प्रतरूप

जुड़वां अभाज्य एक अभाज्य संख्या है जो किसी अन्य अभाज्य संख्या से या तो 2 कम है या 2 अधिक है - उदाहरण के लिए, जुड़वां अभाज्य जोड़ी का कोई भी सदस्य $(17, 19)$ या $(41, 43)$ . दूसरे शब्दों में, एक जुड़वां अभाज्य वह अभाज्य है जिसमें दो का अभाज्य अंतर होता है। कभी-कभी जुड़वां अभाज्य शब्द का प्रयोग जुड़वां अभाज्यों की जोड़ी के लिए किया जाता है; इसका एक वैकल्पिक नाम 'प्राइम ट्विन' या 'प्राइम गैप' है।

जैसे-जैसे कोई बड़ी श्रेणियों की जांच करता है, जुड़वां अभाज्य संख्याएं तेजी से दुर्लभ होती जाती हैं, साथ ही आसन्न अभाज्य संख्याओं के बीच अंतराल की सामान्य प्रवृत्ति को ध्यान में रखते हुए, जैसे-जैसे संख्याएं बड़ी होती जाती हैं, जुड़वां अभाज्य संख्याएं बड़ी होती जाती हैं। हालाँकि, यह अज्ञात है कि क्या असीम रूप से कई जुड़वां अभाज्य संख्याएँ (तथाकथित 'जुड़वा अभाज्य अनुमान') हैं या यदि कोई सबसे बड़ी जोड़ी है। महत्वपूर्ण खोज^[1] 2013 में यितांग झांग के काम के साथ-साथ जेम्स मेनार्ड (गणितज्ञ), टेरेंस ताओ और अन्य के काम ने गणितीय प्रमाण की दिशा में पर्याप्त प्रगति की है कि असीम रूप से कई जुड़वां अभाज्य हैं, लेकिन वर्तमान में यह अनसुलझा है।^[2]

Unsolved problem in mathematics:

Are there infinitely many twin primes?

(more unsolved problems in mathematics)

गुण

आमतौर पर जोड़ी $(2, 3)$ को जुड़वां अभाज्य संख्याओं का जोड़ा नहीं माना जाता है।^[3] चूँकि 2 एकमात्र समता (गणित) अभाज्य है, यह युग्म अभाज्य संख्याओं का एकमात्र युग्म है जिसमें एक का अंतर है; इस प्रकार जुड़वां अभाज्य अभाज्य किन्हीं अन्य दो अभाज्य अभाज्य संख्याओं के लिए यथासंभव निकट दूरी पर हैं।

पहले कई जुड़वां अभाज्य जोड़े हैं

(3, 5), (5, 7), (11, 13),

(17, 19), (29, 31), (41, 43),

(59, 61), (71, 73), (101, 103),

(107, 109), (137, 139), ...

OEIS: A077800.

पाँच एकमात्र अभाज्य है जो दो युग्मों से संबंधित है, क्योंकि प्रत्येक जुड़वां अभाज्य युग्म इससे बड़ा होता है $(3, 5)$ रूप का है $(6n-1,6n+1)$ किसी प्राकृतिक संख्या के लिए $n$ ; अर्थात्, दोनों अभाज्य संख्याओं के बीच की संख्या 6 का गुणज है।^[4] परिणामस्वरूप, जुड़वां अभाज्य संख्याओं (3 और 5 के अलावा) के किसी भी जोड़े का योग 12 से विभाज्य होता है।

ब्रून का प्रमेय

1915 में, विगो ब्रून ने दिखाया कि जुड़वां अभाज्य संख्याओं के गुणनात्मक व्युत्क्रम का योग अभिसरण श्रृंखला है।^[5] यह प्रसिद्ध परिणाम, जिसे ब्रून का प्रमेय कहा जाता है, ब्रून छलनी का पहला उपयोग था और इसने आधुनिक छलनी सिद्धांत के विकास को शुरू करने में मदद की। ब्रून के तर्क के आधुनिक संस्करण का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि जुड़वां अभाज्य संख्याओं की संख्या कम है $N$ बढ़ता नहीं है

{\frac {CN}{(\log N)^{2}}}

कुछ पूर्ण स्थिरांक के लिए $C$ > 0.^[6] वास्तव में, यह ऊपर से घिरा हुआ है

 ${\frac {8C_{2}N}{(\log N)^{2}}}\left[1+\operatorname {\mathcal {O}} \left({\frac {\log \log N}{\log N}}\right)\right],$

