बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय

गणित में, बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय में कहा गया है कि बूलियन बीजगणित (संरचना) में आदर्श (ऑर्डर सिद्धांत) को आदर्श (ऑर्डर सिद्धांत) # प्राइम आदर्शों तक बढ़ाया जा सकता है। फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) के लिए इस कथन की भिन्नता को अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के रूप में जाना जाता है। अन्य प्रमेय आदर्शों की उपयुक्त धारणाओं के साथ विभिन्न गणितीय संरचनाओं पर विचार करके प्राप्त किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, रिंग (गणित) और प्राइम आदर्श (रिंग सिद्धांत के), या वितरणात्मक अक्षांश और अधिकतम आदर्श (आदेश सिद्धांत के)। यह लेख क्रम सिद्धांत से प्रमुख आदर्श प्रमेयों पर केंद्रित है।

यद्यपि विभिन्न प्रमुख आदर्श प्रमेय सरल और सहज प्रतीत हो सकते हैं, उन्हें पसंद के स्वयंसिद्ध (संक्षिप्त जेडएफ) के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के सिद्धांतों से सामान्य रूप से नहीं निकाला जा सकता है। इसके बजाय, कुछ कथन पसंद के सिद्धांत (एसी) के समतुल्य साबित होते हैं, जबकि अन्य - उदाहरण के लिए, बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय - एक ऐसी संपत्ति का प्रतिनिधित्व करते हैं जो एसी से सख्ती से कमजोर है। यह ZF और ZF + AC (ZFC) के बीच इस मध्यवर्ती स्थिति के कारण है कि बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय को अक्सर सेट सिद्धांत के एक स्वयंसिद्ध के रूप में लिया जाता है। इस अतिरिक्त स्वयंसिद्ध को संदर्भित करने के लिए कभी-कभी संक्षिप्ताक्षर BPI या PIT (बूलियन बीजगणित के लिए) का उपयोग किया जाता है।

प्रधान आदर्श प्रमेय

एक आदर्श (आदेश सिद्धांत) एक (गैर-रिक्त) निर्देशित सेट निचला सेट है। यदि माना गया आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट (पॉसेट) में बाइनरी उच्चतम (a.k.a. Join and meet) है, जैसा कि इस आलेख के पॉसेट में है, तो इसे समान रूप से एक गैर-रिक्त निचले सेट I के रूप में वर्णित किया गया है जो बाइनरी सुप्रीम (यानी) के लिए बंद है। $x,y\in I$ तात्पर्य $x\vee y\in I$). एक आदर्श I अभाज्य है यदि पॉसेट में इसका सेट-सैद्धांतिक पूरक एक फ़िल्टर (गणित) है (अर्थात्, $x\wedge y\in I$ तात्पर्य $x\in I$ या $y\in I$). आदर्श तब उचित होते हैं जब वे संपूर्ण स्थिति के बराबर न हों।

ऐतिहासिक रूप से, बाद के प्रमुख आदर्श प्रमेयों से संबंधित पहला कथन वास्तव में फ़िल्टर-उपसमुच्चय का संदर्भ दे रहा था जो द्वैत (आदेश सिद्धांत) क्रम के संबंध में आदर्श हैं। अल्ट्राफ़िल्टर लेम्मा बताता है कि सेट पर प्रत्येक फ़िल्टर कुछ अधिकतम (उचित) फ़िल्टर - एक अल्ट्राफ़िल्टर के भीतर समाहित होता है। याद रखें कि सेट पर फ़िल्टर इसके सत्ता स्थापित के बूलियन बीजगणित के उचित फ़िल्टर हैं। इस विशेष मामले में, अधिकतम फ़िल्टर (अर्थात ऐसे फ़िल्टर जो किसी उचित फ़िल्टर के सख्त उपसमुच्चय नहीं हैं) और प्राइम फ़िल्टर (अर्थात ऐसे फ़िल्टर जिनमें उपसमुच्चय X और Y के प्रत्येक संघ के साथ X या Y भी होते हैं) मेल खाते हैं। इस कथन का द्वैत इस प्रकार आश्वस्त करता है कि किसी शक्ति समूह का प्रत्येक आदर्श एक प्रमुख आदर्श में निहित है।

