उपप्रमेय
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एक पोरिज्म एक गणितीय प्रस्ताव या परिणाम है। इसका उपयोग गणितीय सबूत के प्रत्यक्ष परिणाम को संदर्भित करने के लिए किया गया है, जैसा कि एक प्रमेय एक प्रमेय के प्रत्यक्ष परिणाम को संदर्भित करता है। आधुनिक उपयोग में, यह एक ऐसा संबंध है जो मानों की एक अनंत श्रेणी के लिए धारण करता है, लेकिन केवल तभी जब एक निश्चित शर्त मान ली जाती है, जैसे स्टेनर चेन | स्टेनर का छिद्र।[1] यह शब्द यूक्लिड की तीन पुस्तकों से उत्पन्न हुआ है जो खो गई हैं। एक प्रस्ताव सिद्ध नहीं हो सकता है, इसलिए एक प्रमेय एक प्रमेय या सत्य नहीं हो सकता है।
उत्पत्ति
सबसे पहले पोरिज़्म के बारे में बात करने वाली किताब यूक्लिड की पोरिज़्म है। इसके बारे में जो ज्ञात अलेक्जेंड्रिया के पप्पस के संग्रह के पप्पस में है, जो अन्य ज्यामितीय ग्रंथों के साथ इसका उल्लेख करता है, और इसे समझने के लिए आवश्यक कई लेम्मा (गणित) देता है।[2] पप्पू कहते हैं:
- सभी वर्गों के छिद्र न तो प्रमेय हैं और न ही समस्याएँ, बल्कि दोनों के बीच एक मध्यवर्ती स्थिति पर कब्जा कर लेते हैं, ताकि उनकी व्याख्या या तो प्रमेयों या समस्याओं के रूप में कही जा सके, और परिणामस्वरूप कुछ ज्यामिति सोचते हैं कि वे प्रमेय हैं, और अन्य कि वे समस्याएँ हैं , केवल अभिषेक के रूप द्वारा निर्देशित किया जा रहा है। लेकिन परिभाषाओं से स्पष्ट है कि पुराने ज्यामिति तीनों वर्गों के बीच के अंतर को बेहतर ढंग से समझते थे। पुराने जियोमीटरों ने एक प्रमेय को प्रस्तावित करने के लिए निर्देशित के रूप में माना, जो प्रस्तावित है, उसके निर्माण के लिए निर्देशित एक समस्या, और अंत में एक पोरिज्म के रूप में जो प्रस्तावित है उसे खोजने के लिए निर्देशित किया गया है (εἰς πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου).[2]
पप्पस ने कहा कि अंतिम परिभाषा कुछ बाद के जियोमीटरों द्वारा बदल दी गई थी, जिन्होंने एक छिद्र को एक आकस्मिक विशेषता के रूप में परिभाषित किया था τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος (लिपोन हाइपोथीसी टोपिको थ्योरमैटोस), जो एक (या इसके) परिकल्पना द्वारा लोकस-प्रमेय से कम हो जाता है। प्रोक्लस ने बताया कि पोरिज़्म शब्द का दो अर्थों में उपयोग किया गया था: एक अर्थ परिणाम का है, जिसके परिणामस्वरूप अनचाही लेकिन एक प्रमेय से अनुसरण करते देखा गया। दूसरे अर्थ में, उन्होंने पुराने जियोमीटर की परिभाषा में कुछ भी नहीं जोड़ा, सिवाय इसके कि एक वृत्त के केंद्र की खोज और सबसे बड़ी सामान्य माप की खोज पोरिसम है।[3][2]
यूक्लिड के पोरिज्म पर पप्पस
पप्पस ने यूक्लिड की पोरिज्म की परिभाषा को खारिज कर दिया। आधुनिक भाषा में व्यक्त एक पोरिज़्म, दावा करता है कि चार सीधी रेखाएँ दी गई हैं, जिनमें से तीन उन बिंदुओं के बारे में घूमती हैं जिनमें वे चौथे से मिलते हैं यदि इन रेखाओं के दो चौराहे बिंदु एक निश्चित सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो शेष बिंदु चौराहा भी दूसरी सीधी रेखा पर स्थित होगा। सामान्य परिभाषा किसी भी संख्या, n, सीधी रेखाओं पर लागू होती है, जिनमें से n (n + 1) वें पर तय किए गए कई बिंदुओं के बारे में बदल सकती है। ये n सीधी रेखाएँ दो और दो को काटती हैं 1⁄2n(n − 1) अंक, 1⁄2n(n − 1) एक त्रिकोणीय संख्या है जिसकी भुजा n − 1 है। 