ऑटोरेग्रेसिव-मूविंग-एवरेज मॉडल

"ARMA model" redirects here. For other uses, see ARMA (disambiguation).

समय श्रृंखला के सांख्यिकी विश्लेषण में, ऑटोरेग्रेसिव-मूविंग-एवरेज (एआरएमए) मॉडल दो बहुपदों के संदर्भ में एक स्थिर स्टोकेस्टिक प्रक्रिया | (कमजोर) स्थिर स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का एक उदार विवरण प्रदान करते हैं, एक एआर मॉडल (एआर) के लिए और दूसरा एमए मॉडल (एमए) के लिए। सामान्य एआरएमए मॉडल का वर्णन 1951 में पीटर व्हिटल (गणितज्ञ) की थीसिस, समय श्रृंखला विश्लेषण में परिकल्पना परीक्षण में किया गया था, और इसे 1970 में जॉर्ज ई.पी. बॉक्स और ग्विलीम जेनकिंस की पुस्तक में लोकप्रिय बनाया गया था।

डेटा की एक समय श्रृंखला दी गई है $X_{t}$एआरएमए मॉडल इस श्रृंखला में भविष्य के मूल्यों को समझने और शायद भविष्यवाणी करने का एक उपकरण है। एआर भाग में चर को अपने स्वयं के पिछड़े (यानी, पिछले) मानों पर पुनः प्राप्त करना शामिल है। एमए भाग में आंकड़ों में त्रुटियों और अवशेषों को समकालीन और अतीत में विभिन्न समय पर होने वाली त्रुटि शर्तों के रैखिक संयोजन के रूप में मॉडलिंग करना शामिल है। मॉडल को आमतौर पर ARMA(p,q) मॉडल के रूप में जाना जाता है जहां p AR भाग का क्रम है और q MA भाग का क्रम है (जैसा कि नीचे परिभाषित किया गया है)।

ARMA मॉडल का अनुमान बॉक्स-जेनकिंस विधि का उपयोग करके लगाया जा सकता है।

ऑटोरेग्रेसिव मॉडल

Main article: Autoregressive model

अंकन AR(p) क्रम p के ऑटोरेग्रेसिव मॉडल को संदर्भित करता है। AR(p) मॉडल इस प्रकार लिखा गया है

$X_{t}=\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t}$

कहाँ $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{p}$ पैरामीटर और यादृच्छिक चर हैं $\varepsilon _{t}$ सफेद शोर है, आमतौर पर स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर (i.i.d.) सामान्य वितरण। मॉडल को स्थिर प्रक्रिया बनाए रखने के लिए, इसके ऑटोरेग्रेसिव मॉडल#विशेषता बहुपद की जड़ें इकाई सर्कल के बाहर होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, AR(1) मॉडल में प्रक्रियाएं $|\varphi _{1}|\geq 1$ जड़ के कारण स्थिर नहीं हैं $1-\varphi _{1}B=0$ यूनिट सर्कल के भीतर स्थित है।

मूविंग-एवरेज मॉडल

Main article: Moving-average model

अंकन MA(q) ऑर्डर q के मूविंग एवरेज मॉडल को संदर्भित करता है:

$X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}\,$

जहां $\theta _{1},...,\theta _{q}$ मॉडल के पैरामीटर हैं, $\mu$ की अपेक्षा है $X_{t}$ (अक्सर 0 के बराबर माना जाता है), और $\varepsilon _{t}$, $\varepsilon _{t-1}$,... फिर से आई.आई.डी. हैं सफ़ेद शोर त्रुटि शब्द जो आमतौर पर सामान्य यादृच्छिक चर होते हैं।

एआरएमए मॉडल

अंकन ARMA(p, q) मॉडल को p ऑटोरेग्रेसिव टर्म्स और q मूविंग-एवरेज टर्म्स के साथ संदर्भित करता है। इस मॉडल में AR(p) और MA(q) मॉडल शामिल हैं,

