दोबारा

Repunit prime

No. of known terms	11
Conjectured no. of terms	Infinite
First terms	11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111
Largest known term	(1049081−1)/9
OEIS index	A004022 Primes of the form (10^n − 1)/9

मनोरंजक गणित में, एक रिपुनिट 11, 111, या 1111 जैसी संख्या है जिसमें केवल अंक 1 होता है - एक अधिक विशिष्ट प्रकार का ipdigits। यह शब्द बार-बार इकाई के लिए खड़ा है और 1966 में अल्बर्ट एच। बीलर द्वारा अपनी पुस्तक रिक्रिएशन इन द थ्योरी ऑफ नंबर्स में गढ़ा गया था। एक रिपुनिट प्राइम एक रिपुनिट है जो एक प्राइम नंबर भी है। वे प्राइम्स जो बाइनरी संख्या | बेस -2 में रिपुनिट हैं, Mersenne primes हैं। मार्च 2022 तक, [[सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या]] 2^82,589,933 − 1, सबसे बड़ा संभावित प्राइम आर_8177207 और सबसे बड़ा अण्डाकार वक्र प्राइमलिटी प्राइम आर₄₉₀₈₁ सभी रिपुनिट हैं।

परिभाषा

बेस-बी रिपुनिट को परिभाषित किया गया है (यह बी या तो सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है)

$R_{n}^{(b)}\equiv 1+b+b^{2}+\cdots +b^{n-1}={b^{n}-1 \over {b-1}}\qquad {\mbox{for }}|b|\geq 2,n\geq 1.$

इस प्रकार, संख्या आर_n^{(बी) </सुप> में आधार-बी प्रतिनिधित्व में अंक 1 की एन प्रतियां शामिल हैं। n = 1 और n = 2 के लिए पहले दो पुनरावर्त आधार-b हैं}

$R_{1}^{(b)}={b-1 \over {b-1}}=1\qquad {\text{and}}\qquad R_{2}^{(b)}={b^{2}-1 \over {b-1}}=b+1\qquad {\text{for}}\ |b|\geq 2.$

विशेष रूप से, दशमलव (बेस -10) पुनरावर्तक जिन्हें अक्सर केवल पुनरावर्तक के रूप में संदर्भित किया जाता है, के रूप में परिभाषित किया जाता है

$R_{n}\equiv R_{n}^{(10)}={10^{n}-1 \over {10-1}}={10^{n}-1 \over 9}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1.$

इस प्रकार, संख्या आर_n = आर_n⁽¹⁰⁾ आधार 10 प्रतिनिधित्व में अंक 1 की n प्रतियां शामिल हैं। रिपुनिट का क्रम बेस-10 से शुरू होता है

1 (संख्या), 11 (संख्या), 111 (संख्या), 1111, 11111, 111111, ... (sequence A002275 in the OEIS).

इसी तरह, रिपुनिट बेस -2 को इस रूप में परिभाषित किया गया है

$R_{n}^{(2)}={2^{n}-1 \over {2-1}}={2^{n}-1}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1.$

इस प्रकार, संख्या आर_n⁽²⁾ आधार-2 प्रतिनिधित्व में अंक 1 की n प्रतियां शामिल हैं। वास्तव में, बेस-2 रिपुनिट जाने-माने Mersenne primes M हैं_n = 2ⁿ − 1, वे शुरू करते हैं

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, ... (sequence A000225 in the OEIS).

गुण

• अंकों की समग्र संख्या वाले किसी भी आधार में कोई पुनर्संयोजन आवश्यक रूप से समग्र है। केवल रिपुनिट (किसी भी आधार में) अंकों की अभाज्य संख्या होने पर अभाज्य हो सकता है। यह एक आवश्यक लेकिन पर्याप्त शर्त नहीं है। उदाहरण के लिए,

  आर₃₅^{(बी) </ sup> = 11111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 1111111 × 10000001000000100000010000001,}

चूँकि 35 = 7 × 5 = 5 × 7. यह पुनरावर्तन गुणनखंड आधार-b पर निर्भर नहीं करता है जिसमें पुनर्संयोजन व्यक्त किया गया है।

• यदि p एक विषम अभाज्य संख्या है, तो प्रत्येक अभाज्य q जो R को विभाजित करता है_p^(b) या तो 1 प्लस 2p का गुणक होना चाहिए, या b - 1 का गुणक होना चाहिए। उदाहरण के लिए, R का एक प्रमुख कारक₂₉ 62003 = 1 + 2·29·1069 है। इसका कारण यह है कि अभाज्य p 1 से बड़ा सबसे छोटा घातांक है जिससे q, b को विभाजित करता है^p − 1, क्योंकि p अभाज्य संख्या है। इसलिए, जब तक q, b − 1 को विभाजित नहीं करता है, कारमाइकल फ़ंक्शन#q के तत्वों का क्रम n मॉड्यूलो n, जो q − 1 के सम और बराबर है।
• रिपुनिट R का कोई भी धनात्मक गुणज_n^(b) में आधार-b में कम से कम n शून्येतर अंक शामिल हैं।
• कोई भी संख्या x आधार x - 1 में दो अंकों का पुनरावर्तन है।
• एकमात्र ज्ञात संख्याएँ जो एक साथ एक से अधिक आधारों में कम से कम 3 अंकों के साथ दोहराई जाती हैं, वे हैं 31 (आधार-5 में 111, आधार-2 में 11111) और 8191 (आधार-90 में 111, आधार-2 में 1111111111111)। गोरमाघटघ अनुमान कहता है कि केवल यही दो स्थितियाँ हैं।
• पिजन-होल सिद्धांत का उपयोग करके यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि Coprime पूर्णांक प्राकृतिक संख्या n और b के लिए, आधार-b में एक पुनरावर्त मौजूद होता है जो n का एक गुणक होता है। इसे देखने के लिए रिपुनिट आर पर विचार करें₁^(बी),...,आर_n^{(बी) </ समर्थन>। क्योंकि n रिपुनिट हैं लेकिन केवल n−1 गैर-शून्य अवशेष मॉड्यूल n हैं, वहां दो रिपुनिट R मौजूद हैं_i(बी) और आर_j(b) के साथ 1 ≤ i < j ≤ n ऐसा है कि R_i(बी) और आर_j(b) का अवशेष मॉड्यूल n समान है। यह इस प्रकार है कि आर_j(बी) - आर_i(b) का अवशेष 0 मॉड्यूलो n है, अर्थात n से विभाज्य है। चूँकि आर_j(बी) - आर_i(b) में j - i वाले और उसके बाद i शून्य होते हैं, R_j(b) − R_i(b) = R_j−i(b) × bi. अब n इस समीकरण के बायीं ओर को विभाजित करता है, इसलिए यह दायीं ओर को भी विभाजित करता है, लेकिन चूंकि n और b अपेक्षाकृत प्रमुख हैं, n को R को विभाजित करना चाहिए_j−i(बी) </ समर्थन>।}
• फीट-थॉम्पसन अनुमान यह है कि आर_q^(p) कभी भी R को विभाजित नहीं करता है_p^(q) दो भिन्न अभाज्य संख्या p और q के लिए।
• रिपुनिट्स डेफिनिशन के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करना: आर₁^{(बी) </सुप> = 1; आर_n(बी) </सुप> = आर_n−1(b) × b + 1, कोई भी लगातार R को दोहराता है_n−1(बी) और आर_n(बी) </सुप> किसी भी बेस-बी में किसी भी एन के लिए अपेक्षाकृत प्रमुख हैं।}
• यदि m और n का एक उभयनिष्ठ भाजक d है, तो R_m^(बी) और आर_n^(b) का उभयनिष्ठ भाजक R है_d^(b) किसी भी आधार-b में किसी भी m और n के लिए। अर्थात्, एक निश्चित आधार के पुनरावर्त एक विभाज्यता अनुक्रम बनाते हैं। नतीजतन, यदि एम और एन अपेक्षाकृत प्रमुख हैं, तो आर_m^(बी) और आर_n^(बी) अपेक्षाकृत प्रमुख हैं। यूक्लिडियन एल्गोरिथम m > n के लिए gcd(m, n) = gcd(m − n, n) पर आधारित है। इसी प्रकार, आर. का उपयोग करना_m^(बी) - आर_n^(बी) × बी^{एम−एन} = आर_m−n^(b), यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि gcd(R_m^(बी), आर_n^{(बी) </सुप>) = जीसीडी (आर_m−n(बी), आर_n(b)) m > n के लिए। इसलिए, यदि जीसीडी (एम, एन) = डी, तो जीसीडी (आर_m(बी), आर_n(बी) </सुप>) = आर_d(बी) </ समर्थन>।}