उपरोक्त कथन ने विभिन्न सामान्यीकृत प्रधान आदर्श प्रमेयों को जन्म दिया, जिनमें से प्रत्येक कमजोर और मजबूत रूप में मौजूद है। कमजोर अभाज्य आदर्श प्रमेय बताते हैं कि एक निश्चित वर्ग के प्रत्येक गैर-तुच्छ बीजगणित में कम से कम एक अभाज्य आदर्श होता है। इसके विपरीत, मजबूत अभाज्य आदर्श प्रमेयों के लिए आवश्यक है कि प्रत्येक आदर्श जो किसी दिए गए फिल्टर से असंयुक्त है, उसे उस अभाज्य आदर्श तक बढ़ाया जा सकता है जो अभी भी उस फिल्टर से असंयुक्त है। बीजगणित के मामले में जो पॉसेट नहीं हैं, फ़िल्टर के बजाय विभिन्न उपसंरचनाओं का उपयोग किया जाता है। इन प्रमेयों के कई रूप वास्तव में समतुल्य माने जाते हैं, जिससे कि पीआईटी का दावा आमतौर पर इस दावे के रूप में लिया जाता है कि बूलियन बीजगणित (बीपीआई) के लिए संबंधित कथन वैध है।

समान प्रमेयों की एक और भिन्नता अभाज्य आदर्श की प्रत्येक घटना को अधिकतम आदर्श से प्रतिस्थापित करके प्राप्त की जाती है। संगत अधिकतम आदर्श प्रमेय (एमआईटी) अक्सर - हालांकि हमेशा नहीं - अपने पीआईटी समकक्षों से अधिक मजबूत होते हैं।

बूलियन अभाज्य आदर्श प्रमेय

बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय बूलियन बीजगणित के लिए मजबूत प्राइम आदर्श प्रमेय है। इस प्रकार औपचारिक कथन है:

मान लीजिए कि B एक बूलियन बीजगणित है, मान लीजिए I एक आदर्श है और मान लीजिए कि F, B का एक फ़िल्टर है, जैसे कि I और F असंयुक्त सेट हैं। तब I, B के किसी अभाज्य आदर्श में समाहित है जो F से असंयुक्त है।

बूलियन बीजगणित के लिए कमज़ोर अभाज्य आदर्श प्रमेय बस इतना कहता है:

प्रत्येक बूलियन बीजगणित में एक प्रमुख आदर्श होता है।

हम इन बयानों को कमजोर और मजबूत बीपीआई के रूप में संदर्भित करते हैं। दोनों समतुल्य हैं, क्योंकि मजबूत बीपीआई स्पष्ट रूप से कमजोर बीपीआई को दर्शाता है, और उचित भागफल बीजगणित में अभाज्य आदर्श खोजने के लिए कमजोर बीपीआई का उपयोग करके रिवर्स निहितार्थ प्राप्त किया जा सकता है।

बीपीआई को विभिन्न तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रयोजन के लिए, निम्नलिखित प्रमेय को याद करें:

बूलियन बीजगणित बी के किसी भी आदर्श I के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं:

• मैं एक प्रमुख आदर्श हूं।
• I एक अधिकतम आदर्श है, अर्थात किसी भी उचित आदर्श J के लिए, यदि I J में समाहित है तो I = J.
• B के प्रत्येक तत्व a के लिए, I में {a, ¬a} में से बिल्कुल एक शामिल है।

यह प्रमेय बूलियन बीजगणित के लिए एक प्रसिद्ध तथ्य है। इसका डुअल प्राइम फिल्टर और अल्ट्राफिल्टर की समानता स्थापित करता है। ध्यान दें कि अंतिम संपत्ति वास्तव में आत्म-दोहरी है - केवल पूर्व धारणा कि मैं एक आदर्श हूं, पूर्ण लक्षण वर्णन देता है। इस प्रमेय के सभी निहितार्थ ZF में सिद्ध किए जा सकते हैं।

इस प्रकार बूलियन बीजगणित के लिए निम्नलिखित (मजबूत) अधिकतम आदर्श प्रमेय (एमआईटी) बीपीआई के बराबर है:

