स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस

कार्यात्मक विश्लेषण और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल सदिश स्थल (एलसीटीवीएस) या स्थानीय रूप से उत्तल रिक्त स्थान टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) के उदाहरण हैं जो मानक रिक्त स्थान को सामान्यीकृत करते हैं। उन्हें टोपोलॉजिकल स्पेस वेक्टर स्पेस के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनकी टोपोलॉजी संतुलित सेट, अवशोषक सेट, उत्तल सेट के अनुवाद द्वारा आधार (टोपोलॉजी) है। वैकल्पिक रूप से उन्हें सेमिनोर्म के सेट के परिवार के साथ एक वेक्टर स्पेस के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और उस परिवार के संदर्भ में एक टोपोलॉजी को परिभाषित किया जा सकता है। हालांकि सामान्य तौर पर ऐसे स्थान आवश्यक रूप से सामान्य नहीं होते हैं, शून्य वेक्टर (वेक्टर स्थान) के लिए उत्तल स्थानीय आधार का अस्तित्व हैन-बैनाच प्रमेय को पकड़ने के लिए पर्याप्त मजबूत है, जो निरंतर रैखिक कार्यात्मकता के पर्याप्त समृद्ध सिद्धांत को जन्म देता है।

फ़्रेचेट स्थान स्थानीय रूप से उत्तल स्थान हैं जो पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल स्थान हैं (पूर्ण मीट्रिक के विकल्प के साथ)। वे बानाच रिक्त स्थान के सामान्यीकरण हैं, जो एक मानक (गणित) द्वारा उत्पन्न मीट्रिक के संबंध में पूर्ण वेक्टर स्थान हैं।

इतिहास

वेक्टर स्पेस पर मेट्रिज़ेबल टोपोलॉजी का अध्ययन मौरिस रेने फ़्रेचेट में उनके परिचय के बाद से किया गया है। मौरिस फ़्रेचेट की 1902 पीएचडी थीसिस सुर क्वेल्क्स पॉइंट डु कैलकुल फोन्क्शननेल (जिसमें मीट्रिक स्थान की धारणा पहली बार पेश की गई थी)। 1914 में फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ द्वारा एक सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस की अवधारणा को परिभाषित करने के बाद, हालाँकि स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजी का उपयोग कुछ गणितज्ञों द्वारा परोक्ष रूप से किया जाता था, 1934 तक केवल जॉन वॉन न्यूमैन ने ही हिल्बर्ट स्पेस पर कमजोर टोपोलॉजी और हिल्बर्ट स्पेस पर ऑपरेटरों पर मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी को स्पष्ट रूप से परिभाषित किया था। अंततः, 1935 में वॉन न्यूमैन ने स्थानीय रूप से उत्तल स्थान (उनके द्वारा उत्तल स्थान कहा जाता है) की सामान्य परिभाषा पेश की। परिणाम का एक उल्लेखनीय उदाहरण जिसे सामान्य स्थानीय रूप से उत्तल स्थानों (नेट (गणित), उत्पाद टोपोलॉजी और टायकोनॉफ़ के प्रमेय जैसे अन्य धारणाओं और परिणामों के बीच) के विकास और प्रसार के लिए इंतजार करना पड़ा, ताकि इसे पूर्ण व्यापकता में सिद्ध किया जा सके। बानाच-अलाओग्लू प्रमेय जिसे स्टीफ़न बानाच ने पहली बार 1932 में अलग-अलग मानक स्थानों के मामले के लिए एक प्राथमिक विकर्ण तर्क द्वारा स्थापित किया था (जिस स्थिति में कमजोर टोपोलॉजी#अन्य गुण 2)।

परिभाषा

कल्पना करना $X$ ऊपर एक सदिश स्थान है $\mathbb {K} ,$ सम्मिश्र संख्याओं का एक क्षेत्र (गणित) (सामान्य रूप से)। $\mathbb {C}$ स्वयं या वास्तविक संख्याएँ|$\mathbb {R}$). स्थानीय रूप से उत्तल स्थान को या तो उत्तल सेट के संदर्भ में, या समकक्ष रूप से सेमीनॉर्म्स के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।

उत्तल सेट के माध्यम से परिभाषा

टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) कहा जाता हैlocally convex यदि इसके मूल में पड़ोस का आधार (अर्थात् स्थानीय आधार) है जिसमें संतुलित, उत्तल सेट शामिल हैं। शब्द locally convex topological vector space को कभी-कभी छोटा कर दिया जाता है locally convex space या LCTVS.

उपसमुच्चय $C$ में $X$ कहा जाता है

1. उत्तल सेट यदि सभी के लिए $x,y\in C,$ और $0\leq t\leq 1,$ $tx+(1-t)y\in C.$ दूसरे शब्दों में, $C$ में बिंदुओं के बीच सभी रेखा खंड शामिल हैं $C.$
2. गोलाकार सेट यदि सभी के लिए $x\in C$ और अदिश $s,$ अगर $|s|=1$ तब $sx\in C.$ अगर $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,$ इस का मतलब है कि $C$ मूल के माध्यम से इसके प्रतिबिंब के बराबर है। के लिए $\mathbb {K} =\mathbb {C} ,$ इसका मतलब किसी के लिए भी है $x\in C,$ $C$ के माध्यम से वृत्त शामिल है $x,$ द्वारा उत्पन्न एक आयामी जटिल उपस्थान में, मूल पर केंद्रित है $x.$
3. संतुलित सेट अगर सभी के लिए $x\in C$ और अदिश $s,$ अगर $|s|\leq 1$ तब $sx\in C.$ अगर $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,$ इसका मतलब यह है कि अगर $x\in C,$ तब $C$ के बीच रेखा खंड शामिल है $x$ और $-x.$ के लिए $\mathbb {K} =\mathbb {C} ,$ इसका मतलब किसी के लिए भी है $x\in C,$ $C$ के साथ डिस्क शामिल है $x$ इसकी सीमा पर, मूल पर केन्द्रित, द्वारा उत्पन्न एक आयामी जटिल उपस्थान में $x.$ समान रूप से, एक संतुलित समुच्चय एक वृत्ताकार शंकु होता है।
4. एक शंकु (रैखिक बीजगणित) (जब अंतर्निहित आदेशित फ़ील्ड) यदि सभी के लिए $x\in C$ और $t\geq 0,$ $tx\in C.$
5. अवशोषक सेट या अवशोषक यदि प्रत्येक के लिए $x\in X,$ वहां मौजूद $r>0$ ऐसा है कि $x\in tC$ सभी के लिए $t\in \mathbb {K}$ संतुष्टि देने वाला $|t|>r.$ सेट $C$ अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को अवशोषित करने के लिए किसी भी बड़े मूल्य से बढ़ाया जा सकता है।
   • किसी भी टीवीएस में, मूल का प्रत्येक पड़ोस अवशोषक होता है।
6. बिल्कुल उत्तल या ए disk यदि यह संतुलित और उत्तल दोनों है। यह इसे रैखिक संयोजनों के तहत बंद किए जाने के बराबर है जिनके गुणांक बिल्कुल योग करते हैं $\leq 1$; ऐसा सेट अवशोषक होता है यदि यह सभी को फैलाता है $X.$

वास्तव में, प्रत्येक स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस की उत्पत्ति का एक पड़ोस आधार होता है absolutely convex सेट (अर्थात, डिस्क), जहां इस पड़ोस के आधार को आगे पूरी तरह से खुले सेट या पूरी तरह से बंद सेट को शामिल करने के लिए चुना जा सकता है। प्रत्येक टीवीएस के मूल में पड़ोस का आधार होता है जिसमें संतुलित सेट होते हैं लेकिन केवल स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस के मूल में पड़ोस का आधार होता है जिसमें सेट होते हैं जो दोनों संतुलित होते हैं and उत्तल. टीवीएस के लिए यह संभव है some मूल के पड़ोस जो उत्तल हैं और फिर भी स्थानीय रूप से उत्तल नहीं हैं क्योंकि इसके मूल में कोई पड़ोस का आधार नहीं है जिसमें पूरी तरह से उत्तल सेट शामिल हैं (अर्थात, मूल में प्रत्येक पड़ोस के आधार में कुछ गैर-उत्तल सेट होते हैं); उदाहरण के लिए, प्रत्येक गैर-स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस $X$ स्वयं है (अर्थात्, $X$) मूल का उत्तल पड़ोस है।

