पूरी तरह से कटा हुआ स्थान

टोपोलॉजी और गणित की संबंधित शाखाओं में, एक पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किया गया स्थान एक टोपोलॉजिकल स्पेस होता है जिसमें जुड़ा हुआ स्थान सबसेट के रूप में केवल सिंगलटन (गणित) होता है। प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस में, सिंगलटन (और, जब इसे कनेक्टेड माना जाता है, तो खाली सेट) जुड़े होते हैं; पूरी तरह से असंबद्ध स्थान में, ये केवल जुड़े हुए उपसमुच्चय हैं।

पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किए गए स्थान का एक महत्वपूर्ण उदाहरण कैंटर सेट है, जो P-adic_number#p-adic_integers|p-adic पूर्णांकों के सेट के लिए होम्योमॉर्फिक है। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाने वाला एक अन्य उदाहरण क्षेत्र है $Q p$ पी-एडिक संख्या|पी-एडिक संख्या।

परिभाषा

एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ यदि कनेक्टेड स्थान अंदर है तो पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गया है $X$ एक-बिंदु सेट हैं.^[1]^[2] अनुरूप रूप से, एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ यदि सभी कनेक्टेड स्पेस#पथ कनेक्टिविटी|पथ-घटक अंदर हैं, तो यह पूरी तरह से पथ-डिस्कनेक्ट हो गया है $X$ एक-बिंदु सेट हैं.

एक और निकट संबंधी धारणा पूरी तरह से अलग किए गए स्थान की है, यानी एक ऐसा स्थान जहां अर्धघटक एकल होते हैं। यानी एक टोपोलॉजिकल स्पेस

 $X$  पूरी तरह से अलग स्थान है यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए  $x\in X$ , सभी क्लोपेन पड़ोस (गणित) का प्रतिच्छेदन  $x$  सिंगलटन है  $\{x\}$ . समान रूप से, अलग-अलग बिंदुओं की प्रत्येक जोड़ी के लिए  $x,y\in X$ , असंबद्ध खुले पड़ोस की एक जोड़ी है   $U,V$  का  $x,y$  ऐसा है कि  $X=U\sqcup V$ .

प्रत्येक पूरी तरह से अलग किया गया स्थान स्पष्ट रूप से पूरी तरह से अलग हो गया है, लेकिन मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए भी इसका विपरीत गलत है। उदाहरण के लिए, लीजिए $X$ कैंटर की टीपी होना, जो कि शीर्ष हटा दिया गया नैस्टर-कुराटोव्स्की प्रशंसक है। तब $X$ पूरी तरह से असंबद्ध है लेकिन इसके अर्धघटक एकल नहीं हैं। स्थानीय रूप स्थानीय रूप से सघन हॉसडॉर्फ स्थानों के लिए दो धारणाएं (पूरी तरह से अलग और पूरी तरह से अलग) बराबर हैं।

दुर्भाग्य से साहित्य में (उदाहरण के लिए ^[3]), पूरी तरह से अलग किए गए स्थानों को कभी-कभी आनुवंशिक रूप से डिस्कनेक्टेड कहा जाता है, जबकि पूरी तरह से डिस्कनेक्टेड शब्दावली का उपयोग पूरी तरह से अलग किए गए स्थानों के लिए किया जाता है।

उदाहरण

पूरी तरह से असंबद्ध स्थानों के उदाहरण निम्नलिखित हैं:

अलग-अलग स्थान
तर्कसंगत संख्याएँ
अपरिमेय संख्याएँ
पी-एडिक संख्या; आम तौर पर, सभी अनंत समूह पूरी तरह से अलग हो जाते हैं।
कैंटर सेट और कैंटर स्पेस
बेयर स्पेस (सेट सिद्धांत)
सोर्गेनफ्रे रेखा
छोटे आगमनात्मक आयाम 0 का प्रत्येक हॉसडॉर्फ स्थान पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गया है
एर्दो का स्थान ℓ² $\,\cap \,\mathbb {Q} ^{\omega }$ एक पूरी तरह से अलग किया गया हॉसडॉर्फ़ स्थान है जिसमें छोटा आगमनात्मक आयाम 0 नहीं है।
अत्यंत विच्छेदित स्थान हॉसडॉर्फ स्थान
पत्थर की जगहें
नास्टर-कुराटोव्स्की पंखा एक जुड़े हुए स्थान का एक उदाहरण प्रदान करता है, जैसे कि एक बिंदु को हटाने से पूरी तरह से अलग किया गया स्थान उत्पन्न होता है।