दशमलव पुनर्पुनियों का गुणनखंड

(प्रमुख कारक रंगीन red मतलब नया कारक, i। एस। प्रधान कारक आर को विभाजित करता है_n लेकिन R को विभाजित नहीं करता है_k सभी के लिए कश्मीर <एन) (sequence A102380 in the OEIS)

R1 = 1 R2 = 11 R3 = 3 · 37 R4 = 11 · 101 R5 = 41 · 271 R6 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 R7 = 239 · 4649 R8 = 11 · 73 · 101 · 137 R9 = 32 · 37 · 333667 R10 = 11 · 41 · 271 · 9091

R11 = 21649 · 513239 R12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901 R13 = 53 · 79 · 265371653 R14 = 11 · 239 · 4649 · 909091 R15 = 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161 R16 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353 R17 = 2071723 · 5363222357 R18 = 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667 R19 = 1111111111111111111 R20 = 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961

R21 = 3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689 R22 = 112 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 R23 = 11111111111111111111111 R24 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001 R25 = 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001 R26 = 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049 R27 = 33 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631 R28 = 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449 R29 = 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 R30 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161

आर का सबसे छोटा प्रधान कारक_n n > 1 के लिए हैं

11, 3, 11, 41, 3, 239, 11, 3, 11, 21649, 3, 53, 11, 3, 11, 2071723, 3, 111111111111111111, 11, 3, 11, 1111111111111111111, 14,1111 , 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, . .. (sequence A067063 in the OEIS)

प्राइम्स को दोबारा दोहराएं

रिपुनिट की परिभाषा मनोरंजक गणितज्ञों द्वारा ऐसी संख्याओं के पूर्णांक गुणनखंडन की तलाश में प्रेरित थी।

यह दिखाना आसान है कि यदि n, a से विभाज्य है, तो R_n^(b) R से विभाज्य है_a^{(बी) </ sup>:}

$R_{n}^{(b)}={\frac {1}{b-1}}\prod _{d|n}\Phi _{d}(b),$

कहाँ $\Phi _{d}(x)$ है $d^{\mathrm {th} }$ साइक्लोटोमिक बहुपद और d, n के विभाजकों के ऊपर होता है। पी प्राइम के लिए,

$\Phi _{p}(x)=\sum _{i=0}^{p-1}x^{i},$

जब एक्स को बी के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है तो इसका अपेक्षित रूप होता है।

उदाहरण के लिए, 9 3 से विभाज्य है, और इस प्रकार R₉ R से विभाज्य है₃—वास्तव में, 111111111 = 111 · 1001001। संबंधित साइक्लोटोमिक बहुपद $\Phi _{3}(x)$ और $\Phi _{9}(x)$ हैं $x^{2}+x+1$ और $x^{6}+x^{3}+1$, क्रमश। इस प्रकार, आर के लिए_n अभाज्य होने के लिए, n अनिवार्य रूप से अभाज्य होना चाहिए, लेकिन n के अभाज्य होने के लिए यह पर्याप्त नहीं है। उदाहरण के लिए, आर₃= 111 = 3 · 37 प्राइम नहीं है। आर के इस मामले को छोड़कर₃, p केवल R को विभाजित कर सकता है_n अभाज्य n के लिए यदि p = 2kn + 1 कुछ k के लिए।

दशमलव रिपुनिट प्राइम्स

आर_n n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081 ... (अनुक्रम OEIS: A004023 OEIS में) के लिए अभाज्य है। आर₈₆₄₅₃ संभावित प्रधान है। 3 अप्रैल, 2007 को हार्वे डबनेर (जिन्होंने आर₄₉₀₈₁) ने घोषणा की कि आर₁₀₉₂₉₇ एक संभावित प्रधान है। 15 जुलाई, 2007 को मैक्सिम वोज़नी ने घोषणा की कि आर₂₇₀₃₄₃ शायद प्रमुख होना। सर्ज बटालोव और रयान प्रॉपर ने आर_5794777 और आर_8177207 क्रमशः 20 अप्रैल और 8 मई, 2021 को संभावित प्राइम होने के लिए। उनकी खोज के अनुसार प्रत्येक सबसे बड़ा ज्ञात संभावित प्राइम था। 22 मार्च 2022 को संभावित प्रधान आर₄₉₀₈₁ अंततः एक प्रधान साबित हुआ। यह अनुमान लगाया गया है कि अपरिमित रूप से कई पुनरावर्तक अभाज्य संख्याएँ हैं और ऐसा प्रतीत होता है कि वे मोटे तौर पर उतनी ही बार घटित होते हैं जितनी कि अभाज्य संख्या प्रमेय भविष्यवाणी करता है: Nth रिपुनिट प्राइम का प्रतिपादक आम तौर पर (N−1)th के प्रतिपादक के एक निश्चित गुणक के आसपास होता है।

प्राइम रिपुनिट, क्रमपरिवर्तनीय अभाज्य संख्याओं का एक तुच्छ उपसमुच्चय है, यानी वे अभाज्य संख्याएँ जो अपने अंकों के क्रमपरिवर्तन के बाद भी अभाज्य बनी रहती हैं।

