स्पर्शरेखा आधा कोण सूत्र

त्रिकोणमिति में, स्पर्शरेखा आधा-कोण सूत्र आधे कोण के स्पर्शरेखा को पूरे कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंधित करते हैं। आधे कोण की स्पर्शरेखा एक रेखा पर वृत्त का त्रिविम प्रक्षेपण है। इनमें से सूत्र निम्नलिखित हैं:

${\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}(\eta \pm \theta )&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\eta \pm \tan {\tfrac {1}{2}}\theta }{1\mp \tan {\tfrac {1}{2}}\eta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }}={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}=-{\frac {\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta \mp \sin \theta }},\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {\tan \theta }{\sec \theta +1}}={\frac {1}{\csc \theta +\cot \theta }},&&(\eta =0)\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sec \theta -1}{\tan \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ,&&(\eta =0)\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}{\big (}\theta \pm {\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}&={\frac {1\pm \sin \theta }{\cos \theta }}=\sec \theta \pm \tan \theta ={\frac {\csc \theta \pm 1}{\cot \theta }},&&{\big (}\eta ={\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}{\big (}\theta \pm {\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}&={\frac {\cos \theta }{1\mp \sin \theta }}={\frac {1}{\sec \theta \mp \tan \theta }}={\frac {\cot \theta }{\csc \theta \mp 1}},&&{\big (}\eta ={\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}\\[10pt]{\frac {1-\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }{1+\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[10pt]\end{aligned}}$

इनमें से कोई भी साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा को आधे कोणों के स्पर्शरेखा के कार्यों के रूप में व्यक्त करने वाली पहचान प्राप्त कर सकता है:

${\begin{aligned}\sin \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\cos \alpha &={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\tan \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\end{aligned}}$

प्रमाण

बीजगणितीय प्रमाण

द्वि-कोण सूत्रों और पाइथागोरस की पहचान का उपयोग करना $1+\tan ^{2}\alpha =1{\big /}\cos ^{2}\alpha$ देता है

$\sin \alpha =2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha \cos {\tfrac {1}{2}}\alpha ={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\cos {\tfrac {1}{2}}\alpha {\Big /}\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }},\quad {\text{and}}$

$\cos \alpha =\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha -\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha ={\frac {\left(\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha -\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha \right){\Big /}\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }},\quad {\text{and}}$

साइन और कोसाइन के सूत्रों का भागफल लेने पर प्राप्त होता है

$\tan \alpha ={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}.$

कोज्या के लिए द्वि-कोण सूत्र के साथ पाइथागोरस की पहचान का संयोजन, $\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1$,

पुनर्व्यवस्थित करना, और वर्गमूल लेने से प्राप्त होता है

$|\sin \alpha |={\sqrt {\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}$ और $|\cos \alpha |={\sqrt {\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}$

जो, विभाजन पर देता है

$|\tan \alpha |={\frac {\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}={\frac {{\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}{1+\cos 2\alpha }}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}2\alpha }}{1+\cos 2\alpha }}={\frac {|\sin 2\alpha |}{1+\cos 2\alpha }}.$ वैकल्पिक रूप से,

$|\tan \alpha |={\frac {\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}{\sqrt {1-\cos 2\alpha }}}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{\sqrt {1-\cos ^{2}2\alpha }}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{|\sin 2\alpha |}}.$

यह पता चला है कि इन अंतिम दो फ़ार्मुलों में निरपेक्ष मान चिह्नों को छोड़ दिया जा सकता है, चाहे कोई भी चतुर्थांश हो α में है। निरपेक्ष मान बार के साथ या उसके बिना ये सूत्र तब लागू नहीं होते हैं जब दाहिनी ओर अंश और हर दोनों शून्य होते हैं।

इसके अलावा, साइन और कोसाइन दोनों के लिए कोण जोड़ और घटाव सूत्रों का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है:

$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$

$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$

उपरोक्त चार सूत्रों के जोड़ो में योग से प्राप्त होता है:

${\begin{aligned}&\sin(a+b)+\sin(a-b)\\[5mu]&\quad =\sin a\cos b+\cos a\sin b+\sin a\cos b-\cos a\sin b\\[5mu]&\quad =2\sin a\cos b\\[15mu]&\cos(a+b)+\cos(a-b)\\[5mu]&\quad =\cos a\cos b-\sin a\sin b+\cos a\cos b+\sin a\sin b\\[5mu]&\quad =2\cos a\cos b\end{aligned}}$

स्थापना $a={\tfrac {1}{2}}(p+q)$ और $b={\tfrac {1}{2}}(p-q)$ और प्रतिस्थापन उपज:

${\begin{aligned}&\sin p+\sin q\\[5mu]&\quad =\sin \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)+{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)+\sin \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)-{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)\\[5mu]&\quad =2\sin {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)\\[15mu]&\cos p+\cos q\\[5mu]&\quad =\cos \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)+{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)+\cos \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)-{\tfrac {1}{2}}(p-q)\right)\\[5mu]&\quad =2\cos {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)\end{aligned}}$

