रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय

This article is about a theorem concerning the dual of a Hilbert space. For the theorems relating linear functionals to measures, see Riesz–Markov–Kakutani representation theorem. For other theorems, see Riesz theorem.

रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय, जिसे कभी-कभी फ्रिगयेस रिज़्ज़ और मौरिस रेने फ़्रेचेट के बाद रिज़्ज़-फ़्रेचेट प्रतिनिधित्व प्रमेय कहा जाता है, हिल्बर्ट स्थान और इसके निरंतर दोहरे स्थान के बीच एक महत्वपूर्ण संबंध स्थापित करता है। यदि अंतर्निहित क्षेत्र (गणित) वास्तविक संख्याएँ हैं, तो दोनों समरूपता समरूपता हैं; यदि अंतर्निहित क्षेत्र सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो दोनों सममितीय रूप से समरूपी विरोधी हैं। (विरोधी) समरूपता एक विशेष प्राकृतिक समरूपता है।

प्रारंभिक और अंकन

होने देना $H$ एक मैदान के ऊपर हिल्बर्ट स्थान बनें $\mathbb {F} ,$ कहाँ $\mathbb {F}$ या तो वास्तविक संख्या है $\mathbb {R}$ या सम्मिश्र संख्याएँ $\mathbb {C} .$ अगर $\mathbb {F} =\mathbb {C}$ (सम्मान यदि $\mathbb {F} =\mathbb {R}$) तब $H$ ए कहा जाता है complex Hilbert space (सम्मान ए real Hilbert space). प्रत्येक वास्तविक हिल्बर्ट स्पेस को एक अद्वितीय (वस्तुनिष्ठ मानचित्र आइसोमेट्री तक) कॉम्प्लेक्स हिल्बर्ट स्पेस के घने उपसमुच्चय के रूप में विस्तारित किया जा सकता है, जिसे इसकी जटिलता कहा जाता है, यही कारण है कि हिल्बर्ट स्पेस को अक्सर स्वचालित रूप से जटिल माना जाता है। वास्तविक और जटिल हिल्बर्ट रिक्त स्थान में कई गुण और परिणाम/प्रमेय समान हैं, लेकिन किसी भी तरह से सभी नहीं।

यह लेख गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी दोनों के लिए है और दोनों के लिए प्रमेय का वर्णन करेगा। गणित और भौतिकी दोनों में, यदि हिल्बर्ट स्थान को वास्तविक माना जाता है (अर्थात, यदि $\mathbb {F} =\mathbb {R}$) तो यह आमतौर पर स्पष्ट कर दिया जाएगा। अक्सर गणित में, और विशेष रूप से भौतिकी में, जब तक कि अन्यथा संकेत न दिया जाए, हिल्बर्ट स्पेस को आमतौर पर स्वचालित रूप से जटिल हिल्बर्ट स्पेस माना जाता है। लेखक के आधार पर, गणित में, हिल्बर्ट स्पेस का मतलब आमतौर पर या तो (1) एक जटिल हिल्बर्ट स्पेस, या (2) एक वास्तविक होता है or जटिल हिल्बर्ट स्थान।

रेखीय और प्रतिरेखीय मानचित्र

परिभाषा के अनुसार, एक प्रतिरेखीय मानचित्र|antilinear map (ए भी कहा जाता है conjugate-linear map) $f:H\to Y$ सदिश स्थानों के बीच का एक मानचित्र है additive:

$$f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,$$

और antilinear (यह भी कहा जाता है conjugate-linear या conjugate-homogeneous):

$$f(cx)={\overline {c}}f(x)\quad {\text{ for all }}x\in H{\text{ and all scalar }}c\in \mathbb {F} .$$

इसके विपरीत, एक नक्शा $f:H\to Y$ यदि यह योगात्मक और समांगी फलन है तो यह रैखिक मानचित्र है|homogeneous:

$$f(cx)=cf(x)\quad {\text{ for all }}x\in H\quad {\text{ and all scalars }}c\in \mathbb {F} .$$

प्रत्येक स्थिरांक $0$ मानचित्र हमेशा रैखिक और प्रतिरेखीय दोनों होता है। अगर $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ तब रैखिक मानचित्रों और प्रतिरेखीय मानचित्रों की परिभाषाएँ पूरी तरह समान हैं। हिल्बर्ट स्पेस से बनच स्थान में (या अधिक सामान्यतः, किसी भी बानाच स्पेस से किसी टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस में) एक रैखिक मानचित्र निरंतर रैखिक ऑपरेटर है यदि और केवल यदि यह बाउंडेड रैखिक ऑपरेटर है; एंटीलीनियर मानचित्रों के बारे में भी यही सच है। किसी भी एंटीलीनियर (सम्मान रैखिक) आक्षेप का व्युत्क्रम कार्य फिर से एक एंटीलाइनियर (सम्मान रैखिक) आक्षेप है। दो की रचना antiरैखिक मानचित्र एक है linear नक्शा।

निरंतर द्वैत और प्रति-द्वैत स्थान

ए functional पर $H$ एक फ़ंक्शन है $H\to \mathbb {F}$ जिसका कोडोमेन अंतर्निहित अदिश क्षेत्र है $\mathbb {F} .$ द्वारा निरूपित करें $H^{*}$ (सम्मान द्वारा) ${\overline {H}}^{*})$ सभी सतत रैखिक (संबंधित निरंतर एंटीलीनियर) कार्यात्मकताओं का सेट $H,$ जिसे कहा जाता है (continuous) dual space (सम्मान (continuous) anti-dual space) का $H.$ अगर $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ फिर रैखिक कार्य चालू $H$ एंटीलीनियर फ़ंक्शंस के समान हैं और परिणामस्वरूप, ऐसे निरंतर मानचित्रों के लिए भी यही सच है: अर्थात, $H^{*}={\overline {H}}^{*}.$ रैखिक और एंटीलीनियर कार्यात्मकताओं के बीच एक-से-एक पत्राचार

किसी भी कार्यात्मकता को देखते हुए $f~:~H\to \mathbb {F} ,$ conjugate of $f$कार्यात्मक है

$${\begin{alignedat}{4}{\overline {f}}:\,&H&&\to \,&&\mathbb {F} \\&h&&\mapsto \,&&{\overline {f(h)}}.\\\end{alignedat}}$$

यह असाइनमेंट तब सबसे उपयोगी होता है जब $\mathbb {F} =\mathbb {C}$ क्योंकि अगर $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ तब $f={\overline {f}}$ और असाइनमेंट $f\mapsto {\overline {f}}$ पहचान मानचित्र तक कम हो जाता है।

सौंपा गया काम $f\mapsto {\overline {f}}$ के सेट से एक एंटीलीनियर बिज़ेक्टिव मानचित्र पत्राचार को परिभाषित करता है

सभी कार्यात्मक (संबंधित सभी रैखिक कार्यात्मक, सभी सतत रैखिक कार्यात्मक $H^{*}$) पर $H,$ के सेट पर

सभी कार्यात्मकताएं (सम्मान सभी) antiरैखिक कार्यात्मकता, सभी निरंतर antiरैखिक कार्यशीलता ${\overline {H}}^{*}$) पर $H.$

गणित बनाम भौतिकी संकेतन और आंतरिक उत्पाद की परिभाषाएँ

हिल्बर्ट स्थान $H$ एक संबद्ध आंतरिक उत्पाद है $H\times H\to \mathbb {F}$ में मूल्यवान $H$अंतर्निहित अदिश क्षेत्र $\mathbb {F}$ यह एक निर्देशांक में रैखिक है और दूसरे में प्रतिरेखीय है (जैसा कि नीचे विस्तार से वर्णित है)। अगर $H$ एक जटिल हिल्बर्ट स्थान है (मतलब, यदि $\mathbb {F} =\mathbb {C}$), जो अक्सर होता है, तो कौन सा निर्देशांक प्रतिरेखीय है और कौन सा रैखिक है, एक बन जाता है very महत्वपूर्ण तकनीकीता. हालांकि, यदि $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ तो आंतरिक उत्पाद एक सममित मानचित्र मानचित्र है जो एक साथ प्रत्येक निर्देशांक में द्विरेखीय मानचित्र|रैखिक (अर्थात, द्विरेखीय) और प्रत्येक निर्देशांक में प्रतिरेखीय होता है। नतीजतन, यह प्रश्न कि कौन सा निर्देशांक रैखिक है और कौन सा प्रतिरेखीय है, वास्तविक संख्या हिल्बर्ट रिक्त स्थान के लिए अप्रासंगिक है।

आंतरिक उत्पाद के लिए संकेतन

गणित में, हिल्बर्ट स्थान पर आंतरिक उत्पाद $H$ प्रायः द्वारा दर्शाया जाता है $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ या $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle _{H}$ जबकि भौतिकी में, ब्रा-केट नोटेशन $\left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle$ या $\left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle _{H}$ इसके स्थान पर आमतौर पर उपयोग किया जाता है। इस आलेख में, ये दो नोटेशन समानता से संबंधित होंगे:

$$\left\langle x,y\right\rangle :=\left\langle y\mid x\right\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H.$$

आंतरिक उत्पाद की प्रतिस्पर्धी परिभाषाएँ

मानचित्र $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ और $\left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle$ माना जाता है कि इसमें निम्नलिखित दो गुण हैं:

1. नक्शा $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ है linear इट्स में first समन्वय; समकक्ष, मानचित्र $\left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle$ अपने आप में रैखिक है secondसमन्वय. स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ यह है कि प्रत्येक निश्चित के लिए $y\in H,$ जिस मानचित्र द्वारा निरूपित किया जाता है $\left\langle \,y\mid \cdot \,\right\rangle =\left\langle \,\cdot ,y\,\right\rangle :H\to \mathbb {F}$ और द्वारा परिभाषित
   $$h\mapsto \left\langle \,y\mid h\,\right\rangle =\left\langle \,h,y\,\right\rangle \quad {\text{ for all }}h\in H$$
   पर एक रैखिक कार्यात्मक है $H.$ * वास्तव में, यह रैखिक कार्यात्मकता निरंतर है, इसलिए $\left\langle \,y\mid \cdot \,\right\rangle =\left\langle \,\cdot ,y\,\right\rangle \in H^{*}.$
2. नक्शा $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ प्रतिरेखीय मानचित्र है|antiइसमें रैखिक second समन्वय; समकक्ष, मानचित्र $\left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle$ है antiइसमें रैखिक firstसमन्वय. स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ यह है कि प्रत्येक निश्चित के लिए $y\in H,$ जिस मानचित्र द्वारा निरूपित किया जाता है $\left\langle \,\cdot \mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,\cdot \,\right\rangle :H\to \mathbb {F}$ और द्वारा परिभाषित
   $$h\mapsto \left\langle \,h\mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,h\,\right\rangle \quad {\text{ for all }}h\in H$$
   पर एक प्रतिरेखीय क्रियात्मक है $H.$
   • वास्तव में, यह एंटीलीनियर फ़ंक्शनल निरंतर है, इसलिए $\left\langle \,\cdot \mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,\cdot \,\right\rangle \in {\overline {H}}^{*}.$

गणित में, प्रचलित परंपरा (अर्थात आंतरिक उत्पाद की परिभाषा) यह है कि आंतरिक उत्पाद है linear in the first अन्य निर्देशांक में समन्वय और प्रतिरेखीय। भौतिकी में, परंपरा/परिभाषा दुर्भाग्य से है opposite, जिसका अर्थ है कि आंतरिक उत्पाद है linear in the second अन्य निर्देशांक में समन्वय और प्रतिरेखीय। यह आलेख एक परिभाषा को दूसरी के ऊपर नहीं चुनेगा। इसके बजाय, ऊपर दी गई धारणाएँ इसे ऐसा बनाती हैं कि गणित का अंकन $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ आंतरिक उत्पाद के लिए गणितीय सम्मेलन/परिभाषा को संतुष्ट करता है (अर्थात, पहले निर्देशांक में रैखिक और दूसरे में एंटीलाइनियर), जबकि भौतिकी ब्रा-केट नोटेशन $\left\langle \cdot |\cdot \right\rangle$ आंतरिक उत्पाद के लिए भौतिकी परंपरा/परिभाषा को संतुष्ट करता है (अर्थात, दूसरे निर्देशांक में रैखिक और दूसरे में एंटीलाइनियर)। नतीजतन, उपरोक्त दो धारणाएं प्रत्येक क्षेत्र में उपयोग किए गए नोटेशन को उस क्षेत्र के सम्मेलन/परिभाषा के अनुरूप बनाती हैं जिसके लिए समन्वय रैखिक है और जो एंटीलाइनियर है।

दोहरे स्थान और एंटी-डुअल स्पेस पर विहित मानदंड और आंतरिक उत्पाद

अगर $x=y$ तब $\langle \,x\mid x\,\rangle =\langle \,x,x\,\rangle$ एक गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या और मानचित्र है

$$\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}={\sqrt {\langle x\mid x\rangle }}$$

पर एक नॉर्म (गणित) को परिभाषित करता है $H$ कि बनाता है $H$ एक मानक स्थान में. सभी मानक स्थानों की तरह, (निरंतर) दोहरा स्थान $H^{*}$ एक विहित मानदंड रखता है, जिसे कहा जाता है dual norm, द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\|f\|_{H^{*}}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in H^{*}.$$

(निरंतर) विरोधी द्वैत स्थान पर विहित मानदंड ${\overline {H}}^{*},$ द्वारा चिह्नित $\|f\|_{{\overline {H}}^{*}},$ इसी समीकरण का उपयोग करके परिभाषित किया गया है:

$$\|f\|_{{\overline {H}}^{*}}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in {\overline {H}}^{*}.$$
 यह विहित मानदंड चालू है $H^{*}$ समांतर चतुर्भुज नियम को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि ध्रुवीकरण पहचान का उपयोग परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है canonical inner product on $H^{*},$ जिसे यह आलेख नोटेशन द्वारा निरूपित करेगा
$$\left\langle f,g\right\rangle _{H^{*}}:=\left\langle g\mid f\right\rangle _{H^{*}},$$
 जहाँ यह आंतरिक उत्पाद मुड़ता है $H^{*}$ हिल्बर्ट स्थान में. किसी मानक को परिभाषित करने के अब दो तरीके हैं $H^{*}:$ इस आंतरिक उत्पाद द्वारा प्रेरित मानदंड (अर्थात्, द्वारा परिभाषित मानदंड $f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{H^{*}}}}$) और सामान्य दोहरा मानदंड (बंद इकाई गेंद पर सर्वोच्च के रूप में परिभाषित)। ये मानदंड समान हैं; स्पष्ट रूप से, इसका मतलब यह है कि निम्नलिखित प्रत्येक के लिए मान्य है $f\in H^{*}:$

$$\sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|=\|f\|_{H^{*}}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{H^{*}}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{H^{*}}}}.$$

जैसा कि बाद में वर्णित किया जाएगा, रीज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय का उपयोग विहित मानदंड और विहित आंतरिक उत्पाद की समकक्ष परिभाषा देने के लिए किया जा सकता है $H^{*}.$ ऊपर उपयोग किए गए समान समीकरणों का उपयोग मानक और आंतरिक उत्पाद को परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है $H$का एंटी-डुअल स्पेस है ${\overline {H}}^{*}.$

दोहरे और एंटीडुअल के बीच कैनोनिकल आइसोमेट्री

जटिल संयुग्म ${\overline {f}}$ एक कार्यात्मक का $f,$ जो ऊपर परिभाषित किया गया था, संतुष्ट करता है

$$\|f\|_{H^{*}}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {H}}^{*}}\quad {\text{ and }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\|_{H^{*}}~=~\|g\|_{{\overline {H}}^{*}}$$

हरएक के लिए $f\in H^{*}$ और हर $g\in {\overline {H}}^{*}.$ यह बिल्कुल यही कहता है कि कैनोनिकल एंटीलीनियर बायजेक्टिव मानचित्र द्वारा परिभाषित किया गया है

$${\begin{alignedat}{4}\operatorname {Cong} :\;&&H^{*}&&\;\to \;&{\overline {H}}^{*}\\[0.3ex]&&f&&\;\mapsto \;&{\overline {f}}\\\end{alignedat}}$$

साथ ही इसका उलटा भी $\operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {H}}^{*}\to H^{*}$ एंटीलीनियर आइसोमेट्री हैं और परिणामस्वरूप होमियोमोर्फिज्म भी हैं। दोहरे स्थान पर आंतरिक उत्पाद $H^{*}$ और एंटी-डुअल स्पेस ${\overline {H}}^{*},$ द्वारा क्रमशः निरूपित किया गया $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{H^{*}}$ और $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {H}}^{*}},$ से संबंधित हैं

$$\langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {H}}^{*}}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{H^{*}}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{H^{*}}\qquad {\text{ for all }}f,g\in H^{*}$$

और

$$\langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{H^{*}}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{{\overline {H}}^{*}}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {H}}^{*}}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {H}}^{*}.$$

अगर $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ तब $H^{*}={\overline {H}}^{*}$ और यह विहित मानचित्र $\operatorname {Cong} :H^{*}\to {\overline {H}}^{*}$ पहचान मानचित्र तक कम हो जाता है।

रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय

दो वैक्टर $x$ और $y$ हैं orthogonal अगर $\langle x,y\rangle =0,$ जो घटित होता है यदि और केवल यदि $\|y\|\leq \|y+sx\|$ सभी अदिश राशि वालों के लिए $s.$ किसी उपसमुच्चय का ओर्थोगोनल पूरक $C\subseteq H$ है

$$C^{\bot }:=\{\,y\in H:\langle y,c\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\,\},$$

जो सदैव एक बंद सदिश उपसमष्टि होती है $H.$ हिल्बर्ट प्रक्षेपण प्रमेय इसकी गारंटी देता है कि किसी भी गैर-खाली बंद उत्तल उपसमुच्चय के लिए $C$ हिल्बर्ट स्थान में एक अद्वितीय वेक्टर मौजूद है $m\in C$ ऐसा है कि $\|m\|=\inf _{c\in C}\|c\|;$ वह है, $m\in C$ फ़ंक्शन का (अद्वितीय) वैश्विक न्यूनतम बिंदु है $C\to [0,\infty )$ द्वारा परिभाषित $c\mapsto \|c\|.$

कथन

Riesz representation theorem — Let $H$ be a Hilbert space whose inner product $\left\langle x,y\right\rangle$ is linear in its first argument and antilinear in its second argument and let $\langle y\mid x\rangle :=\langle x,y\rangle$ be the corresponding physics notation. For every continuous linear functional $\varphi \in H^{*},$ there exists a unique vector $f_{\varphi }\in H,$ called the Riesz representation of $\varphi ,$ such that

$$\varphi (x)=\left\langle x,f_{\varphi }\right\rangle =\left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle \quad {\text{ for all }}x\in H.$$

Importantly for complex Hilbert spaces, $f_{\varphi }$ is always located in the antilinear coordinate of the inner product.

