।

इस मामले में, हैमिल्टनियन की जानकारी टेलर श्रृंखला-फ़्रेचेट व्युत्पन्न|फ़्रेचेट श्रृंखला में विस्तार योग्य हो सकती है,

$${\mathcal {H}}(d,\,s)=\underbrace {{\frac {1}{2}}s^{\dagger }D^{-1}s-j^{\dagger }s+{\mathcal {H}}_{0}} _{={\mathcal {H}}_{\text{free}}(d,\,s)}+\underbrace {\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\Lambda _{x_{1}...x_{n}}^{(n)}s_{x_{1}}...s_{x_{n}}} _{={\mathcal {H}}_{\text{int}}(d,\,s)},$$

कहाँ ${\mathcal {H}}_{\text{free}}(d,\,s)$ मुक्त हैमिल्टनियन है, जो अकेले गॉसियन पश्च की ओर ले जाएगा, और ${\mathcal {H}}_{\text{int}}(d,\,s)$ इंटरैक्टिंग हैमिल्टनियन है, जो गैर-गॉसियन सुधारों को एन्कोड करता है। पहले और दूसरे क्रम के टेलर गुणांक को अक्सर (नकारात्मक) सूचना स्रोत से पहचाना जाता है $-j$ और सूचना प्रचारक $D$, क्रमश। उच्चतर गुणांक $\Lambda _{x_{1}...x_{n}}^{(n)}$गैर-रेखीय स्व-अंतःक्रियाओं से जुड़े हैं।

शास्त्रीय क्षेत्र

शास्त्रीय क्षेत्र $s_{\text{cl}}$ हैमिल्टनियन जानकारी को न्यूनतम करता है,

$$\left.{\frac {\partial {\mathcal {H}}(d,s)}{\partial s}}\right|_{s=s_{\text{cl}}}=0,$$

और इसलिए पश्च भाग को अधिकतम करता है:

$$\left.{\frac {\partial {\mathcal {P}}(s|d)}{\partial s}}\right|_{s=s_{\text{cl}}}=\left.{\frac {\partial }{\partial s}}\,{\frac {e^{-{\mathcal {H}}(d,s)}}{{\mathcal {Z}}(d)}}\right|_{s=s_{\text{cl}}}=-{\mathcal {P}}(d,s)\,\underbrace {\left.{\frac {\partial {\mathcal {H}}(d,s)}{\partial s}}\right|_{s=s_{\text{cl}}}} _{=0}=0$$

शास्त्रीय क्षेत्र $s_{\text{cl}}$ इसलिए क्षेत्र अनुमान समस्या का अधिकतम पश्चवर्ती अनुमान है।

क्रिटिकल फ़िल्टर

वीनर फ़िल्टर समस्या के लिए दो बिंदु सहसंबंध की आवश्यकता होती है $S\equiv \langle s\,s^{\dagger }\rangle _{(s)}$ किसी क्षेत्र का ज्ञात होना। यदि यह अज्ञात है, तो क्षेत्र के साथ ही इसका अनुमान लगाना होगा। इसके लिए अति पूर्व के विनिर्देशन की आवश्यकता होती है ${\mathcal {P}}(S)$. अक्सर, सांख्यिकीय एकरूपता (अनुवाद अपरिवर्तनीयता) की कल्पना की जा सकती है, जिसका अर्थ यह है $S$ फूरियर स्थान में विकर्ण है (के लिए)। $\Omega =\mathbb {R} ^{u}$ होने के नाते $u$ आयामी कार्तीय स्थान )। इस मामले में, केवल फूरियर स्पेस पावर स्पेक्ट्रम $P_{s}({\vec {k}})$ अनुमान लगाने की जरूरत है. सांख्यिकीय आइसोट्रॉपी की एक और धारणा को देखते हुए, यह स्पेक्ट्रम केवल लंबाई पर निर्भर करता है $k=|{\vec {k}}|$ फूरियर वेक्टर का ${\vec {k}}$ और केवल एक आयामी स्पेक्ट्रम $P_{s}(k)$ निर्धारित करना होगा. पूर्व क्षेत्र सहप्रसरण फिर फूरियर अंतरिक्ष निर्देशांक में पढ़ता है $S_{{\vec {k}}{\vec {q}}}=(2\pi )^{u}\delta ({\vec {k}}-{\vec {q}})\,P_{s}(k)$.