कहाँ $C_{2}$ जुड़वां अभाज्य स्थिरांक (2/3 से थोड़ा कम) है, #प्रथम हार्डी-लिटिलवुड अनुमान।^[7]

जुड़वां अभाज्य अनुमान

यह सवाल कि क्या अनगिनत जुड़वां अभाज्य संख्याओं का अस्तित्व है, कई वर्षों से संख्या सिद्धांत में एक बड़ी खुली समस्या रही है। यह जुड़वां अभाज्य अनुमान की सामग्री है, जो बताती है कि अनंत रूप से कई अभाज्य हैं $p$ ऐसा है कि $p + 2$ भी प्रधान है. 1849 में, अल्फोंस डी पोलिग्नैक ने प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए अधिक सामान्य अनुमान लगाया $k$ , अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं $p$ ऐसा है कि $p + 2 k$ भी प्रधान है.^[8]

case  $k$  = 1}डी पोलिग्नैक के अनुमान का 1 जुड़वां अभाज्य अनुमान है।

जुड़वां अभाज्य अनुमान का एक मजबूत रूप, हार्डी-लिटलवुड अनुमान (नीचे देखें), अभाज्य संख्या प्रमेय के समान जुड़वां अभाज्य संख्याओं के लिए एक वितरण कानून बताता है।

17 अप्रैल 2013 को, यितांग झांग ने कुछ पूर्णांक के लिए एक प्रमाण की घोषणा की $N$ यानी कि 70 मिलियन से कम, अभाज्य संख्याओं के अनंत जोड़े हैं जिनमें अंतर होता है $N$ .^[9] झांग का पेपर मई 2013 की शुरुआत में स्वीकार कर लिया गया था।^[10] टेरेंस ताओ ने बाद में झांग की सीमा को अनुकूलित करने के लिए एक पॉलीमैथ प्रोजेक्ट सहयोगात्मक प्रयास का प्रस्ताव रखा।^[11] झांग की घोषणा के एक साल बाद 14 अप्रैल 2014 तक, सीमा को घटाकर 246 कर दिया गया है।^[12] इन बेहतर सीमाओं की खोज एक अलग दृष्टिकोण का उपयोग करके की गई थी जो झांग की तुलना में सरल थी और जेम्स मेनार्ड (गणितज्ञ) और टेरेंस ताओ द्वारा स्वतंत्र रूप से खोजी गई थी। इस दूसरे दृष्टिकोण ने सबसे छोटे को भी सीमा दी $f (m)$ यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि चौड़ाई के अनंत अंतराल $f (m)$ कम से कम शामिल करें $m$ अभाज्य संख्याएँ। इसके अलावा (अगला भाग भी देखें) इलियट-हैलबर्स्टम अनुमान और उसके सामान्यीकृत रूप को मानते हुए, पॉलीमैथ प्रोजेक्ट विकी बताता है कि सीमा क्रमशः 12 और 6 है।^[12]

गोल्डबैक के अनुमान को मजबूत करने पर, यदि यह साबित हो जाता है, तो यह भी साबित हो जाएगा कि जुड़वां अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है, जैसा कि सीगल शून्य का अस्तित्व है।

अन्य प्रमेय जुड़वां अभाज्य अनुमान से कमजोर

1940 में, पॉल एर्डोस ने दिखाया कि एक गणितीय स्थिरांक है $c < 1$ और अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ $p$ ऐसा है कि $p' - p < c ln p$ कहाँ $p'$ इसके बाद अगले अभाज्य को दर्शाता है $p$ . इसका मतलब यह है कि हम ऐसे अनंत अंतराल पा सकते हैं जिनमें दो अभाज्य संख्याएँ हों $(p, p')$ जब तक हम इन अंतरालों को धीरे-धीरे आकार में बढ़ने देते हैं, जैसे-जैसे हम बड़े और बड़े अभाज्य संख्याओं की ओर बढ़ते हैं। यहां, धीरे-धीरे बढ़ने का मतलब है कि इन अंतरालों की लंबाई लघुगणकीय रूप से बढ़ सकती है। इस परिणाम में क्रमिक रूप से सुधार हुआ; 1986 में हेल्मुट मैयर ने वह स्थिरांक दिखाया $c < 0.25$ इस्तेमाल किया जा सकता है। 2004 में डेनियल गोल्डस्टन और केम येल्ड्रिम ने दिखाया कि स्थिरांक को और बेहतर बनाया जा सकता है $c = 0.085786...$ . 2005 में, डैनियल गोल्डस्टन, जानोस पिंट्ज़ और सेम येल्डिरिम|येल्ड्रिम ने इसकी स्थापना की $c$ को मनमाने ढंग से छोटा चुना जा सकता है,^[13]^[14] अर्थात।

\liminf _{n\to \infty }\left({\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\right)=0~.