Furthermore, the length of the representation vector is equal to the norm of the functional:

$$\left\|f_{\varphi }\right\|_{H}=\|\varphi \|_{H^{*}},$$

and $f_{\varphi }$ is the unique vector $f_{\varphi }\in \left(\ker \varphi \right)^{\bot }$ with $\varphi \left(f_{\varphi }\right)=\|\varphi \|^{2}.$ It is also the unique element of minimum norm in $C:=\varphi ^{-1}\left(\|\varphi \|^{2}\right)$; that is to say, $f_{\varphi }$ is the unique element of $C$ satisfying $\left\|f_{\varphi }\right\|=\inf _{c\in C}\|c\|.$ Moreover, any non-zero $q\in (\ker \varphi )^{\bot }$ can be written as $q=\left(\|q\|^{2}/\,{\overline {\varphi (q)}}\right)\ f_{\varphi }.$

Corollary — The canonical map from $H$ into its dual $H^{*}$ is the injective antilinear operator isometry

$${\begin{alignedat}{4}\Phi :\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,\cdot \,,y\rangle =\langle y|\,\cdot \,\rangle \\\end{alignedat}}$$

The Riesz representation theorem states that this map is surjective (and thus bijective) when $H$ is complete and that its inverse is the bijective isometric antilinear isomorphism

$${\begin{alignedat}{4}\Phi ^{-1}:\;&&H^{*}&&\;\to \;&H\\[0.3ex]&&\varphi &&\;\mapsto \;&f_{\varphi }\\\end{alignedat}}.$$

Consequently, every continuous linear functional on the Hilbert space $H$ can be written uniquely in the form $\langle y\,|\,\cdot \,\rangle$ where $\|\langle y\,|\cdot \rangle \|_{H^{*}}=\|y\|_{H}$ for every $y\in H.$ The assignment $y\mapsto \langle y,\cdot \rangle =\langle \cdot \,|\,y\rangle$ can also be viewed as a bijective linear isometry $H\to {\overline {H}}^{*}$ into the anti-dual space of $H,$ which is the complex conjugate vector space of the continuous dual space $H^{*}.$

The inner products on $H$ and $H^{*}$ are related by

$$\left\langle \Phi h,\Phi k\right\rangle _{H^{*}}={\overline {\langle h,k\rangle }}_{H}=\langle k,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H$$

and similarly,

$$\left\langle \Phi ^{-1}\varphi ,\Phi ^{-1}\psi \right\rangle _{H}={\overline {\langle \varphi ,\psi \rangle }}_{H^{*}}=\left\langle \psi ,\varphi \right\rangle _{H^{*}}\quad {\text{ for all }}\varphi ,\psi \in H^{*}.$$

The set $C:=\varphi ^{-1}\left(\|\varphi \|^{2}\right)$ satisfies $C=f_{\varphi }+\ker \varphi$ and $C-C=\ker \varphi$ so when $f_{\varphi }\neq 0$ then $C$ can be interpreted as being the affine hyperplane that is parallel to the vector subspace $\ker \varphi$ and contains $f_{\varphi }.$

For $y\in H,$ the physics notation for the functional $\Phi (y)\in H^{*}$ is the bra $\langle y|,$ where explicitly this means that $\langle y|:=\Phi (y),$ which complements the ket notation $|y\rangle$ defined by $|y\rangle :=y.$ In the mathematical treatment of quantum mechanics, the theorem can be seen as a justification for the popular bra–ket notation. The theorem says that, every bra $\langle \psi \,|$ has a corresponding ket $|\,\psi \rangle ,$ and the latter is unique.

ऐतिहासिक रूप से, प्रमेय को अक्सर 1907 में फ्रिगयेस रिज़ और मौरिस रेने फ़्रेचेट|फ़्रेचेट को एक साथ जिम्मेदार ठहराया जाता है (संदर्भ देखें)।

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:left; " | Proof

होने देना $\mathbb {F}$ के अंतर्निहित अदिश क्षेत्र को निरूपित करें $H.$ Proof of norm formula: हल करना $y\in H.$ परिभाषित करना $\Lambda :H\to \mathbb {F}$ द्वारा $\Lambda (z):=\langle \,y\,|\,z\,\rangle ,$ जो एक रैखिक क्रियात्मक है $H$ तब से $z$ रैखिक तर्क में है. कॉची-श्वार्ज़ असमानता द्वारा, $$|\Lambda (z)|=|\langle \,y\,|\,z\,\rangle |\leq \|y\|\|z\|$$ जो यह दर्शाता है $\Lambda$ परिबद्ध है (समतुल्य, सतत रैखिक कार्यात्मक) और वह $\|\Lambda \|\leq \|y\|.$ ये तो दिखाना बाकी है $\|y\|\leq \|\Lambda \|.$ का उपयोग करके $y$ की जगह $z,$ यह इस प्रकार है कि $$\|y\|^{2}=\langle \,y\,|\,y\,\rangle =\Lambda y=|\Lambda (y)|\leq \|\Lambda \|\|y\|$$ (समानता $\Lambda y=|\Lambda (y)|$ धारण करता है क्योंकि $\Lambda y=\|y\|^{2}\geq 0$ वास्तविक और गैर-नकारात्मक है)। इस प्रकार वह $\|\Lambda \|=\|y\|.$ $\blacksquare$ उपरोक्त प्रमाण में इस तथ्य का उपयोग नहीं किया गया है $H$ पूर्ण मीट्रिक स्थान है, जो दर्शाता है कि मानक का सूत्र $\|\langle \,y\,|\,\cdot \,\rangle \|_{H^{*}}=\|y\|_{H}$ सभी आंतरिक उत्पाद स्थानों के लिए अधिक सामान्यतः धारण करता है। Proof that a Riesz representation of $\varphi$ is unique: कल्पना करना $f,g\in H$ ऐसे हैं $\varphi (z)=\langle \,f\,|\,z\,\rangle$ और $\varphi (z)=\langle \,g\,|\,z\,\rangle$ सभी के लिए $z\in H.$ तब $$\langle \,f-g\,|\,z\,\rangle =\langle \,f\,|\,z\,\rangle -\langle \,g\,|\,z\,\rangle =\varphi (z)-\varphi (z)=0\quad {\text{ for all }}z\in H$$ जो यह दर्शाता है $\Lambda :=\langle \,f-g\,|\,\cdot \,\rangle$ स्थिरांक है $0$ रैखिक कार्यात्मक. फलस्वरूप $0=\|\langle \,f-g\,|\,\cdot \,\rangle \|=\|f-g\|,$ जिसका तात्पर्य यह है $f-g=0.$ $\blacksquare$ Proof that a vector $f_{\varphi }$ representing $\varphi$ exists: होने देना $K:=\ker \varphi :=\{m\in H:\varphi (m)=0\}.$ अगर $K=H$ (या समकक्ष, यदि $\varphi =0$) फिर ले रहा हूँ $f_{\varphi }:=0$ प्रमाण पूरा करता है इसलिए मान लीजिए $K\neq H$ और $\varphi \neq 0.$ की निरंतरता $\varphi$ इसका आशय है $K$ का एक बंद उपस्थान है $H$ (क्योंकि $K=\varphi ^{-1}(\{0\})$ और $\{0\}$ का एक बंद उपसमुच्चय है $\mathbb {F}$). होने देना $$K^{\bot }:=\{v\in H~:~\langle \,v\,|\,k\,\rangle =0~{\text{ for all }}k\in K\}$$ के ऑर्थोगोनल पूरक को निरूपित करें $K$ में $H.$ क्योंकि $K$ बंद है और $H$ एक हिल्बर्ट स्थान है, $H$ प्रत्यक्ष योग के रूप में लिखा जा सकता है $H=K\oplus K^{\bot }$ (इसका प्रमाण हिल्बर्ट प्रक्षेपण प्रमेय पर लेख में दिया गया है)। क्योंकि $K\neq H,$ वहाँ कुछ गैर-शून्य मौजूद है $p\in K^{\bot }.$ किसी के लिए $h\in H,$ $$\varphi [(\varphi h)p-(\varphi p)h]~=~\varphi [(\varphi h)p]-\varphi [(\varphi p)h]~=~(\varphi h)\varphi p-(\varphi p)\varphi h=0,$$ जो यह दर्शाता है $(\varphi h)p-(\varphi p)h~\in ~\ker \varphi =K,$ कहाँ हैं $p\in K^{\bot }$ तात्पर्य $$0=\langle \,p\,|\,(\varphi h)p-(\varphi p)h\,\rangle ~=~\langle \,p\,|\,(\varphi h)p\,\rangle -\langle \,p\,|\,(\varphi p)h\,\rangle ~=~(\varphi h)\langle \,p\,|\,p\,\rangle -(\varphi p)\langle \,p\,|\,h\,\rangle .$$ के लिए समाधान $\varphi h$ पता चलता है कि $$\varphi h={\frac {(\varphi p)\langle \,p\,|\,h\,\rangle }{\|p\|^{2}}}=\left\langle \,{\frac {\overline {\varphi p}}{\|p\|^{2}}}p\,{\Bigg |}\,h\,\right\rangle \quad {\text{ for every }}h\in H,$$ जो सिद्ध करता है कि सदिश $f_{\varphi }:={\frac {\overline {\varphi p}}{\|p\|^{2}}}p$ संतुष्ट $\varphi h=\langle \,f_{\varphi }\,|\,h\,\rangle {\text{ for every }}h\in H.$ मानक सूत्र को लागू करना जो ऊपर सिद्ध किया गया था $y:=f_{\varphi }$ पता चलता है कि $\|\varphi \|_{H^{*}}=\left\|\left\langle \,f_{\varphi }\,|\,\cdot \,\right\rangle \right\|_{H^{*}}=\left\|f_{\varphi }\right\|_{H}.$ इसके अलावा, वेक्टर $u:={\frac {p}{\|p\|}}$ मानक है $\|u\|=1$ और संतुष्ट करता है $f_{\varphi }:={\overline {\varphi (u)}}u.$ $\blacksquare$ इसका अंदाजा अब लगाया जा सकता है $K^{\bot }$ है $1$-आयामी जब $\varphi \neq 0.$ होने देना $q\in K^{\bot }$ कोई भी गैर-शून्य वेक्टर हो। की जगह $p$ साथ $q$ उपरोक्त प्रमाण से पता चलता है कि वेक्टर $g:={\frac {\overline {\varphi q}}{\|q\|^{2}}}q$ संतुष्ट $\varphi (h)=\langle \,g\,|\,h\,\rangle$ हरएक के लिए $h\in H.$ (गैर-शून्य) वेक्टर की विशिष्टता $f_{\varphi }$ का प्रतिनिधित्व $\varphi$ इसका आशय है $f_{\varphi }=g,$ जो बदले में इसका तात्पर्य है ${\overline {\varphi q}}\neq 0$ और $q={\frac {\|q\|^{2}}{\overline {\varphi q}}}f_{\varphi }.$ इस प्रकार प्रत्येक वेक्टर $K^{\bot }$ का एक अदिश गुणज है $f_{\varphi }.$ $\blacksquare$ आंतरिक उत्पादों के सूत्र ध्रुवीकरण पहचान से अनुसरण करते हैं।