विशेष गुण हैं

• शेष आर_n मॉडुलो 3 n मॉड्यूलो 3 के शेष के बराबर है। 10 का उपयोग करना^a ≡ 1 (मॉड 3) किसी भी a ≥ 0 के लिए,
  n ≡ 0 (मॉड 3) ⇔ R_n ≡ 0 (मॉड 3) ⇔ आर_n ≡ 0 (आर के खिलाफ₃),
  n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 1 (मॉड 3) ⇔ आर_n ≡ आर₁ ≡ 1 (आर के खिलाफ₃),
  n ≡ 2 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 2 (मॉड 3) ⇔ आर_n ≡ आर₂ ≡ 11 (आर के खिलाफ₃).
  इसलिए, 3 | एन ⇔ 3 | आर_n ⇔ आर₃ | आर_n.
• शेष आर_n मॉडुलो 9 n मॉड्यूलो 9 के शेष के बराबर है। 10 का उपयोग करना^a ≡ 1 (मॉड 9) किसी भी a ≥ 0 के लिए,
  n ≡ r (मॉड 9) ⇔ R_n ≡ आर (मॉड 9) ⇔ आर_n ≡ आर_r (आर के खिलाफ₉),
  0 ≤ r <9 के लिए।
  इसलिए, 9 | एन ⇔ 9 | आर_n ⇔ आर₉ | आर_n.

बेस 2 रीपुनिट प्राइम्स

Main article: Mersenne prime

बेस-2 रिपुनिट प्राइम्स को Mersenne primes कहा जाता है।

बेस 3 रीपुनिट प्राइम्स

पहले कुछ बेस-3 रिपुनिट प्राइम हैं

13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013 (sequence A076481 in the OEIS),

तदनुसार $n$ का

3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, ... (sequence A028491 in the OEIS).

बेस 4 रीपुनिट प्राइम्स

केवल बेस-4 रिपुनिट प्राइम 5 है ($11_{4}$). $4^{n}-1=\left(2^{n}+1\right)\left(2^{n}-1\right)$, और 3 हमेशा विभाजित होता है $2^{n}+1$ जब n विषम है और $2^{n}-1$ जब n सम है। 2 से अधिक n के लिए, दोनों $2^{n}+1$ और $2^{n}-1$ 3 से बड़े हैं, इसलिए 3 का गुणनखंड हटाने पर भी 1 से अधिक दो गुणनखंड रह जाते हैं। इसलिए, संख्या अभाज्य नहीं हो सकती।

=== आधार 5 अभाज्य संख्याएँ === पुन: प्रस्तुत करें पहले कुछ बेस-5 रिपुनिट प्राइम्स हैं

31, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, 35032461608120426773093239582247903282006548546912894293926707097244777067146515037165954709053039550781, 815663058499815565838786763657068444462645532258620818469829556933715405574685778402862015856733535201783524826169013977050781 (sequence A086122 in the OEIS),

तदनुसार $n$ का

3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, ... (sequence A004061 in the OEIS).

आधार 6 अभाज्य संख्याएँ

पहले कुछ बेस-6 रिपुनिट प्राइम हैं

7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, 133733063818254349335501779590081460423013416258060407531857720755181857441961908284738707408499507 (sequence A165210 in the OEIS),

तदनुसार $n$ का

2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, ... (sequence A004062 in the OEIS).

बेस 7 रीपुनिट प्राइम्स

पहले कुछ बेस-7 रिपुनिट प्राइम्स हैं

2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457,
138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601

तदनुसार $n$ का

5, 13, 131, 149, 1699, ... (sequence A004063 in the OEIS).

आधार 8 अभाज्य संख्याएँ

केवल बेस-8 रिपुनिट प्राइम 73 (संख्या) है ($111_{8}$). $8^{n}-1=\left(4^{n}+2^{n}+1\right)\left(2^{n}-1\right)$, और 7 विभाजित करता है $4^{n}+2^{n}+1$ जब n 3 और से विभाज्य नहीं है $2^{n}-1$ जब n 3 का गुणज हो।

बेस 9 रीपुनिट प्राइम्स

कोई बेस-9 रिपुनिट प्राइम नहीं हैं। $9^{n}-1=\left(3^{n}+1\right)\left(3^{n}-1\right)$, और दोनों $3^{n}+1$ और $3^{n}-1$ सम हैं और 4 से अधिक हैं।

बेस 11 रीपुनिट प्राइम्स

पहले कुछ बेस-11 रिपुनिट प्राइम हैं

50544702849929377, 6115909044841454629, 1051153199500053598403188407217590190707671147285551702341089650185945215953, 567000232521795739625828281267171344486805385881217575081149660163046217465544573355710592079769932651989153833612198334843467861091902034340949

तदनुसार $n$ का

17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, ... (sequence A005808 in the OEIS).

बेस 12 रीपुनिट प्राइम्स

पहले कुछ बेस-12 रिपुनिट प्राइम हैं

13, 157, 22621, 29043636306420266077, 43570062353753446053455610056679740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581, 388475052482842970801320278964160171426121951256610654799120070705613530182445862582590623785872890159937874339918941

तदनुसार $n$ का

2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, ... (sequence A004064 in the OEIS).

बेस 20 रिपुनिट प्राइम्स

पहले कुछ बेस-20 रिपुनिट प्राइम हैं

421, 10778947368421, 689852631578947368421

तदनुसार $n$ का

3, 11, 17, 1487, ... (sequence A127995 in the OEIS).

===आधार ख जैसे कि आर_p(बी) प्राइम पी === के लिए प्रमुख है

सबसे छोटा आधार $b$ ऐसा है कि $R_{p}(b)$ प्रमुख है (जहां $p$ है $n$वें प्रधान) हैं

2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12 , 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606 , 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, 13, 136, 220, 162, 35, 10, 218, 19, 26, 39, 12, 22, 67, 120, 195 , 48, 54, 463, 38, 41, 17, 808, 404, 46, 76, 793, 38, 28, 215, 37, 236, 59, 15, 514, 260, 498, 6, 2, 95, 3 , ... (sequence A066180 in the OEIS)

सबसे छोटा आधार $b$ ऐसा है कि $R_{p}(-b)$ प्रमुख है (जहां $p$ है $n$वें प्रधान) हैं

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70 , 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5 , 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, 159, 10, 16, 209, 2, 16, 23, 273, 2, 460, 22, 3, 36, 28, 329 , 43, 69, 86, 271, 396, 28, 83, 302, 209, 11, 300, 159, 79, 31, 331, 52, 176, 3, 28, 217, 14, 410, 252, 718, 164 , ... (sequence A103795 in the OEIS)