साइन के योग को कोसाइन के योग से विभाजित करने पर एक व्यक्ति आता है:

${\frac {\sin p+\sin q}{\cos p+\cos q}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)}{2\cos {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(p-q)}}=\tan {\tfrac {1}{2}}(p+q)$

ज्यामितीय प्रमाण

इस समचतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई 1 है। क्षैतिज रेखा और दिखाए गए विकर्ण के बीच का कोण है1/2 (a + b). यह विशेष स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र को सिद्ध करने का एक ज्यामितीय तरीका है जो कहता है tan 1/2 (a + b) = (sin a + sin b) / (cos a + cos b). सूत्र sin 1/2(a + b) और cos 1/2(a + b) विकर्ण की लंबाई के लिए वास्तविक दूरियों के अनुपात हैं।

ऊपर दिए गए सूत्र को दाईं ओर समचतुर्भुज आकृति पर लागू करना, यह आसानी से दिखाया गया है

$\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}={\frac {\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}}.$

यूनिट सर्कल में, ऊपर के आवेदन से पता चलता है कि $t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi$. समरूप त्रिभुजों द्वारा,

${\frac {t}{\sin \varphi }}={\frac {1}{1+\cos \varphi }}$.

यह इस प्रकार है कि

$t={\frac {\sin \varphi }{1+\cos \varphi }}={\frac {\sin \varphi (1-\cos \varphi )}{(1+\cos \varphi )(1-\cos \varphi )}}={\frac {1-\cos \varphi }{\sin \varphi }}.$

== अभिन्न कलन == में स्पर्शरेखा आधा कोण प्रतिस्थापन

Main article: Weierstrass substitution

वीयरस्ट्रैस प्रतिस्थापन का एक ज्यामितीय प्रमाण

त्रिकोणमिति के विभिन्न अनुप्रयोगों में, नए चर के तर्कसंगत कार्यों के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों (जैसे साइन और कोज्या) को फिर से लिखना उपयोगी होता है $t$. की परिभाषा के कारण इन सर्वसमिकाओं को सामूहिक रूप से स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्रों के रूप में जाना जाता है $t$. ये सर्वसमिकाएँ साइन और कोसाइन के परिमेय फलनों को के फलनों में बदलने के लिए गणना में उपयोगी हो सकती हैं t ताकि उनके antiderivative का पता लगाया जा सके।

ज्यामितीय रूप से, निर्माण इस प्रकार होता है: किसी भी बिंदु के लिए (cos φ, sin φ) यूनिट सर्कल पर, इसके माध्यम से जाने वाली रेखा और बिंदु को खींचें (−1, 0). यह बिंदु पार करता है y-अक्ष किसी बिंदु पर y = t. कोई साधारण ज्यामिति का उपयोग करके दिखा सकता है कि t = tan(φ/2). खींची गई रेखा के लिए समीकरण है y = (1 + x)t. रेखा और वृत्त के प्रतिच्छेदन के लिए समीकरण तब एक द्विघात समीकरण है जिसमें शामिल है t. इस समीकरण के दो हल हैं (−1, 0) और (cos φ, sin φ). यह हमें उत्तरार्द्ध को तर्कसंगत कार्यों के रूप में लिखने की अनुमति देता है t (समाधान नीचे दिए गए हैं)।

पैरामीटर t बिंदु के त्रिविम प्रक्षेपण का प्रतिनिधित्व करता है (cos φ, sin φ) उस पर yप्रक्षेपण के केंद्र के साथ अक्ष (−1, 0). इस प्रकार, स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र त्रिविम समन्वय के बीच रूपांतरण देते हैं t यूनिट सर्कल और मानक कोणीय समन्वय पर φ.

तो हमारे पास हैं

${\begin{aligned}&\sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[8pt]&\tan \varphi ={\frac {2t}{1-t^{2}}}&&\cot \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\sec \varphi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},&&\csc \varphi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\end{aligned}}$

और

$e^{i\varphi }={\frac {1+it}{1-it}},\qquad e^{-i\varphi }={\frac {1-it}{1+it}}.$

सीधे ऊपर और की प्रारंभिक परिभाषा के बीच फाई को हटाकर $t$, प्राकृतिक लघुगणक के संदर्भ में चापस्पर्शज्या के लिए निम्नलिखित उपयोगी संबंध पर आता है

$2\arctan t=-i\ln {\frac {1+it}{1-it}}.$

कलन में, वीयरस्ट्रैस प्रतिस्थापन का उपयोग के तर्कसंगत कार्यों के प्रतिपक्षी खोजने के लिए किया जाता है sin φ औरcos φ. सेटिंग के बाद

