अतिपरवलयिक निर्देशांक

यूक्लिडियन विमान पर प्लॉट किए गए हाइपरबोलिक निर्देशांक: एक ही नीली किरण पर सभी बिंदु समान समन्वय मान यू साझा करते हैं, और एक ही लाल हाइपरबोला पर सभी बिंदु समान समन्वय मान वी साझा करते हैं।

गणित में, अतिशयोक्तिपूर्ण निर्देशांक कार्तीय तल के चतुर्थांश I में बिंदुओं का पता लगाने की एक विधि है

$\{(x,y)\ :\ x>0,\ y>0\ \}=Q$.

अतिपरवलयिक निर्देशांक इस प्रकार परिभाषित अतिपरवलयिक तल में मान लेते हैं:

$HP=\{(u,v):u\in \mathbb {R} ,v>0\}$.

एचपी में ये निर्देशांक क्यू में प्रत्यक्ष अनुपात की लघुगणकीय पैमाने की तुलना का अध्ययन करने और प्रत्यक्ष अनुपात से विचलन को मापने के लिए उपयोगी हैं।

के लिए $(x,y)$ में $Q$ लेना

$u=\ln {\sqrt {\frac {x}{y}}}$

और

$v={\sqrt {xy}}$.

पैरामीटर यू (x, y) का अतिपरवलयिक कोण है और v, x और y का ज्यामितीय माध्य है।

उलटा मानचित्रण है

$x=ve^{u},\quad y=ve^{-u}$.

कार्यक्रम $Q\rightarrow HP$ यह एक सतत मानचित्रण है, लेकिन एक विश्लेषणात्मक कार्य नहीं है।

वैकल्पिक चतुर्थांश मीट्रिक

चूंकि एचपी अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के पोंकारे अर्ध-तल मॉडल की मीट्रिक अंतरिक्ष संरचना को वहन करता है, विशेषण पत्राचार

$Q\leftrightarrow HP$ इस संरचना को Q पर लाता है। इसे अतिशयोक्तिपूर्ण गतियों की धारणा का उपयोग करके समझा जा सकता है। चूंकि एचपी में जियोडेसिक्स सीमा पर केंद्रों के साथ अर्धवृत्त हैं, क्यू में जियोडेसिक्स पत्राचार से प्राप्त होते हैं और मूल से रेखा (गणित) # किरण या मूल से निकलने और फिर से प्रवेश करने वाले पंखुड़ी के आकार के वक्र बन जाते हैं। और बाएं-दाएं शिफ्ट द्वारा दी गई एचपी की हाइपरबॉलिक गति क्यू पर लागू निचोड़ मैपिंग से मेल खाती है।

चूँकि Q में हाइपरबोलस HP की सीमा के समानांतर रेखाओं के अनुरूप हैं, वे Q की मीट्रिक ज्यामिति में कुंडली हैं।

यदि कोई केवल विमान की यूक्लिडियन टोपोलॉजी और क्यू द्वारा विरासत में मिली टोपोलॉजी पर विचार करता है, तो क्यू को बांधने वाली रेखाएं क्यू के करीब लगती हैं। मीट्रिक स्पेस एचपी से अंतर्दृष्टि से पता चलता है कि खुले सेट क्यू में पत्राचार के माध्यम से देखने पर सीमा के रूप में केवल मूल (गणित) है। वास्तव में, क्यू में मूल से किरणों और उनकी छवियों पर विचार करें, एचपी की सीमा आर से ऊर्ध्वाधर किरणें। एचपी में कोई भी बिंदु आर के लंबवत के नीचे स्थित बिंदु पी से एक अनंत दूरी है, लेकिन इस लंबवत पर बिंदुओं का अनुक्रम पी की दिशा में जा सकता है। Q में संगत अनुक्रम एक किरण के अनुदिश मूल बिंदु की ओर बढ़ता है। Q की पुरानी यूक्लिडियन सीमा अब प्रासंगिक नहीं है।

