प्रधान आदर्श डोमेन

गणित में, एक प्रमुख आदर्श डोमेन, या पीआईडी, एक अभिन्न डोमेन है जिसमें प्रत्येक आदर्श (रिंग थ्योरी) प्रमुख आदर्श है, अर्थात, एक तत्व द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। अधिक आम तौर पर, एक प्रमुख आदर्श वलय एक गैर-शून्य क्रमविनिमेय वलय होता है, जिसके आदर्श प्रधान होते हैं, हालांकि कुछ लेखक (जैसे, बॉर्बकी) पीआईडी को प्रमुख वलय के रूप में संदर्भित करते हैं। अंतर यह है कि एक प्रमुख आदर्श वलय में शून्य विभाजक हो सकते हैं जबकि एक प्रमुख आदर्श डोमेन नहीं हो सकता।

प्रधान आदर्श डोमेन इस प्रकार गणितीय वस्तुएं हैं जो कुछ हद तक पूर्णांक की तरह व्यवहार करती हैं, इंटीग्रल डोमेन के संबंध में # विभाज्यता, प्रधान और अलघुकरणीय तत्व: पीआईडी के किसी भी तत्व में प्रमुख तत्वों में एक अद्वितीय अपघटन होता है (इसलिए अंकगणित के मौलिक प्रमेय का एक एनालॉग धारण करता है) ); पीआईडी के किसी भी दो तत्वों में एक महानतम सामान्य विभाजक होता है (हालांकि यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके इसे खोजना संभव नहीं हो सकता है)। अगर $x$ और $y$ सामान्य विभाजक के बिना पीआईडी के तत्व हैं, तो पीआईडी के प्रत्येक तत्व को फॉर्म में लिखा जा सकता है $ax + by$ .

प्रमुख आदर्श डोमेन नोथेरियन रिंग हैं, वे अभिन्न रूप से बंद डोमेन हैं, वे अद्वितीय गुणनखंड डोमेन और डेडेकिंड डोमेन हैं। सभी यूक्लिडियन डोमेन और सभी क्षेत्र (गणित) प्रमुख आदर्श डोमेन हैं।

प्रमुख आदर्श डोमेन उपवर्ग (सेट सिद्धांत) की निम्नलिखित श्रृंखला में दिखाई देते हैं:

rngs ⊃ rings ⊃ commutative rings ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ GCD domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ fields ⊃ algebraically closed fields

उदाहरण

उदाहरणों में शामिल:

$K$ : कोई भी क्षेत्र (गणित),
$\mathbb {Z}$ : पूर्णांकों का वलय (गणित),^[1]
$K[x]$ : एक क्षेत्र में गुणांक के साथ एक चर में बहुपद की अंगूठी। (विपरीत भी सत्य है, अर्थात यदि $A[x]$ एक पीआईडी तो है $A$ एक क्षेत्र है।) इसके अलावा, एक क्षेत्र पर एक चर में औपचारिक शक्ति श्रृंखला की एक अंगूठी एक पीआईडी है क्योंकि हर आदर्श रूप का है $(x^{k})$ ,
$\mathbb {Z} [i]$ : गाऊसी पूर्णांकों का वलय,^[2]
$\mathbb {Z} [\omega ]$ (कहाँ $\omega$ 1 का आदिम घनमूल है): आइज़ेंस्टीन पूर्णांक,
कोई असतत मूल्यांकन अंगूठी, उदाहरण के लिए p-adic पूर्णांक की रिंग | $p$ -एडिक पूर्णांक $\mathbb {Z} _{p}$ .

गैर-उदाहरण

अभिन्न डोमेन के उदाहरण जो पीआईडी नहीं हैं:

$\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ एक अंगूठी का एक उदाहरण है जो एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन नहीं है, क्योंकि $4=2\cdot 2=(1+{\sqrt {-3}})(1-{\sqrt {-3}}).$ इसलिए यह एक प्रमुख आदर्श डोमेन नहीं है क्योंकि प्रमुख आदर्श डोमेन अद्वितीय गुणनखंड डोमेन हैं।

