ईसेनस्टीन प्राइम

For the unrelated concept of an Eisenstein prime of a modular curve, see Eisenstein ideal.

छोटे ईसेनस्टीन प्राइम्स।हरे रंग की कुल्हाड़ियों पर वे फॉर्म 3 एन के एक प्राकृतिक प्राइम से जुड़े होते हैं।

ईसेनस्टीन एक बड़ी रेंज में प्राइम्स

गणित में, एक ईसेनस्टीन प्राइम एक ईसेनस्टीन पूर्णांक है

$z=a+b\,\omega ,\quad {\text{where}}\quad \omega =e^{{\frac {2\pi }{3}}i},$

यह रिंग-थ्योरिटिक सेंस में इरेड्यूसिबल तत्व (या समकक्ष रूप से प्रधान तत्व) है: इसके एकमात्र ईसेनस्टीन डिवीर्स इकाई (अंगूठी सिद्धांत) हैं {±1, ±ω, ±ω²}, a + bω स्वयं और उसके सहयोगी।

एसोसिएट्स (यूनिट गुणक) और किसी भी ईसेनस्टीन प्राइम के जटिल संयुग्म भी प्राइम हैं।

लक्षण वर्णन

एक ईसेनस्टीन पूर्णांक z = a + bω एक Eisenstein Prime है यदि और केवल यदि निम्नलिखित में से किसी एक (परस्पर अनन्य) शर्तों को धारण करें:

1. z एक इकाई के उत्पाद और फॉर्म की एक प्रमुख संख्या के बराबर है 3n − 1 (आवश्यक रूप से बधाई 2 mod 3),
2. |z|² = a² − ab + b² एक प्राकृतिक प्राइम है (आवश्यक रूप से 0 या के लिए बधाई 1 mod 3)।

यह निम्नानुसार है कि प्रत्येक ईसेनस्टीन प्राइम के निरपेक्ष मूल्य का वर्ग एक प्राकृतिक प्राइम या एक प्राकृतिक प्राइम का वर्ग है।

डुओडेसिमल में (अंकों के साथ लिखा गया 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B): प्राकृतिक Eisenstein Primes वास्तव में 5 या के साथ समाप्त होने वाले प्राकृतिक प्राइम हैं B (यानी प्राकृतिक प्राइम्स के बधाई 2 mod 3)।(गॉसियन प्राइम हैं प्राकृतिक प्राइम्स बिल्कुल 7 या के साथ समाप्त होने वाले प्राकृतिक प्राइम हैं B, यानी, प्राकृतिक प्राइम्स के बधाई 3 mod 4)।)

उदाहरण

पहले कुछ ईसेनस्टीन प्राइम हैं जो एक प्राकृतिक प्राइम के बराबर हैं 3n − 1 हैं:

2 (संख्या), 5 (संख्या), 11 (संख्या), 17 (संख्या), 23 (संख्या), 29 (संख्या), 41 (संख्या), 47 (संख्या), 53 (संख्या), 59 (संख्या), 71 (संख्या), 83 (संख्या), 89 (संख्या), 101 (संख्या), ... (sequence A003627 in the OEIS)।

प्राकृतिक प्राइम्स जो 0 या 1 मोडुलो 3 के अनुरूप हैं, ईसेनस्टीन प्राइम्स नहीं हैं: वे 'z' [ω] में nontrivial कारक को स्वीकार करते हैं।उदाहरण के लिए:

3 = −(1 + 2ω)²

7 = (3 + ω)(2 − ω)।

सामान्य तौर पर, यदि एक प्राकृतिक प्राइम पी 1 मोडुलो 3 है और इसलिए इसे लिखा जा सकता है p = a² − ab + b², तो यह z [ '] पर कारक करता है

p = (a + bω)((a − b) − bω)।

कुछ गैर-वास्तविक ईसेनस्टीन प्राइम हैं

2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + ω, 7 + 3ω।

संयुग्मन और इकाई गुणकों तक, ऊपर सूचीबद्ध प्राइम्स, 2 और 5 के साथ, सभी ईसेनस्टीन प्राइम के निरपेक्ष मूल्य के 7 से अधिक नहीं हैं।

बड़े primes

As of September 2019, सबसे बड़ा ज्ञात (वास्तविक) ईसेनस्टीन प्राइम नौवां सबसे बड़ा ज्ञात प्राइम है 10223 × 2^31172165 + 1, Péter Szabolcs और Primegrid द्वारा खोजा गया। सभी बड़े ज्ञात प्राइम्स मेर्सेन प्राइम हैं, जिनका खोज गिम्स द्वारा की गई है।असली ईसेनस्टीन प्राइम्स के लिए बधाई हैं 2 mod 3, और सभी mersenne primes 3 से अधिक के लिए बधाई हैं 1 mod 3;इस प्रकार कोई भी मर्सेन प्राइम एक आइजेंस्टीन प्राइम नहीं है।

यह भी देखें

• गौसियन प्राइम