घातीय समारोह के लक्षण

गणित में, घातीय फलन कई प्रकार से अभिलक्षणन (गणित) हो सकता है। निम्नलिखित विशेषताएँ (परिभाषाएँ) सबसे आम हैं। यह लेख इस बात पर चर्चा करता है कि प्रत्येक लक्षण वर्णन क्यों समझ में आता है, और लक्षण वर्णन एक दूसरे से स्वतंत्र और तार्किक समानता क्यों हैं। इन विचारों के एक विशेष मामले के रूप में, यह प्रदर्शित किया जाएगा कि E (गणितीय स्थिरांक) के लिए दी गई तीन सबसे सामान्य परिभाषाएँ एक दूसरे के समतुल्य हैं।

लक्षण

घातीय फलन की छह सबसे आम परिभाषाएँ exp(x) = e^x वास्तव में x हैं:

1. परिभाषित करना e^x सीमा से (गणित)
   $$e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$$
2. परिभाषित करना e^x श्रृंखला के मान के रूप में (गणित)
   $$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$$
   (यहाँ n! के भाज्य को दर्शाता है n. एक सबूत है कि ई तर्कहीन है | सबूत है कि e तर्कहीन है इस सूत्र का एक विशेष मामला उपयोग करता है।)
3. परिभाषित करना e^x अद्वितीय संख्या होने के लिए y > 0 ऐसा है कि
   $$\int _{1}^{y}{\frac {dt}{t}}=x.$$
   यह प्राकृतिक लघुगणक समारोह के व्युत्क्रम के रूप में है, जिसे इस अभिन्न द्वारा परिभाषित किया गया है।
4. परिभाषित करना e^x प्रारंभिक मूल्य समस्या का अनूठा समाधान होना
   $$y'=y,\quad y(0)=1.$$
   (यहाँ, y′ के व्युत्पन्न को दर्शाता है y.)
5. घातीय कार्य e^x अद्वितीय कार्य है f साथ f(1) = e और f(x + y) = f(x) f(y) सभी के लिए x और y जो निम्नलिखित अतिरिक्त शर्तों में से किसी एक को संतुष्ट करता हो:
   • f is Lebesgue-measurable (Hewitt and Stromberg, 1965, exercise 18.46).
   • f is continuous at at least one point (Rudin, 1976, chapter 8, exercise 6). (As shown below, if f(x + y) = f(x) f(y) for all x and y, and f is continuous at any single point, then f is necessarily continuous everywhere.)
   • f is increasing. (An increasing function that agrees with e^x on rational numbers must equal e^x.)
   अद्वितीयता के लिए, किसी को कुछ अतिरिक्त शर्तों को लागू करना चाहिए, जैसा कि ऊपर दिया गया है, क्योंकि अन्यथा हेविट और स्ट्रोमबर्ग द्वारा वर्णित हेमल आधार का उपयोग करके अन्य कार्यों का निर्माण किया जा सकता है।
   कोई भी बदल सकता है f(1) = e और एकल शर्त के साथ अतिरिक्त शर्त f′(0) = 1.
6. होने देना e अद्वितीय सकारात्मक वास्तविक संख्या संतोषजनक हो
   $$\lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1.$$
   इस सीमा को अस्तित्व में दिखाया जा सकता है। फिर परिभाषित करें e^x इस आधार के साथ चरघातांकी फलन होना। यह परिभाषा विशेष रूप से घातीय फलन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए अनुकूल है।

बड़ा डोमेन

वास्तविक संख्याओं के डोमेन से बड़े डोमेन के लिए एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन को परिभाषित करने का एक तरीका यह है कि पहले इसे वास्तविक संख्याओं के डोमेन के लिए उपरोक्त लक्षणों में से किसी एक का उपयोग करके परिभाषित किया जाए और फिर इसे बड़े डोमेन में विस्तारित किया जाए जो किसी भी विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के लिए काम करेगा। .

