अघुलनशील घटक

बीजगणितीय ज्यामिति में, एक अपरिवर्तनीय बीजगणितीय सेट या अपरिवर्तनीय विविधता एक बीजगणितीय सेट है जिसे दो उचित उपसमूह बीजगणितीय उपसमुच्चय के संघ (सेट सिद्धांत) के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। एक इरेड्यूसिबल घटक एक बीजगणितीय उपसमुच्चय है जो इस संपत्ति के लिए इरेड्यूसिबल और अधिकतम (सेट समावेशन के लिए) है। उदाहरण के लिए, समीकरण के समाधान का सेट xy = 0 अपरिवर्तनीय नहीं है, और इसके अपरिवर्तनीय घटक समीकरणों की दो पंक्तियाँ हैं x = 0 और y =0.

यह शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति का एक मौलिक प्रमेय है कि प्रत्येक बीजगणितीय सेट को अघुलनशील घटकों के एक सीमित संघ के रूप में एक अनोखे तरीके से लिखा जा सकता है।

इन अवधारणाओं को ज़ारिस्की टोपोलॉजी का उपयोग करके पूरी तरह से टोपोलॉजी शर्तों में पुन: तैयार किया जा सकता है, जिसके लिए बंद सेट बीजगणितीय उपसमुच्चय हैं: एक टोपोलॉजिकल स्पेस अघुलनशील स्थान है यदि यह दो उचित बंद उपसमुच्चय का संघ नहीं है, और एक इरेड्यूसेबल घटक एक अधिकतम है उपस्थान (आवश्यक रूप से बंद) जो प्रेरित टोपोलॉजी के लिए अप्रासंगिक है। यद्यपि इन अवधारणाओं को प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए माना जा सकता है, यह बीजीय ज्यामिति के बाहर शायद ही कभी किया जाता है, क्योंकि अधिकांश सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस हॉसडॉर्फ़ स्थान हैं, और, हॉसडॉर्फ स्पेस में, इरेड्यूसेबल घटक सिंगलटन (गणित) हैं।

टोपोलॉजी में

एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स 'रिड्यूसिबल' है यदि इसे एक संघ के रूप में लिखा जा सकता है $X=X_{1}\cup X_{2}$ दो बंद सेट के उचित उपसमुच्चय $X_{1}$, $X_{2}$ का $X.$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस इरेड्यूसिबल (या हाइपरकनेक्टेड स्पेस) है यदि यह रिड्यूसेबल नहीं है। समान रूप से, X अपरिवर्तनीय है यदि X के सभी गैर-रिक्त खुले सेट उपसमुच्चय सघन सेट हैं, या यदि किन्हीं दो गैर-रिक्त खुले सेटों में गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) है।

टोपोलॉजिकल स्पेस X के उपसमुच्चय F को इरेड्यूसिबल या रिड्यूसिबल कहा जाता है, यदि F को सबस्पेस टोपोलॉजी के माध्यम से टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में माना जाता है, तो उपरोक्त अर्थ में संबंधित संपत्ति होती है। वह है, $F$ यदि इसे एक संघ के रूप में लिखा जा सकता है तो इसे कम किया जा सकता है $F=(G_{1}\cap F)\cup (G_{2}\cap F),$ कहाँ $G_{1},G_{2}$ के बंद उपसमुच्चय हैं $X$, जिनमें से कोई भी शामिल नहीं है $F.$ टोपोलॉजिकल स्पेस का एक इरेड्यूसिबल घटक एक अधिकतम तत्व इरेड्यूसिबल उपसमुच्चय है। यदि कोई उपसमुच्चय अपरिवर्तनीय है, तो उसका समापन (टोपोलॉजी) भी अपरिवर्तनीय है, इसलिए अपरिवर्तनीय घटक बंद हो जाते हैं।

किसी स्थान X का प्रत्येक अघुलनशील उपसमुच्चय X के एक (जरूरी नहीं कि अद्वितीय) अघुलनशील घटक में समाहित है। हर बिंदु $x\in X$ एक्स के कुछ अपरिवर्तनीय घटक में निहित है।

