एंटी-डी सिटर स्पेस

गणित और भौतिकी में, एन-डायमेंशनल 'एंटी-डी सिटर स्पेस' (AdS_n) निरंतर ऋणात्मक स्केलर वक्रता के साथ एक अधिकतम सममित लोरेंट्ज़ियन कई गुना है। एंटी-सिटर स्पेस द्वारा और डी सिटर स्पेस का नाम विलियम डी सिटर (1872-1934), आगे होना विश्वविद्यालय में खगोल विज्ञान के प्रोफेसर और लीडेन वेधशाला के निदेशक के नाम पर रखा गया है। विलेम डी सिटर और अल्बर्ट आइंस्टीन ने 1920 के दशक में ब्रह्मांड की अंतरिक्ष-समय संरचना पर लीडेन में मिलकर काम किया।

निरंतर वक्रता के कई गुना दो आयामों के मामले में सबसे अधिक परिचित हैं, जहां अण्डाकार तल या गोले की सतह निरंतर सकारात्मक वक्रता की सतह है, एक फ्लैट (यानी, यूक्लिडियन अंतरिक्ष) विमान निरंतर शून्य वक्रता की सतह है, और एक अतिशयोक्तिपूर्ण तल निरंतर नकारात्मक वक्रता की सतह है।

आइंस्टीन का सापेक्षता का सामान्य सिद्धांत अंतरिक्ष और समय को समान स्तर पर रखता है, ताकि व्यक्ति अंतरिक्ष और समय को अलग-अलग मानने के बजाय एक एकीकृत अंतरिक्ष-समय की ज्यामिति पर विचार करे। निरंतर वक्रता के दिक्-समय के मामले हैं डी सिटर स्पेस (धनात्मक), मिन्कोवस्की अंतरिक्ष (शून्य) और एंटी-डी सिटर स्पेस (नकारात्मक)। इस प्रकार, वे एक सकारात्मक, शून्य, या नकारात्मक ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक के साथ लैम्ब्डवैक्यूम समाधान के लिए आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के सामान्य सापेक्षता में सटीक समाधान हैं।

एंटी-डी सिटर स्पेस किसी भी संख्या में स्पेस आयामों को सामान्यीकृत करता है। उच्च आयामों में, यह AdS/CFT पत्राचार में अपनी भूमिका के लिए सबसे अच्छी तरह से जाना जाता है, जो बताता है कि क्वांटम यांत्रिकी (जैसे विद्युत चुम्बकीय बल, कमजोर बल या मजबूत बल) में एक निश्चित संख्या में आयामों में एक बल का वर्णन करना संभव है। (उदाहरण के लिए चार) एक स्ट्रिंग सिद्धांत के साथ जहां तार एक अतिरिक्त (गैर-कॉम्पैक्ट) आयाम के साथ एंटी-डी सिटर स्पेस में मौजूद हैं।

गैर-तकनीकी स्पष्टीकरण

यह गैर-तकनीकी व्याख्या पहले इस प्रविष्टि की परिचयात्मक सामग्री में प्रयुक्त शब्दों को परिभाषित करती है। फिर, यह सामान्य सापेक्षता-जैसे स्पेसटाइम के अंतर्निहित विचार को संक्षिप्त रूप से प्रस्तुत करता है। फिर यह चर्चा करता है कि डी सिटर स्पेस सामान्य सापेक्षता के सामान्य स्पेसटाइम (जिसे मिंकोस्की स्पेस कहा जाता है) के एक विशिष्ट संस्करण का वर्णन करता है, जो ब्रह्मांड संबंधी स्थिरांक से संबंधित है, और डे सिटर स्पेस से एंटी-डी सिटर स्पेस अलग कैसे है। यह यह भी बताता है कि मिन्कोवस्की स्पेस, डी सिटर स्पेस और एंटी-डी सिटर स्पेस, जैसा कि सामान्य सापेक्षता पर लागू होता है, सभी को एक फ्लैट पांच-आयामी स्पेसटाइम में एम्बेडेड होने के बारे में सोचा जा सकता है। अंत में, यह कुछ चेतावनी प्रदान करता है जो सामान्य शब्दों में वर्णन करता है कि कैसे यह गैर-तकनीकी स्पष्टीकरण गणितीय अवधारणा के पूर्ण विवरण को पकड़ने में विफल रहता है।

अनुवादित तकनीकी शब्द

एक अधिकतम सममित लोरेन्ट्ज़ियन मैनिफोल्ड एक स्पेसटाइम है जिसमें अंतरिक्ष और समय में कोई बिंदु दूसरे से किसी भी तरह से अलग नहीं किया जा सकता है, और (लोरेन्ट्ज़ियन होने के नाते) एकमात्र तरीका है जिसमें एक दिशा (या एक स्पेसटाइम बिंदु पर एक पथ के लिए स्पर्शरेखा) हो सकती है प्रतिष्ठित यह है कि क्या यह स्पेसलाइक, लाइटलाइक या टाइमलाइक है। विशेष आपेक्षिकता का स्थान (मिन्कोवस्की अंतरिक्ष) एक उदाहरण है।

