गणित में, यूक्लिड संख्याएँ रूप की पूर्णांक हैं En = pn# + 1, जहां पn# nवाँ आदिम है, अर्थात पहले n अभाज्य संख्याओं का गुणनफल। यूक्लिड के प्रमेय के संबंध में उनका नाम प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड के नाम पर रखा गया है, जिसमें असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं।
कभी-कभी यह झूठा कहा जाता है कि यूक्लिड की प्रमेय|यूक्लिड की अभाज्य संख्याओं की अनंतता का प्रसिद्ध प्रमाण इन संख्याओं पर निर्भर करता है।[1] यूक्लिड ने इस धारणा के साथ शुरुआत नहीं की कि सभी अभाज्य संख्याओं का समुच्चय परिमित है। इसके बजाय, उन्होंने कहा: अभाज्य संख्याओं के किसी भी परिमित समुच्चय पर विचार करें (उन्होंने यह नहीं माना कि इसमें केवल प्रथम n अभाज्य हैं, उदा. {3, 41, 53}{{{1}}}) और वहां से इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि कम से कम एक अभाज्य मौजूद है जो उस सेट में नहीं है।[2]
फिर भी, यूक्लिड का तर्क, पहले एन प्राइम्स के सेट पर लागू होता है, यह दर्शाता है कि एनवें यूक्लिड संख्या में एक प्रमुख कारक है जो इस सेट में नहीं है।
गुण
सभी यूक्लिड संख्याएँ अभाज्य नहीं हैं।
इ6 = 13# + 1 = 30031 = 59 × 509 पहली मिश्रित संख्या यूक्लिड संख्या है।
प्रत्येक यूक्लिड संख्या 3 मॉडुलो 4 के लिए मॉड्यूलर अंकगणितीय है क्योंकि जिस प्राथमिक से इसे बनाया गया है वह केवल समता (गणित) प्राइम्स के उत्पाद का दोगुना है और इस प्रकार 2 मॉडुलो 4 के अनुरूप है। इस संपत्ति का अर्थ है कि कोई भी यूक्लिड संख्या एक वर्ग संख्या नहीं हो सकती है।
सभी के लिए n ≥ 3 ई का अंतिम अंकn 1 है, क्योंकि En − 1 2 और 5 से विभाज्य है। दूसरे शब्दों में, चूँकि सभी मूल संख्याएँ E से बड़ी हैं2 2 और 5 प्रमुख कारक हैं, वे 10 से विभाज्य हैं, इस प्रकार सभी ईn ≥ 3 + 1 का अंतिम अंक 1 होता है।
अनसुलझी समस्याएं
Unsolved problem in mathematics:
Are there an infinite number of prime Euclid numbers?
यह ज्ञात नहीं है कि अभाज्य यूक्लिड संख्याओं (प्राथमिक अभाज्य) की अनंत संख्या है या नहीं।[3]
यह भी अज्ञात है कि प्रत्येक यूक्लिड संख्या एक वर्गमुक्त संख्या है या नहीं।[4]
दूसरी तरह की एक यूक्लिड संख्या (जिसे कुमार संख्या भी कहा जाता है) 'ई' के रूप का पूर्णांक हैn= पीn# − 1, जहां पीn# nवां मौलिक है। ऐसी पहली कुछ संख्याएँ हैं:
1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689, 223092869, 6469693229, 200560490129, ... (sequence A057588 in the OEIS)
जैसा कि यूक्लिड संख्याओं के साथ है, यह ज्ञात नहीं है कि असीम रूप से कई अभाज्य कुमेर संख्याएँ हैं या नहीं। संयुक्त होने वाली इन संख्याओं में से पहली संख्या 209 (संख्या) है।[5]
यह भी देखें
यूक्लिड-मुलिन अनुक्रम
अभाज्य संख्या#अभाज्य संख्याओं की संख्या (यूक्लिड का प्रमेय)
संदर्भ
↑Michael Hardy and Catherine Woodgold, "Prime Simplicity", Mathematical Intelligencer, volume 31, number 4, fall 2009, pages 44–52.