अवलोकन

अगर $\varphi \in H^{*}$ तब

$$\varphi \left(f_{\varphi }\right)=\left\langle f_{\varphi },f_{\varphi }\right\rangle =\left\|f_{\varphi }\right\|^{2}=\|\varphi \|^{2}.$$
 तो विशेष रूप से, $\varphi \left(f_{\varphi }\right)\geq 0$ हमेशा वास्तविक होता है और इसके अलावा, $\varphi \left(f_{\varphi }\right)=0$ अगर और केवल अगर $f_{\varphi }=0$ अगर और केवल अगर $\varphi =0.$ एफ़िन हाइपरप्लेन के रूप में रैखिक कार्य

एक गैर-तुच्छ सतत रैखिक कार्यात्मकता $\varphi$ इसे अक्सर एफ़िन हाइपरप्लेन के साथ पहचानकर ज्यामितीय रूप से व्याख्या की जाती है $A:=\varphi ^{-1}(1)$ (कर्नेल $\ker \varphi =\varphi ^{-1}(0)$ को भी अक्सर साथ में देखा जाता है $A:=\varphi ^{-1}(1)$ यद्यपि जानते हुए भी $A$ पुनर्निर्माण के लिए पर्याप्त है $\ker \varphi$ क्योंकि अगर $A=\varnothing$ तब $\ker \varphi =H$ और अन्यथा $\ker \varphi =A-A$). विशेष रूप से, का आदर्श $\varphi$ इसे किसी तरह हाइपरप्लेन के मानक के रूप में व्याख्यायित किया जाना चाहिए $A$. कब $\varphi \neq 0$ तब रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय ऐसी व्याख्या प्रदान करता है $\|\varphi \|$ एफ़िन हाइपरप्लेन के संदर्भ में $A:=\varphi ^{-1}(1)$ इस प्रकार: प्रमेय के कथन से संकेतन का उपयोग करते हुए $\|\varphi \|^{2}\neq 0$ यह इस प्रकार है कि $C:=\varphi ^{-1}\left(\|\varphi \|^{2}\right)=\|\varphi \|^{2}\varphi ^{-1}(1)=\|\varphi \|^{2}A$ इसलिए $\|\varphi \|=\left\|f_{\varphi }\right\|=\inf _{c\in C}\|c\|$ तात्पर्य $\|\varphi \|=\inf _{a\in A}\|\varphi \|^{2}\|a\|$ और इस तरह $\|\varphi \|={\frac {1}{\inf _{a\in A}\|a\|}}.$ इसे हिल्बर्ट प्रक्षेपण प्रमेय को लागू करके भी देखा जा सकता है $A$ और निष्कर्ष निकाला कि मानचित्र का वैश्विक न्यूनतम बिंदु $A\to [0,\infty )$ द्वारा परिभाषित $a\mapsto \|a\|$ है ${\frac {f_{\varphi }}{\|\varphi \|^{2}}}\in A.$ सूत्र

$${\frac {1}{\inf _{a\in A}\|a\|}}=\sup _{a\in A}{\frac {1}{\|a\|}}$$

रैखिक कार्यात्मक मानदंड की वादा की गई व्याख्या प्रदान करें $\|\varphi \|$ पूरी तरह से इसके संबद्ध एफ़िन हाइपरप्लेन के संदर्भ में $A=\varphi ^{-1}(1)$ (क्योंकि इस सूत्र के साथ, केवल जानना set $A$ इसके संबद्ध रैखिक के मानदंड का वर्णन करने के लिए पर्याप्त है functional). परिभाषित ${\frac {1}{\infty }}:=0,$ निम्नतम सूत्र

$$\|\varphi \|={\frac {1}{\inf _{a\in \varphi ^{-1}(1)}\|a\|}}$$

भी कब पकड़ेगा $\varphi =0.$ जब सुप्रीम को अंदर ले लिया जाता है $\mathbb {R}$ (जैसा कि आम तौर पर माना जाता है), तो खाली सेट का सर्वोच्च है $\sup \varnothing =-\infty$ लेकिन यदि सर्वोच्च को गैर-नकारात्मक वास्तविकताओं में लिया जाता है $[0,\infty )$ (जो मानक के फ़ंक्शन/रेंज की छवि है $\|\,\cdot \,\|$ कब $\dim H>0$) तो इसके स्थान पर यह सर्वोच्च है $\sup \varnothing =0,$ किस मामले में सर्वोच्च सूत्र $\|\varphi \|=\sup _{a\in \varphi ^{-1}(1)}{\frac {1}{\|a\|}}$ भी कब पकड़ेगा $\varphi =0$ (यद्यपि असामान्य समानता $\sup \varnothing =0$ आमतौर पर अप्रत्याशित होता है और इसलिए भ्रम पैदा होने का जोखिम होता है)।

निरूपित वेक्टर की रचनाएँ

उपरोक्त प्रमेय से संकेतन का उपयोग करते हुए, निर्माण के कई तरीके $f_{\varphi }$ से $\varphi \in H^{*}$ अब वर्णित हैं. अगर $\varphi =0$ तब $f_{\varphi }:=0$; दूसरे शब्दों में,

$$f_{0}=0.$$

यह विशेष मामला $\varphi =0$ अब से ज्ञात माना जाता है, यही कारण है कि नीचे दिए गए कुछ निर्माण मानकर शुरू होते हैं $\varphi \neq 0.$ कर्नेल का ऑर्थोगोनल पूरक

अगर $\varphi \neq 0$ फिर किसी के लिए $0\neq u\in (\ker \varphi )^{\bot },$

$$f_{\varphi }:={\frac {{\overline {\varphi (u)}}u}{\|u\|^{2}}}.$$

अगर $u\in (\ker \varphi )^{\bot }$ एक इकाई सदिश है (अर्थ $\|u\|=1$) तब

$$f_{\varphi }:={\overline {\varphi (u)}}u$$

(यह सच है भले ही $\varphi =0$ क्योंकि इस मामले में $f_{\varphi }={\overline {\varphi (u)}}u={\overline {0}}u=0$). अगर $u$ यदि एक इकाई सदिश उपरोक्त शर्त को संतुष्ट करता है तो भी यही सच है $-u,$ जो कि एक इकाई सदिश भी है $(\ker \varphi )^{\bot }.$ हालाँकि, ${\overline {\varphi (-u)}}(-u)={\overline {\varphi (u)}}u=f_{\varphi }$ इसलिए इन दोनों वैक्टरों का परिणाम एक ही होता है $f_{\varphi }.$ कर्नेल पर ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण

अगर $x\in H$ इस प्रकार कि $\varphi (x)\neq 0$ और अगर $x_{K}$ का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है $x$ पर $\ker \varphi$ तब

$$f_{\varphi }={\frac {\|\varphi \|^{2}}{\varphi (x)}}\left(x-x_{K}\right).$$

ऑर्थोनॉर्मल आधार

लम्बवत् आधार दिया गया है $\left\{e_{i}\right\}_{i\in I}$ का $H$ और एक सतत रैखिक कार्यात्मकता $\varphi \in H^{*},$ सदिश $f_{\varphi }\in H$ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्मित किया जा सकता है

$$f_{\varphi }=\sum _{i\in I}{\overline {\varphi \left(e_{i}\right)}}e_{i}$$
 जहां सभी लेकिन अधिक से अधिक गिनती में बहुत सारे $\varphi \left(e_{i}\right)$ के बराबर होगा $0$ और का मूल्य कहां है $f_{\varphi }$ वास्तव में ऑर्थोनॉर्मल आधार की पसंद पर निर्भर नहीं होता है (अर्थात, इसके लिए किसी अन्य ऑर्थोनॉर्मल आधार का उपयोग करना)। $H$ परिणाम एक ही वेक्टर में होगा)।

अगर $y\in H$ के रूप में लिखा गया है $y=\sum _{i\in I}a_{i}e_{i}$ तब

$$\varphi (y)=\sum _{i\in I}\varphi \left(e_{i}\right)a_{i}=\langle f_{\varphi }|y\rangle$$

और

$$\left\|f_{\varphi }\right\|^{2}=\varphi \left(f_{\varphi }\right)=\sum _{i\in I}\varphi \left(e_{i}\right){\overline {\varphi \left(e_{i}\right)}}=\sum _{i\in I}\left|\varphi \left(e_{i}\right)\right|^{2}=\|\varphi \|^{2}.$$

यदि ऑर्थोनॉर्मल आधार $\left\{e_{i}\right\}_{i\in I}=\left\{e_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }$ एक क्रम है तो यह बन जाता है

$$f_{\varphi }={\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}}e_{1}+{\overline {\varphi \left(e_{2}\right)}}e_{2}+\cdots$$
 और अगर $y\in H$ के रूप में लिखा गया है $y=\sum _{i\in I}a_{i}e_{i}=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots$ तब
$$\varphi (y)=\varphi \left(e_{1}\right)a_{1}+\varphi \left(e_{2}\right)a_{2}+\cdots =\langle f_{\varphi }|y\rangle .$$