एक स्थिर वक्रता का अर्थ है एक सामान्य सापेक्षता गुरुत्व-जैसे कि स्पेसटाइम का झुकना जिसमें एकल संख्या द्वारा वर्णित वक्रता होती है जो पदार्थ या ऊर्जा की अनुपस्थिति में स्पेसटाइम में हर जगह समान होती है।

नकारात्मक वक्रता का अर्थ है अतिशयोक्तिपूर्ण रूप से घुमावदार, जैसे सैडल सतह या गेब्रियल हॉर्न सतह, जो तुरही की घंटी के समान होती है। इसे एक गोले की सतह के विपरीत होने के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसमें सकारात्मक वक्रता होती है।

सामान्य सापेक्षता में स्पेसटाइम

सामान्य सापेक्षता समय, स्थान और गुरुत्वाकर्षण की प्रकृति का एक सिद्धांत है जिसमें गुरुत्वाकर्षण अंतरिक्ष और समय का वक्रता है जो पदार्थ या ऊर्जा की उपस्थिति से उत्पन्न होता है। द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता (जैसा कि समीकरण E = mc में व्यक्त किया गया है²). अंतरिक्ष और समय के मूल्यों को प्रकाश की गति से गुणा या विभाजित करके समय या अंतरिक्ष इकाइयों में परिवर्तित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, सेकंड गुणा मीटर प्रति सेकंड मीटर के बराबर)।

एक सामान्य सादृश्य में यह तरीका शामिल है कि रबर की एक सपाट शीट में एक डुबकी, उस पर बैठी हुई किसी भारी वस्तु के कारण, पास में लुढ़कती हुई छोटी वस्तुओं द्वारा लिए गए पथ को प्रभावित करती है, जिससे वे उस पथ से अंदर की ओर विचलित हो जाते हैं जिसका वे अनुसरण करते थे यदि भारी होता वस्तु अनुपस्थित रही। बेशक, सामान्य सापेक्षता में, छोटी और बड़ी दोनों वस्तुएं अंतरिक्ष-समय की वक्रता को परस्पर प्रभावित करती हैं।

पदार्थ द्वारा निर्मित गुरुत्वाकर्षण का आकर्षक बल स्पेसटाइम के एक नकारात्मक वक्रता के कारण होता है, जो शीट में नकारात्मक रूप से घुमावदार (तुरही-घंटी जैसी) डुबकी द्वारा रबर शीट सादृश्य में दर्शाया जाता है।

सामान्य सापेक्षता की एक प्रमुख विशेषता यह है कि यह गुरुत्वाकर्षण का वर्णन विद्युत चुंबकत्व जैसे पारंपरिक बल के रूप में नहीं, बल्कि अंतरिक्ष-समय की ज्यामिति में परिवर्तन के रूप में करता है, जो पदार्थ या ऊर्जा की उपस्थिति से उत्पन्न होता है।

ऊपर प्रयुक्त सादृश्य एक त्रि-आयामी सुपरस्पेस में सामान्य सापेक्षता में गुरुत्वाकर्षण के कारण होने वाले द्वि-आयामी स्थान की वक्रता का वर्णन करता है जिसमें तीसरा आयाम गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव से मेल खाता है। सामान्य सापेक्षता के बारे में सोचने का एक ज्यामितीय तरीका वास्तविक दुनिया में चार-आयामी अंतरिक्ष में गुरुत्वाकर्षण के प्रभावों का ज्यामितीय रूप से वर्णन करता है, उस स्थान को पांच-आयामी सुपरस्पेस में पाँचवें आयाम के साथ स्पेसटाइम में वक्रता के अनुरूप पेश करता है जो गुरुत्वाकर्षण और गुरुत्वाकर्षण द्वारा निर्मित होता है। सामान्य सापेक्षता में समान प्रभाव।

नतीजतन, सामान्य सापेक्षता में, न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के परिचित नियम $\textstyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\$ (अर्थात दो वस्तुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण खिंचाव उनके बीच की दूरी के वर्ग से विभाजित उनके द्रव्यमान के गुणनफल के गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक के बराबर होता है) सामान्य सापेक्षता में देखे जाने वाले गुरुत्वाकर्षण प्रभावों का केवल एक अनुमान है। हालाँकि यह सन्निकटन अत्यधिक भौतिक स्थितियों में गलत हो जाता है, जैसे सापेक्ष गति (प्रकाश, विशेष रूप से), या बड़े, बहुत घने द्रव्यमान।