भौतिक विज्ञान में अनुप्रयोग

मौलिक भौतिक चर कभी-कभी k = x y रूप के समीकरणों से संबंधित होते हैं। उदाहरण के लिए, V = I R (ओम का नियम), P = V I (विद्युत शक्ति), P V = k T (आदर्श गैस नियम), और f λ = v (तरंग माध्यम में तरंग दैर्ध्य, आवृत्ति और वेग का संबंध)। जब k स्थिर होता है, तो अन्य चर हाइपरबोला पर स्थित होते हैं, जो उचित Q चतुर्थांश में एक कुंडली है।

उदाहरण के लिए[[कार्य (ऊष्मप्रवैगिकी)]] में इज़ोटेर्माल प्रक्रिया स्पष्ट रूप से हाइपरबोलिक पथ का अनुसरण करती है और कार्य (थर्मोडायनामिक्स) की व्याख्या हाइपरबोलिक कोण परिवर्तन के रूप में की जा सकती है। इसी प्रकार, बदलते आयतन के साथ गैस के दिए गए द्रव्यमान M में चर घनत्व δ = M / V होगा, और आदर्श गैस कानून को P = k T δ लिखा जा सकता है ताकि एक आइसोबैरिक प्रक्रिया पूर्ण तापमान और गैस घनत्व के चतुर्थांश में एक हाइपरबोला का पता लगा सके।

सापेक्षता के सिद्धांत में अतिशयोक्तिपूर्ण निर्देशांक के लिए #इतिहास अनुभाग देखें।

सांख्यिकीय अनुप्रयोग

• चतुर्थांश में जनसंख्या घनत्व का तुलनात्मक अध्ययन एक संदर्भ राष्ट्र, क्षेत्र या शहरी घनत्व क्षेत्र के चयन से शुरू होता है जिसकी जनसंख्या और क्षेत्र को बिंदु (1,1) के रूप में लिया जाता है।
• प्रतिनिधि लोकतंत्र में क्षेत्रों के विधायक का विश्लेषण तुलना के लिए एक मानक के चयन से शुरू होता है: एक विशेष प्रतिनिधित्व समूह, जिसका परिमाण और स्लेट परिमाण (प्रतिनिधियों का) चतुर्थांश में (1,1) है।

आर्थिक अनुप्रयोग

अर्थशास्त्र में अतिशयोक्तिपूर्ण निर्देशांक के कई प्राकृतिक अनुप्रयोग हैं:

• मुद्रा विनिमय दर में उतार-चढ़ाव का विश्लेषण:
  इकाई मुद्रा सेट होती है $x=1$. कीमत मुद्रा से मेल खाती है $y$. के लिए
  $$0<y<1$$
  हम देखतें है $u>0$, एक सकारात्मक अतिपरवलयिक कोण। उतार-चढ़ाव के लिए नई कीमत लें
  $$0<z<y.$$
  तब आपमें परिवर्तन यह होगा:
  $$\Delta u=\ln {\sqrt {\frac {y}{z}}}.$$
  हाइपरबोलिक कोण के माध्यम से विनिमय दर में उतार-चढ़ाव की मात्रा निर्धारित करना एक उद्देश्य, सममित और सुसंगत माप (गणित) प्रदान करता है। मात्रा $\Delta u$ मुद्रा के उतार-चढ़ाव के अतिशयोक्तिपूर्ण गति दृश्य में बाएँ-दाएँ बदलाव की लंबाई है।
• उपभोक्ता वस्तुओं की एक टोकरी की मुद्रास्फीति या कीमतों की अवस्फीति का विश्लेषण।
• एकाधिकार में बाज़ार हिस्सेदारी में परिवर्तन की मात्रा।
• कॉर्पोरेट स्टॉक विभाजन बनाम स्टॉक बाय-बैक।