यदि पूर्व पर $P_{s}(k)$ समतल है, डेटा और स्पेक्ट्रम की संयुक्त संभावना है

$${\begin{aligned}{\mathcal {P}}(d,P_{s})&=\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {P}}(d,s,P_{s})\\&=\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {P}}(d|s,P_{s})\,{\mathcal {P}}(s|P_{s})\,{\mathcal {P}}(P_{s})\\&\propto \int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {G}}(d-Rs,N)\,{\mathcal {G}}(s,S)\\&\propto {\frac {1}{|S|^{\frac {1}{2}}}}\int {\mathcal {D}}s\,\exp \left[-{\frac {1}{2}}\left(s^{\dagger }D^{-1}s-j^{\dagger }s-s^{\dagger }j\right)\right]\\&\propto {\frac {|D|^{\frac {1}{2}}}{|S|^{\frac {1}{2}}}}\exp \left[{\frac {1}{2}}j^{\dagger }D\,j\right],\end{aligned}}$$

जहां सूचना प्रचारक का अंकन है $D=(S^{-1}+R^{\dagger }N^{-1}R)^{-1}$ और स्रोत $j=R^{\dagger }N^{-1}d$ वीनर फ़िल्टर समस्या का दोबारा उपयोग किया गया। संबंधित जानकारी हैमिल्टनियन है

$${\mathcal {H}}(d,P_{s})\;{\widehat {=}}\;{\frac {1}{2}}\left[\ln |S\,D^{-1}|-j^{\dagger }D\,j\right]={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left[\ln \left(S\,D^{-1}\right)-j\,j^{\dagger }D\right],$$

कहाँ ${\widehat {=}}$ अप्रासंगिक स्थिरांक तक समानता को दर्शाता है (यहां: के संबंध में स्थिरांक)। $P_{s}$). के संबंध में इसे कम करना $P_{s}$, अधिकतम प्राप्त करने के लिए एक पोस्टीरियरी पावर स्पेक्ट्रम अनुमानक, पैदावार देता है

$${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {H}}(d,P_{s})}{\partial P_{s}(k)}}&={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left[D\,S^{-1}\,{\frac {\partial \left(S\,D^{-1}\right)}{\partial P_{s}(k)}}-j\,j^{\dagger }{\frac {\partial D}{\partial P_{s}(k)}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left[D\,S^{-1}\,{\frac {\partial \left(1+S\,R^{\dagger }N^{-1}R\right)}{\partial P_{s}(k)}}+j\,j^{\dagger }D\,{\frac {\partial D^{-1}}{\partial P_{s}(k)}}\,D\right]\\&={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left[D\,S^{-1}\,{\frac {\partial S}{\partial P_{s}(k)}}R^{\dagger }N^{-1}R+m\,m^{\dagger }\,{\frac {\partial S^{-1}}{\partial P_{s}(k)}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left[\left(R^{\dagger }N^{-1}R\,D\,S^{-1}-S^{-1}m\,m^{\dagger }\,S^{-1}\right)\,{\frac {\partial S}{\partial P_{s}(k)}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\int \left({\frac {dq}{2\pi }}\right)^{u}\int \left({\frac {dq'}{2\pi }}\right)^{u}\left(\left(D^{-1}-S^{-1}\right)\,D\,S^{-1}-S^{-1}m\,m^{\dagger }\,S^{-1}\right)_{{\vec {q}}{\vec {q}}'}\,{\frac {\partial (2\pi )^{u}\delta ({\vec {q}}-{\vec {q}}')\,P_{s}(q)}{\partial P_{s}(k)}}\\&={\frac {1}{2}}\int \left({\frac {dq}{2\pi }}\right)^{u}\left(S^{-1}-S^{-1}D\,S^{-1}-S^{-1}m\,m^{\dagger }\,S^{-1}\right)_{{\vec {q}}{\vec {q}}}\,\delta (k-q)\\&={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left\{S^{-1}\left[S-\left(D+m\,m^{\dagger }\right)\right]\,S^{-1}\mathbb {P} _{k}\right\}\\&={\frac {\mathrm {Tr} \left[\mathbb {P} _{k}\right]}{2\,P_{s}(k)}}-{\frac {\mathrm {Tr} \left[\left(D+m\,m^{\dagger }\right)\,\mathbb {P} _{k}\right]}{2\,\left[P_{s}(k)\right]^{2}}}=0,\end{aligned}}$$