सामान्य सापेक्षता में, गुरुत्वाकर्षण स्पेसटाइम के घुमावदार (विकृत) होने के कारण होता है। गुरुत्वाकर्षण को घुमावदार स्थान से जोड़ना एक आम ग़लतफ़हमी है; सापेक्षता में न तो अंतरिक्ष और न ही समय का कोई पूर्ण अर्थ है। फिर भी, कमजोर गुरुत्वाकर्षण का वर्णन करने के लिए, जैसा कि पृथ्वी पर है, यह एक विशेष समन्वय प्रणाली में समय विकृति पर विचार करने के लिए पर्याप्त है। हम पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण को बहुत ध्यान देने योग्य पाते हैं, जबकि सापेक्षतावादी समय विकृति का पता लगाने के लिए सटीक उपकरणों की आवश्यकता होती है। हम अपने दैनिक जीवन में सापेक्षतावादी प्रभावों के बारे में जागरूक नहीं होने का कारण प्रकाश की गति का विशाल मूल्य है (c = 300000 km/s लगभग), जो हमें अंतरिक्ष और समय को अलग-अलग संस्थाओं के रूप में देखता है।

सामान्य सापेक्षता में डी सिटर स्पेस

डी सिटर स्पेस में सामान्य सापेक्षता की भिन्नता शामिल होती है जिसमें पदार्थ या ऊर्जा की अनुपस्थिति में स्पेसटाइम थोड़ा घुमावदार होता है। यह यूक्लिडियन ज्यामिति और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के बीच संबंध के अनुरूप है।

पदार्थ या ऊर्जा की अनुपस्थिति में अंतरिक्ष-समय की आंतरिक वक्रता को सामान्य सापेक्षता में ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है। यह ऊर्जा घनत्व और दबाव वाले वैक्यूम से मेल खाती है। यह स्पेसटाइम ज्योमेट्री पल-पल समानांतर टाइमलाइक जियोडेसिक्स में परिणत होती है^[1] विचलन, सकारात्मक वक्रता वाले स्पेसलाइक वर्गों के साथ।

डी सिटर स्पेस से अलग एंटी-डी सिटर स्पेस

सामान्य सापेक्षता में एक एंटी-डी सिटर स्पेस एक डी सिटर स्पेस के समान है, सिवाय इसके कि स्पेसटाइम वक्रता के संकेत बदल गए हैं। एंटी-डी सिटर स्पेस में, पदार्थ या ऊर्जा की अनुपस्थिति में, स्पेसलाइक सेक्शन की वक्रता ऋणात्मक होती है, जो एक अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के अनुरूप होती है, और पल-पल समानांतर टाइमलाइक जियोडेसिक्स^[1]अंत में प्रतिच्छेद करें। यह एक नकारात्मक ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक से मेल खाता है, जहाँ खाली स्थान में स्वयं नकारात्मक ऊर्जा घनत्व होता है, लेकिन मानक लैम्ब्डा-सीडीएम मॉडल के विपरीत सकारात्मक दबाव होता है। ) डी सिटर स्पेस।

एंटी-डी सिटर स्पेस में, डी सिटर स्पेस के रूप में, अंतर्निहित स्पेसटाइम वक्रता ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक से मेल खाती है।

डी सिटर स्पेस और एंटी-डी सिटर स्पेस पांच आयामों में एम्बेडेड के रूप में देखा गया

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, ऊपर इस्तेमाल की गई सादृश्यता सामान्य सापेक्षता में गुरुत्वाकर्षण के कारण होने वाली द्वि-आयामी अंतरिक्ष की वक्रता का वर्णन करती है, जो कि विशेष सापेक्षता के मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष की तरह सपाट है। पांच फ्लैट आयामों के एंबेडिंग डी सिटर और एंटी-डी सिटर रिक्त स्थान एम्बेडेड रिक्त स्थान के गुणों को निर्धारित करने की अनुमति देते हैं। सन्निहित स्थान के भीतर दूरियाँ और कोण पाँच-आयामी समतल स्थान के सरल गुणों से सीधे निर्धारित किए जा सकते हैं।

जबकि एंटी-डी-सिटर स्पेस सामान्य सापेक्षता में गुरुत्वाकर्षण के अनुरूप नहीं है, मनाया गया ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक, एंटी-डी-सिटर स्पेस को क्वांटम यांत्रिकी में अन्य बलों के अनुरूप माना जाता है (जैसे विद्युत चुंबकत्व, कमजोर परमाणु बल और मजबूत परमाणु बल) . इसे AdS/CFT पत्राचार कहा जाता है।

चेतावनी

इस लेख का शेष भाग इन अवधारणाओं के विवरण को अधिक कठोर और सटीक गणितीय और भौतिक विवरण के साथ समझाता है। लोग पांच या अधिक आयामों में चीजों को देखने के लिए उपयुक्त नहीं हैं, लेकिन गणितीय समीकरणों को समान रूप से चुनौती नहीं दी जाती है और वे पांच-आयामी अवधारणाओं का एक तरह से उपयुक्त तरीके से प्रतिनिधित्व कर सकते हैं जो कि गणितीय समीकरणों को तीन-आसान-से-कल्पना करने के लिए उपयोग करते हैं। और चार आयामी अवधारणाएँ।