1⁄2n(n − 1) चौराहे के बिंदु, एक निश्चित सीमा के अधीन चुने गए, n − दिए गए निश्चित सीधी रेखाओं पर स्थित हैं, फिर चौराहे के शेष बिंदुओं में से प्रत्येक, 1⁄2n(n − 1)(n − 2) संख्या में, एक सीधी रेखा का वर्णन करता है।[2] उपरोक्त के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: यदि लगभग दो निश्चित बिंदु, पी और क्यू, एक दी गई सीधी रेखा, एल पर मिलने वाली दो सीधी रेखाओं को मोड़ता है, और यदि उनमें से एक निश्चित सीधी रेखा से एक खंड, एएम को काटता है , AX, स्थिति में दिया गया, एक और निश्चित सीधी रेखा BY, और उस पर तय एक बिंदु B निर्धारित किया जा सकता है, जैसे कि B से मापी गई इस दूसरी निश्चित रेखा पर दूसरी चलती रेखा द्वारा बनाए गए खंड BM' का अनुपात X है एएम के लिए। लेम्मा जो पप्पस पोरिज़्म के संबंध में देते हैं वे हैं:
- मौलिक प्रमेय कि एक बिंदु में मिलने वाली चार सीधी रेखाओं की एक पेंसिल का क्रॉस या अनहार्मोनिक अनुपात सभी ट्रांसवर्सल के लिए स्थिर है;
- पूर्ण चतुर्भुज के हार्मोनिक गुणों का प्रमाण;
- प्रमेय कि, यदि एक षट्भुज के छह कोने दो सीधी रेखाओं पर तीन और तीन होते हैं, तो विपरीत पक्षों के संगोष्ठी के तीन बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।[2]
बाद में विश्लेषण
रॉबर्ट सिमसन ने केवल तीन प्रस्तावों की व्याख्या की जो पप्पस किसी भी पूर्णता के साथ इंगित करता है, जो 1723 में दार्शनिक लेनदेन में प्रकाशित हुआ था। quo doctrinam porisrnatum satis explicatam, et in posterum ab oblivion tutam fore sparat auctor, और उनकी मृत्यु के बाद एक वॉल्यूम में प्रकाशित हुआ, रॉबर्टी सिमसन ओपेरा क्वाएडम रेलिका (ग्लासगो, 1776)।[4] सिमसन का ग्रंथ, डे पोरिस्मैटिबस, प्रमेय, समस्या, डाटाम, पोरिज्म और लोकस की परिभाषाओं से शुरू होता है। साइमन ने लिखा है कि पप्पस की परिभाषा बहुत सामान्य है, और उन्होंने इसे इस प्रकार प्रतिस्थापित किया: <ब्लॉककोट> एक पोरिज्म एक बयान है जिसमें यह प्रदर्शित करने का प्रस्ताव है कि कुछ चीज या कई चीजें दी जाती हैं, किसे, या किसको, साथ ही साथ किसी भी असंख्य चीजों को दी जाती हैं, जो नहीं दी जाती हैं, लेकिन जिनके पास एक ही कारण होता है जो चीजें दी गई हैं। वर्णित एक प्रमेय को एक समस्या के रूप में भी कहा जा सकता है, यदि, निश्चित रूप से, जिस डेटा से डेटा प्रदर्शित किया जाना है, उसे खोजने का प्रस्ताव है।[clarification needed] </ब्लॉककोट> सिमसन ने कहा कि लोकस पोरिज़्म की एक प्रजाति है। इसके बाद पोरिज़्म पर पप्पस के नोट का लैटिन अनुवाद और ग्रंथ का बड़ा हिस्सा बनने वाले प्रस्तावों का पालन किया जाता है।[4] जॉन प्लेफेयर का संस्मरण (ट्रांस. रॉय. सो. एडिन., 1794, खंड iii.), सिमसन के ग्रंथ की अगली कड़ी की तरह, पोरिसम की संभावित उत्पत्ति का पता लगाया, या उन चरणों का पता लगाया जो प्राचीन ज्यामिति को खोजने के लिए प्रेरित करते थे। प्लेफेयर ने टिप्पणी की कि प्रस्ताव के सभी संभावित विशेष मामलों की सावधानीपूर्वक जांच से यह पता चलेगा
- कुछ परिस्थितियों में कोई समस्या असंभव हो जाती है;
- कुछ अन्य शर्तों के तहत, अनंत संख्या में समाधानों के लिए अनिश्चित या सक्षम।