गुण

पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किए गए स्थानों के उपस्थान (टोपोलॉजी) , उत्पाद टोपोलॉजी और असंयुक्त संघ (टोपोलॉजी) पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गए हैं।
पूरी तरह से अलग किए गए स्थान T1 स्थान|T हैं₁ रिक्त स्थान, चूँकि सिंगलटन बंद हैं।
पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किए गए स्थानों की निरंतर छवियां आवश्यक रूप से पूरी तरह से डिस्कनेक्ट नहीं होती हैं, वास्तव में, प्रत्येक सघन स्थान मीट्रिक स्पेस कैंटर सेट की एक सतत छवि है।
स्थानीय रूप स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्थान में छोटे आगमनात्मक आयाम 0 होते हैं यदि और केवल अगर यह पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो जाता है।
प्रत्येक पूरी तरह से अलग किया गया कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्थान अलग-अलग स्थानों के गणनीय उत्पाद के सबसेट के लिए होमियोमॉर्फिक है।
सामान्य तौर पर यह सच नहीं है कि पूरी तरह से असंबद्ध स्थान में प्रत्येक खुला सेट भी बंद होता है।
सामान्य तौर पर यह सच नहीं है कि पूरी तरह से अलग किए गए स्थान में प्रत्येक खुले सेट का बंद होना खुला है, यानी हर पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किया गया हॉसडॉर्फ स्थान अत्यधिक डिस्कनेक्टेड स्थान नहीं है।

किसी दिए गए स्थान का पूर्णतया असंबद्ध भागफल स्थान बनाना

होने देना $X$ एक मनमाना टोपोलॉजिकल स्पेस बनें। होने देना $x\sim y$ अगर और केवल अगर $y\in \mathrm {conn} (x)$ (कहाँ $\mathrm {conn} (x)$ सबसे बड़े जुड़े हुए उपसमुच्चय को दर्शाता है $x$ ). यह स्पष्टतः एक तुल्यता संबंध है जिसके तुल्यता वर्ग जुड़े हुए घटक हैं $X$ . प्रदान करना $X/{\sim }$ भागफल टोपोलॉजी के साथ, यानी मानचित्र बनाने वाली बेहतरीन टोपोलॉजी $m:x\mapsto \mathrm {conn} (x)$ निरंतर। थोड़े से प्रयास से हम इसे देख सकते हैं $X/{\sim }$ पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गया है.

वास्तव में यह स्थान न केवल कुछ पूरी तरह से असंबद्ध भागफल है बल्कि एक निश्चित अर्थ में सबसे बड़ा है: निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण धारण करता है: किसी भी पूरी तरह से असंबद्ध स्थान के लिए $Y$ और कोई भी सतत मानचित्र $f:X\rightarrow Y$ , वहाँ एक अद्वितीय सतत मानचित्र मौजूद है ${\breve {f}}:(X/\sim )\rightarrow Y$ साथ $f={\breve {f}}\circ m$ .

यह भी देखें

अत्यधिक विच्छेदित स्थान
पूरी तरह से असंबद्ध समूह

उद्धरण

↑ Rudin 1991, p. 395 Appendix A7.
↑ Munkres 2000, pp. 152.
↑ Engelking, Ryszard (1989). सामान्य टोपोलॉजी. Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics. ISBN 3-88538-006-4.

संदर्भ

Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Willard, Stephen (2004), General topology, Dover Publications, ISBN 978-0-486-43479-7, MR 2048350 (reprint of the 1970 original, MR0264581)

[FOOTNOTERudin1991395_Appendix_A7-1] Rudin 1991, p. 395 Appendix A7.

[FOOTNOTEMunkres2000152-2] Munkres 2000, pp. 152.

[3] Engelking, Ryszard (1989). सामान्य टोपोलॉजी. Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics. ISBN 3-88538-006-4.

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