बड़े डोमेन के लिए सीधे लक्षण वर्णन का उपयोग करना भी संभव है, हालांकि कुछ समस्याएं उत्पन्न हो सकती हैं। (1), (2), और (4) सभी मनमाने बनच बीजगणित के लिए समझ में आते हैं। (3) जटिल संख्याओं के लिए एक समस्या प्रस्तुत करता है, क्योंकि गैर-समतुल्य पथ हैं जिनके साथ कोई एकीकृत हो सकता है, और (5) पर्याप्त नहीं है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f परिभाषित (x और y वास्तविक के लिए) के रूप में

$$f(x+iy)=e^{x}(\cos(2y)+i\sin(2y))=e^{x+2iy}$$

के घातीय कार्य के बिना (5) में शर्तों को संतुष्ट करता हैx + iy. जटिल संख्याओं के डोमेन के लिए (5) पर्याप्त बनाने के लिए, या तो यह निर्धारित किया जा सकता है कि एक बिंदु मौजूद है जिस पर f एक अनुरूप मानचित्र है या फिर यह निर्धारित करता है

$$f(i)=\cos(1)+i\sin(1).$$

विशेष रूप से, (5) में वैकल्पिक स्थिति $f'(0)=1$ पर्याप्त है क्योंकि यह निहित रूप से निर्धारित करता है f अनुरूप हो।

सबूत है कि प्रत्येक लक्षण वर्णन समझ में आता है

इनमें से कुछ परिभाषाओं को प्रदर्शित करने के लिए औचित्य की आवश्यकता है कि वे अच्छी तरह से परिभाषित हैं। उदाहरण के लिए, जब किसी फलन के मान को किसी फलन की सीमा के परिणाम के रूप में परिभाषित किया जाता है (अर्थात एक अनंत अनुक्रम या श्रृंखला (गणित)), तो यह प्रदर्शित किया जाना चाहिए कि ऐसी सीमा हमेशा मौजूद रहती है।

विशेषता 2

तब से

$$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x}{n+1}}\right|=0<1.$$

यह अनुपात परीक्षण से अनुसरण करता है ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$ सभी x के लिए अभिसरण करता है।

विशेषता 3

चूंकि समाकलन का एक समाकलनीय फलन है t, अभिन्न अभिव्यक्ति अच्छी तरह से परिभाषित है। यह दिखाया जाना चाहिए कि समारोह से $\mathbb {R} ^{+}$ को $\mathbb {R}$ द्वारा परिभाषित

$$x\mapsto \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}$$

एक आपत्ति है। तब से 1/t सकारात्मक के लिए सकारात्मक है t, यह फ़ंक्शन मोनोटोनिक फ़ंक्शन है, इसलिए इंजेक्शन है। यदि दो अभिन्न

$${\begin{aligned}\int _{1}^{\infty }{\frac {dt}{t}}&=\infty \\[8pt]\int _{1}^{0}{\frac {dt}{t}}&=-\infty \end{aligned}}$$

पकड़ो, तो यह विशेषण भी है। वास्तव में, ये अभिन्न अंग धारण करते हैं; वे अभिन्न परीक्षण और हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) के विचलन से अनुसरण करते हैं।

लक्षणों की समानता

निम्नलिखित प्रमाण उपरोक्त ई के लिए दिए गए पहले तीन लक्षणों की समानता को प्रदर्शित करता है। प्रमाण में दो भाग होते हैं। सबसे पहले, लक्षण 1 और 2 की समानता स्थापित की जाती है, और फिर लक्षण 1 और 3 की समानता स्थापित की जाती है। अन्य लक्षणों को जोड़ने वाले तर्क भी दिए गए हैं।

लक्षण वर्णन 1 ⇔ लक्षण वर्णन 2

निम्नलिखित तर्क रुडिन, प्रमेय 3.31, पी में एक सबूत से अनुकूलित किया गया है। 63–65।

होने देना $x\geq 0$ एक निश्चित गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या हो। परिभाषित करना

$$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}},\ t_{n}=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$$

द्विपद प्रमेय द्वारा,

$${\begin{aligned}t_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}=1+x+\sum _{k=2}^{n}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))x^{k}}{k!\,n^{k}}}\\[8pt]&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+{\frac {x^{3}}{3!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)\leq s_{n}\end{aligned}}$$