मैट्रिक्स परिवर्तनों का उपयोग करके परिमित आयामों में उदाहरण

के विशेष मामले पर विचार करें $H=\mathbb {C} ^{n}$ (कहाँ $n>0$ एक पूर्णांक है) मानक आंतरिक उत्पाद के साथ

$$\langle z\mid w\rangle :={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}\qquad {\text{ for all }}\;w,z\in H$$
 कहाँ $w{\text{ and }}z$ कॉलम मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया गया है ${\vec {w}}:={\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}$ और ${\vec {z}}:={\begin{bmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{bmatrix}}$ मानक ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में $e_{1},\ldots ,e_{n}$ पर $H$ (यहाँ, $e_{i}$ है $1$ पर इसके $i$वेंसमन्वय और $0$ हर जगह; हमेशा की तरह, $H^{*}$ अब दोहरे आधार से जुड़ा होगा) और कहां ${\overline {\,{\vec {z}}\,}}^{\operatorname {T} }:=\left[{\overline {z_{1}}},\ldots ,{\overline {z_{n}}}\right]$ के संयुग्म स्थानान्तरण को दर्शाता है ${\vec {z}}.$ होने देना $\varphi \in H^{*}$ कोई भी रैखिक कार्यात्मक हो और चलो $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\in \mathbb {C}$ ऐसे अद्वितीय अदिश बनें
$$\varphi \left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)=\varphi _{1}w_{1}+\cdots +\varphi _{n}w_{n}\qquad {\text{ for all }}\;w:=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)\in H,$$
 जहां यह दिखाया जा सके $\varphi _{i}=\varphi \left(e_{i}\right)$ सभी के लिए $i=1,\ldots ,n.$ फिर रिज़्ज़ का प्रतिनिधित्व $\varphi$ वेक्टर है
$$f_{\varphi }~:=~{\overline {\varphi _{1}}}e_{1}+\cdots +{\overline {\varphi _{n}}}e_{n}~=~\left({\overline {\varphi _{1}}},\ldots ,{\overline {\varphi _{n}}}\right)\in H.$$

इसका कारण जानने के लिए, प्रत्येक वेक्टर को पहचानें $w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)$ में $H$ कॉलम मैट्रिक्स के साथ

${\vec {w}}:={\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}$ ताकि $f_{\varphi }$ से पहचाना जाता है ${\vec {f_{\varphi }}}:={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}}\\\vdots \\{\overline {\varphi \left(e_{n}\right)}}\end{bmatrix}}.$ हमेशा की तरह, रैखिक कार्यात्मकता की भी पहचान करें $\varphi$ इसके परिवर्तन मैट्रिक्स के साथ, जो पंक्ति मैट्रिक्स है ${\vec {\varphi }}:=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]$ ताकि ${\vec {f_{\varphi }}}:={\overline {\,{\vec {\varphi }}\,\,}}^{\operatorname {T} }$ और समारोह $\varphi$ असाइनमेंट है ${\vec {w}}\mapsto {\vec {\varphi }}\,{\vec {w}},$ जहां दाहिनी ओर मैट्रिक्स गुणन है। फिर सबके लिए $w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)\in H,$

$$\varphi (w)=\varphi _{1}w_{1}+\cdots +\varphi _{n}w_{n}=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]{\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}={\overline {\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}={\overline {\,{\vec {f_{\varphi }}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}=\left\langle \,\,f_{\varphi }\,\mid \,w\,\right\rangle ,$$

जो यह दर्शाता है $f_{\varphi }$ रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व की परिभाषित स्थिति को संतुष्ट करता है $\varphi .$ विशेषण एंटीलिनियर आइसोमेट्री $\Phi :H\to H^{*}$ रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय के परिणाम में परिभाषित वह असाइनमेंट है जो भेजता है $z=\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)\in H$ रैखिक कार्यात्मक के लिए $\Phi (z)\in H^{*}$ पर $H$ द्वारा परिभाषित

$$w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)~\mapsto ~\langle \,z\,\mid \,w\,\rangle ={\overline {z_{1}}}w_{1}+\cdots +{\overline {z_{n}}}w_{n},$$
 जहां वैक्टर की पहचान के तहत $H$ कॉलम मैट्रिसेस और वेक्टर के साथ $H^{*}$ पंक्ति मैट्रिक्स के साथ, $\Phi$ सिर्फ असाइनमेंट है
$${\vec {z}}={\begin{bmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{bmatrix}}~\mapsto ~{\overline {\,{\vec {z}}\,}}^{\operatorname {T} }=\left[{\overline {z_{1}}},\ldots ,{\overline {z_{n}}}\right].$$
 जैसा कि परिणाम में वर्णित है, $\Phi$का उलटा $\Phi ^{-1}:H^{*}\to H$ एंटीलिनियर आइसोमेट्री है $\varphi \mapsto f_{\varphi },$ जो अभी ऊपर दिखाया गया था:
$$\varphi ~\mapsto ~f_{\varphi }~:=~\left({\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}},\ldots ,{\overline {\varphi \left(e_{n}\right)}}\right);$$
 जहां मैट्रिक्स के संदर्भ में, $\Phi ^{-1}$ असाइनमेंट है
$${\vec {\varphi }}=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]~\mapsto ~{\overline {\,{\vec {\varphi }}\,\,}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}.$$
 इस प्रकार मैट्रिक्स के संदर्भ में, प्रत्येक $\Phi :H\to H^{*}$ और $\Phi ^{-1}:H^{*}\to H$ केवल संयुग्म ट्रांसपोज़ का संचालन है ${\vec {v}}\mapsto {\overline {\,{\vec {v}}\,}}^{\operatorname {T} }$ (हालांकि मैट्रिक्स के विभिन्न स्थानों के बीच: यदि $H$ तब सभी कॉलम (क्रमशः, पंक्ति) मैट्रिक्स के स्थान से पहचाना जाता है $H^{*}$ सभी पंक्ति (क्रमशः, स्तंभ मैट्रिक्स) के स्थान से पहचाना जाता है।

इस उदाहरण में मानक आंतरिक उत्पाद का उपयोग किया गया है, जो कि मानचित्र है $\langle z\mid w\rangle :={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}},$ लेकिन यदि किसी भिन्न आंतरिक उत्पाद का उपयोग किया जाता है, जैसे $\langle z\mid w\rangle _{M}:={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }\,M\,{\vec {w}}\,$ कहाँ $M$ क्या कोई हर्मिटियन मैट्रिक्स सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है, या यदि एक अलग ऑर्थोनॉर्मल आधार का उपयोग किया जाता है तो परिवर्तन मैट्रिक्स, और इस प्रकार उपरोक्त सूत्र भी भिन्न होंगे।

संबद्ध वास्तविक हिल्बर्ट स्थान के साथ संबंध

See also: Complexification

ये मान लीजिए $H$ आंतरिक उत्पाद के साथ एक जटिल हिल्बर्ट स्थान है $\langle \,\cdot \mid \cdot \,\rangle .$ जब हिल्बर्ट स्थान $H$ वास्तविक हिल्बर्ट स्थान के रूप में पुनः व्याख्या की जाती है तो इसे निरूपित किया जाएगा $H_{\mathbb {R} },$ जहां (वास्तविक) आंतरिक-उत्पाद चालू है $H_{\mathbb {R} }$ का असली हिस्सा है $H$का आंतरिक उत्पाद; वह है:

$$\langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {re} \langle x,y\rangle .$$
 आदर्श चालू $H_{\mathbb {R} }$ प्रेरक $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{\mathbb {R} }$ पर मूल मानदंड के बराबर है $H$ और का सतत दोहरा स्थान $H_{\mathbb {R} }$ सबका समुच्चय है real-मूल्यवान परिबद्ध $\mathbb {R}$-रेखीय कार्य चालू $H_{\mathbb {R} }$ (इस संबंध के बारे में अतिरिक्त विवरण के लिए ध्रुवीकरण पहचान के बारे में लेख देखें)।

होने देना $\psi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {re} \psi$ और $\psi _{i}:=\operatorname {im} \psi$ एक रैखिक कार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भागों को निरूपित करें $\psi ,$ ताकि $\psi =\operatorname {re} \psi +i\operatorname {im} \psi =\psi _{\mathbb {R} }+i\psi _{i}.$ सूत्र एक रैखिक कार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भागों को उसके वास्तविक भाग के संदर्भ में बताता है

$$\psi (h)=\psi _{\mathbb {R} }(h)-i\psi _{\mathbb {R} }(ih)\quad {\text{ for }}h\in H,$$

कहाँ $\psi _{i}(h)=-i\psi _{\mathbb {R} }(ih)$ सभी के लिए $h\in H.$ यह इस प्रकार है कि $\ker \psi _{\mathbb {R} }=\psi ^{-1}(i\mathbb {R} ),$ ओर वो $\psi =0$ अगर और केवल अगर $\psi _{\mathbb {R} }=0.$ वो भी दिखाया जा सकता है $\|\psi \|=\left\|\psi _{\mathbb {R} }\right\|=\left\|\psi _{i}\right\|$ कहाँ $\left\|\psi _{\mathbb {R} }\right\|:=\sup _{\|h\|\leq 1}\left|\psi _{\mathbb {R} }(h)\right|$ और $\left\|\psi _{i}\right\|:=\sup _{\|h\|\leq 1}\left|\psi _{i}(h)\right|$ सामान्य ऑपरेटर मानदंड हैं। विशेष रूप से, एक रैखिक कार्यात्मक $\psi$ सीमाबद्ध है यदि और केवल यदि इसका वास्तविक भाग है $\psi _{\mathbb {R} }$ घिरा है।

एक कार्यात्मक और उसके वास्तविक भाग का प्रतिनिधित्व करना

एक सतत रैखिक फलन का रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व $\varphi$ एक जटिल हिल्बर्ट स्थान पर इसके वास्तविक भाग के रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व के बराबर है $\operatorname {re} \varphi$ इसके संबद्ध वास्तविक हिल्बर्ट स्थान पर।