$p$	bases $b$ such that $R_{p}(b)$ is prime (only lists positive bases)	OEIS sequence
2	2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, 306, 310, 312, 316, 330, 336, 346, 348, 352, 358, 366, 372, 378, 382, 388, 396, 400, 408, 418, 420, 430, 432, 438, 442, 448, 456, 460, 462, 466, 478, 486, 490, 498, 502, 508, 520, 522, 540, 546, 556, 562, 568, 570, 576, 586, 592, 598, 600, 606, 612, 616, 618, 630, 640, 642, 646, 652, 658, 660, 672, 676, 682, 690, 700, 708, 718, 726, 732, 738, 742, 750, 756, 760, 768, 772, 786, 796, 808, 810, 820, 822, 826, 828, 838, 852, 856, 858, 862, 876, 880, 882, 886, 906, 910, 918, 928, 936, 940, 946, 952, 966, 970, 976, 982, 990, 996, ...	A006093
3	2, 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111, 117, 119, 131, 138, 141, 143, 147, 150, 153, 155, 161, 162, 164, 167, 168, 173, 176, 188, 189, 192, 194, 203, 206, 209, 215, 218, 231, 236, 245, 246, 266, 272, 278, 279, 287, 288, 290, 293, 309, 314, 329, 332, 336, 342, 344, 348, 351, 357, 369, 378, 381, 383, 392, 395, 398, 402, 404, 405, 414, 416, 426, 434, 435, 447, 453, 455, 456, 476, 489, 495, 500, 512, 518, 525, 530, 531, 533, 537, 540, 551, 554, 560, 566, 567, 572, 579, 582, 584, 603, 605, 609, 612, 621, 624, 626, 635, 642, 644, 668, 671, 677, 686, 696, 701, 720, 726, 728, 735, 743, 747, 755, 761, 762, 768, 773, 782, 785, 792, 798, 801, 812, 818, 819, 825, 827, 836, 839, 846, 855, 857, 860, 864, 875, 878, 890, 894, 897, 899, 911, 915, 918, 920, 927, 950, 959, 960, 969, 974, 981, 987, 990, 992, 993, ...	A002384
5	2, 7, 12, 13, 17, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 40, 43, 44, 50, 62, 63, 68, 73, 74, 77, 79, 83, 85, 94, 99, 110, 117, 118, 120, 122, 127, 129, 134, 143, 145, 154, 162, 164, 165, 172, 175, 177, 193, 198, 204, 208, 222, 227, 239, 249, 254, 255, 260, 263, 265, 274, 275, 277, 285, 288, 292, 304, 308, 327, 337, 340, 352, 359, 369, 373, 393, 397, 408, 414, 417, 418, 437, 439, 448, 457, 459, 474, 479, 490, 492, 495, 503, 505, 514, 519, 528, 530, 538, 539, 540, 550, 557, 563, 567, 568, 572, 579, 594, 604, 617, 637, 645, 650, 662, 679, 694, 699, 714, 728, 745, 750, 765, 770, 772, 793, 804, 805, 824, 837, 854, 860, 864, 868, 880, 890, 919, 942, 954, 967, 968, 974, 979, ...	A049409
7	2, 3, 5, 6, 13, 14, 17, 26, 31, 38, 40, 46, 56, 60, 61, 66, 68, 72, 73, 80, 87, 89, 93, 95, 115, 122, 126, 128, 146, 149, 156, 158, 160, 163, 180, 186, 192, 203, 206, 208, 220, 221, 235, 237, 238, 251, 264, 266, 280, 282, 290, 294, 300, 303, 320, 341, 349, 350, 353, 363, 381, 395, 399, 404, 405, 417, 418, 436, 438, 447, 450, 461, 464, 466, 478, 523, 531, 539, 548, 560, 583, 584, 591, 599, 609, 611, 622, 646, 647, 655, 657, 660, 681, 698, 700, 710, 717, 734, 760, 765, 776, 798, 800, 802, 805, 822, 842, 856, 863, 870, 878, 899, 912, 913, 926, 927, 931, 940, 941, 942, 947, 959, 984, 998, ...	A100330
11	5, 17, 20, 21, 30, 53, 60, 86, 137, 172, 195, 212, 224, 229, 258, 268, 272, 319, 339, 355, 365, 366, 389, 390, 398, 414, 467, 480, 504, 534, 539, 543, 567, 592, 619, 626, 654, 709, 735, 756, 766, 770, 778, 787, 806, 812, 874, 943, 973, ...	A162862
13	2, 3, 5, 7, 34, 37, 43, 59, 72, 94, 98, 110, 133, 149, 151, 159, 190, 207, 219, 221, 251, 260, 264, 267, 282, 286, 291, 319, 355, 363, 373, 382, 397, 398, 402, 406, 408, 412, 436, 442, 486, 489, 507, 542, 544, 552, 553, 582, 585, 592, 603, 610, 614, 634, 643, 645, 689, 708, 720, 730, 744, 769, 772, 806, 851, 853, 862, 882, 912, 928, 930, 952, 968, 993, ...	A217070
17	2, 11, 20, 21, 28, 31, 55, 57, 62, 84, 87, 97, 107, 109, 129, 147, 149, 157, 160, 170, 181, 189, 191, 207, 241, 247, 251, 274, 295, 297, 315, 327, 335, 349, 351, 355, 364, 365, 368, 379, 383, 410, 419, 423, 431, 436, 438, 466, 472, 506, 513, 527, 557, 571, 597, 599, 614, 637, 653, 656, 688, 708, 709, 720, 740, 762, 835, 836, 874, 974, 976, 980, 982, 986, ...	A217071
19	2, 10, 11, 12, 14, 19, 24, 40, 45, 46, 48, 65, 66, 67, 75, 85, 90, 103, 105, 117, 119, 137, 147, 164, 167, 179, 181, 205, 220, 235, 242, 253, 254, 263, 268, 277, 303, 315, 332, 337, 366, 369, 370, 389, 399, 404, 424, 431, 446, 449, 480, 481, 506, 509, 521, 523, 531, 547, 567, 573, 581, 622, 646, 651, 673, 736, 768, 787, 797, 807, 810, 811, 817, 840, 846, 857, 867, 869, 870, 888, 899, 902, 971, 988, 990, 992, ...	A217072
23	10, 40, 82, 113, 127, 141, 170, 257, 275, 287, 295, 315, 344, 373, 442, 468, 609, 634, 646, 663, 671, 710, 819, 834, 857, 884, 894, 904, 992, 997, ...	A217073