$X_{t}=\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}.\,$

सामान्य एआरएमए मॉडल का वर्णन 1951 में पीटर व्हिटल (गणितज्ञ) की थीसिस में किया गया था, जिन्होंने गणितीय विश्लेषण (लॉरेंट श्रृंखला और फूरियर विश्लेषण) और सांख्यिकीय अनुमान का उपयोग किया था। एआरएमए मॉडल जॉर्ज ई.पी. बॉक्स और जेनकिंस की 1970 की किताब से लोकप्रिय हुए, जिन्होंने उन्हें चुनने और अनुमान लगाने के लिए एक पुनरावृत्त (बॉक्स-जेनकिंस) विधि की व्याख्या की। यह विधि निम्न-क्रम बहुपद (डिग्री तीन या उससे कम) के लिए उपयोगी थी। एआरएमए मॉडल अनिवार्य रूप से सफेद शोर पर लागू एक अनंत आवेग प्रतिक्रिया फ़िल्टर है, जिस पर कुछ अतिरिक्त व्याख्याएं रखी गई हैं।

लैग ऑपरेटर के संदर्भ में विशिष्टता

कुछ पाठों में मॉडलों को लैग ऑपरेटर एल के संदर्भ में निर्दिष्ट किया जाएगा। इन शर्तों में AR(p) मॉडल दिया गया है

$\varepsilon _{t}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\varphi (L)X_{t}\,$

कहाँ $\varphi$ बहुपद का प्रतिनिधित्व करता है

$\varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}.\,$

MA(q) मॉडल द्वारा दिया गया है

$X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}=\theta (L)\varepsilon _{t},\,$

कहाँ $\theta$ बहुपद का प्रतिनिधित्व करता है

$\theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,$

अंत में, संयुक्त ARMA(p, q) मॉडल दिया गया है

$\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,,$

या अधिक संक्षेप में,

$\varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,$

या

${\frac {\varphi (L)}{\theta (L)}}X_{t}=\varepsilon _{t}\,.$

वैकल्पिक संकेतन

जॉर्ज बॉक्स, ग्विलीम एम. जेनकिंस और रीनसेल सहित कुछ लेखक ऑटोरिग्रेशन गुणांक के लिए एक अलग सम्मेलन का उपयोग करते हैं। यह लैग ऑपरेटर से जुड़े सभी बहुपदों को एक समान रूप में प्रदर्शित करने की अनुमति देता है। इस प्रकार ARMA मॉडल को इस प्रकार लिखा जाएगा

$\left(1-\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,.$

इसके अलावा, से सारांश शुरू करना $i=0$ और सेटिंग $\phi _{0}=-1$ और $\theta _{0}=1$, तो हमें और भी अधिक सुंदर सूत्रीकरण मिलता है: $-\sum _{i=0}^{p}\phi _{i}L^{i}\;X_{t}=\sum _{i=0}^{q}\theta _{i}L^{i}\;\varepsilon _{t}\,.$

वैकल्पिक व्याख्या

अंकीय संकेत प्रक्रिया में, ARMA मॉडल को इनपुट पर सफेद शोर और आउटपुट पर ARMA प्रक्रिया के साथ एक डिजिटल फिल्टर के रूप में दर्शाया जाता है।

फिटिंग मॉडल

p और q चुनना

एआरएमए (पी, क्यू) मॉडल में पी और क्यू के उचित मूल्यों को ढूंढने में पी के अनुमान के लिए आंशिक ऑटोसहसंबंध कार्यों को प्लॉट करके और इसी तरह क्यू के अनुमान के लिए ऑटोसहसंबंध कार्यों का उपयोग करके सुविधा प्रदान की जा सकती है। विस्तारित ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन (ईएसीएफ) का उपयोग पी और क्यू को एक साथ निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। पी और क्यू के प्रारंभिक चयन के साथ फिट किए गए मॉडल के अवशेषों के लिए समान कार्यों पर विचार करके अधिक जानकारी प्राप्त की जा सकती है।

ब्रॉकवेल और डेविस पी और क्यू खोजने के लिए अकाइक सूचना मानदंड (एआईसी) का उपयोग करने की सलाह देते हैं। ऑर्डर निर्धारण के लिए एक अन्य संभावित विकल्प बायेसियन सूचना मानदंड मानदंड है।