$\mathbb {Z} [x]$ : पूर्णांक गुणांक वाले सभी बहुपदों का वलय। यह प्रमुख नहीं है क्योंकि $\langle 2,x\rangle$ एक आदर्श का एक उदाहरण है जिसे एक बहुपद द्वारा उत्पन्न नहीं किया जा सकता है।
$K[x,y]$ : Polynomial_ring#Definition (बहुभिन्नरूपी मामला)। आदर्श $\langle x,y\rangle$ प्रधान नहीं है।
बीजगणितीय पूर्णांकों के अधिकांश वलय प्रमुख आदर्श डोमेन नहीं हैं क्योंकि उनके आदर्श गुण हैं जो किसी एक तत्व द्वारा उत्पन्न नहीं होते हैं। डेडेकिंड डोमेन की डेडेकिंड की परिभाषा के पीछे यह मुख्य प्रेरणाओं में से एक है क्योंकि एक प्रमुख पूर्णांक को अब तत्वों में शामिल नहीं किया जा सकता है, इसके बजाय वे प्रमुख आदर्श हैं। वास्तव में बहुत सारे $\mathbb {Z} [\zeta _{p}]$ एकता की जड़ के लिए|p-वें एकता की जड़ $\zeta _{p}$ प्रमुख आदर्श डोमेन नहीं हैं^{[clarification needed]}.^[3] वास्तव में, बीजगणितीय पूर्णांकों के एक वलय का वर्ग संख्या (संख्या सिद्धांत)। ${\mathcal {O}}_{K}$ एक धारणा देता है कि यह एक प्रमुख आदर्श डोमेन होने से कितनी दूर है।

मॉड्यूल

मुख्य परिणाम संरचना प्रमेय है: यदि R एक प्रमुख आदर्श डोमेन है, और M एक परिमित है उत्पन्न आर-मॉड्यूल, फिर $M$ चक्रीय मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है, यानी एक जनरेटर के साथ मॉड्यूल। चक्रीय मॉड्यूल आइसोमॉर्फिक हैं $R/xR$ कुछ के लिए $x\in R$ ^[4] (नोटिस जो $x$ के बराबर हो सकता है $0$ , किस स्थिति में $R/xR$ है $R$ ).

यदि M एक प्रमुख आदर्श डोमेन R पर एक मुक्त मॉड्यूल है, तो M का प्रत्येक सबमॉड्यूल फिर से मुक्त है। यह उदाहरण के रूप में मनमाना छल्ले मुफ्त मॉड्यूल के लिए नहीं है $(2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X]$ मॉड्यूल के ऊपर $\mathbb {Z} [X]$ दिखाता है।

गुण

एक प्रमुख आदर्श डोमेन में, कोई भी दो तत्व $a, b$ एक महानतम सामान्य विभाजक है, जिसे आदर्श के जनरेटर के रूप में प्राप्त किया जा सकता है $(a, b)$ .

सभी यूक्लिडियन डोमेन प्रमुख आदर्श डोमेन हैं, लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है। प्रमुख आदर्श डोमेन का एक उदाहरण जो यूक्लिडियन डोमेन नहीं है, रिंग है $\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right].$ ^[5]^[6] इस डोमेन में नं $q$ और $r$ मौजूद है, साथ $0 \leq | r | < 4$ , ताकि $(1+{\sqrt {-19}})=(4)q+r$ , इसके बावजूद $1+{\sqrt {-19}}$ और $4$ का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है $2$ .

प्रत्येक प्रमुख आदर्श डोमेन एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन (UFD) है।^[7]^[8]^[9]^[10] किसी भी UFD के लिए विलोम मान्य नहीं है $K$ , अंगूठी $K [X, Y]$ 2 चरों में बहुपदों की संख्या एक UFD है लेकिन PID नहीं है। (इसे सिद्ध करने के लिए इसके द्वारा उत्पन्न आदर्श को देखें $\left\langle X,Y\right\rangle .$ यह संपूर्ण वलय नहीं है क्योंकि इसमें 0 डिग्री का कोई बहुपद नहीं है, लेकिन इसे किसी एक तत्व द्वारा उत्पन्न नहीं किया जा सकता है।)

प्रत्येक प्रमुख आदर्श क्षेत्र नोथेरियन वलय है।
सभी यूनिटल रिंग्स में, अधिकतम आदर्श गुण प्रधान आदर्श होते हैं। प्रिंसिपल आइडियल डोमेन्स में एक नियर कॉन्वर्स होल्ड करता है: हर नॉनजीरो प्राइम आइडियल मैक्सिमम होता है।
सभी प्रमुख आदर्श डोमेन अभिन्न रूप से बंद डोमेन हैं।

पिछले तीन कथन एक Dedekind डोमेन की परिभाषा देते हैं, और इसलिए प्रत्येक प्रमुख आदर्श डोमेन एक Dedekind डोमेन है।