दूसरी ओर, यह परिणाम इस बात से इनकार नहीं करता है कि ऐसे अनंत अंतराल नहीं हो सकते हैं जिनमें दो अभाज्य संख्याएँ हों, यदि हम केवल अंतरालों को आकार में बढ़ने की अनुमति देते हैं, उदाहरण के लिए, $c ln ln p$ .

इलियट-हैलबर्स्टम अनुमान या थोड़ा कमजोर संस्करण मानकर, वे यह दिखाने में सक्षम थे कि अनंत रूप से कई हैं $n$ ऐसा कि कम से कम दो $n$ , $n + 2$ , $n + 6$ , $n + 8$ , $n + 12$ , $n + 18$ , या $n + 20$ प्रमुख हैं. एक मजबूत परिकल्पना के तहत उन्होंने इसे अनगिनत लोगों के लिए दिखाया $n$ , कम से कम दो $n$ , $n + 2$ , $n + 4$ , और $n + 6$ प्रमुख हैं.

यितांग झांग का परिणाम,

\liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})<N~\mathrm {with} ~N=7\times 10^{7},

गोल्डस्टन-ग्राहम-पिंटज़-येल्ड्रिम परिणाम पर एक बड़ा सुधार है। झांग की सीमा के पॉलीमैथ प्रोजेक्ट अनुकूलन और मेनार्ड के काम ने सीमा को कम कर दिया है: निचली सीमा अधिकतम 246 है।^[15]^[16]

अनुमान

पहला हार्डी-लिटिलवुड अनुमान

हार्डी-लिटिलवुड अनुमान (जी.एच. हार्डी और जॉन एडेंसर लिटिलवुड के नाम पर) जुड़वां प्रधान अनुमान का एक सामान्यीकरण है। इसका संबंध अभाज्य संख्या प्रमेय के अनुरूप जुड़वां अभाज्य संख्याओं सहित अभाज्य नक्षत्रों के वितरण से है। होने देना $\pi _{2}(x)$ अभाज्य संख्याओं को निरूपित करें $p \leq x$ ऐसा है कि $p + 2$ भी प्रधान है. जुड़वां अभाज्य स्थिरांक को परिभाषित करें $C 2$ जैसा^[17]

C_{2}=\prod _{\textstyle {p\;\mathrm {prime,}  \atop p\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.660161815846869573927812110014\ldots .

(यहां उत्पाद सभी अभाज्य संख्याओं तक फैला हुआ है

p \geq 3

.) फिर पहले हार्डी-लिटलवुड अनुमान का एक विशेष मामला है

\pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{2}\int _{2}^{x}{\mathrm {d} t \over (\ln t)^{2}}

इस अर्थ में कि दो अभिव्यक्तियों का भागफल किसी फ़ंक्शन की सीमा 1 है

x

अनंत तक पहुंचता है।^[6](दूसरा ~ अनुमान का हिस्सा नहीं है और भागों द्वारा एकीकरण द्वारा सिद्ध होता है।)

ऐसा मानकर अनुमान को उचित ठहराया जा सकता है (लेकिन सिद्ध नहीं किया जा सकता)। ${\tfrac {1}{\ln t}}$ अभाज्य वितरण के घनत्व फलन का वर्णन करता है। यह धारणा, जो अभाज्य संख्या प्रमेय द्वारा सुझाई गई है, जुड़वां अभाज्य अनुमान को दर्शाती है, जैसा कि सूत्र में दिखाया गया है $\pi _{2}(x)$ ऊपर।

प्राइम के-ट्यूपल|प्राइम पर पूरी तरह से सामान्य पहला हार्डी-लिटलवुड अनुमान $k$ -ट्यूपल्स (यहां नहीं दिया गया) का तात्पर्य है कि दूसरा हार्डी-लिटलवुड अनुमान|दूसरा हार्डी-लिटलवुड अनुमान गलत है।

