चतुर्थक समारोह

This article is about the univariate case. For the bivariate case, see Quartic plane curve.

"Biquadratic function" redirects here. For the use in computer science, see Biquadratic rational function.

डिग्री 4 के एक बहुपद का ग्राफ, जिसमें 3 महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) और बहुपद के चार वास्तविक संख्या मूल (x अक्ष के क्रॉसिंग) (और इस प्रकार कोई जटिल संख्या जड़ नहीं है)। यदि स्थानीय न्यूनतम में से एक या अन्य एक्स अक्ष के ऊपर थे, या यदि स्थानीय अधिकतम इसके नीचे थे, या यदि कोई स्थानीय अधिकतम नहीं था और एक्स अक्ष के नीचे एक न्यूनतम था, तो केवल दो वास्तविक जड़ें होंगी (और दो जटिल जड़ें)। यदि सभी तीन स्थानीय एक्स्ट्रेमा एक्स अक्ष के ऊपर थे, या यदि एक्स अक्ष के ऊपर कोई स्थानीय अधिकतम और एक न्यूनतम नहीं था, तो कोई वास्तविक जड़ (और चार जटिल जड़ें) नहीं होगी। नकारात्मक क्वार्टिक गुणांक वाले बहुपद के विपरीत यही तर्क लागू होता है।

बीजगणित में, एक क्वार्टिक फ़ंक्शन फॉर्म का एक फ़ंक्शन (गणित) होता है

$f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e,$

जहाँ a अशून्य है, जिसे बहुपद चार की डिग्री के बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे 'क्वार्टिक बहुपद' कहा जाता है।

एक क्वार्टिक समीकरण, या चौथी डिग्री का समीकरण, एक समीकरण है जो फॉर्म के क्वार्टिक बहुपद को शून्य के बराबर करता है

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,$

कहां a ≠ 0. द्विघात फंक्शन का व्युत्पन्न एक घन समारोह है।

कभी-कभी 'क्वार्टिक' के बजाय बायक्वाड्रैटिक शब्द का उपयोग किया जाता है, लेकिन, आमतौर पर, बायक्वाड्रैटिक फ़ंक्शन एक वर्ग के द्विघात फ़ंक्शन को संदर्भित करता है (या, समतुल्य, विषम डिग्री की शर्तों के बिना क्वार्टिक बहुपद द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन के लिए), जिसमें प्रपत्र

$f(x)=ax^{4}+cx^{2}+e.$

चूँकि एक चतुर्थांश फलन को सम कोटि के बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है, जब तर्क धनात्मक या ऋणात्मक अनन्त ता में जाता है तो इसकी समान अनंत सीमा होती है। यदि a धनात्मक है, तो फलन दोनों सिरों पर धनात्मक अनंत तक बढ़ जाता है; और इस प्रकार फ़ंक्शन में मैक्सिमा और मिनिमा है। इसी तरह, यदि a ऋणात्मक है, तो यह ऋणात्मक अनंत तक घटता है और वैश्विक अधिकतम होता है। दोनों ही मामलों में इसमें एक और स्थानीय अधिकतम और दूसरा स्थानीय न्यूनतम हो सकता है या नहीं भी हो सकता है।

एबेल-रफ़िनी प्रमेय के अनुसार, डिग्री चार (क्वार्टिक केस) उच्चतम डिग्री है, जैसे कि हर बहुपद समीकरण को एनवें रूट द्वारा हल किया जा सकता है।

इतिहास

लोदोविको फेरारी को 1540 में क्वार्टिक के समाधान की खोज का श्रेय दिया जाता है, लेकिन चूंकि यह समाधान, क्वार्टिक के सभी बीजगणितीय समाधानों की तरह, एक क्यूबिक समीकरण के समाधान की आवश्यकता होती है, इसे तुरंत प्रकाशित नहीं किया जा सका। क्वार्टिक का समाधान फेरारी के सलाहकार जेरोम कार्डानो द्वारा अर्स मैग्ना (गेरोलमो कार्डानो) पुस्तक में क्यूबिक के साथ प्रकाशित किया गया था। सोवियत इतिहासकार आई। वाई। डेपमैन (ru) दावा किया कि इससे पहले भी, 1486 में, स्पेनिश गणितज्ञ वाल्म्स को क्वार्टिक समीकरण को हल करने का दावा करने के लिए दांव पर जला दिया गया था। जांचकर्ता जनरल टॉमस डी टोरक्वेमाडा ने कथित तौर पर वाल्म्स को बताया कि यह ईश्वर की इच्छा थी कि ऐसा समाधान मानव समझ के लिए दुर्गम हो। हालाँकि, पश्चिम में डेपमैन की इस कहानी को लोकप्रिय बनाने वाले पेट्र बेकमैन ने कहा कि यह अविश्वसनीय था और संकेत दिया कि इसका आविष्कार सोवियत विरोधी धार्मिक प्रचार के रूप में किया गया हो सकता है। इस कहानी के बेकमैन के संस्करण को कई किताबों और इंटरनेट साइटों में व्यापक रूप से कॉपी किया गया है, आमतौर पर उनके आरक्षण के बिना और कभी-कभी काल्पनिक अलंकरणों के साथ। इस कहानी के लिए, या यहां तक ​​कि वाल्म्स के अस्तित्व के लिए पुष्टि करने वाले सबूत खोजने के कई प्रयास विफल रहे हैं। सबूत है कि चार एक सामान्य बहुपद की उच्चतम डिग्री है जिसके लिए इस तरह के समाधान खोजे जा सकते हैं, पहली बार 1824 में एबेल-रफिनी प्रमेय में दिया गया था, यह साबित करते हुए कि उच्च क्रम बहुपदों को हल करने के सभी प्रयास व्यर्थ होंगे। 1832 में एक द्वंद्वयुद्ध में मरने से पहले एवरिस्ट गैलोइस द्वारा छोड़े गए नोटों ने बाद में बहुपदों की जड़ों के एक सुंदर गैल्वा सिद्धांत का नेतृत्व किया, जिसमें से यह प्रमेय एक परिणाम था।