29	6, 40, 65, 70, 114, 151, 221, 229, 268, 283, 398, 451, 460, 519, 554, 587, 627, 628, 659, 687, 699, 859, 884, 915, 943, 974, 986, ...	A217074
31	2, 14, 19, 31, 44, 53, 71, 82, 117, 127, 131, 145, 177, 197, 203, 241, 258, 261, 276, 283, 293, 320, 325, 379, 387, 388, 406, 413, 461, 462, 470, 486, 491, 534, 549, 569, 582, 612, 618, 639, 696, 706, 723, 746, 765, 767, 774, 796, 802, 877, 878, 903, 923, 981, 991, 998, ...	A217075
37	61, 77, 94, 97, 99, 113, 126, 130, 134, 147, 161, 172, 187, 202, 208, 246, 261, 273, 285, 302, 320, 432, 444, 503, 523, 525, 563, 666, 680, 709, 740, 757, 787, 902, 962, 964, 969, ...	A217076
41	14, 53, 55, 58, 71, 76, 82, 211, 248, 271, 296, 316, 430, 433, 439, 472, 545, 553, 555, 596, 663, 677, 682, 746, 814, 832, 885, 926, 947, 959, ...	A217077
43	15, 21, 26, 86, 89, 114, 123, 163, 180, 310, 332, 377, 409, 438, 448, 457, 477, 526, 534, 556, 586, 612, 653, 665, 690, 692, 709, 760, 783, 803, 821, 848, 877, 899, 909, 942, 981, ...	A217078
47	5, 17, 19, 55, 62, 75, 89, 98, 99, 132, 172, 186, 197, 220, 268, 278, 279, 288, 439, 443, 496, 579, 583, 587, 742, 777, 825, 911, 966, ...	A217079
53	24, 45, 60, 165, 235, 272, 285, 298, 307, 381, 416, 429, 623, 799, 858, 924, 929, 936, ...	A217080
59	19, 70, 102, 116, 126, 188, 209, 257, 294, 359, 451, 461, 468, 470, 638, 653, 710, 762, 766, 781, 824, 901, 939, 964, 995, ...	A217081
61	2, 19, 69, 88, 138, 155, 205, 234, 336, 420, 425, 455, 470, 525, 555, 561, 608, 626, 667, 674, 766, 779, 846, 851, 937, 971, 998, ...	A217082
67	46, 122, 238, 304, 314, 315, 328, 332, 346, 372, 382, 426, 440, 491, 496, 510, 524, 528, 566, 638, 733, 826, ...	A217083
71	3, 6, 17, 24, 37, 89, 132, 374, 387, 402, 421, 435, 453, 464, 490, 516, 708, 736, 919, 947, 981, ...	A217084
73	11, 15, 75, 114, 195, 215, 295, 335, 378, 559, 566, 650, 660, 832, 871, 904, 966, ...	A217085
79	22, 112, 140, 158, 170, 254, 271, 330, 334, 354, 390, 483, 528, 560, 565, 714, 850, 888, 924, 929, 933, 935, 970, ...	A217086
83	41, 146, 386, 593, 667, 688, 906, 927, 930, ...	A217087
89	2, 114, 159, 190, 234, 251, 436, 616, 834, 878, ...	A217088
97	12, 90, 104, 234, 271, 339, 420, 421, 428, 429, 464, 805, 909, 934, ...	A217089
101	22, 78, 164, 302, 332, 359, 387, 428, 456, 564, 617, 697, 703, 704, 785, 831, 979, ...
103	3, 52, 345, 392, 421, 472, 584, 617, 633, 761, 767, 775, 785, 839, ...
107	2, 19, 61, 68, 112, 157, 219, 349, 677, 692, 700, 809, 823, 867, 999, ...
109	12, 57, 72, 79, 89, 129, 158, 165, 239, 240, 260, 277, 313, 342, 421, 445, 577, 945, ...
113	86, 233, 266, 299, 334, 492, 592, 641, 656, 719, 946, ...
127	2, 5, 6, 47, 50, 126, 151, 226, 250, 401, 427, 473, 477, 486, 497, 585, 624, 644, 678, 685, 687, 758, 896, 897, 936, ...
131	7, 493, 567, 591, 593, 613, 764, 883, 899, 919, 953, ...
137	13, 166, 213, 355, 586, 669, 707, 768, 833, ...
139	11, 50, 221, 415, 521, 577, 580, 668, 717, 720, 738, 902, ...
149	5, 7, 68, 79, 106, 260, 319, 502, 550, 779, 855, ...
151	29, 55, 57, 160, 176, 222, 255, 364, 427, 439, 642, 660, 697, 863, ...
157	56, 71, 76, 181, 190, 317, 338, 413, 426, 609, 694, 794, 797, 960, ...
163	30, 62, 118, 139, 147, 291, 456, 755, 834, 888, 902, 924, ...
167	44, 45, 127, 175, 182, 403, 449, 453, 476, 571, 582, 700, 749, 764, 929, 957, ...
173	60, 62, 139, 141, 303, 313, 368, 425, 542, 663, ...
179	304, 478, 586, 942, 952, 975, ...
181	5, 37, 171, 427, 509, 571, 618, 665, 671, 786, ...
191	74, 214, 416, 477, 595, 664, 699, 712, 743, 924, ...
193	118, 301, 486, 554, 637, 673, 736, ...
197	33, 236, 248, 262, 335, 363, 388, 593, 763, 813, ...
199	156, 362, 383, 401, 442, 630, 645, 689, 740, 921, 936, 944, 983, 988, ...
211	46, 57, 354, 478, 539, 581, 653, 829, 835, 977, ...
223	183, 186, 219, 221, 661, 749, 905, 914, ...
227	72, 136, 235, 240, 251, 322, 350, 500, 523, 556, 577, 671, 688, 743, 967, ...
229	606, 725, 754, 858, 950, ...
233	602, ...
239	223, 260, 367, 474, 564, 862, ...
241	115, 163, 223, 265, 270, 330, 689, 849, ...
251	37, 246, 267, 618, 933, ...
257	52, 78, 435, 459, 658, 709, ...
263	104, 131, 161, 476, 494, 563, 735, 842, 909, 987, ...
269	41, 48, 294, 493, 520, 812, 843, ...
271	6, 21, 186, 201, 222, 240, 586, 622, 624, ...
277	338, 473, 637, 940, 941, 978, ...
281	217, 446, 606, 618, 790, 864, ...
283	13, 197, 254, 288, 323, 374, 404, 943, ...
293	136, 388, 471, ...

