पूर्ण चतुर्भुज

एक पूर्ण चतुर्भुज (बाईं ओर) और एक पूर्ण चतुर्भुज (दाईं ओर)।

गणित में, विशेष रूप से घटना ज्यामिति में और विशेष रूप से प्रक्षेपी ज्यामिति में, एक पूर्ण चतुर्भुज ज्यामितीय वस्तुओं की एक प्रणाली है जिसमें एक विमान (ज्यामिति) में चार बिंदु (ज्यामिति) होते हैं, जिनमें से कोई भी तीन संरेखता नहीं है, और छः रेखा ( ज्यामिति) छह बिंदुओं को जोड़ती है। द्वैत (प्रक्षेपी ज्यामिति), एक पूर्ण चतुर्भुज चार रेखाओं की एक प्रणाली है, जिनमें से कोई भी तीन एक ही बिंदु से नहीं गुजरती हैं, और इन रेखाओं के रेखा-रेखा चौराहे के छह बिंदु हैं। द्वारा पूर्ण चतुर्भुज को टेट्रास्टिगम कहा जाता था Lachlan (1893), और पूर्ण चतुर्भुज को टेट्राग्राम कहा जाता था; वे शब्द कभी-कभी अभी भी उपयोग किए जाते हैं।

विकर्ण

एक पूर्ण चतुर्भुज की छह पंक्तियाँ तीन अतिरिक्त बिंदुओं को बनाने के लिए जोड़े में मिलती हैं जिन्हें चतुर्भुज के विकर्ण बिंदु कहा जाता है। इसी तरह, एक पूर्ण चतुर्भुज के छह बिंदुओं में से तीन बिंदुओं के जोड़े हैं जो पहले से ही रेखाओं से जुड़े नहीं हैं; इन जोड़ियों को जोड़ने वाले रेखाखंडों को विकर्ण कहा जाता है। यूक्लिडियन विमान में बिंदुओं और रेखाओं के लिए, विकर्ण बिंदु एक रेखा पर स्थित नहीं हो सकते हैं, और विकर्णों में ट्रिपल क्रॉसिंग का एक बिंदु नहीं हो सकता है। फ़ानो विमान की खोज के कारण, एक परिमित ज्यामिति जिसमें एक पूर्ण चतुष्कोण के विकर्ण बिंदु संरेख होते हैं, कुछ लेखकों ने फ़ानो के स्वयंसिद्ध के साथ प्रक्षेपी ज्यामिति के स्वयंसिद्धों को संवर्धित किया है कि विकर्ण बिंदु संरेख नहीं हैं, जबकि अन्य कम प्रतिबंधात्मक रहे हैं।

G. B. Halsted द्वारा एक पूर्ण चतुर्भुज के भागों के लिए अनुबंधित भावों का एक सेट पेश किया गया था: वह चतुर्भुज बिंदुओं के शीर्षों को कहते हैं, और विकर्ण बिंदुओं को वह कोडॉट्स कहते हैं। प्रक्षेप्य स्थान की रेखाओं को स्ट्रेट्स कहा जाता है, और चतुष्कोण में उन्हें कनेक्टर कहा जाता है। हालस्टेड द्वारा कॉक्सेटर की विकर्ण रेखाओं को विपरीत कनेक्टर कहा जाता है। विपरीत कनेक्टर एक कोडॉट पर पार करते हैं। पूर्ण चतुर्भुज का विन्यास एक 'टेट्रास्टिम' है।

प्रक्षेप्य गुण

KLMN एक पूर्ण चतुष्कोण है;
D, A और B के संबंध में C का प्रक्षेपी हार्मोनिक संयुग्म है।

बिंदुओं और रेखाओं की प्रणाली के रूप में जिसमें सभी बिंदु समान संख्या वाली रेखाओं के होते हैं और सभी पंक्तियों में समान संख्या में बिंदु होते हैं, पूर्ण चतुर्भुज और पूर्ण चतुर्भुज दोनों प्रक्षेपी विन्यास बनाते हैं; प्रक्षेपी विन्यासों के अंकन में, पूर्ण चतुर्भुज को इस प्रकार लिखा जाता है (4₃6₂) और पूरा चतुर्भुज लिखा है (6₂4₃), जहां इस संकेतन में संख्याएं बिंदुओं की संख्या, रेखाओं के प्रति बिंदु, रेखाओं और विन्यास की प्रति पंक्ति बिंदुओं को संदर्भित करती हैं।