अधिक सटीक गणितीय विवरण का एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण निहितार्थ है जो उपरोक्त डी सिटर स्पेस और एंटी-डी सिटर स्पेस के सादृश्य-आधारित हेयुरिस्टिक विवरण से भिन्न है। एंटी-डी सिटर स्पेस का गणितीय विवरण वक्रता के विचार को सामान्यीकृत करता है। गणितीय विवरण में, वक्रता एक विशेष बिंदु की एक संपत्ति है और इसे किसी अदृश्य सतह से तलाक दिया जा सकता है जिससे स्पेसटाइम में घुमावदार बिंदु खुद को मिलाते हैं। इसलिए उदाहरण के लिए, सिंगुलैरिटी जैसी अवधारणाएं (जिनमें सामान्य सापेक्षता में ब्लैक होल सबसे व्यापक रूप से जाना जाता है) जिन्हें वास्तविक दुनिया की ज्यामिति में पूरी तरह से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, एक गणितीय समीकरण की विशेष अवस्थाओं के अनुरूप हो सकती हैं।

पूर्ण गणितीय विवरण अंतरिक्ष जैसे आयामों और समय जैसे आयामों के बीच सामान्य सापेक्षता में किए गए कुछ सूक्ष्म भेदों को भी दर्शाता है।

परिभाषा और गुण

गोलाकार और अतिशयोक्तिपूर्ण स्थानों को एक उच्च आयाम (क्रमशः गोले और छद्ममंडल के रूप में) के समतल स्थान में एक आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग द्वारा देखा जा सकता है, एंटी-डी सिटर स्पेस को एक स्थान में एक गोले के लोरेंट्ज़ियन एनालॉग के रूप में देखा जा सकता है। अतिरिक्त आयाम। अतिरिक्त आयाम समयबद्ध है। इस लेख में हम इस प्रथा को अपनाते हैं कि मीट्रिक टेंसर एक समयबद्ध दिशा में ऋणात्मक है।

की छवि (1 + 1)-डायमेंशनल एंटी-डी सिटर स्पेस फ्लैट में एम्बेडेड है (1 + 2)-विमीय स्थान। टी₁- और टी₂-अक्ष घूर्णी समरूपता के तल में स्थित हैं, और x₁-एक्सिस उस विमान के लिए सामान्य है। एम्बेडेड सतह में एक्स के चक्कर लगाने वाले बंद समयबद्ध वक्र होते हैं₁ एक्सिस, हालांकि इन्हें एम्बेडिंग को अनियंत्रित करके समाप्त किया जा सकता है (अधिक सटीक रूप से, सार्वभौमिक कवर लेकर)।

सिग्नेचर का एंटी-डी सिटर स्पेस (p, q) को तब अंतरिक्ष में सममितीय रूप से एम्बेड किया जा सकता है $\mathbb {R} ^{p,q+1}$ निर्देशांक के साथ (x₁, ..., x_p, t₁, ..., t_q+1) और मीट्रिक टेंसर

ds^{2}=\sum _{i=1}^{p}dx_{i}^{2}-\sum _{j=1}^{q+1}dt_{j}^{2}

अर्ध-क्षेत्र के रूप में

\sum _{i=1}^{p}x_{i}^{2}-\sum _{j=1}^{q+1}t_{j}^{2}=-\alpha ^{2},

कहाँ $\alpha$ लंबाई के आयामों (वक्रता की त्रिज्या (गणित)) के साथ एक शून्येतर स्थिरांक है। यह इस अर्थ में एक (सामान्यीकृत) क्षेत्र है कि यह बिंदुओं का एक संग्रह है जिसके लिए मूल से दूरी (द्विघात रूप से निर्धारित) स्थिर है, लेकिन नेत्रहीन यह एक hyperboloid है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

एंटी-डी सिटर स्पेस पर मीट्रिक परिवेश मीट्रिक से प्रेरित है। यह nondegenerate है और, के मामले में q = 1 के पास लोरेंट्ज़ियन हस्ताक्षर हैं।

कब q = 0, यह निर्माण एक मानक अतिपरवलयिक स्थान देता है। शेष चर्चा कब लागू होती है q ≥ 1.

बंद टाइमलाइक कर्व्स और यूनिवर्सल कवर

कब q ≥ 1, ऊपर एम्बेडिंग ने टाइमलाइक कर्व्स को बंद कर दिया है; उदाहरण के लिए, द्वारा पैरामिट्रीकृत पथ $t_{1}=\alpha \sin(\tau ),t_{2}=\alpha \cos(\tau ),$ और अन्य सभी निर्देशांक शून्य, एक ऐसा वक्र है। कब q ≥ 2 ये वक्र ज्यामिति के लिए निहित हैं (आश्चर्यजनक रूप से, एक से अधिक लौकिक आयाम वाले किसी भी स्थान में बंद समयबद्ध वक्र होते हैं), लेकिन जब q = 1, उन्हें प्रभावी रूप से एम्बेडिंग को अनियंत्रित करते हुए, यूनिवर्सल कवरिंग स्पेस में पास करके समाप्त किया जा सकता है। इसी तरह की स्थिति स्यूडोस्फीयर के साथ होती है, जो अपने आप में चारों ओर घूमती है, हालांकि अतिशयोक्तिपूर्ण विमान नहीं करता है; परिणामस्वरूप इसमें स्व-प्रतिच्छेदी सीधी रेखाएँ (जियोडेसिक्स) होती हैं जबकि अतिशयोक्तिपूर्ण तल में नहीं होता है। कुछ लेखक एंटी-डी सिटर स्पेस को एम्बेडेड अर्ध-क्षेत्र के समतुल्य के रूप में परिभाषित करते हैं, जबकि अन्य इसे एम्बेडिंग के सार्वभौमिक कवर के बराबर परिभाषित करते हैं।

