स्यूडोस्कलार

रैखिक बीजगणित में, एक स्यूडोस्केलर एक मात्रा है जो एक अदिश (भौतिकी) की तरह व्यवहार करता है, सिवाय इसके कि यह एक समानता (भौतिकी) के तहत संकेत बदलता है। जबकि एक सच्चा अदिश नहीं होता है।

एक स्यूडोवेक्टर और एक साधारण वेक्टर (गणित और भौतिकी) के बीच कोई भी अदिश उत्पाद एक स्यूडोस्केलर है। एक स्यूडोस्केलर का प्रोटोटाइपिक उदाहरण स्केलर ट्रिपल उत्पाद है, जिसे ट्रिपल उत्पाद में वैक्टरों में से एक और दो अन्य वैक्टरों के बीच क्रॉस उत्पाद के बीच स्केलर उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, जहां बाद वाला एक स्यूडोवेक्टर है। एक स्यूडोस्केलर, जब एक साधारण सदिश स्थल से गुणा किया जाता है, एक स्यूडोवेक्टर | स्यूडोवेक्टर (अक्षीय वेक्टर) बन जाता है; एक समान निर्माण स्यूडोटेंसर बनाता है।

गणितीय रूप से, एक स्यूडोस्केलर एक वेक्टर अंतरिक्ष की शीर्ष बाहरी शक्ति का एक तत्व है, या क्लिफोर्ड बीजगणित की शीर्ष शक्ति है; स्यूडोस्केलर (क्लिफोर्ड बीजगणित) देखें। अधिक आम तौर पर, यह एक अलग-अलग मैनिफोल्ड के विहित बंडल का एक तत्व है।

भौतिकी में

भौतिकी में, एक स्यूडोस्केलर एक अदिश (भौतिकी) के समान भौतिक मात्रा को दर्शाता है। दोनों भौतिक मात्राएँ हैं जो एक ही मान मानती हैं जो उचित घुमाव के तहत अपरिवर्तनीय है। हालांकि, समता परिवर्तन के तहत, स्यूडोस्केलर अपने संकेतों को फ्लिप करते हैं जबकि स्केलर नहीं करते हैं। जैसा कि एक विमान के माध्यम से परावर्तन (गणित) समता परिवर्तन के साथ एक रोटेशन का संयोजन है, स्यूडोस्केलर भी प्रतिबिंब के तहत संकेत बदलते हैं।

भौतिकी में सबसे शक्तिशाली विचारों में से एक यह है कि जब कोई इन कानूनों का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली समन्वय प्रणाली को बदलता है तो भौतिक नियम नहीं बदलते हैं। जब निर्देशांक कुल्हाड़ियों को उलट दिया जाता है, तो एक स्यूडोस्केलर अपने संकेत को उलट देता है, यह दर्शाता है कि भौतिक मात्रा का वर्णन करने के लिए यह सबसे अच्छी वस्तु नहीं है। 3डी-स्पेस में, एक स्यूडोवेक्टर द्वारा वर्णित मात्राएं क्रम 2 के एंटी-सिमेट्रिक टेंसर हैं, जो व्युत्क्रम के तहत अपरिवर्तनीय हैं। स्यूडोवेक्टर उस मात्रा का एक सरल प्रतिनिधित्व हो सकता है, लेकिन व्युत्क्रम के तहत संकेत के परिवर्तन से ग्रस्त है। इसी तरह, 3डी-स्पेस में, एक अदिश का हॉज डुअल 3-आयामी लेवी-सिविटा प्रतीक |लेवी-सिविटा स्यूडोटेन्सर (या क्रमपरिवर्तन स्यूडोटेंसर) के स्थिर समय के बराबर है; जबकि स्यूडोस्केलर का हॉज ड्यूल ऑर्डर थ्री का एक एंटी-सिमेट्रिक (शुद्ध) टेंसर है। लेवी-सिविटा स्यूडोटेंसर एक पूरी तरह से एंटीसिमेट्रिक टेंसर है। क्रम 3 का एंटी-सिमेट्रिक स्यूडोटेंसर। चूंकि स्यूडोस्केलर का ड्यूल दो छद्म-मात्राओं का उत्पाद है, जिसके परिणामस्वरूप टेंसर एक सच्चा टेंसर है, और एक उलटा होने पर संकेत नहीं बदलता है। कुल्हाड़ियों का। स्थिति स्यूडोवेक्टर और ऑर्डर 2 के एंटी-सिमेट्रिक टेंसर की स्थिति के समान है। स्यूडोवेक्टर का ड्यूल ऑर्डर 2 (और इसके विपरीत) का एक एंटी-सिमेट्रिक टेंसर है। समन्वयन व्युत्क्रम के तहत टेंसर एक अपरिवर्तनीय भौतिक मात्रा है, जबकि स्यूडोवेक्टर अपरिवर्तनीय नहीं है।