बीजगणितीय ज्यामिति में

प्रत्येक एफ़िन किस्म या प्रक्षेप्य किस्म को एक बहुपद वलय में एक आदर्श (रिंग सिद्धांत) के शून्य के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है। एक इरेड्यूसिबल बीजगणितीय सेट, जिसे आमतौर पर बीजगणितीय विविधता के रूप में जाना जाता है, एक बीजगणितीय सेट है जिसे दो छोटे बीजगणितीय सेटों के संघ के रूप में विघटित नहीं किया जा सकता है। लास्कर-नोएदर प्रमेय का तात्पर्य है कि प्रत्येक बीजगणितीय सेट विशिष्ट रूप से परिभाषित बीजगणितीय सेटों की एक सीमित संख्या का संघ है, जिसे इसके अपरिवर्तनीय घटक कहा जाता है। जब ज़ारिस्की टोपोलॉजी पर विचार किया जाता है, तो इरेड्यूसिबिलिटी और इरेड्यूसिबल घटकों की ये धारणाएं बिल्कुल ऊपर परिभाषित हैं, क्योंकि बीजगणितीय सेट बिल्कुल इस टोपोलॉजी के बंद सेट हैं।

रिंग का स्पेक्ट्रम एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसके बिंदु प्रमुख आदर्श हैं और बंद सेट सभी प्रमुख आदर्शों के सेट हैं जिनमें एक निश्चित आदर्श होता है। इस टोपोलॉजी के लिए, एक बंद सेट अपरिवर्तनीय है यदि यह सभी प्रमुख आदर्शों का सेट है जिसमें कुछ प्रमुख आदर्श शामिल हैं, और अपरिवर्तनीय घटक न्यूनतम प्रमुख आदर्शों के अनुरूप हैं। नोथेरियन अंगूठी के मामले में इरेड्यूसिबल घटकों की संख्या सीमित है।

रिंगों के स्पेक्ट्रा को एक साथ जोड़कर एक योजना (गणित) प्राप्त की जाती है, उसी तरह जैसे चार्ट (गणित) को एक साथ जोड़कर एक कई गुना प्राप्त किया जाता है। इसलिए अपरिवर्तनीयता और अपरिवर्तनीय घटकों की परिभाषा तुरंत योजनाओं तक फैली हुई है।

उदाहरण

हॉसडॉर्फ स्पेस में, इरेड्यूसिबल उपसमुच्चय और इरेड्यूसिबल घटक सिंगलटन (गणित) हैं। यह मामला, विशेष रूप से, वास्तविक संख्याओं का है। वास्तव में, यदि X वास्तविक संख्याओं का एक समूह है जो एकल नहीं है, ऐसी तीन वास्तविक संख्याएँ हैं x ∈ X, y ∈ X, और x < a < y. सेट X तब से अपरिवर्तनीय नहीं हो सकता $X=(X\cap \,]{-\infty },a])\cup (X\cap [a,\infty [).$ अलघुकरणीय घटक की धारणा बीजगणितीय ज्यामिति में मौलिक है और गणित के इस क्षेत्र के बाहर शायद ही कभी माना जाता है: विमान के बीजगणितीय सेट पर विचार करें

X = {(x, y) | xy = 0}.

ज़ारिस्की टोपोलॉजी के लिए, बंद उपसमुच्चय स्वयं हैं, खाली सेट, फिर सिंगलटन, और द्वारा परिभाषित दो पंक्तियाँ x = 0 और y = 0. सेट X इस प्रकार इन दो पंक्तियों के साथ अपरिवर्तनीय घटकों के रूप में कम करने योग्य है।

एक क्रमविनिमेय वलय के वलय का स्पेक्ट्रम, वलय के प्रमुख आदर्शों का समुच्चय है, जो ज़ारिस्की टोपोलॉजी से संपन्न है, जिसके लिए अभाज्य आदर्शों का एक सेट बंद हो जाता है यदि और केवल तभी जब यह सभी प्रमुख आदर्शों का समूह हो जिसमें एक शामिल हो निश्चित आदर्श (रिंग सिद्धांत)। इस मामले में एक अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय उन सभी अभाज्य आदर्शों का समुच्चय है जिनमें एक निश्चित अभाज्य आदर्श होता है।

टिप्पणियाँ

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