===रिपुनिट प्राइम्स बेस b=== की सूची

सबसे छोटा प्रधान $p>2$ ऐसा है कि $R_{p}(b)$ प्रमुख हैं (के साथ शुरू करें $b=2$, 0 यदि ऐसा नहीं है $p$ मौजूद)

3, 3, 0, 3, 3, 5, 3, 0, 19, 17, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 25667, 19, 3, 3, 5, 5, 3, 0, 7 , 3, 5, 5, 5, 7, 0, 3, 13, 313, 0, 13, 3, 349, 5, 3, 1319, 5, 5, 19, 7, 127, 19, 0, 3, 4229 , 103, 11, 3, 17, 7, 3, 41, 3, 7, 7, 3, 5, 0, 19, 3, 19, 5, 3, 29, 3, 7, 5, 5, 3, 41 , 3, 3, 5, 3, 0, 23, 5, 17, 5, 11, 7, 61, 3, 3, 4421, 439, 7, 5, 7, 3343, 17, 13, 3, 0, . .. (sequence A128164 in the OEIS)

सबसे छोटा प्रधान $p>2$ ऐसा है कि $R_{p}(-b)$ प्रमुख हैं (के साथ शुरू करें $b=2$, 0 यदि ऐसा नहीं है $p$ मौजूद है, प्रश्न चिह्न यदि यह शब्द वर्तमान में अज्ञात है)

3, 3, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 5, 5, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 3, 17, 5, 3, 3, 11, 7, 3, 11 , 0, 3, 7, 139, 109, 0, 5, 3, 11, 31, 5, 5, 3, 53, 17, 3, 5, 7, 103, 7, 5, 5, 7, 1153, 3 , 7, 21943, 7, 3, 37, 53, 3, 17, 3, 7, 11, 3, 0, 19, 7, 3, 757, 11, 3, 5, 3, 7, 13, 5, 3 , 37, 3, 3, 5, 3, 293, 19, 7, 167, 7, 7, 709, 13, 3, 3, 37, 89, 71, 43, 37, ?, 19, 7, 3, . .. (sequence A084742 in the OEIS)

$b$	numbers $n$ such that $R_{n}(b)$ is prime (some large terms are only corresponding to probable primes, these $n$ are checked up to 100000)	OEIS sequence
−50	1153, 26903, 56597, ...	A309413
−49	7, 19, 37, 83, 1481, 12527, 20149, ...	A237052
−48	2*, 5, 17, 131, 84589, ...	A236530
−47	5, 19, 23, 79, 1783, 7681, ...	A236167
−46	7, 23, 59, 71, 107, 223, 331, 2207, 6841, 94841, ...	A235683
−45	103, 157, 37159, ...	A309412
−44	2*, 7, 41233, ...	A309411
−43	5, 7, 19, 251, 277, 383, 503, 3019, 4517, 9967, 29573, ...	A231865
−42	2*, 3, 709, 1637, 17911, 127609, 172663, ...	A231604
−41	17, 691, 113749, ...	A309410
−40	53, 67, 1217, 5867, 6143, 11681, 29959, ...	A229663
−39	3, 13, 149, 15377, ...	A230036
−38	2*, 5, 167, 1063, 1597, 2749, 3373, 13691, 83891, 131591, ...	A229524
−37	5, 7, 2707, 163193, ...	A309409
−36	31, 191, 257, 367, 3061, 110503, ...	A229145
−35	11, 13, 79, 127, 503, 617, 709, 857, 1499, 3823, 135623, ...	A185240
−34	3, 294277, ...
−33	5, 67, 157, 12211, 313553, ...	A185230
−32	2* (no others)
−31	109, 461, 1061, 50777, ...	A126856
−30	2*, 139, 173, 547, 829, 2087, 2719, 3109, 10159, 56543, 80599, ...	A071382
−29	7, 112153, 151153, ...	A291906
−28	3, 19, 373, 419, 491, 1031, 83497, ...	A071381
−27	(none)
−26	11, 109, 227, 277, 347, 857, 2297, 9043, ...	A071380
−25	3, 7, 23, 29, 59, 1249, 1709, 1823, 1931, 3433, 8863, 43201, 78707, ...	A057191
−24	2*, 7, 11, 19, 2207, 2477, 4951, ...	A057190
−23	11, 13, 67, 109, 331, 587, 24071, 29881, 44053, ...	A057189
−22	3, 5, 13, 43, 79, 101, 107, 227, 353, 7393, 50287, ...	A057188
−21	3, 5, 7, 13, 37, 347, 17597, 59183, 80761, 210599, 394579, ...	A057187
−20	2*, 5, 79, 89, 709, 797, 1163, 6971, 140053, 177967, 393257, ...	A057186
−19	17, 37, 157, 163, 631, 7351, 26183, 30713, 41201, 77951, 476929, ...	A057185
−18	2*, 3, 7, 23, 73, 733, 941, 1097, 1933, 4651, 481147, ...	A057184
−17	7, 17, 23, 47, 967, 6653, 8297, 41221, 113621, 233689, 348259, ...	A057183
−16	3, 5, 7, 23, 37, 89, 149, 173, 251, 307, 317, 30197, 1025393, ...	A057182
−15	3, 7, 29, 1091, 2423, 54449, 67489, 551927, ...	A057181
−14	2*, 7, 53, 503, 1229, 22637, 1091401, ...	A057180
−13	3, 11, 17, 19, 919, 1151, 2791, 9323, 56333, 1199467, ...	A057179
−12	2*, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, 495953, ...	A057178
−11	5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001, 2264611...	A057177
−10	5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, 1600787, ...	A001562
−9	3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393, 860029, ...	A057175
−8	2* (no others)
−7	3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653, 1178033, ...	A057173
−6	2*, 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337, 1313371, ...	A057172
−5	5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429, 1856147, ...	A057171
−4	2*, 3 (no others)
−3	2*, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897, 1205459, 1896463, 2533963, ...	A007658
−2	3, 4*, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, ..., 13347311, 13372531, 15135397, ...	A000978
2	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, ..., 74207281, ..., 77232917, ..., 82589933, ...	A000043
3	3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, 2215303, 3598867, ...	A028491
4	2 (no others)
5	3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, 3300593, ...	A004061
6	2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, 1365019, ...	A004062
7	5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ...	A004063
8	3 (no others)
9	(none)
10	2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ..., 5794777, ...	A004023
11	17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ...	A005808
12	2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ...	A004064
13	5, 7, 137, 283, 883, 991, 1021, 1193, 3671, 18743, 31751, 101089, 1503503, ...	A016054
14	3, 7, 19, 31, 41, 2687, 19697, 59693, 67421, 441697, ...	A006032
15	3, 43, 73, 487, 2579, 8741, 37441, 89009, 505117, 639833, ...	A006033
16	2 (no others)
17	3, 5, 7, 11, 47, 71, 419, 4799, 35149, 54919, 74509, 1990523, ...	A006034
18	2, 25667, 28807, 142031, 157051, 180181, 414269, ...	A133857
19	19, 31, 47, 59, 61, 107, 337, 1061, 9511, 22051, 209359, ...	A006035
20	3, 11, 17, 1487, 31013, 48859, 61403, 472709, 984349, ...	A127995
21	3, 11, 17, 43, 271, 156217, 328129, ...	A127996
22	2, 5, 79, 101, 359, 857, 4463, 9029, 27823, ...	A127997
23	5, 3181, 61441, 91943, 121949, ...	A204940
24	3, 5, 19, 53, 71, 653, 661, 10343, 49307, 115597, 152783, ...	A127998
25	(none)
26	7, 43, 347, 12421, 12473, 26717, ...	A127999
27	3 (no others)
28	2, 5, 17, 457, 1423, 115877, ...	A128000
29	5, 151, 3719, 49211, 77237, ...	A181979
30	2, 5, 11, 163, 569, 1789, 8447, 72871, 78857, 82883, ...	A098438
31	7, 17, 31, 5581, 9973, 101111, 535571, ...	A128002
32	(none)
33	3, 197, 3581, 6871, 183661, ...	A209120
34	13, 1493, 5851, 6379, 125101, ...	A185073
35	313, 1297, 568453, ...
36	2 (no others)
37	13, 71, 181, 251, 463, 521, 7321, 36473, 48157, 87421, 168527, 249341, ...	A128003
38	3, 7, 401, 449, 109037, ...	A128004
39	349, 631, 4493, 16633, 36341, ...	A181987
40	2, 5, 7, 19, 23, 29, 541, 751, 1277, ...	A128005
41	3, 83, 269, 409, 1759, 11731, ...	A239637
42	2, 1319, 337081, ...
43	5, 13, 6277, 26777, 27299, 40031, 44773, ...	A240765
44	5, 31, 167, 100511, ...	A294722
45	19, 53, 167, 3319, 11257, 34351, 216551, ...	A242797
46	2, 7, 19, 67, 211, 433, 2437, 2719, 19531, ...	A243279
47	127, 18013, 39623, ...	A267375
48	19, 269, 349, 383, 1303, 15031, 200443, ...	A245237
49	(none)
50	3, 5, 127, 139, 347, 661, 2203, 6521, 210319, ...	A245442

