मैट्रिक्स बहुपद

Not to be confused with Polynomial matrix.

गणित में, एक मैट्रिक्स बहुपद एक बहुपद है जिसमें चर के रूप में स्क्वायर मैट्रिक्स होता है। एक साधारण, अदिश-मूल्यवान बहुपद दिया गया है

$P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},$

मैट्रिक्स ए पर मूल्यांकित यह बहुपद है

$P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},$

जहां मैं पहचान मैट्रिक्स है।

एक मैट्रिक्स बहुपद समीकरण दो मैट्रिक्स बहुपदों के बीच एक समानता है, जो प्रश्न में विशिष्ट मैट्रिक्स के लिए है। एक मैट्रिक्स बहुपद पहचान एक मैट्रिक्स बहुपद समीकरण है जो एक निर्दिष्ट मैट्रिक्स रिंग एम में सभी मैट्रिक्स ए के लिए धारण करता है।_n(आर)।

विशेषता और न्यूनतम बहुपद

मैट्रिक्स ए की विशेषता बहुपद एक स्केलर-मूल्यवान बहुपद है, जिसे परिभाषित किया गया है $p_{A}(t)=\det \left(tI-A\right)$. केली-हैमिल्टन प्रमेय कहता है कि यदि इस बहुपद को मैट्रिक्स बहुपद के रूप में देखा जाता है और मैट्रिक्स ए पर मूल्यांकन किया जाता है, तो परिणाम शून्य मैट्रिक्स होता है: $p_{A}(A)=0$. विशेषता बहुपद इस प्रकार एक बहुपद है जो ए को मिटा देता है।

न्यूनतम डिग्री का एक अद्वितीय मोनिक बहुपद है जो ए को मिटा देता है; यह बहुपद न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित) है। कोई भी बहुपद जो A को नष्ट कर देता है (जैसे कि विशेषता बहुपद) अल्पतम बहुपद का गुणक होता है।

इससे पता चलता है कि दो बहुपद P और Q दिए हुए हैं $P(A)=Q(A)$ अगर और केवल अगर

$P^{(j)}(\lambda _{i})=Q^{(j)}(\lambda _{i})\qquad {\text{for }}j=0,\ldots ,n_{i}-1{\text{ and }}i=1,\ldots ,s,$

कहाँ $P^{(j)}$ P और के jth डेरिवेटिव को दर्शाता है $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{s}$ संगत सूचकांकों के साथ A के आइगेनमान हैं $n_{1},\dots ,n_{s}$ (एक eigenvalue का सूचकांक इसके सबसे बड़े जॉर्डन सामान्य रूप का आकार है)।

मैट्रिक्स ज्यामितीय श्रृंखला

मैट्रिक्स बहुपद का उपयोग एक मैट्रिक्स ज्यामितीय श्रृंखला को योग करने के लिए किया जा सकता है जैसे कि एक साधारण ज्यामितीय श्रृंखला,

$S=I+A+A^{2}+\cdots +A^{n}$

$AS=A+A^{2}+A^{3}+\cdots +A^{n+1}$

$(I-A)S=S-AS=I-A^{n+1}$

$S=(I-A)^{-1}(I-A^{n+1})$

यदि I − A गैर-एकवचन है तो योग S के लिए व्यंजक का मूल्यांकन किया जा सकता है।

यह भी देखें

• लैटिमर-मैकडफी प्रमेय
• मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल
• मैट्रिक्स समारोह

संदर्भ

• Gohberg, Israel; Lancaster, Peter; Rodman, Leiba (2009) [1982]. Matrix Polynomials. Classics in Applied Mathematics. Vol. 58. Lancaster, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0-898716-81-8. Zbl 1170.15300.
• Higham, Nicholas J. (2000). Functions of Matrices: Theory and Computation. SIAM. ISBN 089-871-777-9..
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6..