क्योंकि अनुवाद निरंतर है (टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस की परिभाषा के अनुसार), सभी अनुवाद होमियोमोर्फिज्म हैं, इसलिए मूल के पड़ोस के लिए प्रत्येक आधार को किसी भी दिए गए वेक्टर के पड़ोस के लिए आधार में अनुवादित किया जा सकता है।

सेमीनॉर्म्स के माध्यम से परिभाषा

पर एक सेमिनॉर्म $X$ एक नक्शा है $p:X\to \mathbb {R}$ ऐसा है कि

1. $p$ गैर-नकारात्मक या सकारात्मक अर्धनिश्चित है: $p(x)\geq 0$;
2. $p$ सकारात्मक सजातीय या सकारात्मक स्केलेबल है: $p(sx)=|s|p(x)$ प्रत्येक अदिश राशि के लिए $s.$ तो, विशेष रूप से, $p(0)=0$;
3. $p$ उपयोगात्मक है. यह त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है: $p(x+y)\leq p(x)+p(y).$

अगर $p$ सकारात्मक निश्चितता को संतुष्ट करता है, जो बताता है कि यदि $p(x)=0$ तब $x=0,$ तब $p$ एक नॉर्म (गणित) है। जबकि सामान्य तौर पर सेमीनॉर्म्स को मानदंड होने की आवश्यकता नहीं होती है, सेमीनॉर्म्स, अलगाव के परिवारों के लिए इस मानदंड का एक एनालॉग नीचे परिभाषित किया गया है।

अगर $X$ एक सदिश समष्टि है और ${\mathcal {P}}$ सेमिनॉर्म्स का एक परिवार है $X$ फिर एक उपसमुच्चय ${\mathcal {Q}}$ का ${\mathcal {P}}$ के लिए सेमीनॉर्म्स का आधार कहा जाता है ${\mathcal {P}}$ यदि सभी के लिए $p\in {\mathcal {P}}$ वहाँ एक मौजूद है $q\in {\mathcal {Q}}$ और एक असली $r>0$ ऐसा है कि $p\leq rq.$

परिभाषा (दूसरा संस्करण): स्थानीय रूप से उत्तल स्थान को एक वेक्टर स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है $X$ सेट के एक परिवार के साथ ${\mathcal {P}}$ सेमिनॉर्म्स पर $X.$

सेमिनोर्म टोपोलॉजी

लगता है कि $X$ ऊपर एक सदिश स्थान है $\mathbb {K} ,$ कहाँ $\mathbb {K}$ या तो वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ हैं। सेमिनोर्म्स का एक परिवार ${\mathcal {P}}$ वेक्टर स्पेस पर $X$ एक कैनोनिकल वेक्टर स्पेस टोपोलॉजी को प्रेरित करता है $X$, जिसे सेमिनोर्म्स द्वारा प्रेरित प्रारंभिक टोपोलॉजी कहा जाता है, जो इसे एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) में बनाता है। परिभाषा के अनुसार, यह टोपोलॉजी पर टोपोलॉजी की तुलना है $X$ जिसके लिए सभी मानचित्र ${\mathcal {P}}$ निरंतर हैं.

इस टोपोलॉजी में वेक्टर स्पेस ऑपरेशन निरंतर हैं, यह उपरोक्त गुण 2 और 3 से पता चलता है।

किसी स्थान पर स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजी के लिए यह संभव है $X$ मानदंडों के एक परिवार द्वारा प्रेरित किया जाना लेकिन के लिए $X$ को not सामान्य स्थान हो (अर्थात्, इसकी टोपोलॉजी एक ही मानदंड से प्रेरित हो)।

आधार और उपआधार

होने देना $B_{<r}$ त्रिज्या की खुली गेंद को निरूपित करें $r>0$ में $\mathbb {K}$. सेट का परिवार $p^{-1}\left(B_{<r}\right)=\{x\in X:p(x)<r\}$ जैसा $p$ सेमिनोर्म्स के एक परिवार से संबंधित है ${\mathcal {P}}$ और $r$ सकारात्मक वास्तविक संख्याओं से अधिक होता है द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी के लिए एक पड़ोस प्रणाली है ${\mathcal {P}}$. ये सेट उत्तल हैं, जैसा कि सेमीनॉर्म्स के गुण 2 और 3 से निम्नानुसार है। ऐसे अनेक परिमित समुच्चयों के प्रतिच्छेदन भी उत्तल होते हैं, और चूंकि ऐसे सभी परिमित प्रतिच्छेदनों का संग्रह एक पड़ोस प्रणाली है, इसलिए यह इस प्रकार है कि टोपोलॉजी स्थानीय रूप से उत्तल है firstपरिभाषा ऊपर दी गई है।

याद रखें कि टीवीएस की टोपोलॉजी अनुवाद अपरिवर्तनीय है, जिसका अर्थ है कि यदि $S$ का कोई उपसमुच्चय है $X$ तब किसी के लिए मूल युक्त $x\in X,$ $S$ यदि और केवल यदि, तो मूल का एक पड़ोस है $x+S$ का पड़ोस है $x$; इस प्रकार यह मूल में टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है। के पड़ोस का एक आधार $y$ इसके लिए टोपोलॉजी निम्नलिखित तरीके से प्राप्त की जाती है: प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय के लिए $F$ का ${\mathcal {P}}$ और हर $r>0,$ होने देना

$$U_{F,r}(y):=\{x\in X:p(x-y)<r\ {\text{ for all }}p\in F\}.$$

सेमीनॉर्म्स और संतृप्त परिवारों के आधार

अगर $X$ स्थानीय रूप से उत्तल स्थान है और यदि ${\mathcal {P}}$ निरंतर सेमिनॉर्म्स का एक संग्रह है $X$, तब ${\mathcal {P}}$ इसे सतत सेमिनॉर्म्स का आधार कहा जाता है यदि यह संग्रह के लिए सेमिनॉर्म्स का आधार है all निरंतर सेमिनॉर्म्स चालू $X$.स्पष्ट रूप से, इसका मतलब यह है कि सभी निरंतर सेमिनॉर्म्स के लिए $p$ पर $X$, वहाँ एक मौजूद है $q\in {\mathcal {P}}$ और एक असली $r>0$ ऐसा है कि $p\leq rq.$ अगर ${\mathcal {P}}$ स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस के लिए निरंतर सेमीनॉर्म्स का आधार है $X$ फिर फॉर्म के सभी सेटों का परिवार $\{x\in X:q(x)<r\}$ जैसा $q$ भिन्न-भिन्न होता है ${\mathcal {P}}$ और $r$ सकारात्मक वास्तविक संख्याओं में भिन्नता है, एक है base मूल के पड़ोस के $X$ (सिर्फ एक उपआधार नहीं, इसलिए ऐसे सेटों के सीमित प्रतिच्छेदन लेने की कोई आवश्यकता नहीं है)। एक परिवार ${\mathcal {P}}$ एक सदिश समष्टि पर सेमिनॉर्म्स का $X$ यदि किसी के लिए संतृप्त कहा जाता है $p$ और $q$ में ${\mathcal {P}},$ सेमिनोर्म द्वारा परिभाषित $x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}$ से संबंधित ${\mathcal {P}}.$ अगर ${\mathcal {P}}$ निरंतर सेमीनॉर्म्स का एक संतृप्त परिवार है जो टोपोलॉजी को प्रेरित करता है $X$ फिर फॉर्म के सभी सेटों का संग्रह $\{x\in X:p(x)<r\}$ जैसा $p$ तक फैली हुई है ${\mathcal {P}}$ और $r$ सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर श्रेणियां, उत्तल खुले सेटों से मिलकर मूल में पड़ोस का आधार बनाती हैं; यह केवल एक उपआधार के बजाय मूल में एक आधार बनाता है ताकि विशेष रूप से, वहाँ हो no ऐसे सेटों के परिमित प्रतिच्छेदन लेने की आवश्यकता है।