मान लीजिए कि B एक बूलियन बीजगणित है, मान लीजिए I एक आदर्श है और मान लीजिए कि F, B का एक फ़िल्टर है, जैसे कि I और F असंयुक्त हैं। तब I, B के किसी अधिकतम आदर्श में समाहित है जो F से असंयुक्त है।

ध्यान दें कि किसी को वैश्विक अधिकतमता की आवश्यकता होती है, न कि केवल एफ से अलग होने के संबंध में अधिकतमता की। फिर भी, यह भिन्नता बीपीआई के एक और समकक्ष लक्षण वर्णन को जन्म देती है:

मान लीजिए कि B एक बूलियन बीजगणित है, मान लीजिए I एक आदर्श है और मान लीजिए कि F, B का एक फ़िल्टर है, जैसे कि I और F असंयुक्त हैं। तब I, B के किसी ऐसे आदर्श में समाहित है जो F से अलग हुए सभी आदर्शों में अधिकतम है।

तथ्य यह है कि यह कथन बीपीआई के समतुल्य है, निम्नलिखित प्रमेय को नोट करके आसानी से स्थापित किया जा सकता है: किसी भी वितरणात्मक जाली एल के लिए, यदि एक आदर्श I, L के सभी आदर्शों के बीच अधिकतम है जो किसी दिए गए फ़िल्टर F से असंबद्ध हैं, तो I एक प्रमुख आदर्श है . इस कथन का प्रमाण (जिसे फिर से ZF सेट सिद्धांत में लागू किया जा सकता है) आदर्शों पर लेख में शामिल है। चूँकि कोई भी बूलियन बीजगणित एक वितरणात्मक जाली है, यह वांछित निहितार्थ दिखाता है।

उपरोक्त सभी कथन अब आसानी से समतुल्य प्रतीत होते हैं। इससे भी आगे जाकर, कोई इस तथ्य का फायदा उठा सकता है कि बूलियन बीजगणित के दोहरे क्रम बिल्कुल बूलियन बीजगणित ही हैं। इसलिए, जब सभी पूर्व कथनों के समतुल्य द्वैत को लेते हैं, तो कई प्रमेयों के साथ समाप्त होता है जो बूलियन बीजगणित पर समान रूप से लागू होते हैं, लेकिन जहां प्रत्येक घटना ideal द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है filter. यह ध्यान देने योग्य है कि विशेष मामले के लिए जहां विचाराधीन बूलियन बीजगणित सबसेट ऑर्डरिंग के साथ एक पावरसेट है, अधिकतम फ़िल्टर प्रमेय को अल्ट्राफिल्टर लेम्मा कहा जाता है।

संक्षेप में, बूलियन बीजगणित के लिए, कमजोर और मजबूत एमआईटी, कमजोर और मजबूत पीआईटी, और आदर्शों के स्थान पर फिल्टर वाले ये सभी कथन समान हैं। यह ज्ञात है कि ये सभी कथन च्वाइस के सिद्धांत, एसी के परिणाम हैं, (आसान प्रमाण ज़ोर्न के लेम्मा का उपयोग करता है), लेकिन ज़र्मेलो-फ़्रैन्केल सेट सिद्धांत (एसी के बिना ज़र्मेलो-फ़्रैन्केल सेट सिद्धांत) में सिद्ध नहीं किया जा सकता है, यदि ZF सुसंगत है. फिर भी, बीपीआई पसंद के सिद्धांत की तुलना में पूरी तरह से कमजोर है, हालांकि जेडी हेल्पर और एज़्रियल लेवी के कारण इस कथन का प्रमाण गैर-तुच्छ है।

आगे अभाज्य आदर्श प्रमेय

उपरोक्त अनुभाग में बूलियन बीजगणित के लिए जिन प्रोटोटाइप गुणों पर चर्चा की गई थी, उन्हें अधिक सामान्य जाली (क्रम) को शामिल करने के लिए आसानी से संशोधित किया जा सकता है, जैसे वितरणात्मक जाली या हेटिंग बीजगणित। हालाँकि, इन मामलों में अधिकतम आदर्श प्रधान आदर्शों से भिन्न होते हैं, और पीआईटी और एमआईटी के बीच संबंध स्पष्ट नहीं है।