इन मामलों को अलग से परिभाषित किया जा सकता था, एक तरह से प्रमेयों और समस्याओं के बीच मध्यवर्ती थे, और इन्हें पोरिसम कहा जाता था। प्लेफेयर ने एक पोरिज्म को [ए] प्रस्ताव के रूप में परिभाषित किया है जो ऐसी स्थितियों को खोजने की संभावना की पुष्टि करता है जो एक निश्चित समस्या को अनिश्चित या असंख्य समाधानों में सक्षम बना देगा।[4] हालांकि इंग्लैंड में प्लेफेयर की एक पोरिज़्म की परिभाषा सबसे अधिक पसंद की जाती है, सिमसन के विचार को विदेशों में सबसे अधिक स्वीकार किया गया है, और माइकल चेसल्स का समर्थन था। हालांकि, जोसेफ लिउविले के जर्नल डी मैथेमेटिक्स प्योर्स एट एप्लिकेज़ (वॉल्यूम। XX।, जुलाई, 1855) में, पी। ब्रेटन ने रेचर्चेस नोवेल्स सुर लेस पोरिसम्स डी'यूक्लाइड प्रकाशित किया, जिसमें उन्होंने पप्पस के पाठ का एक नया अनुवाद दिया, और मांग की पप्पस की परिभाषा के अधिक निकटता के अनुरूप एक पोरिज़्म की प्रकृति के एक दृश्य को आधार बनाने के लिए। इसके बाद उसी जर्नल और ला साइंस में ब्रेटन और ए.जे.एच. विन्सेंट के बीच एक विवाद हुआ, जिन्होंने पप्पस के पाठ के पूर्व द्वारा दी गई व्याख्या पर विवाद किया, और खुद को फ्रैंस वैन शूटेन के विचार के पक्ष में घोषित किया, जो उनके गणित अभ्यास में सामने आया ( 1657)। शूटेन के अनुसार, यदि किसी आकृति में सीधी रेखाओं के बीच के विभिन्न संबंधों को समीकरणों या समानुपातों के रूप में लिखा जाता है, तो इन समीकरणों का हर संभव तरीके से संयोजन, और इस प्रकार उनसे प्राप्त नए समीकरणों से असंख्य की खोज होती है। आकृति के नए गुण।[4] ब्रेटन और विंसेंट के बीच की चर्चा, जिसमें सी. हाउसल शामिल हुए, ने यूक्लिड के पोरिज़्म को बहाल करने के काम को आगे नहीं बढ़ाया, जो चासल्स के लिए छोड़ दिया गया था। उनका काम (लेस ट्रोइस लिव्रेस डे पोरिसमेस डी यूक्लाइड, पेरिस, 1860) पप्पस में पाई जाने वाली सभी सामग्री का पूरा उपयोग करता है।[4] पोरिज़्म के बारे में एक दिलचस्प परिकल्पना हाइरोनिमस जॉर्ज ज़्यूथेन | एच द्वारा सामने रखी गई थी। जी. ज़्यूथेन (डाई लेहरे वॉन डेन केगेलश्निटेन इम आल्टर्टम, 1886, अध्याय viii.)। ज़्यूथेन ने देखा, उदाहरण के लिए इंटरसेप्ट-पोरिज्म अभी भी सच है यदि दो निश्चित बिंदु एक शांकव पर बिंदु हैं, और उनके माध्यम से खींची गई सीधी रेखा एक निश्चित सीधी रेखा के बजाय शंकु पर प्रतिच्छेद करती है। उन्होंने अनुमान लगाया कि पोरिसम शांकवों की पूरी तरह से विकसित प्रक्षेपी ज्यामिति के उप-उत्पाद थे।[4]
यह भी देखें
- पोंसेलेट का पोरिज्म
- स्टेनर का पोरिज़्म
टिप्पणियाँ
संदर्भ
- Alexander Jones (1986) Book 7 of the Collection, part 1: introduction, text, translation ISBN 0-387-96257-3, part 2: commentary, index, figures ISBN 3-540-96257-3, Springer-Verlag .
- J. L. Heiberg's Litterargeschichtliche Studien über Euklid (Leipzig, 1882) A valuable chapter on porisms (from a philological standpoint) is included.
- August Richter. Porismen nach Simson bearbeitet (Elbing, 1837)
- M. Cantor, "Über die Porismen des Euklid and deren Divinatoren," in Schlomilch's Zeitsch. f. Math. u. Phy. (1857), and Literaturzeitung (1861), p. 3 seq.
- Th. Leidenfrost, Die Porismen des Euklid (Programm der Realschule zu Weimar, 1863)
- John J. Milne (1911) An Elementary Treatise on Cross-Ratio Geometry with Historical Notes, page 115, Cambridge University Press.
- Fr. Buch-binder, Euclids Porismen und Data (Programm der kgl. Landesschule Pforta, 1866).
Attribution:
- This article incorporates text from a publication now in the public domain: Heath, Thomas Little (1911). "Porism". In Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica. Vol. 24 (11th ed.). Cambridge University Press. pp. 102–103.