अनुप्रयोग

दो शंकु वर्गों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का प्रत्येक निर्देशांक एक चतुर्थांश समीकरण का एक समाधान है। एक रेखा और एक टोरस्र्स के प्रतिच्छेदन के लिए भी यही सच है। यह इस प्रकार है कि क्वार्टिक समीकरण अक्सर कम्प्यूटेशनल ज्यामिति और कंप्यूटर ग्राफिक्स , कंप्यूटर एडेड डिजाइन , कंप्यूटर एडेड मैन्युफैक्चरिंग और प्रकाशिकी जैसे सभी संबंधित क्षेत्रों में उत्पन्न होते हैं। यहां अन्य ज्यामितीय समस्याओं के उदाहरण दिए गए हैं जिनके समाधान में क्वार्टिक समीकरण को हल करना शामिल है।

कंप्यूटर सहायतायुक्त विनिर्माण में, टोरस एक ऐसा आकार है जो आमतौर पर एंड मिल कटर से जुड़ा होता है। त्रिकोणीय सतह के सापेक्ष इसके स्थान की गणना करने के लिए, क्षैतिज टोरस की स्थिति z-अक्ष अवश्य पाया जाना चाहिए जहां यह एक निश्चित रेखा पर स्पर्शरेखा है, और इसके लिए गणना करने के लिए एक सामान्य क्वार्टिक समीकरण के समाधान की आवश्यकता होती है। क्रास्ड लैडर समस्या को हल करने की प्रक्रिया में एक क्वार्टिक समीकरण भी उत्पन्न होता है, जिसमें दो क्रास्ड लैडर की लंबाई, प्रत्येक एक दीवार के खिलाफ और दूसरी के खिलाफ झुकी हुई होती है, उस ऊंचाई के साथ दी जाती है जिस पर वे पार करते हैं, और बीच की दूरी दीवारें मिलनी हैं। प्रकाशिकी में, अलहज़ेन की समस्या को एक प्रकाश स्रोत और एक गोलाकार दर्पण दिया गया है, दर्पण पर उस बिंदु का पता लगाएं जहां प्रकाश एक पर्यवेक्षक की आंख पर प्रतिबिंबित होगा। यह एक चतुर्थक समीकरण की ओर जाता है। दीर्घवृत्त और दीर्घवृत्त के निकटतम दृष्टिकोण की दूरी का पता लगाना#दो दीर्घवृत्त के निकटतम दृष्टिकोण की दूरी में एक चतुर्थांश समीकरण को हल करना शामिल है।

एक 4×4 मैट्रिक्स (गणित) के eigenvalue s ​​एक क्वार्टिक बहुपद की जड़ें हैं जो मैट्रिक्स की विशेषता बहुपद है।

चौथे क्रम के रैखिक [[ अंतर समीकरण ]] या अवकल समीकरण का अभिलाक्षणिक समीकरण एक चतुर्थांश समीकरण है। बेंडिंग#टिमोशेंको-रेले सिद्धांत|टिमोशेंको-रेले थ्योरी ऑफ बीम बेंडिंग में एक उदाहरण सामने आता है। चौराहा (यूक्लिडियन ज्यामिति) क्षेत्रों, सिलेंडरों, या अन्य चतुष्कोणों के बीच चतुर्थांश समीकरणों का उपयोग करके पाया जा सकता है।

विभक्ति बिंदु और सुनहरा अनुपात

दे F और G क्वार्टिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अलग-अलग विभक्ति बिंदु बनें, और दें H विभक्ति छेदक रेखा का प्रतिच्छेदन हो FG और क्वार्टिक, के करीब G की तुलना में F, तब G विभाजित FH सुनहरे खंड में:

${\frac {FG}{GH}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \;({\text{the golden ratio}}).$

इसके अलावा, छेदक रेखा और छेदक रेखा के नीचे चतुर्थांश के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल छेदक रेखा के ऊपर के क्षेत्र और छेदक रेखा के ऊपर चतुर्थक के बीच के क्षेत्र के बराबर होता है। उन क्षेत्रों में से एक को समान क्षेत्र के उप-क्षेत्रों में विभाजित किया गया है।

समाधान

जड़ों की प्रकृति

सामान्य चतुर्थक समीकरण दिया गया है

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

वास्तविक गुणांक के साथ और a ≠ 0 इसकी जड़ों की प्रकृति मुख्य रूप से इसके विवेचक के चिन्ह से निर्धारित होती है

${\begin{aligned}\Delta ={}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}$ इसे चार अन्य बहुपदों के चिह्नों पर विचार करके परिष्कृत किया जा सकता है:

$P=8ac-3b^{2}$

ऐसा है कि P/8a² संबंधित उदास क्वार्टिक का दूसरा डिग्री गुणांक है (#Convert_to_a_depressed_quartic देखें);

$R=b^{3}+8da^{2}-4abc,$

ऐसा है कि R/8a³ संबंधित उदास क्वार्टिक का पहला डिग्री गुणांक है;

$\Delta _{0}=c^{2}-3bd+12ae,$

जो 0 है यदि क्वार्टिक का ट्रिपल रूट है; और

$D=64a^{3}e-16a^{2}c^{2}+16ab^{2}c-16a^{2}bd-3b^{4}$

जो कि 0 है यदि क्वार्टिक के दो दोहरे मूल हैं।

जड़ों की प्रकृति के संभावित मामले इस प्रकार हैं:

• यदि ∆ < 0 तब समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्मी अवास्तविक मूल होते हैं।
• यदि ∆ > 0 तब या तो समीकरण के चारों मूल वास्तविक हैं या कोई नहीं है।
  • यदि P < 0 और D < 0 तो चारों मूल वास्तविक और भिन्न हैं।
  • यदि P > 0 या D > 0 तो गैर-वास्तविक जटिल संयुग्मी जड़ों के दो जोड़े हैं।
• यदि ∆ = 0 तब (और केवल तभी) बहुपद की बहुलता (गणित) जड़ होती है। यहां विभिन्न मामले हैं जो हो सकते हैं:
  • यदि P < 0 और D < 0 और ∆₀ ≠ 0, एक वास्तविक दोहरी जड़ और दो वास्तविक सरल जड़ें हैं।
  • यदि D > 0 या (P > 0 और (D ≠ 0 या R ≠ 0)), एक वास्तविक दोहरी जड़ और दो जटिल संयुग्मी जड़ें हैं।
  • यदि ∆₀ = 0 और D ≠ 0, एक ट्रिपल रूट और एक साधारण रूट हैं, सभी वास्तविक हैं।
  • यदि D = 0, तब:
    • यदि P <0, दो वास्तविक दोहरे मूल हैं।
    • यदि P > 0 और R = 0, दो जटिल संयुग्मी दोहरे मूल हैं।
    • यदि ∆₀ = 0, चारों मूल बराबर हैं −b/4a

कुछ मामले ऐसे होते हैं जो कवर नहीं होते हैं, और वास्तव में वे घटित नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, ∆₀ > 0, P = 0 और D ≤ 0 मामलों में से एक नहीं है। वास्तव में, अगर ∆₀ > 0 और P = 0 तब D > 0, चूंकि $16a^{2}\Delta _{0}=3D+P^{2};$ इसलिए यह गठबंधन संभव नहीं है।

जड़ों के लिए सामान्य सूत्र

का समाधान $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ पूरा लिखा हुआ। यह सूत्र सामान्य उपयोग के लिए बहुत बोझिल है; इसलिए अन्य विधियों, या विशेष मामलों के लिए सरल सूत्रों का आमतौर पर उपयोग किया जाता है।

चार जड़ x₁, x₂, x₃, और x₄ सामान्य क्वार्टिक समीकरण के लिए

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,$

साथ a निम्नलिखित सूत्र में ≠ 0 दिए गए हैं, जो #Ferrari के समाधान पर अनुभाग में से एक से घटाया गया है। चर को वापस बदलकर फेरारी की विधि (देखें § Converting to a depressed quartic) और द्विघात फलन और घन फलन के लिए सूत्रों का उपयोग करना#जड़ों के लिए सामान्य सूत्र।

${\begin{aligned}x_{1,2}\ &=-{\frac {b}{4a}}-S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p+{\frac {q}{S}}}}\\x_{3,4}\ &=-{\frac {b}{4a}}+S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p-{\frac {q}{S}}}}\end{aligned}}$

कहां p और q एक अवनत क्वार्टिक में #परिवर्तित होने में क्रमशः दूसरी और पहली डिग्री के गुणांक हैं

${\begin{aligned}p&={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}\end{aligned}}$

और कहाँ

${\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {1}{3a}}\left(Q+{\frac {\Delta _{0}}{Q}}\right)}}\\Q&={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}+{\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}$

(यदि S = 0 या Q = 0, देखो § Special cases of the formula, नीचे)

साथ

${\begin{aligned}\Delta _{0}&=c^{2}-3bd+12ae\\\Delta _{1}&=2c^{3}-9bcd+27b^{2}e+27ad^{2}-72ace\end{aligned}}$

और

$\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}=-27\Delta \ ,$ कहां $\Delta$ पूर्वोक्त विवेचक है। क्यू के लिए घनमूल अभिव्यक्ति के लिए, जटिल विमान में तीन घनमूलों में से किसी का भी उपयोग किया जा सकता है, हालांकि यदि उनमें से एक वास्तविक है तो यह चुनने के लिए प्राकृतिक और सरलतम है। इन अंतिम चार पदों के गणितीय व्यंजक उनके घन फलन#बीजगणितीय हल के समान हैं।

सूत्र की विशेष स्थितियाँ

• यदि $\Delta >0,$ का मान है $Q$ एक अवास्तविक सम्मिश्र संख्या है। इस स्थिति में, या तो सभी मूल अवास्तविक हैं या वे सभी वास्तविक हैं। बाद के मामले में, का मूल्य $S$ के संदर्भ में व्यक्त किए जाने के बावजूद भी वास्तविक है $Q;$ यह क्वार्टिक के वर्तमान संदर्भ में विस्तारित क्यूबिक फ़ंक्शन का एक अपरिवर्तनीय मौका है। त्रिकोणमितीय कार्य ों का उपयोग करके, इसे विशुद्ध रूप से वास्तविक तरीके से व्यक्त करना पसंद कर सकते हैं:

$S={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {2}{3a}}{\sqrt {\Delta _{0}}}\cos {\frac {\varphi }{3}}}}$

कहां

$\varphi =\arccos \left({\frac {\Delta _{1}}{2{\sqrt {\Delta _{0}^{3}}}}}\right).$

