आयाम (वेक्टर स्थान)

गणित में, एक सदिश स्थान V का आयाम इसके आधार क्षेत्र (गणित) पर V के एक आधार (रैखिक बीजगणित) की प्रधानता (अर्थात, सदिशों की संख्या) है। इसे कभी-कभी हामेल आयाम (जॉर्ज हैमेल के बाद) या अन्य प्रकार के आयामों से अलग करने के लिए बीजगणितीय आयाम कहा जाता है।

प्रत्येक सदिश समष्टि के लिए एक आधार होता है, और एक सदिश स्थान के सभी आधारों में समान कार्डिनैलिटी होती है; नतीजतन, वेक्टर अंतरिक्ष का आयाम विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। हम कहते हैं $V$ हैfinite-dimensionalयदि का आयाम $V$ विक्षनरी है: परिमित, औरinfinite-dimensionalअगर इसका आयाम अनंत है।

वेक्टर अंतरिक्ष का आयाम $V$ मैदान के ऊपर $F$ रूप में लिखा जा सकता है $\dim _{F}(V)$ या के रूप में $[V:F],$ का आयाम पढ़ें $V$ ऊपर $F$. कब $F$ संदर्भ से अनुमान लगाया जा सकता है, $\dim(V)$ प्राय: लिखा जाता है।

उदाहरण

वेक्टर स्थान $\mathbb {R} ^{3}$ है

$$\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}$$

एक मानक आधार के रूप में, और इसलिए $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.$ आम तौर पर अधिक, $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n,$ और इससे भी अधिक आम तौर पर, $\dim _{F}(F^{n})=n$ किसी भी क्षेत्र के लिए (गणित) $F.$ जटिल संख्याएँ $\mathbb {C}$ एक वास्तविक और जटिल सदिश समष्टि दोनों हैं; अपने पास $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2$ तथा $\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1.$ तो आयाम आधार क्षेत्र पर निर्भर करता है।

आयाम के साथ एकमात्र सदिश स्थान $0$ है $\{0\},$ सदिश स्थान केवल इसके शून्य तत्व से मिलकर बनता है।

गुण

यदि $W$ की एक रेखीय उपसमष्टि है $V$ फिर $\dim(W)\leq \dim(V).$ यह दर्शाने के लिए कि दो परिमित-आयामी सदिश समष्टियाँ समान हैं, निम्नलिखित कसौटी का उपयोग किया जा सकता है: यदि $V$ एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष है और $W$ की एक रेखीय उपसमष्टि है $V$ साथ $\dim(W)=\dim(V),$ फिर $W=V.$ अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{n}$ मानक आधार है $\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},$ कहाँ पे $e_{i}$ है $i$इसी पहचान मैट्रिक्स का -वाँ स्तंभ। इसलिए, $\mathbb {R} ^{n}$ आयाम है $n.$ कोई भी दो परिमित आयामी सदिश स्थान $F$ समान आयाम वाले आइसोमॉर्फिक हैं। उनके आधारों के बीच किसी भी विशेषण मानचित्र को विशिष्ट रूप से सदिश स्थानों के बीच एक विशेषण रैखिक मानचित्र तक विस्तारित किया जा सकता है। यदि $B$ कुछ सेट है, आयाम के साथ एक सदिश स्थान $|B|$ ऊपर $F$ निम्नानुसार निर्मित किया जा सकता है: सेट लें $F(B)$ सभी कार्यों का $f:B\to F$ ऐसा है कि $f(b)=0$ सभी के लिए लेकिन निश्चित रूप से बहुत से $b$ में $B.$ इन कार्यों को जोड़ा जा सकता है और के तत्वों के साथ गुणा किया जा सकता है $F$ वांछित प्राप्त करने के लिए $F$-सदिश स्थल।

रैखिक मानचित्रों के लिए रैंक-शून्यता प्रमेय द्वारा आयामों के बारे में एक महत्वपूर्ण परिणाम दिया गया है।

यदि $F/K$ एक फ़ील्ड एक्सटेंशन है, फिर $F$ विशेष रूप से एक वेक्टर स्पेस ओवर है $K.$ इसके अलावा, हर $F$-सदिश स्थल $V$ एक भी है $K$-सदिश स्थल। आयाम सूत्र द्वारा संबंधित हैं

$$\dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\dim _{F}(V).$$

विशेष रूप से, आयाम का प्रत्येक जटिल सदिश स्थान $n$ आयाम का एक वास्तविक सदिश स्थान है $2n.$ कुछ सूत्र सदिश स्थान के आयाम को आधार क्षेत्र की प्रमुखता और स्वयं अंतरिक्ष की प्रमुखता से संबंधित करते हैं। यदि $V$ एक क्षेत्र पर एक वेक्टर स्थान है $F$ तब और यदि का आयाम $V$ द्वारा निरूपित किया जाता है $\dim V,$ फिर:

अगर मंद है $V$ तब परिमित है $|V|=|F|^{\dim V}.$

अगर मंद है $V$ तो अनंत है $|V|=\max(|F|,\dim V).$

सामान्यीकरण

एक सदिश स्थान को मैट्रॉइड के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है, और बाद वाले में आयाम की एक अच्छी तरह से परिभाषित धारणा है। एक मॉड्यूल की लंबाई और एक एबेलियन समूह की रैंक दोनों में वेक्टर रिक्त स्थान के आयाम के समान कई गुण होते हैं।

वोल्फगैंग क्रुल (1899-1971) के नाम पर एक कम्यूटेटिव रिंग (बीजगणित) का क्रुल आयाम, रिंग में प्रमुख आदर्शों की बढ़ती श्रृंखला में सख्त समावेशन की अधिकतम संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है।

ट्रेस

See also: Trace (linear algebra)

एक सदिश स्थान के आयाम को वैकल्पिक रूप से पहचान ऑपरेटर के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के रूप में चित्रित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,

$\operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.$ यह एक गोलाकार परिभाषा प्रतीत होती है, लेकिन यह उपयोगी सामान्यीकरण की अनुमति देती है।

सबसे पहले, यह आयाम की धारणा की परिभाषा की अनुमति देता है जब किसी के पास निशान होता है लेकिन आधार की कोई प्राकृतिक भावना नहीं होती है। उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र पर एक बीजगणित हो सकता है $A$ नक्शे के साथ $\eta :K\to A$ (अदिशों का समावेश, इकाई कहा जाता है) और एक नक्शा $\epsilon :A\to K$ (ट्रेस के अनुरूप, कॉउंट कहा जाता है)। रचना $\epsilon \circ \eta :K\to K$ एक अदिश है (1-आयामी अंतरिक्ष पर एक रैखिक ऑपरेटर होने के नाते) पहचान के निशान से मेल खाता है, और एक सार बीजगणित के लिए आयाम की धारणा देता है। व्यवहार में, बीजगणित में, इस मानचित्र को पहचान होना आवश्यक है, जिसे आयाम द्वारा विभाजित करके कॉउंट को सामान्य करके प्राप्त किया जा सकता है ($\epsilon :=\textstyle {\frac {1}{n}}\operatorname {tr}$), इसलिए इन मामलों में सामान्यीकरण स्थिरांक आयाम से मेल खाता है।

वैकल्पिक रूप से, अनंत-आयामी स्थान पर ऑपरेटरों का पता लगाना संभव हो सकता है; इस मामले में एक (परिमित) निशान परिभाषित किया गया है, भले ही कोई (परिमित) आयाम मौजूद नहीं है, और ऑपरेटर के आयाम की धारणा देता है। ये हिल्बर्ट स्पेस पर ट्रेस क्लास ऑपरेटरों के रूब्रिक के अंतर्गत आते हैं, या अधिक आम तौर पर बनच स्पेस पर परमाणु ऑपरेटरों के अंतर्गत आते हैं।

एक सूक्ष्म सामान्यीकरण ऑपरेटरों के एक परिवार के निशान को एक प्रकार के मुड़ आयाम के रूप में माना जाता है। यह प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण रूप से होता है, जहां प्रतिनिधित्व का चरित्र (गणित) प्रतिनिधित्व का निशान है, इसलिए एक समूह (गणित) पर एक स्केलर-मूल्यवान फ़ंक्शन $\chi :G\to K,$ पहचान पर जिसका मूल्य $1\in G$ प्रतिनिधित्व का आयाम है, क्योंकि प्रतिनिधित्व समूह में पहचान मैट्रिक्स को पहचान भेजता है: $\chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.$ अन्य मान $\chi (g)$ चरित्र के मुड़ आयामों के रूप में देखा जा सकता है, और पात्रों या अभ्यावेदन के बारे में बयानों के आयामों के बारे में बयानों के अनुरूप या सामान्यीकरण पा सकते हैं। इसका एक परिष्कृत उदाहरण राक्षसी चन्द्रमा के सिद्धांत में पाया जाता है: जे-इनवेरिएंट |$j$-इनवेरिएंट राक्षस समूह के एक अनंत-आयामी वर्गीकृत प्रतिनिधित्व का श्रेणीबद्ध आयाम है, और चरित्र के साथ आयाम को बदलकर राक्षस समूह के प्रत्येक तत्व के लिए मैकके-थॉम्पसन श्रृंखला देता है।

यह भी देखें

• Fractal dimension
• Krull dimension
• Matroid rank
• Rank (linear algebra)
• Topological dimension, जिसे लेबेस्ग कवरिंग डायमेंशन भी कहा जाता है

स्रोत

• Axler, Sheldon (2015). रेखीय बीजगणित सही किया. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.

बाहरी संबंध

• MIT Linear Algebra Lecture on Independence, Basis, and Dimension by Gilbert Strang at MIT OpenCourseWare