गुणांक का अनुमान लगाना

सामान्य तौर पर एआरएमए मॉडल, पी और क्यू को चुनने के बाद, पैरामीटर के मूल्यों को खोजने के लिए न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन द्वारा फिट किए जा सकते हैं जो त्रुटि अवधि को कम करते हैं। आम तौर पर पी और क्यू के सबसे छोटे मानों को ढूंढना अच्छा अभ्यास माना जाता है जो डेटा के लिए स्वीकार्य फिट प्रदान करते हैं। शुद्ध एआर मॉडल के लिए एआर मॉडल#एआर मापदंडों की गणना|यूल-वॉकर समीकरणों का उपयोग फिट प्रदान करने के लिए किया जा सकता है।

अर्थमितीय विश्लेषण में अक्सर प्रयुक्त प्रतिगमन के अन्य तरीकों (यानी ओएलएस, 2एसएलएस, आदि) के विपरीत, एआरएमए मॉडल आउटपुट का उपयोग मुख्य रूप से समय-श्रृंखला डेटा के पूर्वानुमान के मामलों के लिए किया जाता है। फिर उनके गुणांकों का उपयोग केवल भविष्यवाणी के लिए किया जाता है। अर्थमिति के अन्य क्षेत्र कारण अनुमान को देखते हैं, ARMA का उपयोग करके समय-श्रृंखला पूर्वानुमान नहीं। तब गुणांकों को केवल पूर्वानुमानित मॉडलिंग के लिए उपयोगी माना जाना चाहिए।

सांख्यिकी पैकेज में कार्यान्वयन

• आर (प्रोग्रामिंग भाषा) में, अरिमा फ़ंक्शन (मानक पैकेज आंकड़ों में) को ARIMA मॉडलिंग ऑफ़ टाइम सीरीज़ में प्रलेखित किया गया है। एक्सटेंशन पैकेज में संबंधित और विस्तारित कार्यक्षमता शामिल होती है, उदाहरण के लिए, tseries पैकेज में एक आर्मा फ़ंक्शन शामिल होता है, जो फ़िट ARMA मॉडल को टाइम सीरीज़ में दर्ज किया गया है; fracdiff पैकेज में आंशिक रूप से एकीकृत ARMA प्रक्रियाओं के लिए fracdiff() शामिल है; और पूर्वानुमान पैकेज में p,q के एक किफायती सेट का चयन करने के लिए auto.arima शामिल है। टाइम सीरीज़ पर CRAN कार्य दृश्य में इनमें से अधिकांश के लिंक शामिल हैं।
• मेथेमेटिका में ARMA सहित समय श्रृंखला कार्यों की एक पूरी लाइब्रेरी है।
• MATLAB में AR, ARX (ऑटोरेग्रेसिव एक्सोजेनस) और ARMAX मॉडल का अनुमान लगाने के लिए arma और ar जैसे फ़ंक्शन शामिल हैं। अधिक जानकारी के लिए सिस्टम आइडेंटिफिकेशन टूलबॉक्स और इकोनोमेट्रिक्स टूलबॉक्स देखें।
• जूलिया_(प्रोग्रामिंग_लैंग्वेज) के पास कुछ समुदाय संचालित पैकेज हैं जो ARMA मॉडल जैसे arma.jl के साथ फिटिंग लागू करते हैं।
• स्टैट्समॉडल्स पायथन मॉड्यूल में ARMA सहित समय श्रृंखला विश्लेषण के लिए कई मॉडल और फ़ंक्शन शामिल हैं। पूर्व में स्किकिट-लर्न लाइब्रेरी का हिस्सा, अब यह स्टैंड-अलोन है और पांडा (सॉफ्टवेयर) के साथ अच्छी तरह से एकीकृत है। अधिक जानकारी के लिए यहां देखें।
• PyFlux में बायेसियन ARIMAX मॉडल सहित ARIMAX मॉडल का पायथन-आधारित कार्यान्वयन है।
• आईएमएसएल संख्यात्मक पुस्तकालय सी, जावा, सी# .NET और फोरट्रान जैसी मानक प्रोग्रामिंग भाषाओं में कार्यान्वित एआरएमए और एआरआईएमए प्रक्रियाओं सहित संख्यात्मक विश्लेषण कार्यक्षमता की लाइब्रेरी हैं।
• ग्रेटल ARMA मॉडल का अनुमान भी लगा सकता है, यहां देखें जहां इसका उल्लेख किया गया है।
• जीएनयू ऑक्टेव अतिरिक्त पैकेज Octave-forge से फ़ंक्शंस का उपयोग करके एआर मॉडल का अनुमान लगा सकता है।
• था में फ़ंक्शन अरिमा शामिल है जो एआरएमए और ऑटोरेग्रेसिव एकीकृत मूविंग औसत मॉडल का अनुमान लगा सकता है। अधिक विवरण के लिए यहां देखें।
• SuanShu संख्यात्मक तरीकों की एक जावा लाइब्रेरी है, जिसमें व्यापक सांख्यिकी पैकेज शामिल हैं, जिसमें यूनिवेरिएट/मल्टीवेरिएट ARMA, ARIMA, ARMAX, आदि मॉडल ऑब्जेक्ट-ओरिएंटेड दृष्टिकोण में कार्यान्वित किए जाते हैं। ये कार्यान्वयन SuanShu, एक जावा संख्यात्मक और सांख्यिकीय पुस्तकालय में प्रलेखित हैं।
• एसएएस (सॉफ्टवेयर) में एक अर्थमितीय पैकेज, ईटीएस है, जो ARIMA मॉडल का अनुमान लगाता है। अधिक विवरण के लिए यहां देखें।