वास्तव में, यह पता चला है कि वितरणात्मक जालकों और यहां तक ​​कि हेयटिंग बीजगणित के लिए एमआईटी पसंद के सिद्धांत के बराबर हैं। दूसरी ओर, यह ज्ञात है कि वितरणात्मक जालकों के लिए मजबूत पीआईटी बीपीआई (यानी बूलियन बीजगणित के लिए एमआईटी और पीआईटी) के बराबर है। इसलिए यह कथन पसंद के सिद्धांत से बिल्कुल कमजोर है। इसके अलावा, ध्यान दें कि हेटिंग बीजगणित स्व-दोहरे नहीं हैं, और इस प्रकार आदर्शों के स्थान पर फ़िल्टर का उपयोग करने से इस सेटिंग में विभिन्न प्रमेय प्राप्त होते हैं। शायद आश्चर्य की बात यह है कि हेटिंग बीजगणित के दोहरे के लिए एमआईटी बीपीआई से अधिक मजबूत नहीं है, जो कि हेटिंग बीजगणित के लिए उपर्युक्त एमआईटी के बिल्कुल विपरीत है।

अंत में, प्रमुख आदर्श प्रमेय अन्य (आदेश-सैद्धांतिक नहीं) अमूर्त बीजगणित के लिए भी मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, छल्लों के लिए एमआईटी पसंद के सिद्धांत को दर्शाता है। इस स्थिति में ऑर्डर-सैद्धांतिक शब्द फ़िल्टर को अन्य अवधारणाओं से बदलने की आवश्यकता है - रिंगों के लिए गुणात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय उपयुक्त है।

अल्ट्राफ़िल्टर लेम्मा

Main article: Ultrafilter lemma

See also: Set-theoretic topology

सेट पर एक फ़िल्टर X के गैर-रिक्त उपसमुच्चय का एक गैर-रिक्त संग्रह है X जो परिमित प्रतिच्छेदन और सुपरसेट के तहत बंद है। अल्ट्राफिल्टर एक अधिकतम फिल्टर है। अल्ट्राफ़िल्टर लेम्मा बताता है कि एक सेट पर प्रत्येक फ़िल्टर X कुछ अल्ट्राफ़िल्टर का एक उपसमुच्चय है X. एक अल्ट्राफ़िल्टर जिसमें परिमित सेट नहीं होते हैं उसे गैर-प्रिंसिपल कहा जाता है। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा, और विशेष रूप से गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर का अस्तित्व (परिमित पूरक के साथ सभी सेटों के फिल्टर पर विचार करें), ज़ोर्न के लेम्मा का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

अल्ट्राफिल्टर लेम्मा बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय के समतुल्य है, जिसमें पसंद के सिद्धांत के बिना ZF सेट सिद्धांत में समतुल्यता सिद्ध होती है। प्रमाण के पीछे विचार यह है कि किसी भी सेट के उपसमुच्चय एक बूलियन बीजगणित बनाते हैं जो आंशिक रूप से समावेशन द्वारा क्रमबद्ध होता है, और किसी भी बूलियन बीजगणित को स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा सेट के बीजगणित के रूप में दर्शाया जा सकता है।

यदि सेट X परिमित है तो अल्ट्राफिल्टर लेम्मा को स्वयंसिद्ध ZF से सिद्ध किया जा सकता है। यह अब अनंत समुच्चयों के लिए सत्य नहीं है; एक अतिरिक्त स्वयंसिद्ध must मान लिया जाए. ज़ोर्न की लेम्मा, पसंद का सिद्धांत, और टाइकोनॉफ़ की प्रमेय सभी का उपयोग अल्ट्राफिल्टर लेम्मा को साबित करने के लिए किया जा सकता है। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा पसंद के सिद्धांत की तुलना में सख्ती से कमजोर है।

अल्ट्राफिल्टर लेम्मा में टोपोलॉजी में कई फिल्टर हैं। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा का उपयोग हैन-बानाच प्रमेय और अलेक्जेंडर सबबेस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।