एक पूर्ण चतुर्भुज का द्वैत (प्रक्षेपी ज्यामिति) एक पूर्ण चतुर्भुज है, और इसके विपरीत। किसी भी दो पूर्ण चतुष्कोणों, या किसी भी दो पूर्ण चतुर्भुजों के लिए, दो विन्यासों में से एक को दूसरे में लेते हुए एक अद्वितीय प्रक्षेप्य परिवर्तन होता है। कार्ल वॉन स्टॉड्ट ने 1847 में पूर्ण चतुष्कोण के साथ गणितीय नींव में सुधार किया जब उन्होंने नोट किया कि एक हार्मोनिक गुण चतुर्भुज के सहवर्ती पर आधारित हो सकता है: जब चतुष्कोण के विपरीत पक्षों की प्रत्येक जोड़ी एक रेखा पर प्रतिच्छेद करती है, तो विकर्ण प्रक्षेप्य पर रेखा को काटते हैं। हार्मोनिक संयुग्म पदों। चतुर्भुज की भुजाओं और विकर्णों से निकलने वाली रेखा पर चार बिंदुओं को हार्मोनिक रेंज कहा जाता है। परिप्रेक्ष्य और प्रोजेक्टिविटी के माध्यम से, हार्मोनिक संपत्ति स्थिर है। आधुनिक ज्यामिति और बीजगणित के विकास ने मारियो पियरी और फेलिक्स क्लेन पर वॉन स्टॉड के प्रभाव को नोट किया।

यूक्लिडियन गुण

यूक्लिडियन विमान में, एक पूर्ण चतुर्भुज की चार रेखाओं में समानांतर रेखाओं का कोई भी युग्म शामिल नहीं होना चाहिए, ताकि प्रत्येक जोड़ी रेखाओं का एक क्रॉसिंग बिंदु हो।

Wells (1991) संपूर्ण चतुर्भुज के कई अतिरिक्त गुणों का वर्णन करता है जिसमें विशुद्ध रूप से प्रक्षेपी होने के बजाय यूक्लिडियन विमान के मीट्रिक गुण शामिल हैं। विकर्णों के मध्यबिंदु संरेख होते हैं, और (जैसा कि आइजैक न्यूटन द्वारा सिद्ध किया गया है) एक शंकु के केंद्र के साथ भी संरेख होते हैं जो चतुर्भुज की सभी चार रेखाओं के लिए स्पर्शरेखा है। चतुर्भुज की कोई भी तीन रेखाएँ त्रिभुज की भुजाएँ बनाती हैं; इस तरह से बने चार त्रिभुजों के लंबकेन्द्र एक दूसरी रेखा पर स्थित होते हैं, जो मध्यबिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा के लंब होती है। इन्हीं चार त्रिभुजों के परिवृत्त एक बिन्दु पर मिलते हैं। इसके अलावा, व्यास के रूप में विकर्ण वाले तीन वृत्त हलकों की एक सामान्य पेंसिल से संबंधित हैं जिसकी धुरी ऑर्थोसेंटर के माध्यम से रेखा है।

एक पूर्ण चतुर्भुज के त्रिभुजों का ध्रुवीय वृत्त (ज्यामिति) एक समाक्षीय वृत्त प्रणाली बनाता है।

यह भी देखें

• न्यूटन रेखा
• नौ-बिंदु शंकु
• चतुर्भुज

संदर्भ

• Coxeter, H. S. M. (1987). Projective Geometry, 2nd ed. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96532-7.
• Hartshorne, Robin (1967). Foundations of Projective Geometry. W. A. Benjamin. pp. 53–6.
• Lachlan, Robert (1893). An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry. London, New York: Macmillan and Co. Link from Cornell University Historical Math Monographs. See in particular tetrastigm, page 85, and tetragram, page 90.
• Wells, David (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin. pp. 35–36. ISBN 0-14-011813-6.

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बाहरी संबंध

• "Quadrangle, complete", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Bogomolny, Alexander. "The Complete Quadrilateral". Cut-the-Knot.
• Weisstein, Eric W. "Complete Quadrangle". MathWorld.