स्पेक्ट्रम

ARMA प्रक्रिया का वर्णक्रमीय घनत्व है

$$S(f)={\frac {\sigma ^{2}}{2\pi }}\left\vert {\frac {\theta (e^{-if})}{\phi (e^{-if})}}\right\vert ^{2}$$

कहाँ $\sigma ^{2}$ श्वेत शोर का विचरण है, $\theta$ ARMA मॉडल के गतिशील औसत भाग का विशिष्ट बहुपद है, और $\phi$ ARMA मॉडल के स्वप्रतिगामी भाग का विशिष्ट बहुपद है।

अनुप्रयोग

एआरएमए तब उपयुक्त होता है जब कोई सिस्टम न देखे गए झटकों (एमए या चलती औसत भाग) की श्रृंखला के साथ-साथ अपने स्वयं के व्यवहार का एक कार्य होता है। उदाहरण के लिए, शेयर की कीमतों को मौलिक जानकारी के साथ-साथ तकनीकी रुझान और बाजार सहभागियों के कारण माध्य-प्रत्यावर्तन (वित्त)|माध्य-प्रत्यावर्तन प्रभावों के प्रदर्शन से झटका लग सकता है।

सामान्यीकरण

की निर्भरता $X_{t}$ पिछले मानों और त्रुटि शर्तों पर ε_t जब तक अन्यथा निर्दिष्ट न किया जाए, रैखिक माना जाता है। यदि निर्भरता नॉनलाइनियर है, तो मॉडल को विशेष रूप से नॉनलाइनियर मूविंग एवरेज (एनएमए), नॉनलाइनियर ऑटोरेग्रेसिव (एनएआर), या नॉनलाइनियर ऑटोरेग्रेसिव-मूविंग-एवरेज (एनएआरएमए) मॉडल कहा जाता है।

ऑटोरेग्रेसिव-मूविंग-एवरेज मॉडल को अन्य तरीकों से सामान्यीकृत किया जा सकता है। स्वप्रतिगामी सशर्त विषमलैंगिकता (ARCH) मॉडल और ऑटोरेग्रेसिव इंटीग्रेटेड मूविंग एवरेज (ARIMA) मॉडल भी देखें। यदि एकाधिक समय श्रृंखला फिट की जानी है तो एक वेक्टर ARIMA (या VARIMA) मॉडल फिट किया जा सकता है। यदि प्रश्न में समय-श्रृंखला लंबी मेमोरी प्रदर्शित करती है तो फ्रैक्शनल ARIMA (FARIMA, जिसे कभी-कभी ARFIMA भी कहा जाता है) मॉडलिंग उपयुक्त हो सकती है: ऑटोरेग्रेसिव फ्रैक्शनली इंटीग्रेटेड मूविंग एवरेज देखें। यदि डेटा को मौसमी प्रभाव वाला माना जाता है, तो इसे SARIMA (मौसमी ARIMA) या आवधिक ARMA मॉडल द्वारा मॉडल किया जा सकता है।