^* ऋणात्मक आधार और यहां तक ​​कि n वाले पुनरावर्ती ऋणात्मक होते हैं। यदि उनका निरपेक्ष मान अभाज्य है तो उन्हें ऊपर शामिल किया जाता है और एक तारांकन चिह्न के साथ चिह्नित किया जाता है। वे संबंधित OEIS अनुक्रमों में शामिल नहीं हैं।

अधिक जानकारी के लिए देखें।

सामान्यीकृत पुनरावर्तक संख्याओं का बीजगणित गुणनखंड

यदि b एक पूर्ण शक्ति है (m के रूप में लिखा जा सकता हैⁿ, m, n पूर्णांकों के साथ, n > 1) 1 से भिन्न है, तो आधार-b में अधिकतम एक पुनरावर्तन होता है। यदि n एक प्रमुख शक्ति है (p के रूप में लिखा जा सकता है^r, p अभाज्य, r पूर्णांक, p, r >0) के साथ, तो आधार-b में सभी पुनरावर्तन R के अलावा अभाज्य नहीं हैं_pऔर आर₂. आर_pया तो प्रधान या समग्र हो सकता है, पूर्व उदाहरण, b = -216, -128, 4, 8, 16, 27, 36, 100, 128, 256, आदि, बाद के उदाहरण, b = -243, -125, -64, -32, -27, -8, 9, 25, 32, 49, 81, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 289, आदि, और आर₂अभाज्य हो सकता है (जब p 2 से भिन्न होता है) केवल तभी जब b ऋणात्मक हो, −2 की शक्ति, उदाहरण के लिए, b = −8, −32, −128, −8192, आदि, वास्तव में, R₂समग्र भी हो सकता है, उदाहरण के लिए, b = -512, -2048, -32768, आदि। यदि n एक प्रमुख शक्ति नहीं है, तो कोई बेस-बी रिपुनिट प्राइम मौजूद नहीं है, उदाहरण के लिए, b = 64, 729 (n = के साथ) 6), बी = 1024 (एन = 10 के साथ), और बी = -1 या 0 (एन किसी भी प्राकृतिक संख्या के साथ)। एक अन्य विशेष स्थिति b = -4k है⁴, k धनात्मक पूर्णांक के साथ, जिसका ऑरिफ्यूलियन गुणनखंड है, उदाहरण के लिए, b = −4 (k = 1 के साथ, फिर R₂और आर₃अभाज्य हैं), और b = −64, −324, −1024, −2500, −5184, ... (k = 2, 3, 4, 5, 6, ... के साथ), फिर कोई आधार-b पुनरावर्तन नहीं प्राइम मौजूद है। यह भी अनुमान लगाया गया है कि जब b न तो पूर्ण शक्ति है और न ही -4k है⁴ k धनात्मक पूर्णांक के साथ, तो कई बेस-बी रिपुनिट प्राइम्स अनंत हैं।

सामान्यीकृत रिपुनिट अनुमान

सामान्यीकृत रिपुनिट प्राइम्स से संबंधित एक अनुमान: (अनुमान भविष्यवाणी करता है कि अगला सामान्यीकृत मेर्सन प्राइम कहां है, यदि अनुमान सत्य है, तो सभी आधारों के लिए असीम रूप से कई पुनरावर्ती प्राइम हैं $b$)

किसी पूर्णांक के लिए $b$, जो शर्तों को पूरा करता है:

1. $|b|>1$.
2. $b$ पूर्ण शक्ति नहीं है। (कितने समय से $b$ एक उत्तम है $r$वें शक्ति, यह दिखाया जा सकता है कि अधिक से अधिक एक है $n$ मूल्य ऐसा है ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ प्रमुख है, और यह $n$ मूल्य है $r$ खुद या nth की जड़ $r$)
3. $b$ रूप में नहीं है $-4k^{4}$. (यदि ऐसा है, तो संख्या में औरिफ्यूलियन गुणनखंड है)

प्रपत्र के पुनरावर्तक primes को सामान्यीकृत किया है

$R_{p}(b)={\frac {b^{p}-1}{b-1}}$

प्रधान के लिए $p$, अभाज्य संख्याएँ सर्वोत्तम फ़िट रेखा के निकट वितरित की जाएँगी

$Y=G\cdot \log _{|b|}\left(\log _{|b|}\left(R_{(b)}(n)\right)\right)+C,$

जहां सीमा $n\rightarrow \infty$, $G={\frac {1}{e^{\gamma }}}=0.561459483566...$ और लगभग हैं

$\left(\log _{e}(N)+m\cdot \log _{e}(2)\cdot \log _{e}{\big (}\log _{e}(N){\big )}+{\frac {1}{\sqrt {N}}}-\delta \right)\cdot {\frac {e^{\gamma }}{\log _{e}(|b|)}}$

बेस-बी रीपुनिट प्राइम एन से कम है।

• $e$ ई (गणितीय स्थिरांक) है।
• $\gamma$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।
• $\log _{|b|}$ आधार (घातांक) में लघुगणक है $|b|$
• $R_{(b)}(n)$ है $n$बेसब में वें सामान्यीकृत रिपुनिट प्राइम (प्राइम पी के साथ)
• $C$ एक डेटा फ़िट स्थिरांक है जो साथ बदलता रहता है $b$.
• $\delta =1$ अगर $b>0$, $\delta =1.6$ अगर $b<0$.
• $m$ सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या है जैसे कि $-b$ एक है $2^{m-1}$वें शक्ति।

हमारे पास निम्नलिखित 3 गुण भी हैं:

1. फॉर्म की अभाज्य संख्याओं की संख्या ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ (प्राइम के साथ $p$) से कम या बराबर $n$ के बारे में है $e^{\gamma }\cdot \log _{|b|}{\big (}\log _{|b|}(n){\big )}$.
2. प्रपत्र की अभाज्य संख्याओं की अपेक्षित संख्या ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ प्रधान के साथ $p$ बीच में $n$ और $|b|\cdot n$ के बारे में है $e^{\gamma }$.
3. संभावना है कि प्रपत्र की संख्या ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ प्रधान है (अभाज्य के लिए $p$) के बारे में है ${\frac {e^{\gamma }}{p\cdot \log _{e}(|b|)}}$.