मानदंडों का आधार

निम्नलिखित प्रमेय का तात्पर्य है कि यदि $X$ की टोपोलॉजी के बाद स्थानीय रूप से उत्तल स्थान है $X$ निरंतर के परिवार द्वारा परिभाषित किया जा सकता है norms पर $X$ (एक नॉर्म (गणित) एक सेमिनॉर्म है $s$ कहाँ $s(x)=0$ तात्पर्य $x=0$) यदि और केवल यदि अस्तित्व में है at least one निरंतर norm पर $X$. ऐसा इसलिए है क्योंकि एक मानक और एक सेमिनोर्म का योग एक आदर्श है, इसलिए यदि स्थानीय रूप से उत्तल स्थान को कुछ परिवार द्वारा परिभाषित किया जाता है ${\mathcal {P}}$ सेमीनॉर्म्स (जिनमें से प्रत्येक आवश्यक रूप से निरंतर है) का फिर परिवार ${\mathcal {P}}+n:=\{p+n:p\in {\mathcal {P}}\}$ कुछ दिए गए निरंतर मानदंडों को जोड़कर प्राप्त किए गए (निरंतर भी) मानदंड $n$ प्रत्येक तत्व के लिए, आवश्यक रूप से मानदंडों का एक परिवार होगा जो इसी स्थानीय उत्तल टोपोलॉजी को परिभाषित करता है। यदि टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस पर एक सतत मानदंड मौजूद है $X$ तब $X$ आवश्यक रूप से हॉसडॉर्फ है लेकिन इसका विपरीत सामान्य रूप से सत्य नहीं है (स्थानीय रूप से उत्तल स्थानों या फ़्रेचेट स्थानों के लिए भी नहीं)।

Theorem — Let $X$ be a Fréchet space over the field $\mathbb {K} .$ Then the following are equivalent:

1. $X$ does not admit a continuous norm (that is, any continuous seminorm on $X$ can not be a norm).
2. $X$ contains a vector subspace that is TVS-isomorphic to $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.$
3. $X$ contains a complemented vector subspace that is TVS-isomorphic to $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.$

जाल

मान लीजिए कि स्थानीय रूप से उत्तल स्थान की टोपोलॉजी $X$ एक परिवार द्वारा प्रेरित है ${\mathcal {P}}$ निरंतर सेमिनॉर्म्स चालू $X$. अगर $x\in X$ और अगर $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ में एक नेट (गणित) है $X$, तब $x_{\bullet }\to x$ में $X$ यदि और केवल यदि सभी के लिए $p\in {\mathcal {P}},$ $p\left(x_{\bullet }-x\right)=\left(p\left(x_{i}\right)-x\right)_{i\in I}\to 0.$ इसके अलावा, यदि $x_{\bullet }$ कॉची में है $X$, तो ऐसा ही है $p\left(x_{\bullet }\right)=\left(p\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}$ हरएक के लिए $p\in {\mathcal {P}}.$

परिभाषाओं की समानता

हालाँकि पड़ोस के आधार के संदर्भ में परिभाषा एक बेहतर ज्यामितीय तस्वीर देती है, लेकिन अभ्यास में सेमीनॉर्म्स के संदर्भ में परिभाषा पर काम करना आसान है। दोनों परिभाषाओं की समानता मिन्कोव्स्की कार्यात्मक या मिन्कोव्स्की गेज के नाम से ज्ञात निर्माण से मिलती है। सेमीनॉर्म्स की प्रमुख विशेषता जो उनकी उत्तलता सुनिश्चित करती है $\varepsilon$-बॉल (गणित)s त्रिभुज असमानता है।

एक अवशोषक सेट के लिए $C$ ऐसे कि अगर $x\in C,$ तब $tx\in C$ जब कभी भी $0\leq t\leq 1,$ मिन्कोव्स्की कार्यात्मकता को परिभाषित करें $C$ होना

$$\mu _{C}(x)=\inf\{r>0:x\in rC\}.$$

इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है $\mu _{C}$ यदि यह एक सेमिनॉर्म है $C$ संतुलित और उत्तल है (धारणा से यह अवशोषक भी है)। इसके विपरीत, सेमिनॉर्म्स के एक परिवार को देखते हुए, सेट

$$\left\{x:p_{\alpha _{1}}(x)<\varepsilon _{1},\ldots ,p_{\alpha _{n}}(x)<\varepsilon _{n}\right\}$$

उत्तल अवशोषक संतुलित सेटों का एक आधार बनाएं।

स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजी को परिभाषित करने के तरीके

Theorem — Suppose that $X$ is a (real or complex) vector space and let ${\mathcal {B}}$ be a filter base of subsets of $X$ such that:

1. Every $B\in {\mathcal {B}}$ is convex, balanced, and absorbing;
2. For every $B\in {\mathcal {B}}$ there exists some real $r$ satisfying $0<r\leq 1/2$ such that $rB\in {\mathcal {B}}.$

Then ${\mathcal {B}}$ is a neighborhood base at 0 for a locally convex TVS topology on $X.$

Theorem — Suppose that $X$ is a (real or complex) vector space and let ${\mathcal {L}}$ be a non-empty collection of convex, balanced, and absorbing subsets of $X.$ Then the set of all of all positive scalar multiples of finite intersections of sets in ${\mathcal {L}}$ forms a neighborhood base at the origin for a locally convex TVS topology on $X.$

उदाहरण: सहायक मानक स्थान

अगर $W$ उत्तल सेट और अवशोषक सेट है $X$ फिर सममित सेट $D:=\bigcap _{|u|=1}uW$ उत्तल और संतुलित सेट होगा (जिसे ए के रूप में भी जाना जाता है)। absolutely convex set या ए disk) में अवशोषित होने के अलावा $X.$ यह गारंटी देता है कि मिन्कोव्स्की कार्यात्मक है $p_{D}:X\to \mathbb {R}$ का $D$ पर एक सेमीनॉर्म होगा $X,$ इस प्रकार बना रहा है $\left(X,p_{D}\right)$ एक अर्ध मानकीकृत स्थान में जो अपने कैनोनिकल मेट्रिज़ेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस टोपोलॉजी को वहन करता है। अदिश गुणजों का समुच्चय $rD$ जैसा $r$ तक फैली हुई है $\left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}$ (या गैर-शून्य अदिशों के किसी अन्य सेट पर $0$ एक सीमा बिंदु के रूप में) इस स्थानीय उत्तल टोपोलॉजी के लिए मूल में निर्धारित बिल्कुल उत्तल सेट को अवशोषित करने का एक पड़ोस आधार बनाता है। अगर $X$ एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है और यदि यह उत्तल अवशोषक उपसमुच्चय है $W$ का एक बाउंडेड सेट (टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस) भी है $X,$ फिर अवशोषक डिस्क $D:=\bigcap _{|u|=1}uW$ उस स्थिति में भी बाध्य किया जाएगा $p_{D}$ एक नॉर्म (गणित) होगा और $\left(X,p_{D}\right)$ वह बनेगा जिसे सहायक मानक स्थान के रूप में जाना जाता है। यदि यह मानक स्थान बनच स्थान है तो $D$ ए कहा जाता है Banach disk.