जहां वीनर फ़िल्टर का मतलब है $m=D\,j$ और स्पेक्ट्रल बैंड प्रोजेक्टर $(\mathbb {P} _{k})_{{\vec {q}}{\vec {q}}'}\equiv (2\pi )^{u}\delta ({\vec {q}}-{\vec {q}}')\,\delta (|{\vec {q}}|-k)$पेश किए गए। बाद वाला साथ आवागमन करता है $S^{-1}$, तब से $(S^{-1})_{{\vec {k}}{\vec {q}}}=(2\pi )^{u}\delta ({\vec {k}}-{\vec {q}})\,[P_{s}(k)]^{-1}$ फूरियर अंतरिक्ष में विकर्ण है। इसलिए पावर स्पेक्ट्रम के लिए अधिकतम पोस्टीरियरी अनुमानक है

$$P_{s}(k)={\frac {\mathrm {Tr} \left[\left(m\,m^{\dagger }+D\right)\,\mathbb {P} _{k}\right]}{\mathrm {Tr} \left[\mathbb {P} _{k}\right]}}.$$

इसकी गणना पुनरावर्ती रूप से की जानी चाहिए $m=D\,j$ और $D=(S^{-1}+R^{\dagger }N^{-1}R)^{-1}$ दोनों पर निर्भर $P_{s}$ खुद। अनुभवजन्य बेयस विधि दृष्टिकोण में, अनुमानित $P_{s}$ दिए गए अनुसार लिया जाएगा। परिणामस्वरूप, सिग्नल क्षेत्र के लिए पश्च माध्य अनुमान संगत है $m$ और इसकी अनिश्चितता इसी के अनुरूप है $D$ अनुभवजन्य बेयस सन्निकटन में।

परिणामी गैर-रैखिक फ़िल्टर को क्रिटिकल फ़िल्टर कहा जाता है। पावर स्पेक्ट्रम आकलन सूत्र का सामान्यीकरण

$$P_{s}(k)={\frac {\mathrm {Tr} \left[\left(m\,m^{\dagger }+\delta \,D\right)\,\mathbb {P} _{k}\right]}{\mathrm {Tr} \left[\mathbb {P} _{k}\right]}}$$

के लिए एक धारणा सीमा प्रदर्शित करता है $\delta <1$, जिसका अर्थ है कि फूरियर बैंड में डेटा विचरण को सिग्नल पुनर्निर्माण से पहले अपेक्षित शोर स्तर को एक निश्चित सीमा से अधिक करना होगा $m$ इस बैंड के लिए गैर-शून्य हो जाता है। जब भी डेटा विचरण इस सीमा से थोड़ा अधिक हो जाता है, तो सिग्नल पुनर्निर्माण थर्मोडायनामिक सिस्टम में प्रथम-क्रम चरण संक्रमण के समान, एक सीमित उत्तेजना स्तर पर पहुंच जाता है। फ़िल्टर के लिए $\delta =1$ जैसे ही डेटा भिन्नता शोर स्तर से अधिक हो जाती है, सिग्नल की धारणा लगातार शुरू हो जाती है। असंतत धारणा का लुप्त होना $\delta =1$ एक महत्वपूर्ण बिंदु (थर्मोडायनामिक्स) से गुजरने वाली थर्मोडायनामिक प्रणाली के समान है। इसलिए इसका नाम क्रिटिकल फ़िल्टर पड़ा।