स्थिति को किसी भी आयाम तक बढ़ाया जा सकता है। आम तौर पर एक एन-डायमेंशनल स्पेस में ऑर्डर आर टेंसर का हॉज ड्यूल ऑर्डर का एक एंटी-सिमेट्रिक स्यूडोटेंसर होगा (n − r) और इसके विपरीत। विशेष रूप से, विशेष सापेक्षता के चार-आयामी स्पेसटाइम में, एक स्यूडोस्केलर चौथे क्रम के टेंसर का दोहरा होता है और चार-आयामी लेवी-सिविटा प्रतीक | लेवी-सिविटा स्यूडोटेंसर के समानुपाती होता है।

उदाहरण

• स्ट्रीम फ़ंक्शन $\psi (x,y)$ द्वि-आयामी, असंपीड्य द्रव प्रवाह के लिए $\mathbf {v} \left(x,y\right)=\left\langle \partial _{y}\psi ,-\partial _{x}\psi \right\rangle$.
• चुंबकीय चार्ज एक छद्मकोश है क्योंकि इसे गणितीय रूप से परिभाषित किया गया है, भले ही यह भौतिक रूप से मौजूद हो।
• चुंबकीय प्रवाह एक वेक्टर (सतह सामान्य ) और स्यूडोवेक्टर (चुंबकीय क्षेत्र ) के बीच एक डॉट उत्पाद का परिणाम है।
• हेलिसीटी (कण भौतिकी) गति की दिशा (एक सच्चे वेक्टर) पर एक स्पिन (भौतिकी) छद्मवेक्टर का प्रक्षेपण (डॉट उत्पाद) है।
• स्यूडोस्केलर कण, यानी स्पिन 0 और विषम समता वाले कण, यानी एक कण जिसमें तरंग फ़ंक्शन के साथ कोई आंतरिक स्पिन नहीं होता है जो पैरिटी (भौतिकी) के तहत संकेत बदलता है। उदाहरण स्यूडोस्केलर मेसन हैं।

ज्यामितीय बीजगणित में

See also: Pseudoscalar (Clifford algebra)

एक ज्यामितीय बीजगणित में एक स्यूडोस्केलर बीजगणित का उच्चतम श्रेणीबद्ध वेक्टर अंतरिक्ष तत्व है। उदाहरण के लिए, दो आयामों में दो ओर्थोगोनल आधार सदिश होते हैं, $e_{1}$, $e_{2}$ और संबंधित उच्चतम-ग्रेड आधार तत्व है

$e_{1}e_{2}=e_{12}.$

तो एक स्यूडोस्केलर e . का गुणज है₁₂. तत्व ई₁₂ वर्ग से −1 और सभी सम तत्वों के साथ आवागमन करता है - इसलिए सम्मिश्र संख्याओं में काल्पनिक अदिश i की तरह व्यवहार करता है। यह अदिश जैसे गुण हैं जो इसके नाम को जन्म देते हैं।

इस सेटिंग में, एक स्यूडोस्केलर एक समता व्युत्क्रम के तहत संकेत बदलता है, क्योंकि if

(इ₁, तथा₂) → (में₁, में₂)

आधार का परिवर्तन एक ओर्थोगोनल परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है, तो

इ₁e₂ → यू₁u₂ = ±e₁e₂,

जहां संकेत परिवर्तन के निर्धारक पर निर्भर करता है। ज्यामितीय बीजगणित में स्यूडोस्केलर इस प्रकार भौतिकी में स्यूडोस्केलर के अनुरूप हैं।

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• लीनियर अलजेब्रा
• अलग करने योग्य कई गुना
• क्लिफर्ड बीजगणित
• अदिश ट्रिपल उत्पाद
• भौतिक विज्ञान
• प्रतिबिंब (गणित)
• उचित रोटेशन
• तरंग क्रिया
• ग्रेडेड वेक्टर स्पेस
• जटिल आंकड़े
• आधार परिवर्तन