आगे की परिभाषाएँ

• सेमिनोर्म्स का एक परिवार $\left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }$ पूर्ण या अलग कहा जाता है या जब भी हो तो अलग बिंदु कहा जाता है $p_{\alpha }(x)=0$ प्रत्येक के लिए धारण करता है $\alpha$ तब $x$ आवश्यक है $0.$ स्थानीय रूप से उत्तल स्थान हॉसडॉर्फ़ स्थान है यदि और केवल तभी जब इसमें सेमीनॉर्म्स का एक अलग परिवार हो। कई लेखक परिभाषा में हॉसडॉर्फ मानदंड लेते हैं।
• स्यूडोमेट्रिक स्पेस एक मीट्रिक का सामान्यीकरण है जो इस शर्त को पूरा नहीं करता है $d(x,y)=0$ केवल जब $x=y.$ स्थानीय रूप से उत्तल स्थान स्यूडोमेट्रिज़ेबल है, जिसका अर्थ है कि इसकी टोपोलॉजी एक स्यूडोमेट्रिक से उत्पन्न होती है, यदि और केवल तभी जब इसमें सेमीनॉर्म का गणनीय परिवार हो। दरअसल, उसी टोपोलॉजी को प्रेरित करने वाला एक छद्ममिति तब दिया जाता है
  $$d(x,y)=\sum _{n}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}$$
  (जहां $1/2^{n}$ किसी भी सकारात्मक योग अनुक्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $a_{n}$). यह छद्ममिति अनुवाद-अपरिवर्तनीय है, लेकिन सजातीय नहीं, अर्थ $d(kx,ky)\neq |k|d(x,y),$ और इसलिए (छद्म)मानदंड को परिभाषित नहीं करता है। स्यूडोमेट्रिक एक ईमानदार मीट्रिक है यदि और केवल यदि सेमिनोर्म्स के परिवार को अलग किया जाता है, क्योंकि यह मामला है यदि और केवल यदि स्थान हॉसडॉर्फ है। इसके अलावा यदि स्थान पूर्ण है, तो उस स्थान को फ़्रेचेट स्थान कहा जाता है।
• किसी भी टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस की तरह, स्थानीय रूप से उत्तल स्पेस भी एक समान स्पेस होता है। इस प्रकार कोई एकसमान निरंतरता, एकसमान अभिसरण और कॉची अनुक्रम की बात कर सकता है।
• स्थानीय रूप से उत्तल स्थान में एक कॉची जाल एक नेट है (गणित) $\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ ऐसा कि हर किसी के लिए $r>0$ और प्रत्येक सेमिनॉर्म $p_{\alpha },$ कुछ सूचकांक मौजूद है $c\in A$ जैसे कि सभी सूचकांकों के लिए $a,b\geq c,$ $p_{\alpha }\left(x_{a}-x_{b}\right)<r.$ दूसरे शब्दों में, नेट को सभी सेमीनॉर्म्स में एक साथ कॉची होना चाहिए। पूर्णता की परिभाषा यहां अधिक परिचित अनुक्रमों के बजाय जाल के संदर्भ में दी गई है क्योंकि फ़्रेचेट रिक्त स्थान के विपरीत, जो मेट्रिज़ेबल हैं, सामान्य रिक्त स्थान को स्यूडोमेट्रिक रिक्त स्थान के बेशुमार परिवार द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। अनुक्रम, जो परिभाषा के अनुसार गणनीय हैं, ऐसे स्थानों में अभिसरण को चिह्नित करने के लिए पर्याप्त नहीं हो सकते हैं। स्थानीय रूप से उत्तल स्थान पूर्ण एकसमान स्थान है यदि और केवल यदि प्रत्येक कॉची नेट अभिसरण करता है।
• सेमिनोर्म्स का एक परिवार संबंध के तहत एक पूर्व-आदेशित सेट बन जाता है $p_{\alpha }\leq p_{\beta }$ यदि और केवल यदि कोई मौजूद है $M>0$ ऐसा कि सभी के लिए $x,$ $p_{\alpha }(x)\leq Mp_{\beta }(x).$ एक का कहना है कि यह सेमीनॉर्म्स का एक निर्देशित परिवार है यदि परिवार जॉइन (गणित) के अलावा एक निर्देशित सेट है, दूसरे शब्दों में यदि प्रत्येक के लिए $\alpha$ और $\beta ,$ वहां एक है $\gamma$ ऐसा है कि $p_{\alpha }+p_{\beta }\leq p_{\gamma }.$ सेमिनोर्म्स के प्रत्येक परिवार में एक समतुल्य निर्देशित परिवार होता है, जिसका अर्थ है जो समान टोपोलॉजी को परिभाषित करता है। दरअसल, एक परिवार दिया $\left(p_{\alpha }(x)\right)_{\alpha \in I},$ होने देना $\Phi$ के परिमित उपसमुच्चय का समुच्चय हो $I$ और फिर प्रत्येक के लिए $F\in \Phi$ परिभाषित करना
  $$q_{F}=\sum _{\alpha \in F}p_{\alpha }.$$
  कोई इसकी जांच कर सकता है $\left(q_{F}\right)_{F\in \Phi }$ एक समतुल्य निर्देशित परिवार है।
• यदि अंतरिक्ष की टोपोलॉजी एक एकल सेमीनॉर्म से प्रेरित है, तो अंतरिक्ष सेमीनॉर्मेबल है। सेमीनॉर्म्स के एक सीमित परिवार के साथ कोई भी स्थानीय रूप से उत्तल स्थान सेमीनॉर्मेबल है। इसके अलावा, यदि स्थान हॉसडॉर्फ (परिवार अलग हो गया है) है, तो स्थान सामान्य है, जिसका मानदंड सेमीनॉर्म्स के योग द्वारा दिया गया है। खुले सेटों के संदर्भ में, एक स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस सेमीनॉर्मेबल है यदि और केवल यदि मूल में एक बाउंडेड सेट (टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस) पड़ोस है।

पर्याप्त स्थितियाँ

हैन-बानाच एक्सटेंशन संपत्ति

होने देना $X$ एक टीवीएस बनें. कहें कि एक वेक्टर उप-स्थान $M$ का $X$ यदि कोई निरंतर रैखिक कार्यात्मकता है तो इसमें विस्तार गुण है $M$ एक सतत रैखिक कार्यात्मकता तक बढ़ाया जा सकता है $X$. कहते हैं कि $X$ Hahn-Banach प्रमेय है|Hahn-Banach एक्सटेंशन प्रॉपर्टी (HBEP) यदि प्रत्येक वेक्टर उप-स्थान $X$ विस्तार संपत्ति है.

हैन-बानाच प्रमेय गारंटी देता है कि प्रत्येक हॉसडॉर्फ स्थानीय उत्तल स्थान में एचबीईपी है। संपूर्ण मेट्रिज़ेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के लिए एक विपरीत है:

Theorem (Kalton) — Every complete metrizable TVS with the Hahn-Banach extension property is locally convex.

यदि एक सदिश समष्टि $X$ इसके बेशुमार आयाम हैं और अगर हम इसे बेहतरीन वेक्टर टोपोलॉजी से संपन्न करते हैं तो यह एचबीईपी वाला एक टीवीएस है जो न तो स्थानीय रूप से उत्तल है और न ही मेट्रिजेबल है।

गुण

See also: Topological vector space § Properties

लगातार, ${\mathcal {P}}$ निरंतर सेमीनॉर्म्स का एक परिवार है जो टोपोलॉजी उत्पन्न करता है $X.$ टोपोलॉजिकल समापन

अगर $S\subseteq X$ और $x\in X,$ तब $x\in \operatorname {cl} S$ यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए $r>0$ और प्रत्येक परिमित संग्रह $p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {P}}$ वहाँ कुछ मौजूद है $s\in S$ ऐसा है कि $\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x-s)<r.$ का समापन $\{0\}$ में $X$ के बराबर है $\bigcap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0).$

हॉसडॉर्फ़ की स्थानीय रूप से उत्तल स्थानों की टोपोलॉजी

प्रत्येक हॉसडॉर्फ स्थानीय रूप से उत्तल स्थान बानाच रिक्त स्थान के उत्पाद के वेक्टर उप-स्थान के लिए होम्योमॉर्फिक है। एंडरसन-कैडेक प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक अनंत-आयामी पृथक्करणीय स्थान फ़्रेचेट स्थान उत्पाद स्थान के लिए होमियोमोर्फिज्म है ${\textstyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$ की अनगिनत प्रतियाँ $\mathbb {R}$ (इस समरूपता को एक रेखीय मानचित्र होने की आवश्यकता नहीं है)।

उत्तल उपसमुच्चय के गुण

उत्तल उपसमुच्चय के बीजगणितीय गुण

उपसमुच्चय $C$ उत्तल है यदि और केवल यदि $tC+(1-t)C\subseteq C$ सभी के लिए $0\leq t\leq 1$ या समकक्ष, यदि और केवल यदि $(s+t)C=sC+tC$ सभी सकारात्मक वास्तविक के लिए $s>0{\text{ and }}t>0,$कहां क्योंकि $(s+t)C\subseteq sC+tC$ सदैव बराबर का चिह्न धारण करता है $\,=\,$ से बदला जा सकता है $\,\supseteq .\,$ अगर $C$ एक उत्तल समुच्चय है जिसमें मूल शामिल है $C$ मूल में स्टार डोमेन है और सभी गैर-नकारात्मक वास्तविक है $s\geq 0{\text{ and }}t\geq 0,$ $(sC)\cap (tC)=(\min _{}\{s,t\})C.$ दो उत्तल सेटों का मिन्कोव्स्की योग उत्तल है; इसके अलावा, उत्तल समुच्चय का अदिश गुणज फिर से उत्तल होता है।