महत्वपूर्ण फ़िल्टर, गैर-रेखीय मापों के लिए इसका विस्तार, और गैर-फ्लैट स्पेक्ट्रम पुजारियों को शामिल करने से, वास्तविक दुनिया सिग्नल अनुमान समस्याओं के लिए आईएफटी के आवेदन की अनुमति मिलती है, जिसके लिए सिग्नल सहप्रसरण आमतौर पर एक प्राथमिकता अज्ञात है।

आईएफटी आवेदन उदाहरण

आकाशगंगा क्लस्टर एबेल 2219 में रेडियो आकाशगंगाओं की रेडियो इंटरफेरोमेट्रिक छवि। छवियों का निर्माण डेटा बैक-प्रोजेक्शन (ऊपर), क्लीन एल्गोरिदम (मध्य), और रिज़ॉल्व एल्गोरिदम (नीचे) द्वारा किया गया था। नकारात्मक और इसलिए गैर-भौतिक फ्लक्स सफेद रंग में प्रदर्शित होते हैं।

सामान्यीकृत वीनर फ़िल्टर, जो मुफ़्त आईएफटी में उभरता है, सिग्नल प्रोसेसिंग में व्यापक उपयोग में है। IFT पर स्पष्ट रूप से आधारित एल्गोरिदम कई अनुप्रयोगों के लिए तैयार किए गए थे। उनमें से कई को संख्यात्मक सूचना क्षेत्र सिद्धांत (NIFTy) लाइब्रेरी का उपयोग करके कार्यान्वित किया जाता है।

• D³PO डीनोइज़िंग, डीकॉनवॉल्विंग और डीकंपोज़िंग फोटॉन अवलोकनों के लिए एक कोड है। यह गिनती के पॉइसन आंकड़ों और एक उपकरण प्रतिक्रिया फ़ंक्शन को ध्यान में रखते हुए व्यक्तिगत फोटॉन गणना घटनाओं से छवियों का पुनर्निर्माण करता है। यह आकाश उत्सर्जन को विसरित उत्सर्जन की छवि और बिंदु स्रोतों में से एक में विभाजित करता है, उनके पृथक्करण के लिए दो घटकों की विभिन्न सहसंबंध संरचना और आंकड़ों का उपयोग करता है। D³PO को फर्मी गामा-रे स्पेस टेलीस्कोप और RXTE उपग्रहों के डेटा पर लागू किया गया है।
• RESOLVE रेडियो खगोल विज्ञान में एपर्चर संश्लेषण इमेजिंग के लिए एक बायेसियन एल्गोरिदम है। रिज़ॉल्व डी³पीओ के समान है, लेकिन यह गॉसियन संभावना और फूरियर स्पेस प्रतिक्रिया फ़ंक्शन मानता है। इसे कार्ल जी. जांस्की वेरी लार्ज ऐरे के डेटा पर लागू किया गया है।
• PySESA बिंदु बादलों और भू-स्थानिक डेटा के स्थानिक रूप से स्पष्ट वर्णक्रमीय विश्लेषण के लिए एक पायथन ढांचा है।

उन्नत सिद्धांत

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की कई तकनीकों का उपयोग आईएफटी समस्याओं से निपटने के लिए किया जा सकता है, जैसे फेनमैन आरेख, प्रभावी क्रियाएं और क्षेत्र ऑपरेटर औपचारिकता।