• यदि $\Delta \neq 0$ और $\Delta _{0}=0,$ का चिन्ह ${\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}={\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}$ होने के लिए चुना जाना है $Q\neq 0,$ वह परिभाषित करना चाहिए ${\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}$ जैसा $\Delta _{1},$ का चिह्न बनाए रखना $\Delta _{1}.$
• यदि $S=0,$ तो किसी को क्यूब रूट की पसंद को बदलना होगा $Q$ होने के लिए $S\neq 0.$ यह हमेशा संभव है, सिवाय इसके कि अगर क्वार्टिक को फैक्टर किया जा सकता है $\left(x+{\tfrac {b}{4a}}\right)^{4}.$ परिणाम तब सही है, लेकिन भ्रामक है क्योंकि यह इस तथ्य को छुपाता है कि इस मामले में घनमूल की आवश्यकता नहीं है। वास्तव में यह मामला तभी हो सकता है जब का अंश $q$ शून्य है, जिस स्थिति में संबंधित #डिप्रेस्ड क्वार्टिक में बदलना बाइक्वाड्रैटिक है; इसे इस प्रकार वर्णित विधि द्वारा हल किया जा सकता है #Biquadratic समीकरण।
• यदि $\Delta =0$ और $\Delta _{0}=0,$ और इस प्रकार भी $\Delta _{1}=0,$ कम से कम तीन जड़ें एक दूसरे के बराबर हैं, और जड़ें गुणांक के तर्कसंगत कार्य हैं। त्रिगुण जड़ $x_{0}$ क्वार्टिक की एक सामान्य जड़ और इसका दूसरा व्युत्पन्न है $2(6ax^{2}+3bx+c);$ इस प्रकार यह अपने दूसरे व्युत्पन्न द्वारा क्वार्टिक के यूक्लिडियन विभाजन के शेष की अनूठी जड़ भी है, जो एक रैखिक बहुपद है। साधारण जड़ $x_{1}$ से निकाला जा सकता है $x_{1}+3x_{0}=-b/a.$
• यदि $\Delta =0$ और $\Delta _{0}\neq 0,$ जड़ों के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति सही है लेकिन भ्रामक है, इस तथ्य को छिपाते हुए कि बहुपद अलघुकरणीय बहुपद है और जड़ों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किसी घनमूल की आवश्यकता नहीं है।

सरल मामले

कम करने योग्य क्वार्टिक्स

सामान्य क्वार्टिक पर विचार करें

$Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.$

यह अलघुकरणीय बहुपद है यदि Q(x) = R(x)×S(x), कहां R(x) और S(x) तर्कसंगत संख्या गुणांक वाले गैर-निरंतर बहुपद हैं (या अधिक सामान्यतः एक ही क्षेत्र (गणित) में गुणांक के साथ गुणांक के रूप में) Q(x)). इस तरह का कारककरण दो रूपों में से एक होगा:

$Q(x)=(x-x_{1})(b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0})$

या

$Q(x)=(c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0})(d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0}).$

किसी भी मामले में, की जड़ें Q(x) गुणनखंडों की जड़ें हैं, जिनकी गणना किसी द्विघात फलन या घन फलन के मूलों के सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है।

इस तरह के गुणनखंडों के अस्तित्व का पता लगाया जा सकता है। Q(x). परिणाम यह निकला:

• अगर हम काम कर रहे हैं R (अर्थात, यदि गुणांक वास्तविक संख्या तक ही सीमित हैं) (या, अधिक सामान्यतः, कुछ वास्तविक बंद क्षेत्र पर) तो हमेशा ऐसा गुणनखंड होता है;
• अगर हम काम कर रहे हैं Q (अर्थात, यदि गुणांक परिमेय संख्याओं तक ही सीमित हैं) तो यह निर्धारित करने के लिए एक एल्गोरिथम है या नहीं Q(x) कम करने योग्य है और, यदि यह है, तो इसे छोटी डिग्री के बहुपदों के उत्पाद के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए।

वास्तव में, क्वार्टिक समीकरणों को हल करने के कई तरीके (क्वार्टिक फ़ंक्शन # फेरारी का समाधान | फेरारी की विधि, क्वार्टिक फ़ंक्शन # डेसकार्टेस का समाधान | डेसकार्टेस की विधि, और, कुछ हद तक, क्वार्टिक फ़ंक्शन # यूलर का समाधान | यूलर की विधि) खोजने पर आधारित हैं इस तरह के गुणनखंड।

द्विवर्गीय समीकरण

यदि a₃ = a₁ = 0 फिर द्विअर्थी समारोह

$Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}\,\!$

द्विवर्गीय समीकरण को परिभाषित करता है, जिसे हल करना आसान है।

सहायक चर दें z = x². फिर Q(x) एक द्विघात फलन बन जाता है q में z: q(z) = a₄z² + a₂z + a₀. होने देना z₊ और z₋ की जड़ें हों q(z). फिर हमारे क्वार्टिक की जड़ें Q(x) हैं

${\begin{aligned}x_{1}&=+{\sqrt {z_{+}}},\\x_{2}&=-{\sqrt {z_{+}}},\\x_{3}&=+{\sqrt {z_{-}}},\\x_{4}&=-{\sqrt {z_{-}}}.\end{aligned}}$

अर्द्ध मुरजबंध संबंधी समीकरण

बहुपद

$P(x)=a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}$

लगभग व्युत्क्रम बहुपद#Palindromic बहुपद है, as P(mx) = x⁴/m²P(m/x) (यह मुरजबंध संबंधी है अगर m = 1). चरों का परिवर्तन z = x + m/x में P(x)/x² = 0 द्विघात समीकरण उत्पन्न करता है a₀z² + a₁z + a₂ − 2ma₀ = 0. तब से x² − xz + m = 0, चतुर्थक समीकरण P(x) = 0 द्विघात सूत्र का दो बार प्रयोग करके हल किया जा सकता है।

समाधान के तरीके

एक उदास क्वार्टिक में परिवर्तित होना

उद्देश्यों को हल करने के लिए, चर के निम्नलिखित सरल परिवर्तन से आमतौर पर क्वार्टिक को उदास क्वार्टिक में परिवर्तित करना बेहतर होता है। सभी सूत्र सरल हैं और कुछ विधियाँ केवल इस मामले में काम करती हैं। चर के विपरीत परिवर्तन द्वारा मूल क्वार्टिक की जड़ों को उदास क्वार्टिक से आसानी से पुनर्प्राप्त किया जाता है।