उत्तल उपसमुच्चय के टोपोलॉजिकल गुण

• लगता है कि $Y$ वास्तविक या जटिल संख्याओं पर एक टीवीएस (जरूरी नहीं कि स्थानीय रूप से उत्तल या हॉसडॉर्फ) हो। फिर खुले उत्तल उपसमुच्चय $Y$ बिल्कुल वही हैं जो स्वरूप के हैं $z+\{y\in Y:p(y)<1\}=\{y\in Y:p(y-z)<1\}$ कुछ के लिए $z\in Y$ और कुछ सकारात्मक सतत सबलीनियर कार्यात्मकता $p$ पर $Y.$
• टीवीएस के उत्तल उपसमुच्चय का आंतरिक भाग और समापन फिर से उत्तल होता है।
• अगर $C$ गैर-रिक्त आंतरिक भाग वाला एक उत्तल सेट है, फिर का समापन $C$ के आंतरिक भाग के बंद होने के बराबर है $C$; इसके अलावा, का आंतरिक भाग $C$ के बंद होने के आंतरिक भाग के बराबर है $C.$
  • तो यदि उत्तल सेट का आंतरिक भाग $C$ तब गैर-रिक्त है $C$ एक बंद (क्रमशः, खुला) सेट है यदि और केवल यदि यह एक नियमित बंद (क्रमशः, नियमित रूप से खुला) सेट है।
• अगर $C$ उत्तल है और $0<t\leq 1,$ तब $t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.$ स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ यह है कि यदि $C$ टीवीएस का उत्तल उपसमुच्चय है $X$ (जरूरी नहीं कि हॉसडॉर्फ या स्थानीय रूप से उत्तल हो), $y$ के बंद होने के अंतर्गत आता है $C,$ और $x$ के आंतरिक भाग से संबंधित है $C,$ फिर खुला रेखा खंड जुड़ता है $x$ और $y$ के आंतरिक भाग से संबंधित है $C;$ वह है, $\{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.$
• अगर $M$ स्थानीय रूप से उत्तल स्थान (जरूरी नहीं कि हॉसडॉर्फ) का एक बंद वेक्टर उपस्थान है$X,$ $V$ में उद्गम का उत्तल पड़ोस है $M,$ और अगर $z\in X$ एक वेक्टर है not में $V,$ फिर वहाँ एक उत्तल पड़ोस मौजूद है $U$ में उत्पत्ति का $X$ ऐसा है कि $V=U\cap M$ और $z\not \in U.$
• स्थानीय रूप से उत्तल हॉसडॉर्फ स्थान के उत्तल उपसमुच्चय का बंद होना $X$ के लिए समान है all स्थानीय रूप से उत्तल हॉसडॉर्फ टीवीएस टोपोलॉजी पर $X$ जो बीच में दोहरी प्रणाली के साथ संगत हैं $X$ और इसका निरंतर दोहरा स्थान।
• स्थानीय रूप से उत्तल स्थान में, उत्तल पतवार और पूरी तरह से घिरे सेट का बिल्कुल उत्तल सेट पूरी तरह से घिरा हुआ है।
• एक पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस में स्थानीय रूप से उत्तल स्थान, उत्तल पतवार और एक कॉम्पैक्ट सेट का डिस्क वाला पतवार दोनों कॉम्पैक्ट होते हैं।
  • अधिक सामान्यतः, यदि $K$ स्थानीय रूप से उत्तल स्थान का एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय है, फिर उत्तल पतवार $\operatorname {co} K$ (क्रमशः, डिस्कयुक्त पतवार $\operatorname {cobal} K$) सघन है यदि और केवल तभी जब यह पूर्ण हो।
• स्थानीय रूप से उत्तल स्थान में, परिबद्ध सेटों के उत्तल पतवार परिबद्ध होते हैं। यह सामान्यतः टीवीएस के लिए सत्य नहीं है।
• फ़्रेचेट स्थान में, एक कॉम्पैक्ट सेट का बंद उत्तल पतवार कॉम्पैक्ट होता है।
• स्थानीय रूप से उत्तल स्थान में, पूरी तरह से बंधे हुए सेटों का कोई भी रैखिक संयोजन पूरी तरह से घिरा हुआ है।

उत्तल पतवार के गुण

किसी भी उपसमुच्चय के लिए $S$ एक टीवीएस का $X,$ उत्तल पतवार (क्रमशः, बंद उत्तल पतवार, संतुलित सेट, उत्तल संतुलित पतवार) $S,$ द्वारा चिह्नित $\operatorname {co} S$ (क्रमश, ${\overline {\operatorname {co} }}S,$ $\operatorname {bal} S,$ $\operatorname {cobal} S$), सबसे छोटा उत्तल (क्रमशः, बंद उत्तल, संतुलित, उत्तल संतुलित) उपसमुच्चय है $X$ युक्त $S.$