समरूपता

यदि सार्वभौमिक आवरण नहीं लिया जाता है, (p, q) एंटी-डी सिटर स्पेस में सामान्यीकृत ऑर्थोगोनल समूह है |O(p, q + 1) इसके आइसोमेट्री समूह के रूप में। यदि सार्वत्रिक आवरण लिया जाए तो सममिति समूह का आवरण है O(p, q + 1). नीचे दिए गए सजातीय अंतरिक्ष निर्माण का उपयोग करते हुए, एक सममित स्थान के रूप में एंटी-डी सिटर स्पेस को परिभाषित करके इसे सबसे आसानी से समझा जा सकता है।

अस्थिरता

2011 में भौतिकविदों पियोट्र बिजोन और आंद्रेज रोस्तवोरोव्स्की द्वारा पेश किए गए अप्रमाणित एडीएस अस्थिरता अनुमान में कहा गया है कि एडीएस में कुछ आकृतियों के मनमाने ढंग से छोटे गड़बड़ी से ब्लैक होल का निर्माण होता है।^[2] गणितज्ञ जॉर्जियोस मोस्किडिस ने साबित किया कि गोलाकार समरूपता को देखते हुए, अनुमान आंतरिक दर्पण (2017) और आइंस्टीन-द्रव्यमान रहित Vlasov प्रणाली (2018) के साथ आइंस्टीन-नल धूल प्रणाली के विशिष्ट मामलों के लिए सही है।^[3]^[4]

समन्वय पैच

अंतरिक्ष के हिस्से को कवर करने वाला एक समन्वय पैच आधा-स्थान (ज्यामिति) देता है। एंटी-डी सिटर अंतरिक्ष का आधा-स्थान समन्वयन। इस पैच के लिए मीट्रिक टेंसर है

ds^{2}={\frac {1}{y^{2}}}\left(-dt^{2}+dy^{2}+\sum _{i}dx_{i}^{2}\right),

साथ $y>0$ आधा स्थान दे रहा है। हम आसानी से देखते हैं कि यह मीट्रिक फ्लैट हाफ-स्पेस मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम के अनुरूप है।

इस समन्वय पैच के निरंतर समय के टुकड़े पोंकारे अर्ध-अंतरिक्ष मीट्रिक में अतिशयोक्तिपूर्ण रिक्त स्थान हैं। के रूप में सीमा में $y\to 0$ , यह अर्ध-स्थान मीट्रिक मिन्कोव्स्की मीट्रिक के अनुरूप है ${\textstyle ds^{2}=-dt^{2}+\sum _{i}dx_{i}^{2}}$ . इस प्रकार, एंटी-डी सिटर स्पेस में अनंत पर एक अनुरूप मिन्कोव्स्की स्पेस होता है (इनफिनिटी में इस पैच में वाई-कोऑर्डिनेट शून्य होता है)।

एडीएस में अंतरिक्ष समय आवधिक है, और सार्वभौमिक कवर में गैर-आवधिक समय है। ऊपर दिए गए समन्वय पैच में स्पेसटाइम की एक अवधि का आधा हिस्सा शामिल है।

क्योंकि AdS की अनुरूप अनंत समयबद्ध है, एक स्पेसलाइक हाइपरसर्फफेस पर प्रारंभिक डेटा निर्दिष्ट करना भविष्य के विकास को विशिष्ट रूप से (यानी नियतात्मक रूप से) निर्धारित नहीं करेगा जब तक कि अनुरूप अनंतता से जुड़ी सीमा स्थितियां न हों।

एंटी-डी सिटर स्पेस और इसकी सीमा का आधा स्थान क्षेत्र।

एक अन्य आमतौर पर इस्तेमाल की जाने वाली समन्वय प्रणाली जो पूरे स्थान को कवर करती है, निर्देशांक टी द्वारा दी जाती है, $r\geqslant 0$ और हाइपर-पोलर निर्देशांक α, θ और φ।

ds^{2}=-\left(k^{2}r^{2}+1\right)dt^{2}+{\frac {1}{k^{2}r^{2}+1}}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}

आसन्न छवि एंटी-डी सिटर स्पेस और इसकी सीमा के आधे-अंतरिक्ष क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है। सिलेंडर का इंटीरियर एंटी-डी सिटर स्पेसटाइम से मेल खाता है, जबकि इसकी बेलनाकार सीमा इसकी अनुरूप सीमा से मेल खाती है। इंटीरियर में हरे रंग का छायांकित क्षेत्र AdS के क्षेत्र से मेल खाता है जो अर्ध-अंतरिक्ष निर्देशांक द्वारा कवर किया गया है और यह दो अशक्त, उर्फ लाइटलाइक, जियोडेसिक हाइपरप्लेन से घिरा है; सतह पर हरा छायांकित क्षेत्र मिंकोस्की अंतरिक्ष द्वारा कवर किए गए अनुरूप स्थान के क्षेत्र से मेल खाता है।