फेनमैन आरेख

पहले तीन फेनमैन आरेख किसी क्षेत्र के पश्च माध्य अनुमान में योगदान करते हैं। एक पंक्ति एक सूचना प्रचारक को व्यक्त करती है, एक पंक्ति के अंत में एक बिंदु एक सूचना स्रोत को, और एक शीर्ष एक अंतःक्रिया शब्द को व्यक्त करता है। पहला आरेख वीनर फ़िल्टर को एन्कोड करता है, दूसरा एक गैर-रेखीय सुधार, और तीसरा वीनर फ़िल्टर में अनिश्चितता सुधार को एनकोड करता है।

मामले में बातचीत गुणांक $\Lambda ^{(n)}$ टेलर श्रृंखला में-फ़्रेचेट व्युत्पन्न|फ़्रेचेट जानकारी हैमिल्टनियन का विस्तार

$${\mathcal {H}}(d,\,s)=\underbrace {{\frac {1}{2}}s^{\dagger }D^{-1}s-j^{\dagger }s+{\mathcal {H}}_{0}} _{={\mathcal {H}}_{\text{free}}(d,\,s)}+\underbrace {\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\Lambda _{x_{1}...x_{n}}^{(n)}s_{x_{1}}...s_{x_{n}}} _{={\mathcal {H}}_{\text{int}}(d,\,s)},$$

छोटे हैं, लॉग विभाजन फ़ंक्शन, या हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा,

$$\ln {\mathcal {Z}}(d)=\ln \int {\mathcal {D}}s\,e^{-{\mathcal {H}}(d,s)}=\sum _{c\in C}c$$

इन गुणांकों के संदर्भ में असममित रूप से विस्तार किया जा सकता है। मुक्त हैमिल्टनियन माध्य निर्दिष्ट करता है $m=D\,j$ और विचरण $D$ गाऊसी वितरण का ${\mathcal {G}}(s-m,D)$ जिस पर विस्तार एकीकृत है। इससे सेट पर एक राशि प्राप्त होती है $C$ सभी जुड़े हुए फेनमैन आरेखों का। हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा से, क्षेत्र के किसी भी जुड़े क्षण की गणना की जा सकती है

$$\langle s_{x_{1}}\ldots s_{x_{n}}\rangle _{(s|d)}^{\text{c}}={\frac {\partial ^{n}\ln {\mathcal {Z}}}{\partial j_{x_{1}}\ldots \partial j_{x_{n}}}}.$$

ऐसी स्थितियाँ जहां छोटे विस्तार पैरामीटर मौजूद होते हैं जो इस तरह के आरेखीय विस्तार को अभिसरण करने के लिए आवश्यक होते हैं, लगभग गाऊसी सिग्नल फ़ील्ड द्वारा दिए जाते हैं, जहां फ़ील्ड आंकड़ों की गैर-गॉसियनिटी छोटे इंटरैक्शन गुणांक की ओर ले जाती है $\Lambda ^{(n)}$. उदाहरण के लिए, कॉस्मिक माइक्रोवेव पृष्ठभूमि के आँकड़े लगभग गॉसियन हैं, माना जाता है कि प्रारंभिक ब्रह्मांड में मुद्रास्फीति के युग के दौरान थोड़ी मात्रा में गैर-गॉसियनिटीज़ का बीजारोपण हुआ था।

प्रभावी कार्रवाई

आईएफटी समस्याओं के लिए एक स्थिर संख्यात्मकता प्राप्त करने के लिए, एक कार्यात्मक फ़ील्ड की आवश्यकता होती है जो कम से कम होने पर पश्च माध्य फ़ील्ड प्रदान करती है। ऐसा किसी क्षेत्र की प्रभावी क्रिया या गिब्स मुक्त ऊर्जा द्वारा दिया जाता है। गिब्स मुक्त ऊर्जा $G$ लीजेंड्रे परिवर्तन के माध्यम से हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा से निर्माण किया जा सकता है। IFT में, यह आंतरिक सूचना ऊर्जा के अंतर से दिया जाता है

$$U=\langle {\mathcal {H}}(d,s)\rangle _{{\mathcal {P}}'(s|d')}$$

और शैनन एन्ट्रॉपी

$${\mathcal {S}}=-\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {P}}'(s|d')\,\ln {\mathcal {P}}'(s|d')$$