• हिल्बर्ट स्थान के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का उत्तल पतवार है notआवश्यक रूप से बंद और इसी तरह not आवश्यक रूप से कॉम्पैक्ट। उदाहरण के लिए, चलो $H$ वियोज्य हिल्बर्ट स्पेस एलपी स्पेस बनें|$\ell ^{2}(\mathbb {N} )$सामान्य मानदंड के साथ वर्ग-योग्य अनुक्रमों का $\|\cdot \|_{2}$ और जाने $e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )$ मानक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनें (अर्थात $1$ पर $n^{\text{th}}$-समन्वय)। बंद सेट $S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{1}}e_{n},{\tfrac {1}{2}}e_{2},{\tfrac {1}{3}}e_{3},\ldots \right\}$ कॉम्पैक्ट है लेकिन इसका उत्तल पतवार है $\operatorname {co} S$ है not एक बंद सेट क्योंकि $h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}$ के बंद होने के अंतर्गत आता है $\operatorname {co} S$ में $H$ लेकिन $h\not \in \operatorname {co} S$ (प्रत्येक अनुक्रम के बाद से $z\in \operatorname {co} S$ के तत्वों का एक परिमित उत्तल संयोजन है $S$ और ऐसा आवश्यक रूप से है $0$ सभी लेकिन सीमित रूप से अनेक निर्देशांकों में, जो सच नहीं है $h$). हालाँकि, सभी पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस हॉसडॉर्फ स्थानीय उत्तल स्थानों की तरह, closed उन्नतोत्तर पेटा $K:={\overline {\operatorname {co} }}S$ इस संहत उपसमुच्चय का संहत है। वेक्टर उपस्थान $X:=\operatorname {span} S$ हिल्बर्ट स्थान की उपसंरचना से संपन्न होने पर यह एक पूर्व-हिल्बर्ट स्थान है $H$ इस पर प्रेरित करता है लेकिन $X$ पूर्ण नहीं है और $h\not \in C:=K\cap X$ (तब से $h\not \in X$). का बंद उत्तल पतवार $S$ में $X$ (यहाँ, बंद का अर्थ है के संबंध में $X,$ और नहीं $H$ पहले की तरह) के बराबर है $K\cap X,$ जो सघन नहीं है (क्योंकि यह पूर्ण उपसमुच्चय नहीं है)। इससे पता चलता है कि हॉसडॉर्फ में स्थानीय रूप से उत्तल स्थान जो पूर्ण नहीं है, कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का बंद उत्तल पतवार हो सकता है fail कॉम्पैक्ट होना (हालाँकि यह पूरी तरह से घिरा हुआ स्थान होगा | प्रीकॉम्पैक्ट/पूरी तरह से घिरा हुआ)।
• हॉसडॉर्फ़ स्थानीय रूप से उत्तल स्थान में $X,$ बंद उत्तल पतवार ${\overline {\operatorname {co} }}^{X}S=\operatorname {cl} _{X}\operatorname {co} S$ कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का $S$ जरूरी नहीं कि यह कॉम्पैक्ट हो, हालांकि यह एक पूरी तरह से घिरा हुआ स्थान#टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (जिसे पूरी तरह से घिरा हुआ भी कहा जाता है) उपसमुच्चय है, जिसका अर्थ है कि इसका बंद होना, when taken in a completion ${\widehat {X}}$ का $X,$ कॉम्पैक्ट होगा (यहाँ)। $X\subseteq {\widehat {X}},$ ताकि $X={\widehat {X}}$ अगर और केवल अगर $X$ तैयार है); यानी, $\operatorname {cl} _{\widehat {X}}{\overline {\operatorname {co} }}^{X}S$ कॉम्पैक्ट होगा. उदाहरण के लिए, बंद उत्तल पतवार $C:={\overline {\operatorname {co} }}^{X}S$ के एक सघन उपसमुच्चय का $S$ हिल्बर्ट-पूर्व स्थान का $X$ हमेशा का एक प्रीकॉम्पैक्ट उपसमुच्चय होता है $X,$ और इसलिए बंद हो गया $C$ किसी भी हिल्बर्ट स्थान में $H$ युक्त $X$ (जैसे हॉसडॉर्फ़ का पूरा होना $X$ उदाहरण के लिए) कॉम्पैक्ट होगा (उपरोक्त पिछले उदाहरण में यही स्थिति है)।
• एक अर्ध-पूर्ण स्थान | अर्ध-पूर्ण स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस में, एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के उत्तल पतवार का बंद होना फिर से कॉम्पैक्ट होता है।
• हॉसडॉर्फ स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस में, पूरी तरह से बंधे हुए स्थान#टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस सेट का उत्तल पतवार फिर से प्रीकॉम्पैक्ट है। नतीजतन, एक पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस हॉसडॉर्फ स्थानीय रूप से उत्तल स्थान में, एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का बंद उत्तल पतवार फिर से कॉम्पैक्ट होता है।
• किसी भी टीवीएस में, कॉम्पैक्ट उत्तल सेटों के एक सीमित संघ का उत्तल पतवार कॉम्पैक्ट (और उत्तल) होता है।
  • इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी हॉसडॉर्फ टीवीएस में, कॉम्पैक्ट उत्तल सेटों के एक सीमित संघ का उत्तल पतवार है closed (कॉम्पैक्ट होने के अलावा और उत्तल); विशेष रूप से, ऐसे संघ का उत्तल पतवार के बराबर होता है closed उस संघ का उत्तल पतवार।
  • सामान्य तौर पर, एक कॉम्पैक्ट सेट का बंद उत्तल पतवार आवश्यक रूप से कॉम्पैक्ट नहीं होता है। हालाँकि, प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय $\mathbb {R} ^{n}$ (कहाँ $n<\infty$) में एक कॉम्पैक्ट उत्तल पतवार है।
  • किसी भी गैर-हॉसडॉर्फ़ टीवीएस में, ऐसे उपसमुच्चय मौजूद हैं जो कॉम्पैक्ट हैं (और इस प्रकार पूर्ण हैं) लेकिन not बंद किया हुआ।
• द्विध्रुवी प्रमेय बताता है कि स्थानीय रूप से उत्तल हॉसडॉर्फ टीवीएस के एक उपसमुच्चय का द्विध्रुवी (अर्थात, ध्रुवीय का ध्रुवीय सेट) उस सेट के बंद उत्तल संतुलित पतवार के बराबर है।
• उत्तल समुच्चय का संतुलित समुच्चय है not आवश्यक रूप से उत्तल।
• अगर $C$ और $D$ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के उत्तल उपसमुच्चय हैं $X$ और अगर $x\in \operatorname {co} (C\cup D),$ फिर वहाँ अस्तित्व है $c\in C,$ $d\in D,$ और एक वास्तविक संख्या $r$ संतुष्टि देने वाला $0\leq r\leq 1$ ऐसा है कि $x=rc+(1-r)d.$
• अगर $M$ टीवीएस का एक वेक्टर उपस्थान है $X,$ $C$ का एक उत्तल उपसमुच्चय $M,$ और $D$ का एक उत्तल उपसमुच्चय $X$ ऐसा है कि $D\cap M\subseteq C,$ तब $C=M\cap \operatorname {co} (C\cup D).$
• याद रखें कि सबसे छोटा संतुलित सेट उपसमुच्चय $X$ एक सेट युक्त $S$ का संतुलित पतवार कहा जाता है $S$ और द्वारा दर्शाया गया है $\operatorname {bal} S.$ किसी भी उपसमुच्चय के लिए $S$ का $X,$ का उत्तल संतुलित पतवार $S,$ द्वारा चिह्नित $\operatorname {cobal} S,$ का सबसे छोटा उपसमूह है $X$ युक्त $S$ वह उत्तल और संतुलित है. उत्तल संतुलित पतवार $S$ के संतुलित पतवार के उत्तल पतवार के बराबर है $S$ (अर्थात। $\operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S)$), लेकिन उत्तल संतुलित पतवार $S$ है not आवश्यक रूप से उत्तल पतवार के संतुलित पतवार के बराबर $S$ (वह है, $\operatorname {cobal} S$ जरूरी नहीं कि बराबर हो $\operatorname {bal} (\operatorname {co} S)$).
• अगर $A,B\subseteq X$ टीवीएस के उपसमुच्चय हैं $X$ और अगर $s$ तब एक अदिश राशि है $\operatorname {co} (A+B)=\operatorname {co} (A)+\operatorname {co} (B),$ $\operatorname {co} (sA)=s\operatorname {co} A,$ $\operatorname {co} (A\cup B)=\operatorname {co} (A)\cup \operatorname {co} (B),$ और ${\overline {\operatorname {co} }}(sA)=s{\overline {\operatorname {co} }}(A).$ इसके अलावा, यदि ${\overline {\operatorname {co} }}(A)$ तो कॉम्पैक्ट है ${\overline {\operatorname {co} }}(A+B)={\overline {\operatorname {co} }}(A)+{\overline {\operatorname {co} }}(B).$ हालाँकि, एक बंद सेट के उत्तल पतवार को बंद करने की आवश्यकता नहीं है; उदाहरण के लिए, सेट $\left\{(x,\,\pm \tan x):|x|<{\tfrac {\pi }{2}}\right\}$ में बंद है $X:=\mathbb {R} ^{2}$ लेकिन इसका उत्तल पतवार खुला सेट है $\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\times \mathbb {R} .$ * अगर $A,B\subseteq X$ टीवीएस के उपसमुच्चय हैं $X$ जिसके बंद उत्तल पतवार कॉम्पैक्ट हैं, तो ${\overline {\operatorname {co} }}(A\cup B)={\overline {\operatorname {co} }}\left({\overline {\operatorname {co} }}(A)\cup {\overline {\operatorname {co} }}(B)\right).$
• अगर $S$ एक जटिल सदिश समष्टि में उत्तल समुच्चय है $X$ और कुछ मौजूद हैं $z\in X$ ऐसा है कि $z,iz,-z,-iz\in S,$ तब $rz+siz\in S$ सभी वास्तविक के लिए $r,s$ ऐसा है कि $|r|+|s|\leq 1.$ विशेष रूप से, $az\in S$ सभी अदिश राशि वालों के लिए $a$ ऐसा है कि $|a|^{2}\leq {\tfrac {1}{2}}.$
• कैराथोडोरी का प्रमेय (उत्तल पतवार)|कैराथोडोरी का प्रमेय: यदि $S$ है any का भाग $\mathbb {R} ^{n}$ (कहाँ $n<\infty$) फिर प्रत्येक के लिए $x\in \operatorname {co} S,$ वहाँ एक सीमित उपसमुच्चय मौजूद है $F\subseteq S$ अधिकतम युक्त $n+1$ वे बिंदु जिनके उत्तल पतवार में शामिल हैं $x$ (वह है, $|F|\leq n+1$ और $x\in \operatorname {co} F$).