इतिहास

ज्यामितीय माध्य एक प्राचीन अवधारणा है, लेकिन सेंट विंसेंट के ग्रेगरी द्वारा इस विन्यास में हाइपरबोलिक कोण विकसित किया गया था। वह आयताकार हाइपरबोला y = 1/x के संबंध में चतुर्भुज (गणित) करने का प्रयास कर रहा था। वह चुनौती एक खुली समस्या थी क्योंकि आर्किमिडीज़ ने परवलय के चतुर्भुज का प्रदर्शन किया था। वक्र (1,1) से होकर गुजरता है जहां यह एक इकाई वर्ग में मूल बिंदु (गणित) के विपरीत है। वक्र पर अन्य बिंदुओं को इस वर्ग के समान क्षेत्रफल वाले आयतों के रूप में देखा जा सकता है। ऐसा आयत वर्ग पर स्क्वीज़ मैपिंग लागू करके प्राप्त किया जा सकता है। इन मैपिंग को देखने का दूसरा तरीका हाइपरबोलिक सेक्टर के माध्यम से है। (1,1) से शुरू होकर इकाई क्षेत्र का अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र (ई, 1/ई) पर समाप्त होता है, जहां ई (गणितीय स्थिरांक) 2.71828 है…, लियोनहार्ड यूलर के विकास के अनुसार अनंत के विश्लेषण का परिचय (1748)।

(e, 1/e) को इकाई क्षेत्रफल के आयत के शीर्ष के रूप में लेते हुए, और उस निचोड़ को फिर से लगाने से जो इसे इकाई वर्ग से बनाता है, प्राप्त होता है $(e^{2},\ e^{-2}).$ आम तौर पर n पैदावार को निचोड़ता है $(e^{n},\ e^{-n}).$ ए. ए. डी सारासा ने जी. डी. सेंट विंसेंट के समान अवलोकन का उल्लेख किया, कि जैसे-जैसे एक ज्यामितीय श्रृंखला में भुजाओं में वृद्धि हुई, अंकगणितीय श्रृंखला में हाइपरबोला के विरुद्ध क्षेत्रों का योग बढ़ गया, और यह गुण गुणन को जोड़ में कम करने के लिए पहले से ही उपयोग में आने वाले लघुगणक के अनुरूप था। यूलर के काम ने प्राकृतिक लघुगणक को एक मानक गणितीय उपकरण बना दिया, और गणित को पारलौकिक कार्यों के दायरे में उन्नत किया। हाइपरबोलिक निर्देशांक जी डी सेंट-विंसेंट के मूल चित्र पर बनते हैं, जो हाइपरबोला का चतुर्भुज प्रदान करता है, और बीजगणितीय कार्यों की सीमाओं को पार करता है।

1875 में जोहान वॉन थुनेन ने प्राकृतिक मजदूरी का एक सिद्धांत प्रकाशित किया जिसमें नियोक्ता की पूंजी का उपयोग करके निर्वाह मजदूरी और श्रम के बाजार मूल्य के ज्यामितीय माध्य का उपयोग किया गया था।

विशेष सापेक्षता में ध्यान अंतरिक्ष समय के भविष्य में 3-आयामी ऊनविम पृष्ठ पर है जहां विभिन्न वेग एक निश्चित उचित समय के बाद आते हैं। स्कॉट वाल्टर बताते हैं कि नवंबर 1907 में हरमन मिन्कोव्स्की ने गोटिंगेन गणितीय सोसायटी से बात करते हुए एक प्रसिद्ध त्रि-आयामी हाइपरबोलिक ज्यामिति का उल्लेख किया था, लेकिन चार-आयामी ज्यामिति का नहीं। सापेक्षता पर एक मानक परिचयात्मक विश्वविद्यालय-स्तरीय पाठ्यपुस्तक के लेखक वोल्फगैंग रिंडलर को श्रद्धांजलि में, स्पेसटाइम के अतिशयोक्तिपूर्ण निर्देशांक को रिंडलर निर्देशांक कहा जाता है।

संदर्भ

• David Betounes (2001) Differential Equations: Theory and Applications, page 254, Springer-TELOS, ISBN 0-387-95140-7 .
• Scott Walter (1999). "The non-Euclidean style of Minkowskian relativity" Archived 2013-10-16 at the Wayback Machine. Chapter 4 in: Jeremy J. Gray (ed.), The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890-1930, pp. 91–127. Oxford University Press. ISBN 0-19-850088-2.