तापमान के लिए $T=1$, जहां एक गाऊसी पश्च सन्निकटन है ${\mathcal {P}}'(s|d')={\mathcal {G}}(s-m,D)$ अनुमानित डेटा के साथ प्रयोग किया जाता है $d'=(m,D)$ जिसमें क्षेत्र का माध्य और फैलाव शामिल है। गिब्स मुक्त ऊर्जा तब है

$${\begin{aligned}G(m,D)&=U(m,D)-T\,{\mathcal {S}}(m,D)\\&=\langle {\mathcal {H}}(d,s)+\ln {\mathcal {P}}'(s|d')\rangle _{{\mathcal {P}}'(s|d')}\\&=\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {P}}'(s|d')\,\ln {\frac {{\mathcal {P}}'(s|d')}{{\mathcal {P}}(d,s)}}\\&=\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {P}}'(s|d')\,\ln {\frac {{\mathcal {P}}'(s|d')}{{\mathcal {P}}(s|d)\,{\mathcal {P}}(d)}}\\&=\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {P}}'(s|d')\,\ln {\frac {{\mathcal {P}}'(s|d')}{{\mathcal {P}}(s|d)}}-\ln \,{\mathcal {P}}(d)\\&={\text{KL}}({\mathcal {P}}'(s|d')||{\mathcal {P}}(s|d))-\ln {\mathcal {Z}}(d),\end{aligned}}$$

कुल्बैक-लीब्लर विचलन ${\text{KL}}({\mathcal {P}}',{\mathcal {P}})$ अनुमानित और सटीक पश्च प्लस हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा के बीच। चूंकि उत्तरार्द्ध अनुमानित डेटा पर निर्भर नहीं करता है $d'=(m,D)$, गिब्स मुक्त ऊर्जा को कम करना अनुमानित और सटीक पश्च के बीच कुल्बैक-लीब्लर विचलन को कम करने के बराबर है। इस प्रकार, आईएफटी का प्रभावी कार्रवाई दृष्टिकोण वैरिएबल बायेसियन तरीकों के बराबर है, जो अनुमानित और सटीक पोस्टीरियर के बीच कुल्बैक-लीबलर विचलन को भी कम करता है।

गिब्स मुक्त ऊर्जा को न्यूनतम करने से लगभग पश्च माध्य क्षेत्र प्राप्त होता है

$$\langle s\rangle _{(s|d)}=\int {\mathcal {D}}s\,s\,{\mathcal {P}}(s|d),$$

जानकारी को न्यूनतम करते समय हैमिल्टनियन अधिकतम एक पोस्टीरियरी फ़ील्ड प्रदान करता है। जैसा कि बाद वाले को ओवर-फिट शोर के लिए जाना जाता है, पहला आमतौर पर एक बेहतर क्षेत्र अनुमानक होता है।

संचालिका औपचारिकता

गिब्स मुक्त ऊर्जा की गणना के लिए हैमिल्टनियन सूचना पर गाऊसी इंटीग्रल्स की गणना की आवश्यकता होती है, क्योंकि आंतरिक सूचना ऊर्जा है

$$U(m,D)=\langle {\mathcal {H}}(d,s)\rangle _{{\mathcal {P}}'(s|d')}=\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {H}}(d,s)\,{\mathcal {G}}(s-m,D).$$