उदाहरण और कोई उदाहरण नहीं

स्थानीय स्तर पर सबसे बढ़िया और मोटे उत्तल टोपोलॉजी

सबसे मोटे वेक्टर टोपोलॉजी

कोई सदिश स्थान $X$ तुच्छ टोपोलॉजी (जिसे अविवेकी टोपोलॉजी भी कहा जाता है) से संपन्न एक स्थानीय उत्तल टीवीएस है (और निश्चित रूप से, यह इस तरह की सबसे मोटी टोपोलॉजी है)। यह टोपोलॉजी केवल और केवल हॉसडॉर्फ है $X=\{0\}.$ अविवेकी टोपोलॉजी किसी भी वेक्टर स्पेस को पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस मेट्रिज़ेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस में बनाती है।

इसके विपरीत, असतत टोपोलॉजी एक वेक्टर टोपोलॉजी बनाती है $X$ यदि और केवल $X=\{0\}.$ यह इस तथ्य से पता चलता है कि प्रत्येक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस एक जुड़ा हुआ स्थान है।

सर्वोत्तम स्थानीय उत्तल टोपोलॉजी

अगर $X$ एक वास्तविक या जटिल सदिश समष्टि है और यदि ${\mathcal {P}}$ सभी सेमिनॉर्म्स का सेट चालू है $X$ फिर स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस टोपोलॉजी, द्वारा निरूपित $\tau _{\operatorname {lc} },$ वह ${\mathcal {P}}$ प्रेरित करता है $X$ कहा जाता हैfinest locally convex topology पर $X.$ इस टोपोलॉजी को टीवीएस-टोपोलॉजी के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है $X$ मूल में पड़ोस के आधार के रूप में सभी अवशोषक सेट का सेट बिल्कुल उत्तल सेट होता है $X.$ किसी भी स्थानीय उत्तल टीवीएस-टोपोलॉजी पर $X$ आवश्यक रूप से का एक उपसमुच्चय है $\tau _{\operatorname {lc} }.$ $\left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)$ हॉसडॉर्फ़ स्थान है. प्रत्येक रेखीय मानचित्र से $\left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)$ किसी अन्य स्थानीय उत्तल टीवीएस में आवश्यक रूप से निरंतर है। विशेष रूप से, प्रत्येक रैखिक कार्यात्मक पर $\left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)$ सतत है और प्रत्येक सदिश उपसमष्टि $X$ में बंद है $\left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)$; इसलिए, यदि $X$ तो अनंत आयामी है $\left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)$ स्यूडोमेट्रिज़ेबल नहीं है (और इस प्रकार मेट्रिज़ेबल नहीं है)। इसके अतिरिक्त, $\tau _{\operatorname {lc} }$ है only हॉसडॉर्फ स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजी पर $X$ इस गुण के साथ कि इससे हॉसडॉर्फ के किसी भी स्थानीय उत्तल स्थान में कोई भी रैखिक मानचित्र निरंतर होता है। अंतरिक्ष $\left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)$ एक जन्मजात स्थान है.

स्थानीय रूप से उत्तल स्थानों के उदाहरण

प्रत्येक मानक स्थान हॉसडॉर्फ स्थानीय रूप से उत्तल स्थान है, और स्थानीय रूप से उत्तल स्थानों का अधिकांश सिद्धांत मानक स्थानों के सिद्धांत के कुछ हिस्सों को सामान्यीकृत करता है। सेमिनॉर्म के परिवार को एकल मानदंड के रूप में लिया जा सकता है। प्रत्येक बानाच स्थान एक पूर्ण हॉसडॉर्फ़ स्थानीय रूप से उत्तल स्थान है, विशेष रूप से, एलपी स्थान|$L^{p}$ रिक्त स्थान के साथ $p\geq 1$ स्थानीय रूप से उत्तल हैं।

अधिक सामान्यतः, प्रत्येक फ़्रेचेट स्थान स्थानीय रूप से उत्तल होता है। फ़्रेचेट स्पेस को सेमीनॉर्म्स के एक अलग गणनीय परिवार के साथ पूर्ण स्थानीय रूप से उत्तल स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{\omega }$ द्वारा दिए गए सेमिनॉर्म्स के परिवार के साथ वास्तविक मूल्यवान अनुक्रमों का

$$p_{i}\left(\left\{x_{n}\right\}_{n}\right)=\left|x_{i}\right|,\qquad i\in \mathbb {N}$$

स्थानीय रूप से उत्तल है. सेमीनॉर्म्स का गणनीय परिवार पूर्ण और अलग करने योग्य है, इसलिए यह एक फ़्रेचेट स्थान है, जो मानक नहीं है। यह रिक्त स्थान की सीमा टोपोलॉजी भी है $\mathbb {R} ^{n},$ में स्थापित $\mathbb {R} ^{\omega }$ प्राकृतिक तरीके से, अनंत अनेकों के साथ परिमित अनुक्रमों को पूरा करके $0.$ किसी सदिश स्थान को देखते हुए $X$ और एक संग्रह $F$ इस पर रैखिक कार्यात्मकताओं का, $X$ इसे सबसे कमजोर टोपोलॉजी देकर स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस में बनाया जा सकता है, जिससे सभी रैखिक कार्यात्मकताएं बनती हैं $F$ निरंतर। इसे कमजोर टोपोलॉजी या द्वारा निर्धारित प्रारंभिक टोपोलॉजी के रूप में जाना जाता है $F.$ संग्रह $F$ का दोहरा स्थान#बीजगणितीय दोहरा स्थान हो सकता है $X$ या कोई अन्य संग्रह. इस मामले में सेमिनोर्म्स का परिवार दिया गया है $p_{f}(x)=|f(x)|$ सभी के लिए $f$ में $F.$ भिन्न-भिन्न कार्यों के स्थान अन्य गैर-मानक उदाहरण देते हैं। सुचारू कार्यों के स्थान पर विचार करें $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ ऐसा है कि $\sup _{x}\left|x^{a}D_{b}f\right|<\infty ,$ कहाँ $a$ और $B$ बहुसूचकांक हैं. सेमिनोर्म्स का परिवार द्वारा परिभाषित $p_{a,b}(f)=\sup _{x}\left|x^{a}D_{b}f(x)\right|$ अलग किया गया है, और गणनीय है, और स्थान पूर्ण है, इसलिए यह मेट्रिज़ेबल स्थान एक फ़्रेचेट स्थान है। इसे श्वार्ट्ज स्थान , या तेजी से घटने वाले कार्यों के स्थान के रूप में जाना जाता है, और इसका दोहरा स्थान टेम्पर्ड वितरण का स्थान है।

कार्यात्मक विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण कार्य स्थान स्थान है $D(U)$ कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ सुचारू कार्य $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}.$ इस स्थान की टोपोलॉजी के लिए अधिक विस्तृत निर्माण की आवश्यकता है क्योंकि अंतरिक्ष $C_{0}^{\infty }(U)$ एकसमान मानक में पूरा नहीं है। टोपोलॉजी चालू है $D(U)$ इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: किसी भी निश्चित कॉम्पैक्ट सेट के लिए $K\subseteq U,$ अंतरिक्ष $C_{0}^{\infty }(K)$ कार्यों का $f\in C_{0}^{\infty }$ साथ $\operatorname {supp} (f)\subseteq K$ सेमीनॉर्म्स के गणनीय परिवार वाला एक फ़्रेचेट स्थान है $\|f\|_{m}=\sup _{k\leq m}\sup _{x}\left|D^{k}f(x)\right|$ (ये वास्तव में मानदंड हैं, और स्थान की पूर्णता हैं $C_{0}^{\infty }(K)$ साथ $\|\cdot \|_{m}$ नॉर्म एक बानाच स्थान है $D^{m}(K)$). किसी भी संग्रह को देखते हुए $\left(K_{a}\right)_{a\in A}$ कॉम्पैक्ट सेटों का, समावेशन द्वारा निर्देशित और इस तरह कि उनका मिलन बराबर हो $U,$ $C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)$ एक प्रत्यक्ष प्रणाली (गणित) बनाएं, और $D(U)$ इस प्रणाली की सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है। फ़्रेचेट रिक्त स्थान की ऐसी सीमा को एलएफ स्थान के रूप में जाना जाता है। अधिक ठोस रूप से, $D(U)$ सबका मिलन है $C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)$ सबसे मजबूत के साथ locally convex टोपोलॉजी जो प्रत्येक समावेशन मानचित्र बनाती है $C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)\hookrightarrow D(U)$ निरंतर। यह स्थान स्थानीय रूप से उत्तल और पूर्ण है। हालाँकि, यह मेट्रिज़ेबल नहीं है, और इसलिए यह फ़्रेचेट स्थान नहीं है। का दोहरा स्थान $D\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ पर वितरण (गणित) का स्थान है $\mathbb {R} ^{n}.$ अधिक संक्षेप में, एक टोपोलॉजिकल स्थान दिया गया है $X,$ अंतरिक्ष $C(X)$ निरंतर (आवश्यक रूप से बाध्य नहीं) कार्यों पर $X$ कॉम्पैक्ट सेट पर एकसमान अभिसरण की टोपोलॉजी दी जा सकती है। इस टोपोलॉजी को अर्ध-मानदंडों द्वारा परिभाषित किया गया है $\varphi _{K}(f)=\max\{|f(x)|:x\in K\}$ (जैसा $K$ के सभी सघन उपसमूहों के निर्देशित सेट में भिन्नता होती है $X$). कब $X$ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है (उदाहरण के लिए, एक खुला सेट $\mathbb {R} ^{n}$) स्टोन-वीयरस्ट्रैस प्रमेय लागू होता है - वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के मामले में, किसी भी उप-बीजगणित $C(X)$ जो बिंदुओं को अलग करता है और स्थिर कार्यों को शामिल करता है (उदाहरण के लिए, बहुपदों का उपबीजगणित) सघन सेट है।