इस अनुमान को डिक्सन के अनुमान द्वारा विस्तारित किया गया है।

पोलिग्नैक का अनुमान

1849 से पोलिग्नैक के अनुमान में कहा गया है कि प्रत्येक सकारात्मक सम पूर्णांक के लिए $k$ , वहाँ अनंत रूप से कई लगातार अभाज्य जोड़े हैं $p$ और $p'$ ऐसा है कि $p' - p = k$ (अर्थात् आकार के अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य अंतराल हैं $k$ ). मामला $k = 2$ जुड़वां अभाज्य अनुमान है। किसी भी विशिष्ट मूल्य के लिए अनुमान अभी तक सिद्ध या अस्वीकृत नहीं किया गया है $k$ , लेकिन झांग का परिणाम साबित करता है कि यह कम से कम एक (वर्तमान में अज्ञात) मान के लिए सत्य है $k$ . वास्तव में, यदि ऐसा है $k$ तब किसी भी धनात्मक सम प्राकृत संख्या का अस्तित्व नहीं था $N$ अधिक से अधिक संख्या में हैं $n$ ऐसा है कि $p_{n+1}-p_{n}=m$ सभी के लिए $m < N$ और इसी तरह $n$ हमारे पास काफी बड़ा है $p_{n+1}-p_{n}>N,$ जो झांग के परिणाम का खंडन करेगा।^[8]

बड़े जुड़वां अभाज्य

2007 की शुरुआत में, दो वितरित कंप्यूटिंग परियोजनाओं, ट्विन प्राइम सर्च और प्राइमग्रिड ने कई रिकॉर्ड-सबसे बड़े ट्विन प्राइम का उत्पादन किया है। As of August 2022^[update], ज्ञात वर्तमान सबसे बड़ा जुड़वां अभाज्य युग्म है 2996863034895 × 2^1290000 ± 1 ,^[18] 388,342 दशमलव अंकों के साथ। इसकी खोज सितंबर 2016 में हुई थी।^[19] नीचे 808,675,888,577,436 जुड़वां अभाज्य जोड़े हैं 10¹⁸.^[20]^[21] 4.35 × तक के सभी अभाज्य युग्मों का अनुभवजन्य विश्लेषण 10¹⁵दिखाता है कि यदि ऐसे जोड़ियों की संख्या कम है $x$ है $f (x) \cdot x /(log x) 2$ तब $f (x)$ छोटे के लिए लगभग 1.7 है $x$ और लगभग 1.3 की ओर घटता है $x$ अनंत की ओर प्रवृत्त होता है। का सीमित मूल्य $f (x)$ को जुड़वां अभाज्य स्थिरांक के दोगुने के बराबर होने का अनुमान लगाया गया है (OEIS: A114907) (ब्रून के स्थिरांक के साथ भ्रमित न हों), हार्डी-लिटिलवुड अनुमान के अनुसार।

अन्य प्राथमिक गुण

प्रत्येक तीसरी समता (गणित) संख्या 3 से विभाज्य है, और इसलिए कोई भी तीन क्रमिक विषम संख्याएँ अभाज्य नहीं हो सकती हैं जब तक कि उनमें से एक 3 न हो। इसलिए पाँच एकमात्र अभाज्य है जो दो जुड़वां अभाज्य युग्मों का हिस्सा है। किसी जोड़ी का निचला सदस्य परिभाषा के अनुसार चेन ने स्वीकार कर लिया है।

यह साबित हो गया है^[22] यह जोड़ी (m,m+2) एक जुड़वां अभाज्य है यदि और केवल यदि

4((m-1)!+1)\equiv -m{\pmod {m(m+2)}}.

यदि m − 4 या m + 6 भी अभाज्य है तो तीन अभाज्य अभाज्य त्रिक कहलाते हैं।

किसी प्राकृतिक संख्या n > 1 के रूप (6n - 1, 6n + 1) के जुड़वां अभाज्य युग्म के लिए, n को अंक 0, 2, 3, 5, 7, या 8 में समाप्त होना चाहिए (OEIS: A002822).

