सेक्सेटिक समीकरण

एक सेक्स्टिक फ़ंक्शन का ग्राफ़, एक फ़ंक्शन की 6 वास्तविक संख्या रूट के साथ (क्रॉसिंग ऑफ़ द x अक्ष) और 5 महत्वपूर्ण बिंदु (गणित)। न्यूनतम की संख्या और लंबवत स्थानों के आधार पर, सेक्स्टिक में 6, 4, 2 या कोई वास्तविक जड़ें नहीं हो सकती हैं। सम्मिश्र संख्या के मूलों की संख्या 6 से घटाकर वास्तविक मूलों की संख्या के बराबर होती है।

बीजगणित में, एक सेक्स्टिक (या हेक्सिक) बहुपद एक बहुपद छह की डिग्री का बहुपद है।

एक सेक्स्टिक समीकरण छह डिग्री का एक बहुपद समीकरण है- अर्थात, एक समीकरण जिसका बायाँ हाथ एक सेक्स्टिक बहुपद है और जिसका दाहिना हाथ शून्य है। अधिक सटीक रूप से, इसका रूप है:

$ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0,\,$

कहाँ पे a ≠ 0 और गुणांक a, b, c, d, e, f, g पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ, सम्मिश्र संख्याएँ या, अधिक सामान्यतः, किसी भी क्षेत्र (गणित) के सदस्य हो सकते हैं।

एक सेक्स्टिक फ़ंक्शन एक सेक्स्टिक बहुपद द्वारा परिभाषित एक फ़ंक्शन (गणित) है। क्योंकि उनके पास एक समान डिग्री है, सेक्स्टिक फ़ंक्शन ग्राफ़ किए जाने पर चतुर्थक समारोह के समान दिखाई देते हैं, सिवाय इसके कि उनके पास एक अतिरिक्त मैक्सिमा और मिनिमा और प्रत्येक स्थानीय न्यूनतम हो सकता है। एक सेक्स्टिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक पंचक समारोह है।

चूँकि एक सेक्स्टिक फ़ंक्शन एक बहुपद द्वारा समान डिग्री के साथ परिभाषित किया गया है, जब तर्क सकारात्मक या नकारात्मक अनंत तक जाता है तो इसकी एक ही अनंत सीमा होती है। यदि अग्रणी गुणांक a धनात्मक है, तो फलन दोनों पक्षों में धनात्मक अनन्तता तक बढ़ जाता है और इस प्रकार फलन का वैश्विक न्यूनतम हो जाता है। इसी तरह अगर a नकारात्मक है, सेक्स्टिक फ़ंक्शन नकारात्मक अनंत तक घटता है और वैश्विक अधिकतम होता है।

सॉल्वेबल सेक्सटिक्स

कुछ छठी डिग्री के समीकरण, जैसे ax⁶ + dx³ + g = 0, रेडिकल्स में फैक्टरिंग करके हल किया जा सकता है, लेकिन अन्य सेक्सटिक्स नहीं कर सकते। इवरिस्ट गैलोइस ने यह निर्धारित करने के लिए तकनीक विकसित की कि क्या किसी दिए गए समीकरण को रेडिकल्स द्वारा हल किया जा सकता है जिसने गैलोइस सिद्धांत के क्षेत्र को जन्म दिया।

यह गैलोइस सिद्धांत से अनुसरण करता है कि एक सेक्स्टिक समीकरण मूलांक के संदर्भ में हल करने योग्य है यदि और केवल अगर इसका गैलोज समूह क्रम 48 के समूह में समाहित है जो स्टेबलाइजर (समूह सिद्धांत) दो के तीन सबसेट में जड़ों के सेट का विभाजन करता है। जड़ें या क्रम 72 के समूह में जो जड़ों के सेट के विभाजन को तीन जड़ों के दो सबसेट में स्थिर करता है।

किसी भी मामले का परीक्षण करने के लिए सूत्र हैं, और, यदि समीकरण हल करने योग्य है, तो रेडिकल्स की अवधि में जड़ों की गणना करें। कम्पे डे फेरिएट कार्यों के संदर्भ में सामान्य यौन समीकरण को हल किया जा सकता है। क्विंटिक समीकरण को हल करने के लिए फेलिक्स क्लेन के दृष्टिकोण का उपयोग करके एक चर में हाइपरज्यामितीय कार्य के संदर्भ में सेक्सटिक्स का एक अधिक प्रतिबंधित वर्ग हल किया जा सकता है।

उदाहरण

वाट का वक्र, जो भाप इंजन पर प्रारंभिक कार्य के संदर्भ में उत्पन्न हुआ, दो चरों में एक सेक्स्टिक है।

क्यूबिक फ़ंक्शन को हल करने की एक विधि # वीटा के प्रतिस्थापन में केवल 6, 3, और 0 की डिग्री वाले सेक्सेटिक समीकरण प्राप्त करने के लिए चर को बदलना शामिल है, जिसे चर के घन में द्विघात समीकरण के रूप में हल किया जा सकता है।

व्युत्पत्ति

डिस्क्रिप्शन सेक्स्टिक लैटिन शब्द स्टेम से 6 या 6 वें (सेक्स-टी-) के लिए आता है, और ग्रीक भाषा के प्रत्यय का अर्थ (-आईसी) से संबंधित है। बहुत कम आम हेक्सिक अपने स्टेम (हेक्स -6) और इसके प्रत्यय (-ik-) दोनों के लिए ग्रीक का उपयोग करता है। दोनों ही मामलों में, उपसर्ग फ़ंक्शन की डिग्री को संदर्भित करता है। अक्सर, इस प्रकार के कार्यों को केवल 6 डिग्री के कार्यों के रूप में संदर्भित किया जाएगा।

यह भी देखें

• केली का सेक्सटिक
• क्यूबिक फ़ंक्शन
• सेप्टिक समीकरण

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