स्थानीय उत्तलता की कमी वाले स्थानों के उदाहरण

कई टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थान स्थानीय रूप से उत्तल हैं। स्थानीय उत्तलता की कमी वाले स्थानों के उदाहरणों में निम्नलिखित शामिल हैं:

• एलपी स्पेस|स्पेस $L^{p}([0,1])$के लिए $0<p<1$ एफ-स्पेस|एफ-मानदंड से सुसज्जित हैं
  $$\|f\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f(x)|^{p}\,dx.$$
  वे स्थानीय रूप से उत्तल नहीं हैं, क्योंकि शून्य का एकमात्र उत्तल पड़ोस संपूर्ण स्थान है। अधिक सामान्यतः रिक्त स्थान $L^{p}(\mu )$ एक परमाणु रहित, सीमित माप के साथ $\mu$ और $0<p<1$ स्थानीय रूप से उत्तल नहीं हैं.
• इकाई अंतराल पर मापने योग्य कार्यों का स्थान $[0,1]$ (जहां हम दो कार्यों की पहचान करते हैं जो लगभग हर जगह समान हैं) में अनुवाद-अपरिवर्तनीय मीट्रिक द्वारा परिभाषित एक वेक्टर-स्पेस टोपोलॉजी है (जो मापने योग्य कार्यों के माप में अभिसरण को प्रेरित करती है; यादृच्छिक चर के लिए, माप में अभिसरण संभाव्यता में अभिसरण है):
  $$d(f,g)=\int _{0}^{1}{\frac {|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}}\,dx.$$
  इस स्थान को अक्सर दर्शाया जाता है $L_{0}.$

दोनों उदाहरणों में यह गुण है कि वास्तविक संख्याओं के लिए कोई भी सतत रेखीय मानचित्र होता है $0.$ विशेष रूप से, उनका दोहरा स्थान तुच्छ है, अर्थात इसमें केवल शून्य कार्यात्मकता शामिल है।

• अनुक्रम स्थान $\ell ^{p}(\mathbb {N} ),$ $0<p<1,$ स्थानीय रूप से उत्तल नहीं है.

निरंतर मैपिंग

Main article: Continuous linear map

Theorem — Let $T:X\to Y$ be a linear operator between TVSs where $Y$ is locally convex (note that $X$ need not be locally convex). Then $T$ is continuous if and only if for every continuous seminorm $q$ on $Y$, there exists a continuous seminorm $p$ on $X$ such that $q\circ T\leq p.$

क्योंकि स्थानीय रूप से उत्तल स्थान टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के साथ-साथ वेक्टर रिक्त स्थान भी हैं, दो स्थानीय उत्तल स्थानों के बीच विचार करने के लिए प्राकृतिक कार्य निरंतर रैखिक मानचित्र हैं। सेमीनॉर्म्स का उपयोग करते हुए, एक रेखीय मानचित्र के निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त मानदंड दिया जा सकता है जो बानाच रिक्त स्थान के लिए पाए जाने वाले अधिक परिचित परिबद्ध संचालिका से काफी मिलता जुलता है।

स्थानीय रूप से उत्तल स्थान दिए गए हैं $X$ और $Y$ सेमिनॉर्म्स के परिवारों के साथ $\left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }$ और $\left(q_{\beta }\right)_{\beta }$ क्रमशः, एक रेखीय मानचित्र $T:X\to Y$ निरंतर है यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए $\beta ,$ वहां है $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ और $M>0$ ऐसा कि सभी के लिए $v\in X,$

$$q_{\beta }(Tv)\leq M\left(p_{\alpha _{1}}(v)+\dotsb +p_{\alpha _{n}}(v)\right).$$

दूसरे शब्दों में, की सीमा के प्रत्येक सेमिनॉर्म $T$ किसी फ़ंक्शन के डोमेन में सेमिनॉर्म्स के कुछ सीमित योग द्वारा ऊपर बंधा हुआ फ़ंक्शन है। यदि परिवार $\left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }$ एक निर्देशित परिवार है, और जैसा कि ऊपर बताया गया है, इसे हमेशा निर्देशित होने के लिए चुना जा सकता है, तो सूत्र और भी सरल और अधिक परिचित हो जाता है:

$$q_{\beta }(Tv)\leq Mp_{\alpha }(v).$$

सभी स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थानों का वर्ग (सेट सिद्धांत) रूपवाद के रूप में निरंतर रैखिक मानचित्रों के साथ एक श्रेणी (गणित) बनाता है।

रैखिक कार्यात्मकता

Theorem — If $X$ is a TVS (not necessarily locally convex) and if $f$ is a linear functional on $X$, then $f$ is continuous if and only if there exists a continuous seminorm $p$ on $X$ such that $|f|\leq p.$

अगर $X$ एक वास्तविक या जटिल सदिश समष्टि है, $f$ पर एक रैखिक कार्यात्मक है $X$, और $p$ पर एक सेमीनॉर्म है $X$, तब $|f|\leq p$ अगर और केवल अगर $f\leq p.$ अगर $f$ वास्तविक सदिश समष्टि पर एक गैर-0 रैखिक कार्यात्मक है $X$ और अगर $p$ पर एक सेमीनॉर्म है $X$, तब $f\leq p$ अगर और केवल अगर $f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .$

बहुरेखीय मानचित्र

होने देना $n\geq 1$ एक पूर्णांक हो, $X_{1},\ldots ,X_{n}$ टीवीएस बनें (जरूरी नहीं कि स्थानीय रूप से उत्तल हो), आइए $Y$ एक स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस बनें जिसकी टोपोलॉजी एक परिवार द्वारा निर्धारित की जाती है ${\mathcal {Q}}$ सतत सेमिनॉर्म्स का, और चलो $M:\prod _{i=1}^{n}X_{i}\to Y$ एक बहुरेखीय ऑपरेटर बनें जो अपने प्रत्येक में रैखिक हो $n$ निर्देशांक निम्नलिखित समतुल्य हैं:

1. $M$ सतत है.
2. हरएक के लिए $q\in {\mathcal {Q}},$ वहाँ निरंतर सेमिनॉर्म्स मौजूद हैं $p_{1},\ldots ,p_{n}$ पर $X_{1},\ldots ,X_{n},$ क्रमशः, ऐसे कि $q(M(x))\leq p_{1}\left(x_{1}\right)\cdots p_{n}\left(x_{n}\right)$ सभी के लिए $x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \prod _{i=1}^{n}X_{i}.$
3. हरएक के लिए $q\in {\mathcal {Q}},$ वहाँ मूल के कुछ पड़ोस मौजूद हैं $\prod _{i=1}^{n}X_{i}$ जिस पर $q\circ M$ घिरा है।

यह भी देखें

• Convex metric space
• Krein–Milman theorem
• Linear form
• Locally convex vector lattice
• Minkowski functional
• Seminorm
• Sublinear functional
• Topological group
• Topological vector space
• Vector space

संदर्भ

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