पृथक अभाज्य

एक पृथक अभाज्य (जिसे एकल अभाज्य या गैर-जुड़वां अभाज्य के रूप में भी जाना जाता है) एक अभाज्य संख्या पी है, जिसमें न तो पी −2 और न ही पी+2 अभाज्य है। दूसरे शब्दों में, पी जुड़वां अभाज्य जोड़ी का हिस्सा नहीं है। उदाहरण के लिए, 23 एक पृथक अभाज्य संख्या है, क्योंकि 21 और 25 दोनों भाज्य संख्याएँ हैं।

पहले कुछ पृथक अभाज्य संख्याएँ हैं

2 (संख्या), 23 (संख्या), 37 (संख्या), 47 (संख्या), 53 (संख्या), 67 (संख्या), 79 (संख्या), 83 (संख्या), 89 (संख्या), 97 (संख्या) , ... OEIS: A007510.

ब्रून के प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि संख्या सिद्धांत में लगभग सभी #अर्थ अभाज्य इस अर्थ में पृथक हैं किसी दी गई सीमा n से कम पृथक अभाज्य संख्याओं का अनुपात और n से कम सभी अभाज्य अभाज्य संख्याओं का अनुपात 1 हो जाता है क्योंकि n अनंत की ओर प्रवृत्त होता है।

यह भी देखें

चचेरा भाई प्रधान
प्राइम गैप
प्राइम के-टुपल|प्राइम के-टुपल
प्रधान चतुर्भुज
प्रधान त्रिक
सेक्सी प्राइम

संदर्भ

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अग्रिम पठन

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बाहरी संबंध

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Top-20 Twin Primes at Chris Caldwell's Prime Pages
Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Introduction to Twin Primes and Brun's Constant
"Official press release" of 58711-digit twin prime record
Weisstein, Eric W. "Twin Primes". MathWorld.
The 20 000 first twin primes
Polymath: Bounded gaps between primes
Sudden Progress on Prime Number Problem Has Mathematicians Buzzing

[1] Thomas, Kelly Devine (Summer 2014). "Yitang Zhang's spectacular mathematical journey". The Institute Letter. Princeton, NJ: Institute for Advanced Study – via ias.edu.

[2] Tao, Terry, Ph.D. (presenter) (7 October 2014). Small and large gaps between the primes (video lecture). UCLA Department of Mathematics – via YouTube.

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[15] Maynard, James (2015). "Small gaps between primes". Annals of Mathematics. Second Series. 181 (1): 383–413. arXiv:1311.4600. doi:10.4007/annals.2015.181.1.7. MR 3272929. S2CID 55175056.

[16] Polymath, D.H.J. (2014). "Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes". Research in the Mathematical Sciences. 1. artc. 12, 83. arXiv:1407.4897. doi:10.1186/s40687-014-0012-7. MR 3373710.

[17] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A005597 (Decimal expansion of the twin prime constant)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2019-11-01.

[18] Caldwell, Chris K. " 2996863034895 × 2^1290000 − 1 [[Category: Templates Vigyan Ready]]". The Prime Database. Martin, TN: UT Martin. {{cite web}}: URL–wikilink conflict (help)

[19] "World record twin primes found!". primegrid.com. 20 September 2016.

[20] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A007508 (Number of twin prime pairs below 10^{$n$ [[Category: Templates Vigyan Ready]]})". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2019-11-01. {{cite web}}: URL–wikilink conflict (help)

[21] Oliveira e Silva, Tomás (7 April 2008). "Tables of values of $π (x)$ [[Category: Templates Vigyan Ready]] and of $π 2 (x)$ [[Category: Templates Vigyan Ready]]". Aveiro University. Retrieved 7 January 2011. {{cite web}}: URL–wikilink conflict (help)

[22] P.A. Clement (1949). "Congruences for sets of primes". American Mathematical Monthly. 56: 23–25. doi:10.2307/2305816. JSTOR 2305816.