स्पष्ट रूप से, चलो $\varphi \in H^{*}$ और जैसा ऊपर बताया गया है, चलो $f_{\varphi }\in H$ का रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व हो $\varphi$ में प्राप्त किया गया $(H,\langle ,\cdot ,\cdot \rangle ),$ तो यह अद्वितीय वेक्टर है जो संतुष्ट करता है $\varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle$ सभी के लिए $x\in H.$ का असली हिस्सा $\varphi$ पर एक सतत वास्तविक रैखिक कार्यात्मक है $H_{\mathbb {R} }$ और इसलिए रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय को लागू किया जा सकता है $\varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {re} \varphi$ और संबंधित वास्तविक हिल्बर्ट स्थान $\left(H_{\mathbb {R} },\langle ,\cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }\right)$ इसके रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व का उत्पादन करने के लिए, जिसे द्वारा दर्शाया जाएगा $f_{\varphi _{\mathbb {R} }}.$ वह है, $f_{\varphi _{\mathbb {R} }}$ में अद्वितीय वेक्टर है $H_{\mathbb {R} }$ जो संतुष्ट करता है $\varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\mid x\right\rangle _{\mathbb {R} }$ सभी के लिए $x\in H.$ निष्कर्ष यह है $f_{\varphi _{\mathbb {R} }}=f_{\varphi }.$ यह मुख्य प्रमेय से अनुसरण करता है क्योंकि $\ker \varphi _{\mathbb {R} }=\varphi ^{-1}(i\mathbb {R} )$ और अगर $x\in H$ तब

$$\left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle _{\mathbb {R} }=\operatorname {re} \left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle =\operatorname {re} \varphi (x)=\varphi _{\mathbb {R} }(x)$$
 और फलस्वरूप, यदि $m\in \ker \varphi _{\mathbb {R} }$ तब $\left\langle f_{\varphi }\mid m\right\rangle _{\mathbb {R} }=0,$ जो यह दर्शाता है $f_{\varphi }\in (\ker \varphi _{\mathbb {R} })^{\perp _{\mathbb {R} }}.$ इसके अतिरिक्त, $\varphi (f_{\varphi })=\|\varphi \|^{2}$ वास्तविक संख्या होने का तात्पर्य यह है $\varphi _{\mathbb {R} }(f_{\varphi })=\operatorname {re} \varphi (f_{\varphi })=\|\varphi \|^{2}.$

दूसरे शब्दों में, उपरोक्त प्रमेय और निर्माण में, यदि $H$ इसे इसके वास्तविक हिल्बर्ट अंतरिक्ष समकक्ष से बदल दिया गया है $H_{\mathbb {R} }$ और अगर $\varphi$ से प्रतिस्थापित कर दिया गया है $\operatorname {re} \varphi$ तब $f_{\varphi }=f_{\operatorname {re} \varphi }.$ इसका मतलब यह है कि वेक्टर $f_{\varphi }$ का उपयोग करके प्राप्त किया गया $\left(H_{\mathbb {R} },\langle ,\cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }\right)$ और वास्तविक रैखिक कार्यात्मकता $\operatorname {re} \varphi$ मूल कॉम्प्लेक्स हिल्बर्ट स्पेस का उपयोग करके प्राप्त वेक्टर के बराबर है $\left(H,\left\langle ,\cdot ,\cdot \right\rangle \right)$ और मूल जटिल रैखिक कार्यात्मक $\varphi$ (समान मानक मानों के साथ भी)।

इसके अलावा, यदि $\varphi \neq 0$ तब $f_{\varphi }$ के लंबवत है $\ker \varphi _{\mathbb {R} }$ इसके संबंध में $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }$ की गिरी कहाँ है $\varphi$ इसके वास्तविक भाग के कर्नेल का एक उचित उपस्थान है $\varphi _{\mathbb {R} }.$ अब मान लीजिये $\varphi \neq 0.$ तब $f_{\varphi }\not \in \ker \varphi _{\mathbb {R} }$ क्योंकि $\varphi _{\mathbb {R} }\left(f_{\varphi }\right)=\varphi \left(f_{\varphi }\right)=\|\varphi \|^{2}\neq 0$ और $\ker \varphi$ का एक उचित उपसमुच्चय है $\ker \varphi _{\mathbb {R} }.$ वेक्टर उपस्थान $\ker \varphi$ वास्तविक संहिताकरण है $1$ में $\ker \varphi _{\mathbb {R} },$ जबकि $\ker \varphi _{\mathbb {R} }$ है real संहिताकरण $1$ में $H_{\mathbb {R} },$ और $\left\langle f_{\varphi },\ker \varphi _{\mathbb {R} }\right\rangle _{\mathbb {R} }=0.$ वह है, $f_{\varphi }$ के लंबवत है $\ker \varphi _{\mathbb {R} }$ इसके संबंध में $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }.$

दोहरे और प्रति-दोहरे में विहित इंजेक्शन

रेखीय मानचित्र को प्रतिद्वंद्व में प्रेरित किया

मानचित्र रखकर परिभाषित किया गया $y$ में linearआंतरिक उत्पाद का समन्वय और चर देना $h\in H$ पर भिन्न-भिन्न होते हैं antilinear एक प्रतिरेखीय मानचित्र में परिणामों का समन्वय करें|antilinear कार्यात्मक:

$$\langle \,\cdot \mid y\,\rangle =\langle \,y,\cdot \,\rangle :H\to \mathbb {F} \quad {\text{ defined by }}\quad h\mapsto \langle \,h\mid y\,\rangle =\langle \,y,h\,\rangle .$$

यह मानचित्र एक तत्व है ${\overline {H}}^{*},$ जो कि निरंतर द्वैत-विरोधी स्थान है $H.$

canonical map from $H$ into its anti-dual}अल ${\overline {H}}^{*}$ लीनियर ऑपरेटर है|linear ऑपरेटर
$${\begin{alignedat}{4}\operatorname {In} _{H}^{{\overline {H}}^{*}}:\;&&H&&\;\to \;&{\overline {H}}^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,\cdot \mid y\,\rangle =\langle \,y,\cdot \,\rangle \\[0.3ex]\end{alignedat}}$$

जो एक इंजेक्शन मानचित्र आइसोमेट्री भी है। हिल्बर्ट रिक्त स्थान का मौलिक प्रमेय, जो रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय से संबंधित है, बताता है कि यह मानचित्र विशेषण (और इस प्रकार विशेषण मानचित्र) है। नतीजतन, प्रत्येक एंटीलीनियर कार्यशील है $H$ इस रूप में (विशिष्ट रूप से) लिखा जा सकता है।

अगर $\operatorname {Cong} :H^{*}\to {\overline {H}}^{*}$ विहित प्रतिरेखीय मानचित्र है|antiरैखिक विशेषण मानचित्र आइसोमेट्री $f\mapsto {\overline {f}}$ जिसे ऊपर परिभाषित किया गया था, तो निम्नलिखित समानता कायम है:

$$\operatorname {Cong} ~\circ ~\operatorname {In} _{H}^{H^{*}}~=~\operatorname {In} _{H}^{{\overline {H}}^{*}}.$$

ब्रा-केट नोटेशन को ब्रा और केट्स तक विस्तारित करना

Main article: Bra–ket notation

होने देना $\left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}\right)$ हिल्बर्ट स्थान बनें और पहले की तरह, रहने दें $\langle y\,|\,x\rangle _{H}:=\langle x,y\rangle _{H}.$ होने देना

$${\begin{alignedat}{4}\Phi :\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&g&&\;\mapsto \;&\left\langle \,g\mid \cdot \,\right\rangle _{H}=\left\langle \,\cdot ,g\,\right\rangle _{H}\\\end{alignedat}}$$

जो एक विशेषण एंटीलीनियर आइसोमेट्री है जो संतुष्ट करती है

$$(\Phi h)g=\langle h\mid g\rangle _{H}=\langle g,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}g,h\in H.$$

ब्रा

एक वेक्टर दिया गया $h\in H,$ होने देना $\langle h\,|$ निरंतर रैखिक कार्यात्मक को निरूपित करें $\Phi h$; वह है,

$$\langle h\,|~:=~\Phi h$$
 ताकि यह क्रियाशील हो $\langle h\,|$ द्वारा परिभाषित किया गया है $g\mapsto \left\langle \,h\mid g\,\right\rangle _{H}.$ इस मानचित्र द्वारा निरूपित किया गया था $\left\langle h\mid \cdot \,\right\rangle$ इस लेख में पहले।

सौंपा गया काम $h\mapsto \langle h|$ केवल सममितीय प्रतिरेखीय समरूपता है $\Phi ~:~H\to H^{*},$ जो क्यों है $~\langle cg+h\,|~=~{\overline {c}}\langle g\mid ~+~\langle h\,|~$ सभी के लिए धारण करता है $g,h\in H$ और सभी अदिश $c.$ कुछ दिए गए प्लगिंग का परिणाम $g\in H$ कार्यात्मकता में $\langle h\,|$ अदिश राशि है $\langle h\,|\,g\rangle _{H}=\langle g,h\rangle _{H},$ जिसे द्वारा दर्शाया जा सकता है $\langle h\mid g\rangle .$ एक रैखिक कार्यात्मक की ब्रा

एक सतत रैखिक कार्यात्मकता दी गई है $\psi \in H^{*},$ होने देना $\langle \psi \mid$ वेक्टर को निरूपित करें $\Phi ^{-1}\psi \in H$; वह है,

$$\langle \psi \mid ~:=~\Phi ^{-1}\psi .$$
 सौंपा गया काम $\psi \mapsto \langle \psi \mid$ केवल सममितीय प्रतिरेखीय समरूपता है $\Phi ^{-1}~:~H^{*}\to H,$ जो क्यों है $~\langle c\psi +\phi \mid ~=~{\overline {c}}\langle \psi \mid ~+~\langle \phi \mid ~$ सभी के लिए धारण करता है $\phi ,\psi \in H^{*}$ और सभी अदिश $c.$ वेक्टर की परिभाषित स्थिति $\langle \psi |\in H$ तकनीकी रूप से सही लेकिन भद्दी समानता है

$$\left\langle \,\langle \psi \mid \,\mid g\right\rangle _{H}~=~\psi g\quad {\text{ for all }}g\in H,$$