(अंतिम असमानता प्राप्त करने के लिए x ≥ 0 का उपयोग करके) ताकि

$$\limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }s_{n}=e^{x}$$

जहां ई^x परिभाषा 2 के अर्थ में है। यहां, श्रेष्ठ को सीमित करें और निम्न को सीमित करें का उपयोग किया जाना चाहिए, क्योंकि यह ज्ञात नहीं है कि क्या टी_n सीमा (गणित)। दूसरी दिशा के लिए, टी की उपरोक्त अभिव्यक्ति से_n, अगर 2≤ एम ≤ एन,

$$1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {m-1}{n}}\right)\leq t_{n}.$$

m को ठीक करें, और n को अनंत तक पहुँचने दें। तब

$$s_{m}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}$$

(फिर से, श्रेष्ठता को सीमित करें और अवर को सीमित करें क्योंकि यह ज्ञात नहीं है कि टी_n अभिसरण)। अब, उपरोक्त असमानता को लेते हुए, m को अनंत तक पहुँचने देते हैं, और इसे अन्य असमानता के साथ एक साथ रखते हैं, यह बन जाता है

$$\limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq e^{x}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}$$

ताकि

$$\lim _{n\to \infty }t_{n}=e^{x}.$$

इस तुल्यता को नोट करके ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$ और सीमा को n के रूप में लेने से अनंत हो जाता है।

इस सीमा-अभिव्यक्ति की त्रुटि अवधि द्वारा वर्णित है

$$\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=e^{x}\left(1-{\frac {x^{2}}{2n}}+{\frac {x^{3}(8+3x)}{24n^{2}}}+\cdots \right),$$

जहाँ हर n वाले पद में बहुपद की घात (x में) है^के 2k है।

लक्षण वर्णन 1 ⇔ लक्षण वर्णन 3

यहाँ, प्राकृतिक लघुगणक फलन को ऊपर बताए अनुसार एक निश्चित समाकल के रूप में परिभाषित किया गया है। कलन के मौलिक प्रमेय के पहले भाग द्वारा,

$${\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {d}{dx}}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={\frac {1}{x}}.$$

अलावा, ${\textstyle \ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {dt}{t}}=0}$ अब, मान लीजिए x कोई नियत वास्तविक संख्या है, और मान लीजिए

$$y=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$$

Ln(y) = x, जिसका तात्पर्य है y = e^x, कहाँ e^x परिभाषा 3 के अर्थ में है। हमारे पास है

$$\ln y=\ln \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$$

यहाँ, ln(y) की निरंतरता का उपयोग किया जाता है, जो 1/t की निरंतरता से अनुसरण करता है:

$$\ln y=\lim _{n\to \infty }n\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {x\ln \left(1+(x/n)\right)}{(x/n)}}.$$

यहाँ, परिणाम आईएनएⁿ = nlna का उपयोग किया गया है। यह परिणाम एक प्राकृतिक संख्या n के लिए प्रेरण द्वारा, या प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण का उपयोग करके स्थापित किया जा सकता है। (वास्तविक शक्तियों का विस्तार तब तक इंतजार करना चाहिए जब तक कि ln और exp एक दूसरे के व्युत्क्रम के रूप में स्थापित न हो जाएं, ताकि एक^b को वास्तविक b के लिए e के रूप में परिभाषित किया जा सकता है^{बी एलएनए}.)

$$=x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)}{h}}\quad {\text{ where }}h={\frac {x}{n}}$$

$$=x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)-\ln 1}{h}}$$

$$=x\cdot {\frac {d}{dt}}\ln t{\Bigg |}_{t=1}$$

$$\!\,=x.$$

लक्षण वर्णन 1 ⇔ लक्षण वर्णन 5

निम्नलिखित सबूत हेविट और स्ट्रोमबर्ग में एक का सरलीकृत संस्करण है, व्यायाम 18.46। सबसे पहले, कोई यह साबित करता है कि मापनीयता (या यहां, लेबेसेग-इंटीग्रेबिलिटी) एक गैर-शून्य फ़ंक्शन के लिए निरंतरता का तात्पर्य है $f(x)$ संतुष्टि देने वाला $f(x+y)=f(x)f(y)$, और फिर यह साबित करता है कि निरंतरता का तात्पर्य है $f(x)=e^{kx}$ कुछ के लिए, और अंत में $f(1)=e$ तात्पर्य k = 1.