होने देना

$a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$

सामान्य क्वार्टिक समीकरण बनें जिसे हम हल करना चाहते हैं।

द्वारा विभाजित करना a₄, समतुल्य समीकरण प्रदान करता है x⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0, साथ b = a₃/a₄, c = a₂/a₄, d = a₁/a₄, और e = a₀/a₄. स्थानापन्न y − b/4 के लिए x शर्तों को फिर से समूहीकृत करने के बाद, समीकरण देता है y⁴ + py² + qy + r = 0, कहां

${\begin{aligned}p&={\frac {8c-3b^{2}}{8}}={\frac {8a_{2}a_{4}-3{a_{3}}^{2}}{8{a_{4}}^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4bc+8d}{8}}={\frac {{a_{3}}^{3}-4a_{2}a_{3}a_{4}+8a_{1}{a_{4}}^{2}}{8{a_{4}}^{3}}}\\r&={\frac {-3b^{4}+256e-64bd+16b^{2}c}{256}}={\frac {-3{a_{3}}^{4}+256a_{0}{a_{4}}^{3}-64a_{1}a_{3}{a_{4}}^{2}+16a_{2}{a_{3}}^{2}a_{4}}{256{a_{4}}^{4}}}.\end{aligned}}$

यदि y₀ इस उदास क्वार्टिक की जड़ है, फिर y₀ − b/4 (वह है y₀ − a₃/4a₄) मूल क्वार्टिक की जड़ है और मूल क्वार्टिक की हर जड़ इस प्रक्रिया से प्राप्त की जा सकती है।

फेरारी का समाधान

जैसा कि पिछले अनुभाग में बताया गया है, हम उदास क्वार्टिक समीकरण से शुरू कर सकते हैं

$y^{4}+py^{2}+qy+r=0.$

लोदोविको फेरारी द्वारा खोजी गई विधि के माध्यम से इस दबे हुए क्वार्टिक को हल किया जा सकता है। उदास समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है (यह आसानी से वर्ग का विस्तार करके और बाईं ओर सभी शब्दों को पुनर्समूहित करके सत्यापित किया जाता है)

$\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}\right)^{2}=-qy-r+{\frac {p^{2}}{4}}.$

फिर, हम एक चर का परिचय देते हैं m बायीं ओर के कारक में जोड़कर 2y²m + pm + m² दोनों पक्षों को। की शक्ति के गुणांकों को पुनर्समूहित करने के बाद y दाईं ओर, यह समीकरण देता है

$\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m\right)^{2}=2my^{2}-qy+m^{2}+mp+{\frac {p^{2}}{4}}-r,$

(1)

जो मूल समीकरण के समतुल्य है, जो भी मान दिया गया हो m.

के मूल्य के रूप में m मनमाने ढंग से चुना जा सकता है, हम इसे दाहिनी ओर के वर्ग को पूरा करने के लिए चुनेंगे। इसका मतलब है कि भेदभाव करने वाला y इस द्विघात समीकरण का शून्य है, अर्थात m समीकरण का मूल है

$(-q)^{2}-4(2m)\left(m^{2}+pm+{\frac {p^{2}}{4}}-r\right)=0,\,$

जिसे फिर से लिखा जा सकता है

$8m^{3}+8pm^{2}+(2p^{2}-8r)m-q^{2}=0.$

(1a)

यह क्वार्टिक समीकरण का विलायक घन है। का मूल्य m इस प्रकार घन समीकरण # कार्डानो की विधि | कार्डानो के सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है। कब m इस समीकरण की जड़ है, समीकरण के दाहिने हाथ की ओर (1) वर्ग है

$\left({\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.$

हालाँकि, यह एक विभाजन को शून्य से प्रेरित करता है यदि m = 0. यह संकेत करता है q = 0, और इस प्रकार उदास समीकरण द्वि-द्विघात है, और इसे एक आसान विधि से हल किया जा सकता है (ऊपर देखें)। यह फेरारी के समय में कोई समस्या नहीं थी, जब केवल संख्यात्मक गुणांक वाले स्पष्ट रूप से दिए गए समीकरणों को हल किया जाता था। एक सामान्य सूत्र के लिए जो हमेशा सत्य होता है, इस प्रकार किसी को घन समीकरण की जड़ चुनने की आवश्यकता होती है m ≠ 0. उदास समीकरण को छोड़कर यह हमेशा संभव है y⁴ = 0.

अब अगर m घन समीकरण का एक मूल है जैसे कि m ≠ 0, समीकरण (1) बन जाता है

$\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m\right)^{2}=\left(y{\sqrt {2m}}-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.$

यह समीकरण रूप का है M² = N², जिसे पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है M² − N² = 0 या (M + N)(M − N) = 0. इसलिए, समीकरण (1) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है

$\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m+{\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m-{\sqrt {2m}}y+{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)=0.$

द्विघात सूत्र को प्रत्येक कारक पर लागू करके इस समीकरण को आसानी से हल किया जाता है। इन्हें हल करते हुए हम चार मूलों को इस प्रकार लिख सकते हैं

$y={\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2},$

कहां ±₁ और ±₂ या तो निरूपित करें + या −. की दो घटनाओं के रूप में ±₁ एक ही चिन्ह को निरूपित करना चाहिए, यह चार संभावनाएँ छोड़ता है, प्रत्येक जड़ के लिए एक।

इसलिए, मूल क्वार्टिक समीकरण के समाधान हैं

$x=-{a_{3} \over 4a_{4}}+{\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2}.$ उपरोक्त #सामान्य_सूत्र_के_जड़ों के साथ तुलना करने पर यह पता चलता है √2m = 2S.