यही कारण है कि अंकन $\left\langle \psi \mid g\right\rangle$ के स्थान पर प्रयोग किया जाता है $\left\langle \,\langle \psi \mid \,\mid g\right\rangle _{H}=\left\langle g,\,\langle \psi \mid \right\rangle _{H}.$ इस अंकन से परिभाषित करने वाली स्थिति बन जाती है

$$\left\langle \psi \mid g\right\rangle ~=~\psi g\quad {\text{ for all }}g\in H.$$

केट्स

किसी दिए गए वेक्टर के लिए $g\in H,$ संकेतन $|\,g\rangle$ दर्शाने के लिए प्रयोग किया जाता है $g$; वह है,

$$\mid g\rangle :=g.$$
 सौंपा गया काम $g\mapsto |\,g\rangle$ सिर्फ पहचान मानचित्र है $\operatorname {Id} _{H}:H\to H,$ जो क्यों है $~\mid cg+h\rangle ~=~c\mid g\rangle ~+~\mid h\rangle ~$ सभी के लिए धारण करता है $g,h\in H$ और सभी अदिश $c.$ संकेतन $\langle h\mid g\rangle$ और $\langle \psi \mid g\rangle$ के स्थान पर प्रयोग किया जाता है $\left\langle h\mid \,\mid g\rangle \,\right\rangle _{H}~=~\left\langle \mid g\rangle ,h\right\rangle _{H}$ और $\left\langle \psi \mid \,\mid g\rangle \,\right\rangle _{H}~=~\left\langle g,\,\langle \psi \mid \right\rangle _{H},$ क्रमश। आशा के अनुसार, $~\langle \psi \mid g\rangle =\psi g~$ और $~\langle h\mid g\rangle ~$ वास्तव में सिर्फ अदिश राशि है $~\langle h\mid g\rangle _{H}~=~\langle g,h\rangle _{H}.$

जोड़ना और स्थानांतरित करना

होने देना $A:H\to Z$ हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बीच एक सतत रैखिक ऑपरेटर बनें $\left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}\right)$ और $\left(Z,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{Z}\right).$ पहले की तरह चलो $\langle y\mid x\rangle _{H}:=\langle x,y\rangle _{H}$ और $\langle y\mid x\rangle _{Z}:=\langle x,y\rangle _{Z}.$ द्वारा निरूपित करें

$${\begin{alignedat}{4}\Phi _{H}:\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&g&&\;\mapsto \;&\langle \,g\mid \cdot \,\rangle _{H}\\\end{alignedat}}\quad {\text{ and }}\quad {\begin{alignedat}{4}\Phi _{Z}:\;&&Z&&\;\to \;&Z^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,y\mid \cdot \,\rangle _{Z}\\\end{alignedat}}$$

सामान्य विशेषण एंटीलिनियर आइसोमेट्रीज़ जो संतुष्ट करती हैं:

$$\left(\Phi _{H}g\right)h=\langle g\mid h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}g,h\in H\qquad {\text{ and }}\qquad \left(\Phi _{Z}y\right)z=\langle y\mid z\rangle _{Z}\quad {\text{ for all }}y,z\in Z.$$

योजक की परिभाषा

Main articles: Hermitian adjoint and Conjugate transpose

हरएक के लिए $z\in Z,$ अदिश-मान मानचित्र $\langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}$पर $H$ द्वारा परिभाषित

$$h\mapsto \langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\langle Ah,z\rangle _{Z}$$
 पर एक सतत रैखिक कार्यात्मक है $H$ और इसलिए रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय के अनुसार, इसमें एक अद्वितीय वेक्टर मौजूद है $H,$ द्वारा चिह्नित $A^{*}z,$ ऐसा है कि $\langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}=\left\langle A^{*}z\mid \cdot \,\right\rangle _{H},$ या समतुल्य, जैसे कि
$$\langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\left\langle A^{*}z\mid h\right\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h\in H.$$
 सौंपा गया काम $z\mapsto A^{*}z$ इस प्रकार एक फ़ंक्शन को प्रेरित करता है $A^{*}:Z\to H$ इसको कॉल किया गया adjoint का $A:H\to Z$ जिसकी परिभाषित स्थिति है
$$\langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\left\langle A^{*}z\mid h\right\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h\in H{\text{ and all }}z\in Z.$$
 जोड़ $A^{*}:Z\to H$ आवश्यक रूप से एक सतत रैखिक ऑपरेटर (समतुल्य, एक बाउंडेड रैखिक ऑपरेटर) रैखिक ऑपरेटर है।

अगर $H$ मानक आंतरिक उत्पाद के साथ परिमित आयामी है और यदि $M$ का परिवर्तन मैट्रिक्स है $A$ तब मानक ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में $M$का संयुग्मी स्थानान्तरण ${\overline {M^{\operatorname {T} }}}$ जोड़ का परिवर्तन मैट्रिक्स है $A^{*}.$

एडजॉइंट ट्रांसपोज़ किए गए हैं

Main article: Transpose of a linear map

See also: Transpose

को परिभाषित करना भी संभव है transpose या algebraic adjoint का $A:H\to Z,$ जो नक्शा है ${}^{t}A:Z^{*}\to H^{*}$ एक सतत रैखिक कार्यात्मकता भेजकर परिभाषित किया गया $\psi \in Z^{*}$ को

$${}^{t}A(\psi ):=\psi \circ A,$$
 जहां फ़ंक्शन संरचना $\psi \circ A$ सदैव एक सतत रैखिक क्रियात्मक होता है $H$ और यह संतुष्ट करता है $\|A\|=\left\|{}^{t}A\right\|$ (यह अधिक सामान्यतः सत्य है, जब $H$ और $Z$ केवल मानक स्थान हैं)।

तो उदाहरण के लिए, यदि $z\in Z$ तब ${}^{t}A$ सतत रैखिक कार्यात्मकता भेजता है $\langle z\mid \cdot \rangle _{Z}\in Z^{*}$ (पर परिभाषित $Z$ द्वारा $g\mapsto \langle z\mid g\rangle _{Z}$) सतत रैखिक कार्यात्मक के लिए $\langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}\in H^{*}$ (पर परिभाषित $H$ द्वारा $h\mapsto \langle z\mid A(h)\rangle _{Z}$); ब्रा-केट नोटेशन का उपयोग करके, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है ${}^{t}A\langle z\mid ~=~\langle z\mid A$ जहां का मेल है $\langle z\mid$ साथ $A$ दाहिनी ओर फ़ंक्शन संरचना को दर्शाता है: $H\xrightarrow {A} Z\xrightarrow {\langle z\mid } \mathbb {C} .$ जोड़ $A^{*}:Z\to H$ वास्तव में केवल स्थानांतरण के लिए है ${}^{t}A:Z^{*}\to H^{*}$ जब रिज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय का उपयोग पहचानने के लिए किया जाता है $Z$ साथ $Z^{*}$ और $H$ साथ $H^{*}.$ स्पष्ट रूप से, जोड़ और स्थानान्तरण के बीच संबंध है:

${}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*}$

(Adjoint-transpose)

जिसे इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

$$A^{*}~=~\Phi _{H}^{-1}~\circ ~{}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}\quad {\text{ and }}\quad {}^{t}A~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*}~\circ ~\Phi _{Z}^{-1}.$$

Proof

To show that ${}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*},$ fix $z\in Z.$ The definition of ${}^{t}A$ implies

$$\left({}^{t}A\circ \Phi _{Z}\right)z={}^{t}A\left(\Phi _{Z}z\right)=\left(\Phi _{Z}z\right)\circ A$$

so it remains to show that $\left(\Phi _{Z}z\right)\circ A=\Phi _{H}\left(A^{*}z\right).$ If $h\in H$ then

$$\left(\left(\Phi _{Z}z\right)\circ A\right)h=\left(\Phi _{Z}z\right)(Ah)=\langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\langle A^{*}z\mid h\rangle _{H}=\left(\Phi _{H}(A^{*}z)\right)h,$$

as desired. $\blacksquare$

वैकल्पिक रूप से, (के बाएँ और दाएँ पक्ष का मानAdjoint-transpose) किसी भी समय $z\in Z$ आंतरिक उत्पादों के संदर्भ में इसे फिर से लिखा जा सकता है:

$$\left({}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}\right)z=\langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}\quad {\text{ and }}\quad \left(\Phi _{H}~\circ ~A^{*}\right)z=\langle A^{*}z\mid \cdot \,\rangle _{H}$$

ताकि ${}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*}$ यदि और केवल यदि धारण करता है $\langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}=\langle A^{*}z\mid \cdot \,\rangle _{H}$ धारण करता है; लेकिन परिभाषा के अनुसार अधिकार पर समानता कायम है $A^{*}z.$ की परिभाषित स्थिति $A^{*}z$ भी लिखा जा सकता है

$$\langle z\mid A~=~\langle A^{*}z\mid$$

यदि ब्रा-केट नोटेशन का उपयोग किया जाता है।

स्वयं-सहायक, सामान्य और एकात्मक ऑपरेटरों का विवरण

मान लीजिए $Z=H$ और जाने $\Phi :=\Phi _{H}=\Phi _{Z}.$ होने देना $A:H\to H$ एक सतत (अर्थात् परिबद्ध) रैखिक संचालिका बनें।