इतिहास

हालाँकि वे तब उस नाम से नहीं जाने जाते थे, उन्नीसवीं शताब्दी के दौरान बेस -10 में पुनरावर्तियों का अध्ययन कई गणितज्ञों द्वारा दशमलव को दोहराने के चक्रीय पैटर्न का पता लगाने और भविष्यवाणी करने के प्रयास में किया गया था। यह बहुत पहले पाया गया था कि 5 से अधिक किसी भी अभाज्य p के लिए, 1/p के दशमलव विस्तार का दोहराव दशमलव सबसे छोटी पुनरावर्तक संख्या की लंबाई के बराबर होता है जो p से विभाज्य है। 60,000 तक की अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रम की अवधि की सारणियाँ 1860 तक प्रकाशित हो चुकी थीं और ऐसे गणितज्ञों द्वारा पूर्णांक गुणनखंडन की अनुमति दी गई थी, जैसे कि R तक के सभी पुनर्पुंजों का पुन: उपयोग₁₆और कई बड़े। 1880 तक, यहां तक ​​कि आर₁₇आर के लिए₃₆कारक हो गया थाऔर यह उत्सुक है कि, हालांकि एडौर्ड लुकास ने तीन मिलियन से नीचे कोई अभाज्य नहीं दिखाया था, जिसकी अवधि 19 (संख्या) थी, लेकिन बीसवीं शताब्दी की शुरुआत तक किसी भी पुनरावृत्ति का परीक्षण करने का कोई प्रयास नहीं किया गया था। अमेरिकी गणितज्ञ ऑस्कर हॉपी ने आर₁₉1916 में प्रधान बनने के लिए और लेह्मर और क्रैचिक ने स्वतंत्र रूप से आर₂₃1929 में प्रधानमंत्री बनना।

1960 के दशक तक रिपुनिट के अध्ययन में और प्रगति नहीं हुई, जब कंप्यूटर ने रिपुनिट के कई नए कारकों को खोजने की अनुमति दी और प्राइम पीरियड्स के पहले के टेबल में अंतराल को ठीक किया। आर₃₁₇1966 के लगभग एक संभावित प्राइम पाया गया था और ग्यारह साल बाद प्राइम साबित हुआ था, जब आर₁₀₃₁दस हजार से कम अंकों के साथ एकमात्र और संभावित प्राइम रिपुनिट दिखाया गया था। यह 1986 में प्राइम साबित हुआ था, लेकिन अगले दशक में और प्राइम रिपुनिट की खोज लगातार विफल रही। हालांकि, सामान्यीकृत रिपुनिट के क्षेत्र में एक प्रमुख पक्ष-विकास था, जिसने बड़ी संख्या में नए प्राइम्स और संभावित प्राइम्स का उत्पादन किया।

1999 के बाद से, संभवतः चार और प्राइम रिपुनिट पाए गए हैं, लेकिन यह संभावना नहीं है कि उनमें से कोई भी अपने विशाल आकार के कारण निकट भविष्य में प्रमुख साबित होगा।

कनिंघम परियोजना 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, और 12 के आधार पर (अन्य संख्याओं के बीच) के पूर्णांक गुणनखंडों को दर्ज करने का प्रयास करती है।

डेमोलो नंबर

डी. आर. कापरेकर ने डेमोलो संख्या को बाएँ, मध्य और दाएँ भाग के संयोजन के रूप में परिभाषित किया है, जहाँ बाएँ और दाएँ भाग की लंबाई समान होनी चाहिए (बाईं ओर एक संभावित अग्रणी शून्य तक) और एक रेपडिजिट संख्या तक जोड़ना चाहिए, और मध्य भाग में इस दोहराए गए अंक की कोई अतिरिक्त संख्या हो सकती है। उनका नाम तत्कालीन G.I.P पर बॉम्बे से 30 मील दूर डेमलो रेलवे स्टेशन (अब डोंबिविली कहा जाता है) के नाम पर रखा गया है। रेलवे, जहां कापरेकर ने इनकी जांच शुरू की। वह 1, 121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321 के रूप की वंडरफुल डेमोलो संख्याओं को बुलाता है। तथ्य यह है कि ये रिपुनिट के वर्ग हैं, कुछ लेखकों ने डेमोलो संख्याओं को इनका अनंत अनुक्रम कहा है, 1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., (sequence A002477 in the OEIS), हालांकि कोई यह जांच सकता है कि ये p = 10, 19, 28, ... के लिए डेमलो संख्याएं नहीं हैं।

यह भी देखें

• सभी एक बहुपद — एक और सामान्यीकरण
• गोरमाघटघ अनुमान
• दोहराए जाने वाले दशमलव
• रेपडिजिट
• वैगस्टाफ प्राइम - नकारात्मक आधार के साथ रिपुनिट प्राइम्स के रूप में सोचा जा सकता है $b=-2$

संदर्भ

• Beiler, Albert H. (2013) [1964], Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains, Dover Recreational Math (2nd Revised ed.), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-21096-4
• Dickson, Leonard Eugene; Cresse, G.H. (1999), History of the Theory of Numbers, Volume I: Divisibility and primality (2nd Reprinted ed.), Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-1934-0
• Francis, Richard L. (1988), "Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers", The College Mathematics Journal, 19 (3): 240–246, doi:10.1080/07468342.1988.11973120
• Gunjikar, K. R.; Kaprekar, D. R. (1939), "Theory of Demlo numbers" (PDF), Journal of the University of Bombay, VIII (3): 3–9
• Kaprekar, D. R. (1938a), "On Wonderful Demlo numbers", The Mathematics Student, 6: 68
• Kaprekar, D. R. (1938b), "Demlo numbers", J. Phys. Sci. Univ. Bombay, VII (3)
• Kaprekar, D. R. (1948), Demlo numbers, Devlali, India: Khareswada
• Ribenboim, Paulo (1996-02-02), The New Book of Prime Number Records, Computers and Medicine (3rd ed.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
• Yates, Samuel (1982), Repunits and repetends, FL: Delray Beach, ISBN 978-0-9608652-0-8

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Repunit". MathWorld.
• The main tables of the Cunningham project.
• Repunit at The Prime Pages by Chris Caldwell.
• Repunits and their prime factors at World!Of Numbers.
• Prime generalized repunits of at least 1000 decimal digits by Andy Steward
• Repunit Primes Project Giovanni Di Maria's repunit primes page.
• Smallest odd prime p such that (b^p-1)/(b-1) and (b^p+1)/(b+1) is prime for bases 2<=b<=1024
• Factorization of repunit numbers
• Generalized repunit primes in base -50 to 50