डेसकार्टेस 'समाधान

डेसकार्टेस 1637 में एक द्विघात बहुपद की जड़ों को दो द्विघात बहुपदों में विभाजित करके खोजने की विधि पेश की गई। होने देना

${\begin{aligned}x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e&=(x^{2}+sx+t)(x^{2}+ux+v)\\&=x^{4}+(s+u)x^{3}+(t+v+su)x^{2}+(sv+tu)x+tv\end{aligned}}$

गुणांकों को समान करके, समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली में इसका परिणाम होता है:

$\left\{{\begin{array}{l}b=s+u\\c=t+v+su\\d=sv+tu\\e=tv\end{array}}\right.$

1. डिप्रेस्ड क्वार्टिक में #परिवर्तित करके फिर से शुरू करके इसे सरल बनाया जा सकता है y⁴ + py² + qy + r, जिसे प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है y − b/4 के लिए x. के गुणांक के बाद से y³ है0, हम पाते हैं s = −u, और:

$\left\{{\begin{array}{l}p+u^{2}=t+v\\q=u(t-v)\\r=tv\end{array}}\right.$

कोई अब दोनों को समाप्त कर सकता है t और v निम्नलिखित करके:

${\begin{aligned}u^{2}(p+u^{2})^{2}-q^{2}&=u^{2}(t+v)^{2}-u^{2}(t-v)^{2}\\&=u^{2}[(t+v+(t-v))(t+v-(t-v))]\\&=u^{2}(2t)(2v)\\&=4u^{2}tv\\&=4u^{2}r\end{aligned}}$

अगर हम सेट करते हैं U = u², तो इस समीकरण को हल करने से विलेय घन के मूल ज्ञात हो जाते हैं

$U^{3}+2pU^{2}+(p^{2}-4r)U-q^{2},$

(2)

जो कि क्यूबिक_फंक्शन#सामान्य_समाधान_to_the_cubic_equation_with_real_coeffients है। यह रिज़ॉल्वेंट क्यूबिक ऊपर दिए गए रिज़ॉल्वेंट क्यूबिक (समीकरण (1a)) के बराबर है, जैसा कि U = 2m को प्रतिस्थापित करके देखा जा सकता है।

यदि u इस विलायक के गैर-शून्य मूल का एक वर्गमूल है (क्वार्टिक को छोड़कर ऐसा गैर-शून्य मूल मौजूद है) x⁴, जो तुच्छ रूप से कारक है),

$\left\{{\begin{array}{l}s=-u\\2t=p+u^{2}+q/u\\2v=p+u^{2}-q/u\end{array}}\right.$

इस समाधान में समरूपता इस प्रकार है। क्यूबिक की तीन जड़ें हैं, तीन तरीकों से संबंधित है कि क्वार्टिक को दो क्वाड्रैटिक्स में विभाजित किया जा सकता है, और सकारात्मक या नकारात्मक मानों का चयन किया जा सकता है u के वर्गमूल के लिए U केवल दो चतुष्कोणों का एक दूसरे के साथ आदान-प्रदान करता है।

उपरोक्त समाधान से पता चलता है कि तर्कसंगत गुणांक के साथ एक क्वार्टिक बहुपद और क्यूबिक शब्द पर शून्य गुणांक तर्कसंगत गुणांक वाले क्वाड्रैटिक्स में कारक है यदि और केवल यदि या तो घुलनशील क्यूबिक (2) का शून्येतर मूल है जो परिमेय का वर्ग है, या p² − 4r तर्कसंगत और का वर्ग है q = 0; इसे तर्कसंगत जड़ परीक्षण का उपयोग करके आसानी से चेक किया जा सकता है।

यूलर का समाधान

पिछली पद्धति का एक प्रकार लियोनहार्ड यूलर के कारण है। पिछले तरीकों के विपरीत, जिनमें से दोनों विलायक क्यूबिक की कुछ जड़ का उपयोग करते हैं, यूलर की विधि उन सभी का उपयोग करती है। एक उदास क्वार्टिक पर विचार करें x⁴ + px² + qx + r. ध्यान दें कि, अगर

• x⁴ + px² + qx + r = (x² + sx + t)(x² − sx + v),
• r₁ और r₂ की जड़ें हैं x² + sx + t,
• r₃ और r₄ की जड़ें हैं x² − sx + v,

तब

• की जड़ें x⁴ + px² + qx + r हैं r₁, r₂, r₃, और r₄,
• r₁ + r₂ = −s,
• r₃ + r₄ = s.

इसलिए, (r₁ + r₂)(r₃ + r₄) = −s². दूसरे शब्दों में, −(r₁ + r₂)(r₃ + r₄) विलायक घन की जड़ों में से एक है (2) और इससे पता चलता है कि घन की जड़ें बराबर हैं −(r₁ + r₂)(r₃ + r₄), −(r₁ + r₃)(r₂ + r₄), और −(r₁ + r₄)(r₂ + r₃). यह वास्तव में सच है और यह वीटा के सूत्रों का अनुसरण करता है। यह वीटा के फॉर्मूले से भी निकलता है, साथ ही इस तथ्य के साथ कि हम एक उदास क्वार्टिक के साथ काम कर रहे हैं, कि r₁ + r₂ + r₃ + r₄ = 0. (बेशक, यह इस तथ्य से भी निकलता है कि r₁ + r₂ + r₃ + r₄ = −s + s।) इसलिए, यदि α, β, और γ विलायक घन की जड़ें हैं, फिर संख्याएं r₁, r₂, r₃, और r₄ ऐसे हैं

$\left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\(r_{1}+r_{2})(r_{3}+r_{4})=-\alpha \\(r_{1}+r_{3})(r_{2}+r_{4})=-\beta \\(r_{1}+r_{4})(r_{2}+r_{3})=-\gamma {\text{.}}\end{array}}\right.$

यह पहले दो समीकरणों का परिणाम है r₁ + r₂ का वर्गमूल है α और कि r₃ + r₄ का अन्य वर्गमूल है α. एक ही कारण के लिए,

• r₁ + r₃ का वर्गमूल है β,
• r₂ + r₄ का अन्य वर्गमूल है β,
• r₁ + r₄ का वर्गमूल है γ,
• r₂ + r₃ का अन्य वर्गमूल है γ.