की भी होगी या नहीं $A:H\to H$ स्व-सहायक संचालिका है|सेल्फ-एडजॉइंट है, सामान्य ऑपरेटर है या एकात्मक संचालिका है या नहीं, यह पूरी तरह से इस पर निर्भर करता है $A$ इसके जोड़ से संबंधित कुछ परिभाषित शर्तों को पूरा करता है, जो कि दिखाया गया था (Adjoint-transpose) अनिवार्य रूप से केवल स्थानांतरण होना ${}^{t}A:H^{*}\to H^{*}.$ क्योंकि का स्थानांतरण $A$ निरंतर रैखिक कार्यात्मकताओं के बीच एक मानचित्र है, परिणामस्वरूप इन परिभाषित स्थितियों को पूरी तरह से रैखिक कार्यात्मकताओं के संदर्भ में फिर से व्यक्त किया जा सकता है, क्योंकि उपधारा के शेष भाग का अब विस्तार से वर्णन किया जाएगा। इसमें शामिल रैखिक कार्यात्मकताएं सबसे सरल संभव निरंतर रैखिक कार्यात्मकताएं हैं $H$ जिसे पूरी तरह से परिभाषित किया जा सकता है $A,$ आंतरिक उत्पाद $\langle \,\cdot \mid \cdot \,\rangle$ पर $H,$ और कुछ दिए गए वेक्टर $h\in H.$ विशेष रूप से, ये हैं $\left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle$ और $\langle h\mid A(\cdot )\rangle$कहाँ

$$\left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle =\Phi (Ah)=(\Phi \circ A)h\quad {\text{ and }}\quad \langle h\mid A(\cdot )\rangle =\left({}^{t}A\circ \Phi \right)h.$$
 स्व-सहायक संचालक

See also: Self-adjoint operator, Hermitian matrix, and Symmetric matrix

एक सतत रैखिक ऑपरेटर $A:H\to H$ सेल्फ-एडजॉइंट ऑपरेटर कहा जाता है|सेल्फ-एडजॉइंट यह अपने स्वयं के एडजॉइंट के बराबर है; वह है, यदि $A=A^{*}.$ का उपयोग करना (Adjoint-transpose), ऐसा तब होता है जब और केवल यदि:

$$\Phi \circ A={}^{t}A\circ \Phi$$

जहां इस समानता को निम्नलिखित दो समकक्ष रूपों में फिर से लिखा जा सकता है:

$$A=\Phi ^{-1}\circ {}^{t}A\circ \Phi \quad {\text{ or }}\quad {}^{t}A=\Phi \circ A\circ \Phi ^{-1}.$$

उपरोक्त निरंतर रैखिक कार्यात्मकताओं के संदर्भ में अंकन और परिभाषाओं को उजागर करने से स्व-सहायक ऑपरेटरों के निम्नलिखित लक्षण वर्णन उत्पन्न होते हैं: $A$ स्व-सहायक है यदि और केवल यदि सभी के लिए $z\in H,$ रैखिक कार्यात्मक $\langle z\mid A(\cdot )\rangle$रैखिक कार्यात्मक के बराबर है $\langle Az\mid \cdot \,\rangle$; अर्थात्, यदि और केवल यदि

$\langle z\mid A(\cdot )\rangle =\langle Az\mid \cdot \,\rangle \quad {\text{ for all }}z\in H$

(Self-adjointness functionals)

जहां यदि ब्रा-केट नोटेशन का उपयोग किया जाता है, तो यह है

$$\langle z\mid A~=~\langle Az\mid \quad {\text{ for all }}z\in H.$$

सामान्य ऑपरेटर

See also: Normal operator and Normal matrix

एक सतत रैखिक ऑपरेटर $A:H\to H$ यदि सामान्य ऑपरेटर कहा जाता है $AA^{*}=A^{*}A,$ जो घटित होता है यदि और केवल यदि सभी के लिए $z,h\in H,$

$$\left\langle AA^{*}z\mid h\right\rangle =\left\langle A^{*}Az\mid h\right\rangle .$$

का उपयोग करना (Adjoint-transpose) और संकेतन और परिभाषाओं को सुलझाने से उत्पादन होता हैनिरंतर रैखिक कार्यात्मकताओं के आंतरिक उत्पादों के संदर्भ में सामान्य ऑपरेटरों का निम्नलिखित लक्षण वर्णन: $A$ एक सामान्य ऑपरेटर है यदि और केवल यदि

$\left\langle \,\langle Ah\mid \cdot \,\rangle \mid \langle Az\mid \cdot \,\rangle \,\right\rangle _{H^{*}}~=~\left\langle \,\langle h|A(\cdot )\rangle \mid \langle z\mid A(\cdot )\rangle \,\right\rangle _{H^{*}}\quad {\text{ for all }}z,h\in H$

(Normality functionals)

जहां बायां हाथ भी बराबर है ${\overline {\langle Ah\mid Az\rangle }}_{H}=\langle Az\mid Ah\rangle _{H}.$ इस लक्षण वर्णन के बाएँ हाथ में प्रपत्र के केवल रैखिक कार्यात्मकताएँ शामिल हैं $\langle Ah\mid \cdot \,\rangle$ जबकि दाहिनी ओर फॉर्म के केवल रैखिक कार्य शामिल हैं $\langle h\mid A(\cdot )\rangle$ (ऊपर जैसा परिभाषित किया गया है). तो स्पष्ट अंग्रेजी में, लक्षण वर्णन (Normality functionals) कहता है कि एक ऑपरेटर सामान्य होता है जब पहले रूप के किन्हीं दो रैखिक कार्यों का आंतरिक उत्पाद उनके दूसरे रूप के आंतरिक उत्पाद के बराबर होता है (समान वैक्टर का उपयोग करके) $z,h\in H$ दोनों रूपों के लिए)। दूसरे शब्दों में, यदि ऐसा होता है (और कब)। $A$ इंजेक्टिव या स्व-सहायक है, यह है) कि रैखिक कार्यात्मकताओं का असाइनमेंट $\langle Ah\mid \cdot \,\rangle ~\mapsto ~\langle h|A(\cdot )\rangle$ अच्छी तरह से परिभाषित है (या वैकल्पिक रूप से, यदि $\langle h|A(\cdot )\rangle ~\mapsto ~\langle Ah\mid \cdot \,\rangle$ अच्छी तरह से परिभाषित है) कहाँ $h$ तक फैली हुई है $H,$ तब $A$ एक सामान्य ऑपरेटर है यदि और केवल तभी जब यह असाइनमेंट आंतरिक उत्पाद को सुरक्षित रखता है $H^{*}.$ तथ्य यह है कि प्रत्येक स्व-संयुक्त परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर सामान्य है, इसके प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा आसानी से पालन किया जाता है $A^{*}=A$ के दोनों ओर $A^{*}A=AA^{*}.$ यही तथ्य समानताओं के प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन से भी तुरंत अनुसरण करता है (Self-adjointness functionals) के दोनों ओर (Normality functionals).

वैकल्पिक रूप से, एक जटिल हिल्बर्ट स्थान के लिए, निरंतर रैखिक ऑपरेटर $A$ एक सामान्य ऑपरेटर है यदि और केवल यदि $\|Az\|=\left\|A^{*}z\right\|$ हरएक के लिए $z\in H,$ जो घटित होता है यदि और केवल यदि

$$\|Az\|_{H}=\|\langle z\,|\,A(\cdot )\rangle \|_{H^{*}}\quad {\text{ for every }}z\in H.$$

एकात्मक संचालक

See also: Unitary transformation and Unitary matrix

एक उलटा परिबद्ध रैखिक संचालिका $A:H\to H$ इसे एकात्मक संकारक कहा जाता है यदि इसका व्युत्क्रम इसका सहायक है: $A^{-1}=A^{*}.$ का उपयोग करके (Adjoint-transpose), इसे इसके समकक्ष देखा जाता है $\Phi \circ A^{-1}={}^{t}A\circ \Phi .$ संकेतन और परिभाषाओं को उजागर करते हुए, यह उसका अनुसरण करता है $A$ एकात्मक है यदि और केवल यदि

 
$$\langle A^{-1}z\mid \cdot \,\rangle =\langle z\mid A(\cdot )\rangle \quad {\text{ for all }}z\in H.$$

तथ्य यह है कि एक परिबद्ध उलटा रैखिक ऑपरेटर $A:H\to H$ एकात्मक है यदि और केवल यदि $A^{*}A=\operatorname {Id} _{H}$ (या समकक्ष, ${}^{t}A\circ \Phi \circ A=\Phi$) एक और (सुप्रसिद्ध) लक्षण वर्णन उत्पन्न करता है: एक उलटा घिरा हुआ रैखिक मानचित्र $A$ एकात्मक है यदि और केवल यदि

$$\langle Az\mid A(\cdot )\,\rangle =\langle z\mid \cdot \,\rangle \quad {\text{ for all }}z\in H.$$

क्योंकि $A:H\to H$ उलटा है (और इसलिए विशेष रूप से एक आक्षेप), यह स्थानान्तरण के बारे में भी सच है ${}^{t}A:H^{*}\to H^{*}.$ यह तथ्य वेक्टर को भी अनुमति देता है $z\in H$ उपरोक्त विशेषताओं में प्रतिस्थापित किया जाना है $Az$ या $A^{-1}z,$ जिससे कई और समानताएँ उत्पन्न होंगी। इसी प्रकार, $\,\cdot \,$ से बदला जा सकता है $A(\cdot )$ या $A^{-1}(\cdot ).$

यह भी देखें

• Choquet theory
• Covariance operator
• Fundamental theorem of Hilbert spaces
• Matrix coefficient

टिप्पणियाँ

Proofs

ग्रन्थसूची

• Bachman, George; Narici, Lawrence (2000). Functional Analysis (Second ed.). Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0486402512. OCLC 829157984.
• Fréchet, M. (1907). "Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires". Les Comptes rendus de l'Académie des sciences (in français). 144: 1414–1416.
• P. Halmos Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
• P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems).
• Riesz, F. (1907). "Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables". Comptes rendus de l'Académie des Sciences (in français). 144: 1409–1411.
• Riesz, F. (1909). "Sur les opérations fonctionnelles linéaires". Comptes rendus de l'Académie des Sciences (in français). 149: 974–977.

• Roman, Stephen (2008), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (Third ed.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.