अनुप्रयोग

सहज रूप से, बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय बताता है कि बूलियन बीजगणित में इस अर्थ में पर्याप्त प्रधान आदर्श हैं कि हम प्रत्येक आदर्श को अधिकतम तक विस्तारित कर सकते हैं। बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय को साबित करने के लिए यह व्यावहारिक महत्व का है, स्टोन द्वैत का एक विशेष मामला, जिसमें कोई व्यक्ति सभी प्रमुख आदर्शों के सेट को एक निश्चित टोपोलॉजी से लैस करता है और वास्तव में इससे मूल बूलियन बीजगणित (समाकृतिकता तक) पुनः प्राप्त कर सकता है। आंकड़े। इसके अलावा, यह पता चला है कि अनुप्रयोगों में कोई भी स्वतंत्र रूप से प्राइम आदर्शों या प्राइम फिल्टर के साथ काम करना चुन सकता है, क्योंकि प्रत्येक आदर्श विशिष्ट रूप से एक फिल्टर निर्धारित करता है: उसके तत्वों के सभी बूलियन पूरकों का सेट। दोनों दृष्टिकोण साहित्य में पाए जाते हैं।

सामान्य टोपोलॉजी के कई अन्य प्रमेय जिनके बारे में अक्सर कहा जाता है कि वे पसंद के सिद्धांत पर भरोसा करते हैं, वास्तव में बीपीआई के समतुल्य हैं। उदाहरण के लिए, यह प्रमेय कि कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान का एक उत्पाद कॉम्पैक्ट है, इसके बराबर है। यदि हम हॉसडॉर्फ़ को छोड़ दें तो हमें पसंद के पूर्ण स्वयंसिद्ध के समतुल्य टाइकोनॉफ़ का प्रमेय मिलता है।

ग्राफ सिद्धांत में, डी ब्रुजन-एर्डोस प्रमेय (ग्राफ सिद्धांत)|डी ब्रुजन-एर्डोस प्रमेय बीपीआई के समकक्ष है। इसमें कहा गया है कि, यदि किसी दिए गए अनंत ग्राफ़ के लिए कम से कम कुछ परिमित संख्या की आवश्यकता होती है k किसी भी ग्राफ़ रंग में, तो इसमें एक परिमित उपग्राफ की भी आवश्यकता होती है k. बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय का एक बहुत प्रसिद्ध अनुप्रयोग एक गैर-मापने योग्य सेट का अस्तित्व है (आमतौर पर दिया गया उदाहरण विटाली सेट है, जिसके लिए पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है)। इससे और इस तथ्य से कि बीपीआई पसंद के सिद्धांत से सख्ती से कमजोर है, यह इस प्रकार है कि गैर-मापने योग्य सेटों का अस्तित्व पसंद के सिद्धांत से सख्ती से कमजोर है।

रैखिक बीजगणित में, बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि किसी दिए गए सदिश स्थल के किन्हीं दो आधारों (रैखिक बीजगणित) में समान प्रमुखता होती है।

यह भी देखें

• बूलियन बीजगणित विषयों की सूची

संदर्भ

• Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002), Introduction to Lattices and Order (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78451-1

An easy to read introduction, showing the equivalence of PIT for Boolean algebras and distributive lattices.

• Johnstone, Peter (1982), Stone Spaces, Cambridge studies in advanced mathematics, vol. 3, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33779-3

The theory in this book often requires choice principles. The notes on various chapters discuss the general relation of the theorems to PIT and MIT for various structures (though mostly lattices) and give pointers to further literature.

• Banaschewski, B. (1983), "The power of the ultrafilter theorem", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 27 (2): 193–202, doi:10.1112/jlms/s2-27.2.193

Discusses the status of the ultrafilter lemma.

• Erné, M. (2000), "Prime ideal theory for general algebras", Applied Categorical Structures, 8: 115–144, doi:10.1023/A:1008611926427, S2CID 31605587

Gives many equivalent statements for the BPI, including prime ideal theorems for other algebraic structures. PITs are considered as special instances of separation lemmas.