इसलिए, संख्याएँ r₁, r₂, r₃, और r₄ ऐसे हैं

$\left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\r_{1}+r_{2}={\sqrt {\alpha }}\\r_{1}+r_{3}={\sqrt {\beta }}\\r_{1}+r_{4}={\sqrt {\gamma }}{\text{;}}\end{array}}\right.$

वर्गमूल के चिह्न के बारे में नीचे चर्चा की जाएगी। इस प्रणाली का एकमात्र समाधान है:

$\left\{{\begin{array}{l}r_{1}={\frac {{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{2}={\frac {{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{3}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{4}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}{\text{.}}\end{array}}\right.$

चूंकि, सामान्य तौर पर, प्रत्येक वर्गमूल के लिए दो विकल्प होते हैं, ऐसा लग सकता है कि यह प्रदान करता है 8 (= 2³) सेट के लिए विकल्प {r₁, r₂, r₃, r₄}, लेकिन, वास्तव में, यह इससे अधिक प्रदान नहीं करता है 2इस तरह के विकल्प, क्योंकि सममित एक द्वारा वर्गमूलों में से एक को बदलने का परिणाम यह है कि सेट {r₁, r₂, r₃, r₄} समुच्चय बन जाता है {−r₁, −r₂, −r₃, −r₄}.

वर्गमूल का सही चिह्न निर्धारित करने के लिए, प्रत्येक संख्या के लिए बस कुछ वर्गमूल चुनता है α, β, और γ और संख्याओं की गणना करने के लिए उनका उपयोग करता है r₁, r₂, r₃, और r₄ पिछली समानता से। फिर, कोई संख्या की गणना करता है √α√β√γ. तब से α, β, और γ की जड़ें हैं (2), यह वीटा के फार्मूले का परिणाम है कि उनका उत्पाद बराबर है q² और इसलिए वह √α√β√γ = ±q. लेकिन एक सीधी गणना से पता चलता है

√α√β√γ = r₁r₂r₃ + r₁r₂r₄ + r₁r₃r₄ + r₂r₃r₄.

यदि यह संख्या है −q, तब वर्गमूल का चुनाव अच्छा था (फिर से, वीटा के सूत्रों द्वारा); अन्यथा, बहुपद के मूल होंगे −r₁, −r₂, −r₃, और −r₄, यदि वर्गमूलों में से एक को सममित एक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो कौन सी संख्याएँ प्राप्त होती हैं (या, यदि तीन वर्गमूलों में से प्रत्येक को सममित एक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो एक ही चीज़ के बराबर क्या होता है)।

यह तर्क वर्गमूल चुनने का एक और तरीका सुझाता है:

• कोई भी वर्गमूल चुनें √α का α और कोई भी वर्गमूल √β का β;
• परिभाषित करना √γ जैसा $-{\frac {q}{{\sqrt {\alpha }}{\sqrt {\beta }}}}$.

बेशक, इसका कोई मतलब नहीं होगा अगर α या β के बराबर है 0, लेकिन 0 की जड़ है (2) केवल जब q = 0, यानी, केवल जब हम एक क्वार्टिक फ़ंक्शन#द्विद्विघात समीकरण के साथ काम कर रहे हैं, इस मामले में एक बहुत ही सरल दृष्टिकोण है।

लैग्रेंज रिसॉल्वेंट द्वारा समाधान

सममित समूह S₄ चार तत्वों पर सामान्य उपसमूह के रूप में क्लेन चार-समूह है। यह एक का उपयोग करने का सुझाव देता हैresolvent cubicजिनकी जड़ों को असतत फूरियर रूपांतरण या जड़ों के हैडमार्ड मैट्रिक्स रूपांतरण के रूप में विभिन्न रूप से वर्णित किया जा सकता है; सामान्य विधि के लिए लग्रेंज विलायक देखें। द्वारा निरूपित करें x_i, के लिए i से0 को3, की चार जड़ें x⁴ + bx³ + cx² + dx + e. अगर हम सेट करते हैं

${\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}),\\[4pt]s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}+x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}-x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}-x_{2}+x_{3}),\end{aligned}}$

तब चूंकि परिवर्तन एक अंतर्वलन (गणित) है, हम जड़ों को चार के संदर्भ में व्यक्त कर सकते हैं s_i ठीक उसी तरह। चूंकि हम मूल्य जानते हैं s₀ = −b/2, हमें केवल इसके लिए मूल्यों की आवश्यकता है s₁, s₂ और s₃. ये बहुपद की जड़ें हैं

$(s^{2}-{s_{1}}^{2})(s^{2}-{s_{2}}^{2})(s^{2}-{s_{3}}^{2}).$

प्रतिस्थापित कर रहा है s_i के संदर्भ में उनके मूल्यों द्वारा x_i, इस बहुपद को एक बहुपद में विस्तारित किया जा सकता है s जिनके गुणांक सममित बहुपद हैं x_i. सममित बहुपदों के मौलिक प्रमेय द्वारा, इन गुणांकों को मोनिक क्वार्टिक के गुणांकों में बहुपदों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अगर, सरलीकरण के लिए, हम मानते हैं कि क्वार्टिक उदास है, यानी b = 0, इसका परिणाम बहुपद में होता है

$s^{6}+2cs^{4}+(c^{2}-4e)s^{2}-d^{2}$

(3)

यह बहुपद डिग्री छह का है, लेकिन केवल डिग्री तीन इंच का है s², और इसलिए क्यूबिक फ़ंक्शन के बारे में आलेख में वर्णित विधि द्वारा संबंधित समीकरण हल करने योग्य है। की अभिव्यक्ति में जड़ों को प्रतिस्थापित करके x_i के रूप में s_i, हम जड़ों के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं। वास्तव में, स्पष्ट रूप से, हमें कई व्यंजक प्राप्त होते हैं, जो घन बहुपद के मूलों की संख्या और उनके वर्गमूलों को दिए गए चिह्नों पर निर्भर करते हैं। इन सभी अलग-अलग अभिव्यक्तियों को उनमें से किसी एक से केवल नंबरिंग को बदलकर निकाला जा सकता है x_i.