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v t e प्राइम नंबर कक्षाएं
सूत्र द्वारा	[[Fermat संख्या \| fermat ( $2 2 n + 1$ )]] [[Mersenne Prime \| Mersenne ( $2 p - 1$ )]] [[डबल मर्सन नंबर \| डबल मर्सन ( $2 2 p -1 - 1$ 0]] [[Wagstaff Prime \| Wagstaff $(2 p + 1)/3$ ]] [[प्रोथ प्राइम \| प्रोथ ( $k \cdot2 n + 1$ )]] [[फैक्टरियल प्राइम \| फैक्टरियल ( $n! \pm 1$ )]] [[प्राइमोरियल प्राइम \| प्राइमोरियल ( $p n # \pm 1$ )]] [[यूक्लिड नंबर \| Euclid ( $p n # + 1$ )]] [[पाइथागोरियन प्राइम \| पाइथागोरियन ( $4 n + 1$ )]] [[पियरपॉन्ट प्राइम \| पियरपोंट ( $2 m \cdot3 n + 1$ )]] [[फौयन प्राइम \| क्वार्टन ( $x 4 + y 4$ )]] [[प्राइम सोलिनास \| सोलिनास ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ )]] [[कुलेन नंबर \| कुलेन ( $n \cdot2 n + 1$ )]] [[वुडल नंबर \| वुडल ( $n \cdot2 n - 1$ )]] [[क्यूबन प्राइम \| क्यूबन (क्यूबन () $x 3 - y 3)/(x - y$ ]] [[Leyland संख्या \| Leyland ( $x y + y x$ )]] [[Thabit संख्या \| thabit ( $3\cdot2 n - 1$ )]] [[विलियम्स नंबर \| विलियम्स ( $(b -1)\cdot b n - 1$ )]] [[मिल्स निरंतर \| मिल्स ( $⌊ A 3 n ⌋$ )]]
पूर्णांक अनुक्रम द्वारा	Fibonacci लुकास पेल न्यूमैन -शैंक्स -विलियम्स पेरिन विभाजन बेल Motzkin
संपत्ति से	Wieferich ( जोड़ी) वॉल -सन -सन वोल्स्टेनहोल्मे विल्सन भाग्यशाली भाग्यशाली रामानुजन पिल्लई नियमित मजबूत स्टर्न सुपरसिंगुलर (अण्डाकार वक्र) सुपरसिंगुलर (मूनशाइन थ्योरी) अच्छा सुपर हिग्स अत्यधिक cototient अद्वितीय
आधार-आश्रित	पालिंड्रोमिक एमिर्प [[Repunit \| repunit $(10 n - 1)/9$ ]] पारगम्य परिपत्र truncatable न्यूनतम नाजुक प्राइमवेल पूर्ण रेप्टेंड अद्वितीय [हैप्पी नंबर # हैप्पी प्राइम्स
पैटर्न्स	[[ट्विन प्राइम \| ट्विन ( $p, p + 2$ ]] [[पिंडली के पेट \| शिन पेट ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ]] [[प्राइम ट्रिपल \| ट्रिपल ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ]] [[प्राइम क्वाड्रुप्लेट \| क्वाड्रुलेट ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ]] k -tuple [[चचेरे भाई प्राइम \| चचेरे भाई ( $p, p + 4$ ]] [[सेक्सी प्राइम \| सेक्सी ( $p, p + 6$ ]] चेन [[सेफ एंड सोफी जर्मेन प्राइम्स \| सोफी जर्मेन/सेफ ( $p, 2 p + 1$ ]] [[कनिंघम श्रृंखला \| कनिंघम ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ]] [[अंकगणितीय प्रगति में primes \| अंकगणितीय प्रगति ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ]] [[संतुलित प्राइम \| संतुलित ( $consecutive p - n, p, p + n$ ]]
आकार से	मेगा(1,000,000+ अंक) सबसे बड़ा ज्ञात सूची
जटिल संख्या	Eisenstein Prime गाऊसी प्राइम
समग्र संख्या	स्यूडोप्राइम कैटलन अण्डाकार यूलर Euler -Jacobi Fermat फ्रोबेनियस लुकास सोमर -लुकास मजबूत कारमाइकल नंबर लगभग प्रमुख सेमीप्रीम इंटरप्राइम घबराहट
संबंधित विषय	संभावित प्राइम औद्योगिक-ग्रेड प्राइम अवैध प्राइम प्राइम्स के लिए सूत्र प्राइम गैप
पहला60अभाज्य	२ ३ ५ 7 ११ १३ 17 19 २३ २ ९ ३१ 37 ४१ ४३ 47 ५३ ५ ९ ६१ 67 71 73 79 83 89 97 १०१ १०३ 107 १० ९ ११३ 127 १३१ 137 १३ ९ १४ ९ १५१ 157 १६३ 167 173 179 181 १ ९ १ १ ९ ३ 197 199 211 २२३ 227 २२ ९ २३३ २३ ९ २४१ २५१ 257 २६३ 269 271 277 281
प्रमुख संख्याओं की सूची