ऐसे अभिन्नों की गणना फ़ील्ड ऑपरेटर औपचारिकता के माध्यम से की जा सकती है, जिसमें

$$O_{m}=m+D\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}$$

फ़ील्ड ऑपरेटर है. यह फ़ील्ड अभिव्यक्ति उत्पन्न करता है $s$ यदि गाऊसी वितरण फ़ंक्शन पर लागू किया जाए तो अभिन्न के भीतर,

$${\begin{aligned}O_{m}\,{\mathcal {G}}(s-m,D)&=(m+D\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}})\,{\frac {1}{|2\pi D|^{\frac {1}{2}}}}\,\exp \left[-{\frac {1}{2}}(s-m)^{\dagger }D^{-1}(s-m)\right]\\&=(m+D\,D^{-1}(s-m))\,{\frac {1}{|2\pi D|^{\frac {1}{2}}}}\,\exp \left[-{\frac {1}{2}}(s-m)^{\dagger }D^{-1}(s-m)\right]\\&=s\,{\mathcal {G}}(s-m,D),\end{aligned}}$$

और क्षेत्र की कोई भी उच्च शक्ति यदि कई बार लागू की जाए,

$${\begin{aligned}(O_{m})^{n}\,{\mathcal {G}}(s-m,D)&=s^{n}\,{\mathcal {G}}(s-m,D).\end{aligned}}$$

यदि जानकारी हैमिल्टनियन विश्लेषणात्मक है, तो इसके सभी शब्द फ़ील्ड ऑपरेटर के माध्यम से उत्पन्न किए जा सकते हैं

$${\mathcal {H}}(d,O_{m})\,{\mathcal {G}}(s-m,D)={\mathcal {H}}(d,s)\,{\mathcal {G}}(s-m,D).$$

चूँकि फ़ील्ड ऑपरेटर फ़ील्ड पर निर्भर नहीं होता है $s$ स्वयं, इसे आंतरिक सूचना ऊर्जा निर्माण के पथ अभिन्न अंग से बाहर निकाला जा सकता है,

$$U(m,D)=\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {H}}(d,O_{m})\,{\mathcal {G}}(s-m,D)={\mathcal {H}}(d,O_{m})\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {G}}(s-m,D)={\mathcal {H}}(d,O_{m})\,1_{m},$$

कहाँ $1_{m}=1$ इसे एक कार्यात्मक के रूप में माना जाना चाहिए जो हमेशा मूल्य लौटाता है $1$ इसके इनपुट के मूल्य पर ध्यान दिए बिना $m$. परिणामी अभिव्यक्ति की गणना माध्य क्षेत्र विनाशक को कम करके की जा सकती है $D\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}$ अभिव्यक्ति के दाईं ओर, जहां से वे गायब हो जाते हैं ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\,1_{m}=0$. माध्य क्षेत्र विनाशक $D\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}$ के रूप में माध्य क्षेत्र के साथ आवागमन करता है

$$\left[D\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}},m\right]=D\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\,m-m\,D\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}=D+m\,D\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}-m\,D\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}=D.$$

फ़ील्ड ऑपरेटर औपचारिकता के उपयोग से गिब्स मुक्त ऊर्जा की गणना की जा सकती है, जो एक संख्यात्मक मजबूत कार्यात्मक न्यूनीकरण के माध्यम से पश्च माध्य क्षेत्र के (अनुमानित) अनुमान की अनुमति देता है।

इतिहास

नॉर्बर्ट वीनर की किताब इसे क्षेत्र अनुमान पर पहले कार्यों में से एक माना जा सकता है। फ़ील्ड अनुमान के लिए पथ इंटीग्रल्स का उपयोग कई लेखकों द्वारा प्रस्तावित किया गया था, उदाहरण के लिए एडमंड बर्टशिंगर या विलियम बायलेक और ए. ज़ी। क्षेत्र सिद्धांत और बायेसियन तर्क का संबंध जोर्ग लेम द्वारा स्पष्ट किया गया था। सूचना क्षेत्र सिद्धांत शब्द टॉर्स्टन एनलिन द्वारा गढ़ा गया था। आईएफटी के इतिहास पर अधिक जानकारी के लिए बाद वाला संदर्भ देखें।

यह भी देखें

• बायेसियन अनुमान
• बायेसियन पदानुक्रमित मॉडलिंग
• गाऊसी प्रक्रिया
• सांख्यिकीय निष्कर्ष