ये भाव अनावश्यक रूप से जटिल हैं, जिनमें एकता की जड़ शामिल है, जिसे निम्नानुसार टाला जा सकता है। यदि s का कोई अशून्य मूल है (3), और अगर हम सेट करते हैं

${\begin{aligned}F_{1}(x)&=x^{2}+sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}-{\frac {d}{2s}}\\F_{2}(x)&=x^{2}-sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}+{\frac {d}{2s}}\end{aligned}}$

तब

$F_{1}(x)\times F_{2}(x)=x^{4}+cx^{2}+dx+e.$

इसलिए हम के लिए हल करके क्वार्टिक को हल कर सकते हैं s और फिर द्विघात सूत्र का उपयोग करके दो कारकों की जड़ों को हल करना।

यह जड़ों के लिए ठीक वही सूत्र देता है जो क्वार्टिक फलन#डेसकार्टेस' सॉल्यूशन|डेसकार्टेस' विधि द्वारा प्रदान किया गया है।

बीजगणितीय ज्यामिति के साथ हल करना

बीजगणितीय ज्यामिति का उपयोग कर एक वैकल्पिक समाधान है संक्षेप में, कोई जड़ों को दो द्विघात वक्रों के प्रतिच्छेदन के रूप में व्याख्या करता है, फिर इन बिंदुओं से गुजरने वाले तीन पतित शंकु (रेखाओं के जोड़े) पाता है (यह विलायक घन से मेल खाता है, रेखाओं के जोड़े लग्रेंज विलायक होते हैं), और फिर द्विघात को हल करने के लिए इन रैखिक समीकरणों का उपयोग करें।

उदास क्वार्टिक की चार जड़ें x⁴ + px² + qx + r = 0 के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है x दो द्विघात समीकरणों के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक y² + py + qx + r = 0 और y − x² = 0 यानी, प्रतिस्थापन का उपयोग करना y = x² कि दो द्विघात चार बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, बेज़ाउट के प्रमेय का एक उदाहरण है। स्पष्ट रूप से, चार बिंदु हैं P_i ≔ (x_i, x_i²) चार जड़ों के लिए x_i क्वार्टिक का।

ये चार बिंदु संरेख नहीं हैं क्योंकि ये अलघुकरणीय द्विघात पर स्थित हैं y = x² और इस प्रकार इन बिंदुओं से गुजरने वाला द्विघात (वक्रों का एक पेंसिल) का 1-पैरामीटर परिवार है। तीन चरों में द्विघात रूप ों के रूप में दो द्विघातों के प्रक्षेपण को लिखना:

${\begin{aligned}F_{1}(X,Y,Z)&:=Y^{2}+pYZ+qXZ+rZ^{2},\\F_{2}(X,Y,Z)&:=YZ-X^{2}\end{aligned}}$

पेंसिल रूपों द्वारा दी गई है λF₁ + μF₂ किसी भी बिंदु के लिए [λ, μ] प्रोजेक्टिव लाइन में - दूसरे शब्दों में, जहां λ और μ दोनों शून्य नहीं हैं, और एक द्विघात रूप को एक स्थिरांक से गुणा करने से इसके शून्य के द्विघात वक्र में परिवर्तन नहीं होता है।

इस पेंसिल में तीन कम करने योग्य द्विघात होते हैं, जिनमें से प्रत्येक रेखाओं की एक जोड़ी के अनुरूप होता है, प्रत्येक चार बिंदुओं में से दो से होकर गुजरता है, जिसे किया जा सकता है $\textstyle {\binom {4}{2}}$ = 6 विभिन्न तरीके। इन्हें निरूपित करें Q₁ = L₁₂ + L₃₄, Q₂ = L₁₃ + L₂₄, और Q₃ = L₁₄ + L₂₃. इनमें से किन्हीं दो को देखते हुए, उनके प्रतिच्छेदन के ठीक चार बिंदु हैं।

कम करने योग्य द्विघात, बदले में, द्विघात रूप को व्यक्त करके निर्धारित किया जा सकता है λF₁ + μF₂ के रूप में 3×3मैट्रिक्स: रिड्यूसिबल क्वाड्रैटिक्स इस मैट्रिक्स के एकवचन होने के अनुरूप है, जो इसके निर्धारक के शून्य होने के बराबर है, और निर्धारक एक सजातीय डिग्री तीन बहुपद है λ और μ और विलायक घन के अनुरूप है।

यह भी देखें

• Linear function
• Quadratic function
• Cubic function
• Quintic function

आगे की पढाई

• Carpenter, W. (1966). "On the solution of the real quartic". Mathematics Magazine. 39 (1): 28–30. doi:10.2307/2688990. JSTOR 2688990.
• Yacoub,M.D.; Fraidenraich, G. (July 2012). "A solution to the quartic equation". Mathematical Gazette. 96: 271–275. doi:10.1017/s002555720000454x. S2CID 124512391.

बाहरी कड़ियाँ

• Quartic formula as four single equations at PlanetMath.
• Ferrari's achievement