हरा छायांकित क्षेत्र AdS स्थान का आधा और अनुरूप स्पेसटाइम का आधा भाग कवर करता है; हरी डिस्क के बाएँ सिरे उसी तरह स्पर्श करेंगे जैसे दाएँ छोर स्पर्श करते हैं।

== एक सजातीय, सममित स्थान == के रूप में उसी तरह 2-गोला

S^{2}={\frac {\mathrm {O} (3)}{\mathrm {O} (2)}}

समता (भौतिकी) (प्रतिबिंबित समरूपता) और टी-समरूपता समरूपता के साथ दो ऑर्थोगोनल समूहों का भागफल है, दो सामान्यीकृत ऑर्थोगोनल समूहों के भागफल के रूप में देखा जा सकता है

\mathrm {AdS} _{n}={\frac {\mathrm {O} (2,n-1)}{\mathrm {O} (1,n-1)}}

जबकि P या C के बिना AdS को भागफल के रूप में देखा जा सकता है

{\frac {\mathrm {Spin} ^{+}(2,n-1)}{\mathrm {Spin} ^{+}(1,n-1)}}

स्पिन समूहों की।

यह भागफल सूत्रीकरण देता है $\mathrm {AdS} _{n}$ एक सजातीय स्थान की संरचना। सामान्यीकृत ऑर्थोगोनल समूह का ले बीजगणित $o(1,n)$ मेट्रिसेस द्वारा दिया गया है

{\mathcal {H}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}}&{\begin{pmatrix}\cdots 0\cdots \\\leftarrow v^{t}\rightarrow \end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}\vdots &\uparrow \\0&v\\\vdots &\downarrow \end{pmatrix}}&B\end{pmatrix}}

,

कहाँ $B$ एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स है। के झूठ बीजगणित में एक पूरक जनरेटर ${\mathcal {G}}=\mathrm {o} (2,n)$ है

{\mathcal {Q}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&a\\-a&0\end{matrix}}&{\begin{pmatrix}\leftarrow w^{t}\rightarrow \\\cdots 0\cdots \\\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}\uparrow &\vdots \\w&0\\\downarrow &\vdots \end{pmatrix}}&0\end{pmatrix}}.

ये दोनों पूरा करते हैं

{\mathcal {G}}={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {Q}}

. स्पष्ट मैट्रिक्स संगणना से पता चलता है

 $[{\mathcal {H}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {Q}}$  और  $[{\mathcal {Q}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {H}}$ . इस प्रकार, एंटी-डी सिटर एक रिडक्टिव सजातीय स्थान है, और एक गैर-रिमेंनियन सममित स्थान है।

भौतिकी और उसके गुणों में AdS स्पेसटाइम का अवलोकन

$\mathrm {AdS} _{n}$ गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत के लिए आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया के साथ नकारात्मक ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक के लिए एक एन-आयामी समाधान है $\Lambda$ , ( $\Lambda <0$ ), यानी निम्नलिखित Lagrangian (क्षेत्र सिद्धांत) घनत्व द्वारा वर्णित सिद्धांत:

{\mathcal {L}}={\frac {1}{16\pi G_{(n)}}}(R-2\Lambda )

,

कहाँ $G (n)$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है $n$ -आयामी स्पेसटाइम। इसलिए, यह आइंस्टीन फील्ड समीकरणों का एक समाधान है:

G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=0,

कहाँ $G_{\mu \nu }$ आइंस्टीन टेंसर है और $g_{\mu \nu }$ स्पेसटाइम का मीट्रिक है। त्रिज्या का परिचय $\alpha$ जैसा ${\textstyle \Lambda ={\frac {-(n-1)(n-2)}{2\alpha ^{2}}}}$ यह समाधान एक में विसर्जन (गणित) हो सकता है $(n+1)$ मीट्रिक के साथ -डायमेंशनल फ्लैट स्पेसटाइम $\mathrm {diag} (-1,-1,+1,\ldots ,+1)$ निर्देशांक में $(X_{1},X_{2},X_{3},\ldots ,X_{n+1})$ निम्नलिखित बाधा से:

-X_{1}^{2}-X_{2}^{2}+\sum _{i=3}^{n+1}X_{i}^{2}=-\alpha ^{2}.