$t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi .$

यह बताता है कि

$\varphi =2\arctan(t)+2\pi n,$

कुछ पूर्णांक के लिए n, और इसीलिए

$d\varphi ={{2\,dt} \over {1+t^{2}}}.$

अतिशयोक्तिपूर्ण पहचान

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के साथ एक पूरी तरह से अनुरूप खेल खेल सकते हैं। हाइपरबोला पर (दाहिनी शाखा) पर एक बिंदु दिया जाता है(cosh ψ, sinh ψ). इसे प्रोजेक्ट करना yकेंद्र से अक्ष (−1, 0) निम्नलिखित देता है:

$t=\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi ={\frac {\sinh \psi }{\cosh \psi +1}}={\frac {\cosh \psi -1}{\sinh \psi }}$

पहचान के साथ

${\begin{aligned}&\sinh \psi ={\frac {2t}{1-t^{2}}},&&\cosh \psi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\\[8pt]&\tanh \psi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\coth \psi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\operatorname {sech} \,\psi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},&&\operatorname {csch} \,\psi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\end{aligned}}$

और

$e^{\psi }={\frac {1+t}{1-t}},\qquad e^{-\psi }={\frac {1-t}{1+t}}.$

खोज ψ के अनुसार t व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के बीच निम्नलिखित संबंध की ओर जाता है $\operatorname {artanh}$ और प्राकृतिक लघुगणक:

$2\operatorname {artanh} t=\ln {\frac {1+t}{1-t}}.$

द गुडरमेनियन फंक्शन

Main article: Gudermannian function

अतिशयोक्तिपूर्ण पहचान की तुलना परिपत्र वाले से करते हुए, एक नोटिस करता है कि वे समान कार्यों को शामिल करते हैं t, बस अनुमत। यदि हम पैरामीटर की पहचान करते हैं t दोनों ही मामलों में हम वृत्तीय फलनों और अतिपरवलयिक फलनों के बीच संबंध पर पहुंचते हैं। यानी अगर

$t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi$

तब

$\varphi =2\arctan {\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi \,{\bigr )}\equiv \operatorname {gd} \psi .$

कहां gd(ψ) गुडरमैनियन समारोह है। गुडरमेनियन फलन वृत्तीय फलनों और अतिपरवलयिक फलनों के बीच एक सीधा संबंध देता है जिसमें सम्मिश्र संख्याएँ शामिल नहीं होतीं। स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्रों के उपरोक्त विवरण (यूनिट सर्कल और मानक हाइपरबोला का प्रक्षेपण y-एक्सिस) इस फ़ंक्शन की ज्यामितीय व्याख्या दें।

वाजिब मूल्य और पायथागॉरियन ट्रिपल्स

Main article: Pythagorean triple

यदि tan φ/2 एक परिमेय संख्या है तो प्रत्येक sin φ, cos φ, tan φ, sec φ, csc φ, और cot φ एक परिमेय संख्या होगी (या अनंत होगी)। इसी प्रकार यदि tanh ψ/2 एक परिमेय संख्या है तो प्रत्येक sinh ψ, cosh ψ, tanh ψ, sech ψ, csch ψ, और coth ψ एक परिमेय संख्या होगी (या अनंत होगी)। यह पायथागॉरियन त्रिक के साथ सहायक है; त्रिकोण के एसएएस क्षेत्र सूत्र के कारण प्रत्येक आंतरिक कोण में एक परिमेय ज्या होती है और कोसाइन के नियम के कारण परिमेय कोज्या होती है। इनका अर्थ है कि अर्ध-कोण स्पर्शरेखा आवश्यक रूप से परिमेय है। इसके विपरीत, जब एक अर्ध-कोण स्पर्शरेखा अंतराल में एक परिमेय संख्या होती है (0, 1) तब पूर्ण-कोण ज्या और कोज्या दोनों परिमेय होंगे, और एक समकोण त्रिभुज है जिसमें पूर्ण कोण है और जिसकी भुजाओं की लंबाई पायथागॉरियन ट्रिपल हैं।

सामान्य तौर पर, अगर K तब सम्मिश्र संख्याओं का एक क्षेत्र विस्तार है tan φ/2 ∈ K इसका आशय है {sin φ, cos φ, tan φ, sec φ, csc φ, cot φ} ⊆ K ∪ {∞}. के बारे में इसी तरह का बयान दिया जा सकता है tanh ψ/2.

यह भी देखें

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची
• आधा पक्ष सूत्र

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• द्विकोण सूत्र
• समान त्रिकोण
• ज्यामितिक
• उन लोगों के
• त्रिकोणमितीय समारोह
• स्पर्शरेखा
• अतिशयोक्तिपूर्ण समारोह
• उलटा अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य
• तर्कसंगत संख्या
• कोसाइन का कानून
• फील्ड एक्सटेंशन

बाहरी कड़ियाँ

• Tangent Of Halved Angle at Planetmath