एक अन्य सामान्यीकरण मल्टीस्केल ऑटोरेग्रेसिव (MAR) मॉडल है। एक MAR मॉडल को एक पेड़ के नोड्स द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, जबकि एक मानक (असतत समय) ऑटोरेग्रेसिव मॉडल को पूर्णांक द्वारा अनुक्रमित किया जाता है।

ध्यान दें कि ARMA मॉडल एक 'यूनीवेरिएट' मॉडल है। बहुभिन्नरूपी मामले के लिए एक्सटेंशन वेक्टर ऑटोरिग्रेशन (VAR) और वेक्टर ऑटोरिग्रेशन मूविंग-एवरेज (VARMA) हैं।

एक्सोजेनस इनपुट मॉडल (ARMAX मॉडल) के साथ ऑटोरेग्रेसिव-मूविंग-एवरेज मॉडल

अंकन ARMAX(p, q, b) मॉडल को p ऑटोरेग्रेसिव टर्म्स, q मूविंग एवरेज टर्म्स और b एक्सोजेनस इनपुट टर्म्स के साथ संदर्भित करता है। इस मॉडल में AR(p) और MA(q) मॉडल और ज्ञात और बाह्य समय श्रृंखला के अंतिम b पदों का एक रैखिक संयोजन शामिल है। $d_{t}$. यह इसके द्वारा दिया गया है:

$X_{t}=\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}+\sum _{i=1}^{b}\eta _{i}d_{t-i}.\,$

कहाँ $\eta _{1},\ldots ,\eta _{b}$ बहिर्जात इनपुट के पैरामीटर हैं $d_{t}$.

बहिर्जात चर वाले मॉडलों के कुछ गैर-रेखीय वेरिएंट को परिभाषित किया गया है: उदाहरण के लिए गैर-रेखीय ऑटोरेग्रेसिव बहिर्जात मॉडल देखें।

सांख्यिकीय पैकेज बहिर्जात (अर्थात, स्वतंत्र) चर के उपयोग के माध्यम से ARMAX मॉडल को लागू करते हैं। उन पैकेजों के आउटपुट की व्याख्या करते समय सावधानी बरतनी चाहिए, क्योंकि अनुमानित पैरामीटर आमतौर पर (उदाहरण के लिए, आर (प्रोग्रामिंग भाषा) में) और ग्रेटल) प्रतिगमन को देखें:

$X_{t}-m_{t}=\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}(X_{t-i}-m_{t-i})+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}.\,$

कहाँ $m_{t}$ सभी बहिर्जात (या स्वतंत्र) चर शामिल हैं:

$m_{t}=c+\sum _{i=0}^{b}\eta _{i}d_{t-i}.\,$

यह भी देखें

• ऑटोरेग्रेसिव इंटीग्रेटेड मूविंग एवरेज (ARIMA)
• घातांक सुगम करना
• रैखिक भविष्य कहनेवाला कोडिंग
• भविष्य बतानेवाला विश्लेषक
• अनंत आवेग प्रतिक्रिया
• परिमित आवेग प्रतिक्रिया

अग्रिम पठन

• Mills, Terence C. (1990). Time Series Techniques for Economists. Cambridge University Press. ISBN 0521343399.
• Percival, Donald B.; Walden, Andrew T. (1993). Spectral Analysis for Physical Applications. Cambridge University Press. ISBN 052135532X.
• Francq, C.; Zakoïan, J.-M. (2005), "Recent results for linear time series models with non independent innovations", in Duchesne, P.; Remillard, B. (eds.), Statistical Modeling and Analysis for Complex Data Problems, Springer, pp. 241–265, CiteSeerX 10.1.1.721.1754.