सबसे पहले, से कुछ प्राथमिक गुण $f(x)$ संतुष्टि देने वाला $f(x+y)=f(x)f(y)$ सिद्ध हैं, और धारणा है कि $f(x)$ समान रूप से शून्य नहीं है:

• अगर $f(x)$ कहीं भी शून्येतर है (मान लीजिए x=y पर), तो यह हर जगह शून्येतर है। सबूत: $f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0$ तात्पर्य $f(x)\neq 0$.
• $f(0)=1$. सबूत: $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)$ और $f(x)$ गैर-शून्य है।
• $f(-x)=1/f(x)$. सबूत: $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$.
• अगर $f(x)$ कहीं भी संतत है (मान लीजिए x = y), तो यह सर्वत्र संतत है। सबूत: $f(x+\delta )-f(x)=f(x-y)[f(y+\delta )-f(y)]\to 0$ जैसा $\delta \to 0$ वाई पर निरंतरता से।

दूसरे और तीसरे गुणों का अर्थ है कि यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है $f(x)=e^{x}$ सकारात्मक x के लिए।

अगर $f(x)$ एक Lebesgue-integrable फ़ंक्शन है, तो

$$g(x)=\int _{0}^{x}f(x')\,dx'.$$

इसके बाद यह अनुसरण करता है

$$g(x+y)-g(x)=\int _{x}^{x+y}f(x')\,dx'=\int _{0}^{y}f(x+x')\,dx'=f(x)g(y).$$

तब से $f(x)$ अशून्य है, कुछ y को इस प्रकार चुना जा सकता है $g(y)\neq 0$ और के लिए हल करें $f(x)$ उपरोक्त अभिव्यक्ति में। इसलिए:

$${\begin{aligned}f(x+\delta )-f(x)&={\frac {[g(x+\delta +y)-g(x+\delta )]-[g(x+y)-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {[g(x+y+\delta )-g(x+y)]-[g(x+\delta )-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {f(x+y)g(\delta )-f(x)g(\delta )}{g(y)}}=g(\delta ){\frac {f(x+y)-f(x)}{g(y)}}.\end{aligned}}$$

अंतिम अभिव्यक्ति को शून्य के रूप में जाना चाहिए $\delta \to 0$ तब से $g(0)=0$ और $g(x)$ निरंतर है। यह इस प्रकार है कि $f(x)$ निरंतर है।

अब, $f(q)=e^{kq}$ सिद्ध किया जा सकता है, कुछ k के लिए, सभी धनात्मक परिमेय संख्याओं q के लिए। मान लीजिए q=n/m सकारात्मक पूर्णांक n और m के लिए। तब

$$f\left({\frac {n}{m}}\right)=f\left({\frac {1}{m}}+\cdots +{\frac {1}{m}}\right)=f\left({\frac {1}{m}}\right)^{n}$$

एन पर प्राथमिक प्रेरण द्वारा। इसलिए, $f(1/m)^{m}=f(1)$ और इस तरह

$$f\left({\frac {n}{m}}\right)=f(1)^{n/m}=e^{k(n/m)}.$$

के लिए $k=\ln[f(1)]$. यदि वास्तविक मूल्य तक सीमित है $f(x)$, तब $f(x)=f(x/2)^{2}$ हर जगह धनात्मक है और इसलिए k वास्तविक है।

अंत में, निरंतरता से, चूंकि $f(x)=e^{kx}$ सभी परिमेय x के लिए, यह सभी वास्तविक x के लिए सत्य होना चाहिए क्योंकि परिमेय का समापन (गणित) वास्तविक है (अर्थात, किसी भी वास्तविक x को परिमेय के अनुक्रम की सीमा के रूप में लिखा जा सकता है)। अगर $f(1)=e$ तब k = 1. यह लक्षण वर्णन 1 (या 2, या 3) के समतुल्य है, जो ई (गणितीय स्थिरांक) की समतुल्य परिभाषा पर निर्भर करता है।

लक्षण वर्णन 2 ⇔ लक्षण वर्णन 4

मान लीजिए n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। परिभाषा 4 के अर्थ में और प्रेरण द्वारा, ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=y$.

इसलिए ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.$ टेलर श्रृंखला का उपयोग करना,

$$y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$$

इससे पता चलता है कि परिभाषा 4 का तात्पर्य परिभाषा 2 से है।

परिभाषा 2 के अर्थ में,

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}e^{x}&={\frac {d}{dx}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nx^{n-1}}{n!}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}\\[6pt]&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},{\text{ where }}k=n-1\\[6pt]&=e^{x}\end{aligned}}$$

अलावा, ${\textstyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$ इससे पता चलता है कि परिभाषा 2 का तात्पर्य परिभाषा 4 से है।