वैश्विक निर्देशांक

$\mathrm {AdS} _{n}$ पैरामीटर द्वारा वैश्विक निर्देशांक में parametrized है $(\tau ,\rho ,\theta ,\varphi _{1},\cdots ,\varphi _{n-3})$ जैसा:

{\begin{cases}X_{1}=\alpha \cosh \rho \cos \tau \\X_{2}=\alpha \cosh \rho \sin \tau \\X_{i}=\alpha \sinh \rho \,{\hat {x}}_{i}\qquad \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1\end{cases}}

,

कहाँ ${\hat {x}}_{i}$ पैरामीट्रिज ए $S^{n-2}$ क्षेत्र, और निर्देशांक के संदर्भ में $\varphi _{i}$ वे हैं ${\hat {x}}_{1}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \sin \varphi _{n-3}$ , ${\hat {x}}_{2}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \cos \varphi _{n-3}$ , ${\hat {x}}_{3}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \cos \varphi _{n-2}$ और इसी तरह। $\mathrm {AdS} _{n}$ h> इन निर्देशांकों में मीट्रिक है:

ds^{2}=\alpha ^{2}\left(-\cosh ^{2}\rho \,d\tau ^{2}+\,d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\rho \,d\Omega _{n-2}^{2}\right)

कहाँ $\tau \in [0,2\pi ]$ और $\rho \in \mathbb {R} ^{+}$ . समय की आवधिकता को ध्यान में रखते हुए $\tau$ और क्लोज्ड टाइमलाइक कर्व्स (सीटीसी) से बचने के लिए किसी को यूनिवर्सल कवर लेना चाहिए $\tau \in \mathbb {R}$ . सीमा में $\rho \to \infty$ आमतौर पर कहे जाने वाले इस स्पेसटाइम की सीमा तक पहुंच सकते हैं $\mathrm {AdS} _{n}$ अनुरूप सीमा।

परिवर्तनों के साथ $r\equiv \alpha \sinh \rho$ और $t\equiv \alpha \tau$ हमारे पास सामान्य हो सकता है $\mathrm {AdS} _{n}$ वैश्विक निर्देशांक में मीट्रिक:

ds^{2}=-f(r)\,dt^{2}+{\frac {1}{f(r)}}\,dr^{2}+r^{2}\,d\Omega _{n-2}^{2}

कहाँ $f(r)=1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}$

पोंकारे निर्देशांक

निम्नलिखित पैरामीट्रिजेशन द्वारा:

{\begin{cases}X_{1}={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}\left(1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4}}}\left(\alpha ^{2}+{\vec {x}}^{2}-t^{2}\right)\right)\\X_{2}={\frac {r}{\alpha }}t\\X_{i}={\frac {r}{\alpha }}x_{i}\qquad i\in \{3,\ldots ,n\}\\X_{n+1}={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4}}}\left(\alpha ^{2}-{\vec {x}}^{2}+t^{2}\right)\right)\end{cases}},

 $\mathrm {AdS} _{n}$  Poincare निर्देशांक में मीट्रिक है:

ds^{2}=-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {\alpha ^{2}}{r^{2}}}\,dr^{2}+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,d{\vec {x}}^{2}

जिसमें $0\leq r$ . कोडिमेंशन 2 सतह $r=0$ पोंकारे किलिंग क्षितिज है और $r\to \infty$ की सीमा तक पहुँचता है $\mathrm {AdS} _{n}$ अंतरिक्ष समय। इसलिए वैश्विक निर्देशांकों के विपरीत, पोंकारे निर्देशांक सभी को कवर नहीं करते हैं $\mathrm {AdS} _{n}$ कई गुना। का उपयोग करते हुए $u\equiv {\frac {r}{\alpha ^{2}}}$ इस मीट्रिक को निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है:

ds^{2}=\alpha ^{2}\left({\frac {\,du^{2}}{u^{2}}}+u^{2}\,dx_{\mu }\,dx^{\mu }\right)

कहाँ $x^{\mu }=\left(t,{\vec {x}}\right)$ . परिवर्तन से $z\equiv {\frac {1}{u}}$ इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:

ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}\left(\,dz^{2}+\,dx_{\mu }\,dx^{\mu }\right).

यह बाद वाले निर्देशांक वे निर्देशांक हैं जो आमतौर पर AdS/CFT पत्राचार में उपयोग किए जाते हैं, AdS की सीमा के साथ $z\to 0$ .

FRW ओपन स्लाइसिंग निर्देशांक

चूंकि AdS अधिकतम सममित है, इसलिए इसे स्थानिक रूप से सजातीय और समदैशिक रूप में ढालना भी संभव है, जैसे कि FRW स्पेसटाइम (फ़्रीडमैन-लेमेट्रे-रॉबर्टसन-वॉकर मीट्रिक देखें)। स्थानिक ज्यामिति नकारात्मक रूप से घुमावदार (खुली) होनी चाहिए और मीट्रिक है

ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sin ^{2}(t/\alpha )dH_{n-1}^{2},

कहाँ $dH_{n-1}^{2}=d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\rho d\Omega _{n-2}^{2}$ पर मानक मीट्रिक है $(n-1)$ -आयामी अतिशयोक्तिपूर्ण विमान। बेशक, इसमें सभी विज्ञापन शामिल नहीं हैं। ये निर्देशांक वैश्विक एम्बेडिंग निर्देशांक से संबंधित हैं

{\begin{cases}X_{1}=\alpha \cos(t/\alpha )\\X_{2}=\alpha \sin(t/\alpha )\cosh \rho \\X_{i}=\alpha \sin(t/\alpha )\sinh \rho \,{\hat {x}}_{i}\qquad 3\leq i\leq n+1\end{cases}}

कहाँ $\sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1$ पैरामीटर करें $S^{n-3}$ .