माना A एक पूर्णांकीय प्रांत है। उसके बाद निम्न बराबर हैं।

ए एक पीआईडी है।
A का प्रत्येक अभाज्य गुणज प्रधान होता है।^[11]
A एक Dedekind डोमेन है जो एक UFD है।
A का प्रत्येक अंतिम रूप से उत्पन्न आदर्श प्रधान है (अर्थात, A एक बेज़ाउट डोमेन है) और A प्रमुख आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है।
ए डेडेकिंड-हस्से मानदंड को स्वीकार करता है।^[12]

कोई भी यूक्लिडियन समारोह डेडेकिंड-हस्से मानदंड है; इस प्रकार, (5) दर्शाता है कि एक यूक्लिडियन डोमेन एक पीआईडी है। (4) इसकी तुलना करता है:

एक अभिन्न डोमेन एक UFD है अगर और केवल अगर यह एक GCD डोमेन है (यानी, एक डोमेन जहां हर दो तत्वों में एक सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है) प्रमुख आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है।

एक अभिन्न डोमेन बेज़ाउट डोमेन है अगर और केवल अगर इसमें किसी भी दो तत्वों में एक जीसीडी है जो दोनों का एक रैखिक संयोजन है। एक बेज़ाउट डोमेन इस प्रकार एक GCD डोमेन है, और (4) एक और प्रमाण देता है कि PID एक UFD है।

यह भी देखें

बेजाउट की पहचान

↑ See Fraleigh & Katz (1967), p. 73, Corollary of Theorem 1.7, and notes at p. 369, after the corollary of Theorem 7.2
↑ See Fraleigh & Katz (1967), p. 385, Theorem 7.8 and p. 377, Theorem 7.4.
↑ Milne. "Algebraic Number Theory" (PDF). p. 5.
↑ See also Ribenboim (2001), p. 113, proof of lemma 2.
↑ Wilson, Jack C. "A Principal Ring that is Not a Euclidean Ring." Math. Mag 46 (Jan 1973) 34-38 [1]
↑ George Bergman, A principal ideal domain that is not Euclidean - developed as a series of exercises PostScript file
↑ Proof: every prime ideal is generated by one element, which is necessarily prime. Now refer to the fact that an integral domain is a UFD if and only if its prime ideals contain prime elements.
↑ Jacobson (2009), p. 148, Theorem 2.23.
↑ Fraleigh & Katz (1967), p. 368, Theorem 7.2
↑ Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko (2004), p.166, Theorem 7.2.1.
↑ T. Y. Lam and Manuel L. Reyes, A Prime Ideal Principle in Commutative Algebra Archived 2010-07-26 at the Wayback Machine
↑ Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko (2004), p.170, Proposition 7.3.3.

संदर्भ

Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Kluwer Academic Publishers, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
John B. Fraleigh, Victor J. Katz. A first course in abstract algebra. Addison-Wesley Publishing Company. 5 ed., 1967. ISBN 0-201-53467-3
Nathan Jacobson. Basic Algebra I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1
Paulo Ribenboim. Classical theory of algebraic numbers. Springer, 2001. ISBN 0-387-95070-2

बाहरी संबंध

Principal ring on MathWorld

[1] See Fraleigh & Katz (1967), p. 73, Corollary of Theorem 1.7, and notes at p. 369, after the corollary of Theorem 7.2

[2] See Fraleigh & Katz (1967), p. 385, Theorem 7.8 and p. 377, Theorem 7.4.

[3] Milne. "Algebraic Number Theory" (PDF). p. 5.

[4] See also Ribenboim (2001), p. 113, proof of lemma 2.

[5] Wilson, Jack C. "A Principal Ring that is Not a Euclidean Ring." Math. Mag 46 (Jan 1973) 34-38 [1]

[6] George Bergman, A principal ideal domain that is not Euclidean - developed as a series of exercises PostScript file

[7] Proof: every prime ideal is generated by one element, which is necessarily prime. Now refer to the fact that an integral domain is a UFD if and only if its prime ideals contain prime elements.

[8] Jacobson (2009), p. 148, Theorem 2.23.

[9] Fraleigh & Katz (1967), p. 368, Theorem 7.2

[10] Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko (2004), p.166, Theorem 7.2.1.

[11] T. Y. Lam and Manuel L. Reyes, A Prime Ideal Principle in Commutative Algebra Archived 2010-07-26 at the Wayback Machine

[12] Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko (2004), p.170, Proposition 7.3.3.

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उदाहरण

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मॉड्यूल

गुण

यह भी देखें

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