लक्षण वर्णन 2 ⇒ लक्षण वर्णन 6

परिभाषा 2 के अर्थ में,

$${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(\left(1+h+{\frac {h^{2}}{2!}}+{\frac {h^{3}}{3!}}+{\frac {h^{4}}{4!}}+\cdots \right)-1\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{2!}}+{\frac {h^{2}}{3!}}+{\frac {h^{3}}{4!}}+\cdots \right)\\&=1\end{aligned}}$$

लक्षण वर्णन 3 ⇔ लक्षण वर्णन 4

विशेषता 3 में घातांक फलन परिभाषित करने से पहले प्राकृतिक लघुगणक को परिभाषित करना शामिल है। पहला,

$$\log x:=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}$$

इसका मतलब है कि का प्राकृतिक लघुगणक $x$ के ग्राफ़ के अंतर्गत (हस्ताक्षरित) क्षेत्र के बराबर है $1/t$ बीच में $t=1$ और $t=x$. अगर $x<1$, तब इस क्षेत्र को ऋणात्मक माना जाता है। तब, $\exp$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है $\log$, मतलब है कि

$$\exp(\log(x))=x{\text{ and }}\log(\exp(x))=x$$

एक उलटा कार्य की परिभाषा के द्वारा। अगर $a$ तब एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है $a^{x}$ परिभाषित किया जाता है $\exp(x\log(a))$. आखिरकार, $e$ संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है $a$ ऐसा है कि $\log(a)=1$. तभी यह दिखाया जा सकता है $e^{x}=\exp(x)$:

$$e^{x}=\exp(x\log(e))=\exp(x)$$

कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा, का व्युत्पन्न ${\textstyle \log x={\frac {1}{x}}}$. अब हम इसे साबित करने की स्थिति में हैं ${\textstyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$लक्षण वर्णन 4 में दी गई प्रारंभिक मूल्य समस्या के पहले भाग को संतुष्ट करना:

$${\begin{aligned}{\text{Let }}y&=e^{x}=\exp(x)\\\log(y)&=\log(\exp(x))=x\\{\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}&=1\\{\frac {dy}{dx}}&=y=e^{x}\end{aligned}}$$

फिर, हमें केवल यह नोट करना है $e^{0}=\exp(0)=1$, और हम कर चुके हैं। बेशक, यह दिखाना बहुत आसान है कि लक्षण वर्णन 4 का अर्थ लक्षण वर्णन 3 है। यदि $e^{x}$ अनूठा कार्य है $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ संतुष्टि देने वाला $f'(x)=e^{x}$, और $f(0)=1$, तब $\log$ इसके व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। का व्युत्पन्न $\log$ निम्नलिखित तरीके से पाया जा सकता है:

$$y=\log x\implies x=e^{y}$$

यदि हम दोनों पक्षों के संबंध में अंतर करते हैं $y$, हम पाते हैं

$${\begin{aligned}{\frac {dx}{dy}}&=e^{y}\\{\frac {dy}{dx}}&={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}\end{aligned}}$$

इसलिए,

$$\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt=\left[\log t\right]_{1}^{x}=\log x-\log 1=\log x-0=\log x$$

लक्षण वर्णन 5 ⇒ लक्षण वर्णन 4

शर्तें f'(0) = 1 और f(x + y) = f(x) f(y) लक्षण वर्णन में दोनों स्थितियों का अर्थ है। वास्तव में, प्रारंभिक स्थिति प्राप्त होती है f(0) = 1 समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करके

$$f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)$$

द्वारा f(0), और शर्त यह है कि f′(x) = f(x) इस शर्त से अनुसरण करता है कि f′(0) = 1 और व्युत्पन्न की परिभाषा इस प्रकार है:

$${\begin{array}{rcccccc}f'(x)&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x)f(h)-f(x)}{h}}&=&\lim \limits _{h\to 0}f(x){\frac {f(h)-1}{h}}\\[1em]&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(h)-1}{h}}&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}&=&f(x)f'(0)=f(x).\end{array}}$$

लक्षण वर्णन 6 ⇒ लक्षण वर्णन 4

परिभाषा 6 के अर्थ में,

$${\frac {d}{dx}}e^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}=e^{x}\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=e^{x}.$$

वैसे $e^{0}=1$, इसलिए परिभाषा 6 का तात्पर्य परिभाषा 4 से है।

संदर्भ

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition (McGraw–Hill, 1976), chapter 8.
• Edwin Hewitt and Karl Stromberg, Real and Abstract Analysis (Springer, 1965).