वे काटने बैठते हैं

चल दर

{\begin{aligned}X_{1}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\sinh \left({\frac {t}{\alpha }}\right)\cosh \xi ,\\X_{2}&=\alpha \cosh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right),\\X_{3}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\cosh \left({\frac {t}{\alpha }}\right),\\X_{i}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\sinh \left({\frac {t}{\alpha }}\right)\sinh \xi \,{\hat {x}}_{i},\qquad 4\leq i\leq n+1\end{aligned}}

कहाँ $\sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1$ पैरामीटर करें $S^{n-3}$ . फिर मीट्रिक पढ़ता है:

ds^{2}=d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2},

कहाँ

ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {t}{\alpha }}\right)dH_{n-2}^{2}

एक का मीट्रिक है $n-1$ वक्रता की त्रिज्या के साथ डायमेंशनल डी सिटर स्पेस $\alpha$ खुले स्लाइसिंग निर्देशांक में। अतिपरवलयिक मीट्रिक द्वारा दिया जाता है:

dH_{n-2}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}(\xi )d\Omega _{n-3}^{2}.

ज्यामितीय गुण

$\mathrm {AdS} _{n}$ त्रिज्या के साथ मीट्रिक $\alpha$ अधिकतम सममित एन-आयामी स्पेसटाइम में से एक है। इसमें निम्नलिखित ज्यामितीय गुण हैं:

रीमैन वक्रता टेन्सर: $R_{\mu \nu \alpha \beta }={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}(g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }-g_{\mu \beta }g_{\nu \alpha })$
घुंघराले झुकता है: $R_{\mu \nu }={\frac {-(n-1)}{\alpha ^{2}}}g_{\mu \nu }$
अदिश वक्रता: $R={\frac {-n(n-1)}{\alpha ^{2}}}$

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 That is, the world lines of two inertial observers that are relatively stationary at one point in their time (the spacelike section of simultaneity as seen by each).
↑ Bizoń, Piotr; Rostworowski, Andrzej (2011). "एंटी-डी सिटर स्पेसटाइम की कमजोर अशांत अस्थिरता". Physical Review Letters. 107 (3): 031102. arXiv:1104.3702. Bibcode:2011PhRvL.107c1102B. doi:10.1103/PhysRevLett.107.031102. PMID 21838346. S2CID 31556930.
↑ "ब्लैक होल यह साबित करने में मदद करते हैं कि एक विशेष प्रकार का स्पेस-टाइम अस्थिर है". Quanta Magazine. 2020. Retrieved 14 May 2020.
↑ Moschidis, Georgios (2018). "A proof of the instability of AdS for the Einstein–massless Vlasov system". arXiv:1812.04268 [math.AP].

Bengtsson, Ingemar (1998). "Anti-de Sitter space" (PDF). {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
Qingming Cheng (2001) [1994], "Anti-de Sitter space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Ellis, G. F. R.; Hawking, S. W. (1973), The large scale structure of space-time, Cambridge University Press, pp. 131–134
Frances, C. (2005). "The conformal boundary of anti-de Sitter space-times". AdS/CFT correspondence: Einstein metrics and their conformal boundaries. IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics. Vol. 8. Zürich: European Mathematical Society. pp. 205–216. doi:10.4171/013-1/8. ISBN 978-3-03719-013-5.
Matsuda, H. (1984). "A note on an isometric imbedding of upper half-space into the anti-de Sitter space" (PDF). Hokkaido Mathematical Journal. 13 (2): 123–132. doi:10.14492/hokmj/1381757712. Retrieved 2017-02-04.
Wolf, Joseph A. (1967). Spaces of Constant Curvature. p. 334.

बाहरी संबंध

Simplified Guide to de Sitter and anti-de Sitter Spaces A pedagogic introduction to de Sitter and anti-de Sitter spaces. The main article is simplified, with almost no math. The appendix is technical and intended for readers with physics or math backgrounds.

[parwl-1] 1.0 ^1.1 That is, the world lines of two inertial observers that are relatively stationary at one point in their time (the spacelike section of simultaneity as seen by each).

[2] Bizoń, Piotr; Rostworowski, Andrzej (2011). "एंटी-डी सिटर स्पेसटाइम की कमजोर अशांत अस्थिरता". Physical Review Letters. 107 (3): 031102. arXiv:1104.3702. Bibcode:2011PhRvL.107c1102B. doi:10.1103/PhysRevLett.107.031102. PMID 21838346. S2CID 31556930.

[3] "ब्लैक होल यह साबित करने में मदद करते हैं कि एक विशेष प्रकार का स्पेस-टाइम अस्थिर है". Quanta Magazine. 2020. Retrieved 14 May 2020.

[4] Moschidis, Georgios (2018). "A proof of the instability of AdS for the Einstein–massless Vlasov system". arXiv:1812.04268 [math.AP].

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